Classificação dos Números e Conjuntos

Classificação dos Números e Conjuntos

Professor: Clayton Daniel

MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO I: CLASSIFICAÇÃO dos NÚMEROS

(Conjuntos Numéricos)

  1. CLASSIFICAÇÃO dos NÚMEROS

    1. Conjunto dos Números Naturais (N): conjunto formado pelos números 0, 1, 2 etc. Esse conjunto tem início mas não tem fim. Observe abaixo:

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} (Obs.: um asterisco no símbolo do conjunto quer dizer que o zero está fora).

N* = {1, 2, 3, 4, ...}

    1. Conjunto dos Números Inteiros (Z): conjunto formado pelos números naturais, que são positivos, e também pelos números naturais negativos. Esse conjunto, assim como os próximos, não tem início e nem fim. Observe abaixo.

(Obs.: um sinal + no símbolo do conjunto quer dizer que só tem números positivos. Um sinal  no símbolo do conjunto quer dizer que só tem números negativos.Conjuntos formados assim, são subconjuntos numéricos.).

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}

Z+ = {0, 1, 2, 3, ...}

Z = {..., -3, -2, -1, 0}

Ainda há Z*+ e Z* .

    1. Conjunto dos Números Racionais (Q): nesse conjunto, além dos números inteiros, temos as frações, os números decimais exatos e as dízimas periódicas, que são os números decimais inexatos. Todo número que pode ser representado em forma de fração é chamado de número racional.

Q = {...; -7,8; ...; -3,444...; 0; ; ...; 6,5; ...}

Nesse conjuntos, assim como nos próximos, também são válidos os subconjuntos Q+, Q, Q*, Q*+ e Q* .

    1. Conjunto dos Números Irracionais (I): nesse conjunto entram os números que não são racionais, isto é, são números que não são naturais, nem inteiros e nem racionais. Você poderia imaginar que números seriam estes? Esses números são aqueles que representam, por exemplo, raízes quadradas não exatas. Esses números são aqueles que, ao contrário dos Racionais, não tem como representá-los com uma fração. Por isso são chamados de Irracionais (sem razão). Observe abaixo.

I = {...; ; ...; ; ...}. O zero não pertence a esse conjunto porque zero é racional.

Nesse conjunto, assim como nos próximos, também são válidos os subconjuntos I+, I, I*, I*+ e I* .

    1. Conjunto dos Números Reais (R): quando unimos todos os números que fazem parte do conjunto Q com todos que fazem parte do conjunto I, então temos um novo conjunto que é a união de Q e de I. A esse conjunto chamamos de R.

R = {...; -7,8; ... ; ; -3,444...; 0; ; ...; ;...; 6,5; ...}

Nesse conjuntos, assim como nos próximos, também são válidos os subconjuntos R+, R, R*, R*+ e R* .

    1. Conjunto dos Números Complexos (C): existe números que não estão nos conjunto dos Números Reais (R). Esses números são aqueles que representam, por exemplo, raízes quadradas de números negativos. Assim, esse conjunto terá números do tipo !!!

Abaixo está um diagrama mostrando a relação entre os conjuntos numéricos.

  1. OPERAÇÕES MATEMÁTICAS com CONJUNTOS

  1. Conceitos Básicos:

  1. Elemento: é “cada parte de um todo”, como define muito bem o Aurélio. Os elementos são os objetos, símbolos, seres vivos, etc. que fazem parte de um grupo ou coleção. Esse grupo ou coleção recebe o nome de Conjunto em matemática. Os conjuntos são sempre representados por letras maiúsculas e os elementos por letras minúsculas, se estes elementos forem letras. Se forem outros símbolos será indiferente.

Ex.1: Conjunto com três elementos quaisquer: A = {a, x, 7}

  1. Pertinência: conceito que relaciona um elemento com um conjunto. Existem duas possibilidades: pertence () ou não pertence (). Se o elemento faz parte de um certo conjunto, dizemos que ele pertence () a esse conjunto. Se o elemento não faz parte de um conjunto, dizemos que ele não pertence () a esse conjunto. Exemplos:

Ex.1: o número 5 pertence ao conjunto A que é formado por todos os números que estão num dado  5 A.

