Exponencial de Uma Matriz

Exponencial de Uma Matriz

Exponencial de uma matriz

Ulysses Sodre Londrina-PR, 21 de Agosto de 2001; Arquivo: expA.tex

Conteudo 1 Introducao a exponencial de uma matriz 2 2 Polinomio caracterıstico, autovalores e autovetores 2 3 Teorema de Cayley-Hamilton 3 4 Potencias de uma matriz quadrada 3 5 Teoria misturada com um exemplo numerico 4 6 exp(tA) onde A tem autovalores distintos 5 7 exp(tA) onde A tem autovalores repetidos 5 8 Matriz (ordem 3) com autovalores distintos 6 9 Matriz com um autovalor duplo e um simples 6 10 Matriz com o autovalor triplo 7 1 Propriedades da exponencial de uma matriz 7 12 A equacao diferencial X′ = AX (ordem(A)=2) 8 13 A equacao diferencial X′ = AX (ordem(A)=n) 8 14 A equacao linear nao homogenea X′ = AX +f(t) 9

Secao 1 Introducao a exponencial de uma matriz 2

1 Introducao a exponencial de uma matriz

A exponencial de uma matriz real tA de ordem n, pode ser obtida por varios modos distintos. Como exemplo, vamos apresentar tres formas:

(1) Uma serie infinita de potencias de A da forma:

tkAk

(2) Pelo metodo dos autovalores: etA = P eD P−1

valores tλ1, tλ2,, tλn da matriz tA.

(3) Pelo Teorema de Cayley-Hamilton:

k=0 αk tkAk sendo os escalares αk obtidos tal que para cada autovalor λ:

Em Equacoes Diferenciais Ordinarias, e preferıvel utilizar o Teorema de Cayley- Hamilton que simplifica as operacoes. Para este estudo, trabalharemos somente com matrizes quadradas A de ordem n que possuem autovalores reais. Na sequencia, apresentaremos alguns preliminares.

2 Polinomio caracterıstico, autovalores e autovetores

O polinomio caracteristico de uma matriz quadrada M de ordem n e o polinomio monico1, definido por:

A equacao caracteristica da matriz M e dada por

Cada escalar λ que anula o polinomio caracterıstico recebe o nome de autovalor2 da matriz M. Se v e um vetor nao nulo e λ e um autovalor de M, para o qual

Mv = λv entao v e denominado um autovetor3 de M associado ao autovalor λ, sendo que λ podera eventualmente ser igual a zero.

Um autovalor λ realiza a mesma funcao que a matriz M quando esta atua sobre o autovetor correspondente vλ, mas M tem n × n elementos, enquanto que λ e apenas um escalar.

Um mesmo autovalor λ podera estar associado a varios autovetores. O subespaco

Mλ gerado pelos autovetores associados a λ recebe o nome de autoespaco associado ao autovalor λ.

1Polinomio monico e aquele cujo coeficiente do termo dominante e igual a 1. 2“eigenvalue”, raiz caracterıstica, valor caracterıstico, valor proprio 3“eigenvector”, vetor caracterıstico, vetor proprio

Secao 3 Teorema de Cayley-Hamilton 3

3 Teorema de Cayley-Hamilton

Toda matriz quadrada M e um zero do seu polinomio caracterıstico. Um esquema simples para este Teorema e:

Este teorema garante que se M e uma matriz de ordem n e se o seu polinomio caracterıstico e dado por

k=0 bk λk com bn = 1, entao substituindo λ por M, teremos um polinomio de matrizes identi- camente nulo, isto e:

Como exemplo, se e substituindo λ por M, teremos e esta ultima relacao garante que e possıvel expressar a potencia M2 como combinacao linear de I e de M, isto e:

Uma consequencia imediata do Teorema de Cayley-Hamilton, e que a potencia Mn de uma matriz quadrada M de ordem n, sempre podera ser escrita como a combinacao linear das potencias de M com expoentes menores do que n, isto e:

k=0 bk Mk

4 Potencias de uma matriz quadrada

Ja definimos M0 = I e para cada k ∈ N:

Consideremos a matriz M de ordem n = 2 e definida por:

Usando o Teorema de Cayley-Hamilton, podemos substituir o parametro λ por M no polinomio caracterıstico para obter um polinomio matricial identicamente nulo, isto e:

Assim, escrevemos M2 como uma combinacao linear de I e M:

A partir desta relacao, podemos obter todas as potencias sucessivas de M como combinacoes lineares das matrizes I e M.

Secao 5 Teoria misturada com um exemplo numerico 4

Este fato garante que todas as potencias da matriz M com expoente n inteiro nao negativo, podem ser escritas como combinacoes lineares das matrizes I e M.

5 Teoria misturada com um exemplo numerico

A exponencial da matriz quadrada M pode ser definida como:

Para cada matriz quadrada M de numeros reais, esta serie de potencias de matrizes converge absolutamente para exp(M).

Para obter a exponencial de uma matriz M, introduziremos o processo misturando aspectos teoricos com um exemplo numerico, que julgo ser a melhor forma para aprender. Para a matriz

a exponencial pode ser escrita como uma combinacao linear das matrizes I e M, o

que garante a existencia de escalares α0 e α1 tal que:

Obteremos os escalares α0 e α1 trabalhando com as propriedades dos autovalores da

matriz M para obter os autovalores da matriz eM, sem a necessidade de operar com os autovetores da matriz M.

Se λ e um autovalor para a matriz M, entao que λn e um autovalor para a matriz Mn e como consequencia e possıvel mostrar que eλ e um autovalor para a matriz eM, o que garante que existem vetores4 vk nao nulos tal que:

eM vk = eλk vk onde λk sao autovalores para a matriz M.

