calculo1-aula17 DEFINIDAS

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(Parte 1 de 3)

Aula 17

Integrais denidas e o Teorema Fundamental do C¶alculo

17.1 A integral denida

Seja y = f(x) uma fun»c~ao cont¶³nua em um intervalo fechado [a;b].

Subdividamos o intervalo [a;b] atrav¶es de n +1 pontos x0;x 1;x2;::: ;xn¡1;xn, tais que

O conjunto de pontos } = fx0 = a;x1;x2;: :: ;xn¡1;xn = bg constitui uma subdivis~ao ou parti»c~ao do intervalo [a; b].

Tomemos ainda pontos c1;c2;c3;: :: ;c n¡1;c n em [a;b], tais que

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E formemos a soma

Esta ¶eu ma soma integral de f,n oi ntervalo [a;b], correspondente µap arti»c~ao },e µa escolha de pontos intermedi¶arios c1;: :: ;c n.

as omad as ¶areas de n retangulos, sendo o i-¶esimo retangulo, para 1 · i · n,d e base ¢xi e altura f(ci).I sto ¶e ilustrado na gura 17.1.

a = x x x x xc c c c f(cn )

y = f(x) y

= b

Tal ¢ ¶et amb¶em chamado de norma da parti»c~ao }.

¶Ep oss¶³vel demonstrar que, quando consideramos uma sucess~ao de subdivis~oes a = x0 <x 1 < ¢ <x n = b,d oi ntervalo [a;b], fazendo com que ¢= max¢xi tornese mais em aisp r¶oximo de zero (e o n¶umero n, de sub-intervalos, torne-se cada vez maior), as somas integrais S, correspondentes a essas subdivis~oes, v~ao tornando-se cada vez mais pr¶oximas de um n¶umero real °,c hamado integral denida de f,n oi ntervalo

[a;b] ed enotadop or R b a f,o u por

R b

Em outras palavras, quando formamos uma seqÄuencia de parti»c~oes }1, }2, ::: , }k, :: : ,d o intervalo [a; b], den ormas respetivamentei guaisa ¢1, ¢2, :: : , ¢k, :: : , associando a cada parti»c~ao um conjunto de pontos intermedi¶arios (os ci's), e forman-

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R b a f, para algum n¶umero real °.

De modo mais simplicado, a integral denida de f,d e a at¶e b (ou no intervalo [a;b]) ¶eon ¶umero real

Os retangulos ilustrados na gura 17.1 tornam-se cada vez mais estreitos e numerosos µa medida em que max¢xi torna-se maisem aisp r¶oximo de 0.

Neste caso, lim max¢xi!0

Pn i=1 f(ci)¢xi denir¶aa¶ area compreendida entre a curva y = f(x),o eixo x, e as retas verticais x = a, x = b.

Sumarizando,

a f(x)dx =( ¶area sob o gr¶aco de f,d e x = a at¶e x = b)

Observa»c~ao 17.2 Por outro lado, se f(x) < 0 para todo x 2 [a;b], teremos R b

= ¡A, sendo A a¶area (positiva) da regi~ao plana compreendida entre o eixo x,o gr¶a¯co de f,e as retas x = a e x = b.

Observa»c~ao 17.3 Se o gr¶aco de f,n o intervalo [a;b],¶ec omoog r¶aco esbo»cado na gura 17.2, ent~ao, sendo A1, A2, A3 e A4 as ¶areas (positivas) indicadas na gura, teremos Z b

Observa»c~ao 17.4 Pode-se demonstrar que se f ¶ec ont¶³nua em [a;b], o limite

R b

a f n~ao depende das sucessivas subdivis~oes a = x0 <x 1 <

¢ ¢ <x n = b, e nem das sucessivas escolhas de pontos c1;c 2;:: : ;cn,c om ci 2 [xi¡1;xi] para cada i.

Integrais definidas e o Teorema Fundamental do C¶alculo 149 y = f(x) b a

Figura 17.2. R b

Observa»c~ao 17.5 Se, para uma fun»c~ao g, denida em [a;b],n ~ao necessariamente

Pn i=1 g(ci)¢xi (xi's e ci's tal como antes), dizemos

que g ¶ei ntegr¶avel em [a;b], e denimos, tal como antes,

Z b

0 f(x)dx,o us eja, determinar a ¶area com- preendida entre a par¶abola y = x2 eoe ixo x,n o intervalo 0 · x · 1.

Para calcular a integral pedida, vamos primeiramente subdividir o intervalo [0;1] em n sub-intervalos de comprimentos iguais a ¢x =1 =n,o us eja, tomaremos

Tomaremos ainda ci = xi = i=n,p ara i =1 ;2;:: : ;n. Teremos a soma integral

S = nX µ i

aqui.

Assim, como ¢x ! 0 sees omente se n !1 ,t emos

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3 A¶area procurada ¶e igual a 1=3 (de unidade de ¶area).

Proposi»c~ao 17.1 Se f ¶ec ont¶³nua no intervalo [a;b], sendo m e M os valores m¶aximo em ¶³nimo de f, respectivamente, no intervalo [a;b],e nt~ao

a b x AB mM B'A'

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