Baixe Conceitos e Propriedades de Limites e Continuidade em Funções e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! LIMITES E CONTINUIDADE Conceito do limite D.1. Dizemos que o limite de )(xf , quando x tende a a , é igual a L , ou seja, Lxf ax = → )(lim Se os valores de )(xf se aproximam de L , à medida que x se aproxima de a (por ambos de lados de a ). D.2. Seja )(xfy = uma função definida em uma vizinhança do ponto a , exceto possivelmente no próprio a . Então Lxf ax = → )(lim se para todo número 0>ε houver um número correspondente 0>δ , tal que ε<− Lxf )( sempre que δ<−< ax0 Limites laterais Chamamos limite de )(xf quando x tende a a pela esquerda (ou limite esquerdo de )(xf ) Lxf ax = −→ )(lim se os valores de )(xf se aproximam de L à medida que x se aproxima de a , sendo ax < . Analogamente podemos introduzir o limite direito de )(xf quando x tende a a , sendo ax < . Lxf ax = +→ )(lim D.3. Limite esquerdo (direito): Lxf ax = −→ )(lim ( Lxfax =+→ )(lim ) se para todo número 0>ε houver um número correspondente 0>δ , tal que ε<− Lxf )( sempre que axa <<− δ ( δ+<< axa ) Teorema 1. Lxfax =→ )(lim se e somente se Lxf ax = −→ )(lim e Lxfax =+→ )(lim . Limites infinitos D.4. Seja )(xfy = uma função definida em uma vizinhança do ponto a , exceto possivelmente no próprio a . Então ∞= → )(lim xf ax significa que para todo número positivo M houver um número correspondente 0>δ , tal que Mxf >)( sempre que δ<−< ax0 Limites finitos no infinito Exemplo 1. Consideraremos a função 1 1)( 2 2 + −= x xxf . Do gráfico desta função podemos ver que quanto maior o x , mais próximos de 1 ficam os valores de )(xf . Simbolicamente esta situação pode ser descrita como: 1 1 1lim 2 2 = + − ∞→ x x x Em geral, é usada a notação Lxf x = ∞→ )(lim D.1. Seja )(xf uma função definida em algum intervalo ),( ∞a . Então Lxf x = ∞→ )(lim significa que os valores de )(xf podem ficar arbitrariamente próximos de L tomando-se x suficientemente grande. Observação. O símbolo ∞ não representa um número. D.2. (Em termos de δε , ) Seja )(xf uma função definida em algum intervalo ),( ∞a . Então Lxf x = ∞→ )(lim Significa que para todo número 0>ε existe um correspondente número N tal que ε<− Lxf )( sempre que Nx > . D.3. (Em termos de δε , ) Seja )(xf uma função definida em algum intervalo ),( a− ∞ . Então Lxf x = ∞−→ )(lim Significa que para todo número 0>ε existe um correspondente número N tal que ε<− Lxf )( sempre que Nx < . A reta Ly = é chamada assíntota horizontal da curva )(xf . Exemplo 2. Calcular 427 7lim 2 2 +− +− ∞→ xx xx x Exemplo 3. Determine as assíntotas horizontal e vertical do gráfico da função 47 33)( 2 − −+= x xxxf . Exemplo 4. Calcular )3109(lim 2 xx x −− ∞→ . Exemplo 5. Calcular x x coslim ∞→ . Limites infinitos no infinito A notação ∞= ∞→ )(lim xf x é usada para indicar que os valores de )(xf tornam-se tão grandes quanto x . Significados análogos têm as seguintes expressões ∞= ∞−→ )(lim xf x , − ∞= ∞→ )(lim xf x , − ∞= ∞−→ )(lim xf x . D.4. (Em termos de δε , ) Seja )(xf uma função definida em algum intervalo ),( ∞a . Então ∞= ∞→ )(lim xf x significa que para todo número positivo M existe um correspondente número positivo N tal que Mxf >)( sempre que Nx > . Exemplo 6. Calcular 410 82lim 2 3 +− +− ∞→ xx xx x .