Ex.2: a letra “M" não pertence ao conjunto B que é formado por todas as letras vogais  M B.

  1. Inclusão: conceito que relaciona um conjunto com outro conjunto. É a partir daí que surge a idéia de subconjunto, que é um conjunto com alguns os mesmos elementos de outro conjunto mais abrangente, mas sempre com uma quantidade de elementos menor ou, no máximo, igual ao do mais abrangente. Existem quatro possibilidades: está contido (), não está contido (), contém () ou não contém (). Leia com atenção os seguintes exemplos:

Ex.1: o conjunto A formado pelos números 1 e 2, está contido no conjunto dos números naturais ()  A .

Dizemos que o conjunto A é um subconjunto do conjunto .

Ex.2: o conjunto V formado pelas vogais não está contido no conjunto C, formado só por consoantes  BC. Dizemos

que o conjunto V não é um subconjunto do conjunto C.

Ex.3: o conjunto dos números naturais () contém o conjunto A formado pelos números 1 e 2 A. É a mesma

afirmação do exemplo 1 (Ex.1), mas lendo de trás para frente.

Ex.4: o conjunto dos números naturais () não contém o conjunto V formado pelas letras vogais,  V. É a

mesma afirmação do exemplo 2 (Ex.. 2), mas lendo de trás para frente.

  1. Classificação:

  1. Conjunto Vazio: é o conjunto que não tem nem sequer um elemento. Tem um símbolo próprio: . Esse símbolo é muito usado para representar a solução de uma equação sem solução como, por exemplo, x2 = - 4. Obs.: o conjunto vazio é considerado subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.

  1. Conjunto Unitário: é o conjunto que tem somente um único elemento. Exemplo: conjunto S formado pelas estrelas de nosso Sistema Solar (o Sol é a única estrela do Sistema Solar em que está a Terra).

  1. Conjunto Finito: é o conjunto em que é possível se contar a quantidade exata de seus elementos. Exemplo: conjunto A formado pelas letras consoantes de nosso alfabeto.

  1. Conjunto Infinito: é o conjunto em que não é possível se contar a quantidade exata de seus elementos, por serem muitos. Mesmo que se saiba que esse conjunto tenha uma quantidade limitada de elementos, se não for possível contá-la será considerado Conjunto Infinito. Exemplos:

Ex. 1: conjunto M formado por todas gotas de água do mar.

Ex. 2: conjunto E formado por todas estrelas que existem no Universo.

  1. Conjunto Universo: em matemática, é o conjunto mais abrangente e que tem todos os elementos de todos os conjuntos que fazem parte de um certo estudo. Exemplos:

Ex.1: ao estudar história dos povos, o conjunto universo é aquele que contém todos os povos (conjuntos) com todos seus

elementos (pessoas). Assim, se pensarmos num único conjunto com todos os povos de nosso planeta, esse conjunto

será o conjunto Universo (U) desse estudo.

Ex.2: ao resolver uma equação de 1o, a solução só pode ser um número que pertence ao conjunto dos números reais.

Então dizemos que o conjunto dos números reais (R) é o conjunto que tem todos os números conhecidos. Então ele

é o conjunto universo (U).