Por outro lado:

Reunindo as duas ultimas expressoes e levando em consideracao que os autove- tores vk sao nao nulos, podemos garantir que para k = 1,2, valem as relacoes:

e temos um sistema com duas equacoes em α0 e α1:

Para o caso particular da matriz M tomada como exemplo, os autovalores sao λ1 = 4 e λ2 = −2 e o sistema tera a forma:

cuja solucao e:

4Na verdade, estes vetores sao os autovetores da matriz.

Secao 6 exp(tA) onde A tem autovalores distintos 5 entao

ou seja assim

Todos estes calculos foram realizados sem a necessidade de obter os autovetores de M, bem como a matriz de transicao.

6 exp(tA) onde A tem autovalores distintos

Determinaremos agora a exp(tA), onde A e definida por:

O parametro t nao devera interferir nas operacoes e iniciaremos obtendo o polinomio caracterıstico de A, dado por:

Com o mesmo raciocınio usado anteriormente, trocamos M por tA para escrever:

Ao resolver este sistema obtemos:

Substituindo α0 e α1 pelos seus valores funcionais5 obtemos:

7 exp(tA) onde A tem autovalores repetidos

Iremos determinar exp(tA) onde a matriz A e dada por:

O autovalor duplo de A e λ = 3 e o autovalor duplo de tA e λ = 3t. Seguindo o mesmo raciocınio que antes, temos:

eλ = α0 + α1 λ 5Funcionais porque dependem do parametro t

Secao 8 Matriz (ordem 3) com autovalores distintos 6

Desse modo:

Como o autovalor e duplo, nao temos uma segunda equacao. Derivamos entao em relacao ao parametro t, ambos os membros desta equacao, para obter:

e a partir do valor de α1, obtemos:

Com os valores funcionais de α0 e α1, obtemos a exp(tA).

8 Matriz (ordem 3) com autovalores distintos

Determinaremos a exp(tA), onde a matriz A e:

Resolvendo este sistema em relacao as va-

riaveis α0, α1 e α26, podemos obter a matriz etA atraves de

9 Matriz com um autovalor duplo e um simples

Determinaremos agora a exp(tA), onde a matriz A e dada por:

equacoes:

Devemos acrescentar uma terceira equacao obtida pela derivada de relacao a variavel t da equacao:

A escolha desta equacao nao e aleatoria pois ela e a equacao onde aparece o autovalor repetido.

Resolvendo este sistema obtemos α0, α1 e α2 e substituindo estes valores em

obtemos a matriz etA.

6Na verdade, nao e tao vantajoso obter os escalares α0, α1 e α2 mas sim obter tais escalares multiplicados pelas potencias sucessivas de t: α0, α1t e α2t2.

Secao 10 Matriz com o autovalor triplo 7

10 Matriz com o autovalor triplo

Determinaremos agora a exp(tA), onde a matriz A e dada por:

e o autovalor triplo de A e λ = 2 e o autovalor triplo de tA e λ = 2t. Assim:

Derivando esta equacao em relacao a variavel t e simplificando a equacao obtida, obteremos:

Derivando agora esta ultima equacao em relacao a variavel t e simplificando a equacao obtida, obteremos:

Resolvendo este sistema obtemos α0, α1 e α2 e podemos obter a matriz etA substituindo estes valores funcionais em ordem 2 definida por a12 = 1 e aij = 0 nas outras posicoes, sendo B a transposta de

A, mostrar que

Exercıcio: Assumindo que AB = BA, mostrar que

) AkBn−k

1 Propriedades da exponencial de uma matriz

(1) Se Z e uma matriz quadrada nula, entao eZ = I

(2) Para toda matriz quadrada A e para todo t ∈ R:

A etA = etAA

(3) Se A e B comutam, entao etA etB = et(A+B)

(4) Se A e B nao comutam, entao em geral

(6) Para cada t ∈ R, existe a inversa da matriz exp(tA) dada por:

(7) O conjunto M = {etA : t ∈ R} de todas as matrizes da forma exp(tA) onde t ∈ R, munido com a operacao de multiplicacao de matrizes determina uma estrutura de grupo abeliano, isto e:

(c) Cada elemento de M tem inverso no proprio conjunto M;

Seja a equacao diferencial vetorial X′ = AX, onde

e uma funcao diferenciavel em relacao ao parametro t. A solucao geral de X′ = AX, e da forma:

Como exemplo, consideremos o sistema de equacoes

que pode ser escrito na forma onde

Ja vimos que logo, agrupando 1/6 nas constantes, teremos a solucao:

ou seja

Se A e uma matriz quadrada de ordem n, a equacao diferencial vetorial toma a forma X′ = AX, onde

e uma funcao diferenciavel em relacao ao parametro t e A e uma matriz quadrada de ordem n. A solucao geral de X′ = AX, tambem neste caso, e da forma:

Seja a equacao diferencial7 linear nao homogenea X′ = AX + f(t). Como devemos integrar ambos os membros desta equacao, usaremos u como a variavel muda. Multiplicando ambos os membros da equacao X′(u)−A X(u) = f(u) pelo Fator Integrante ϕ(u) = e−uA, obteremos:

Integrando ambos os membros entre u = 0 e u = t, teremos:

ou seja

logo, a solucao da equacao linear vetorial nao homogenea, e:

Alternativamente, poderıamos ter realizado a integracao de ambos os membros entre ou seja

Multiplicando ambos os membros desta ultima relacao por etA, teremos:

Concluımos entao que a solucao de

7Sistema de equacoes diferenciais ordinarias lineares nao homogeneas

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