  1. Conjunto das Partes: esse conjunto é aquele cujos todos elementos são os subconjuntos de um conjunto qualquer conhecido. Assim, o conjunto das partes de um conjunto qualquer é formado por todos seus subconjuntos. Esse conjunto é representado, em matemática, por P(A), onde A é um conjunto com n elementos. Exemplo:

Ex. único: Se o conjunto A é formado pelos números 1, 2 e 3, encontre o conjunto das partes de A. Resp.: todos subconjuntos de A são: , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} e {1,2,3}. Dessa forma, o conjunto das partes do conjunto A é: P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} e {1,2,3}}. Se um conjunto A qualquer tem nelementos, a quantidade total de subconjuntos desse conjunto sempre pode ser calculada pela seguinte expressão ou fórmula:

P(A) = 2n

Onde n é a quantidade de elementos. No exemplo dado, o conjunto A tem 3 elementos e 23 = 8. Por isso o número de elementos de P(A) é igual a 8. Conte-os você mesmo e confira! A fórmula sempre funciona!

  1. Representação de um Conjunto:

  1. Diagramas de Veen ou Euler: essa maneira de representar conjuntos foi adotada pelo matemático inglês John Venn (18341932). Consiste em representar os elementos de um conjunto por pontos internos em uma região plana, fechada e semelhante à forma de uma elipse (ovóide). Se o diagrama for uma circunferência, é denominado diagrama de Euler, matemático (1707–1783). Se estiver em forma de uma elipse, é chamado de Diagrama de Venn. Ao lado esquerdo de cada elemento se deve colocar um ponto. Veja os exemplos abaixo.

_s1030_s1030

a

e

i

o

u

_s1030

a

b

c

d

e

a

b

c

A B C

Diagramas de Venn. Diagrama de Euler.

Obs.: apesar de existir essas diferenças no nomes, o único nome que esses diagramas recebem nas questões de vestibular e concursos, é diagrama de Veen. Mesmo em se tratando de um círculo, os diagramas de conjuntos quase nunca aparecem com o nome “diagrama de Euler”.

  1. Tabular: essa representação consiste em colocar os elementos de um conjunto entre duas chaves. Essas chaves são aqueles símbolos muito usados em expressões numéricas de quinta série. Os elementos são separados por vírgulas. Observe os conjuntos A, B e C descritos na explicação anterior. Exs.:

Ex.1: A = {a, b, c, d, e} Ex.2: B = {a, b, c} Ex.3: C = {a, e, i, o, u}.

Abaixo estão os principais símbolos usados em conjuntos e seu respectivo significado. Preste muita atenção nestes símbolos porque você os usará sempre daqui em diante.

SÍMBOLO

SIGNIFICADO ou LEITURA

SÍMBOLO

SIGNIFICADO

/ ou 

TAL QUE*

EQUIVALENTE

IMPLICA QUE ou ENTÃO

MAIS OU MENOS

SE, E SOMENTE SE

INFINITO

QUALQUER QUE SEJA ou PARA TODO*

DIRETAMENTE PROPORCIONAL

EXISTE (pelo menos um)*

DIFERENTE

|

EXISTE APENAS UM*

PI ( 3,14 )

MAIOR QUE

INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS*

>

MAIOR OU IGUAL QUE

UNIÃO DE CONJUNTOS*

MENOR QUE

NÃO ESTÁ CONTIDO*

<

MENOR OU IGUAL QUE

ESTÁ CONTIDO*

PORTANTO

PERTENCE*

 ou { }

VAZIO*

NÃO PERTENCE*

FATORIAL

SOMATÓRIO

APROXIMADAMENTE

X ou x

REPRESENTA QUALQUER VALOR*

  1. Operações entre Conjuntos:

  1. União ou Reunião (): operação entre 2 ou mais conjuntos que consiste em “misturar” todos os elementos desses conjuntos e formar um único conjunto com todos esses elementos. Seria como se tivéssemos 5 sacos de alimentos de 1Kg cada: arroz, feijão, milho de pipoca, soja e lentilha. Agora, em um único saco de 5Kg previamente vazio, despejássemos todos os grãos de cada saco de 1Kg. Esse novo saco de 5Kg seria um novo com todos os elementos de cada saco de 1Kg. Esse saco é o conjunto união de todos os elementos dos 5 sacos. Nesse simples exemplo, cada saco de 1Kg representa um conjunto com seus elementos e o saco de 5Kg é o conjunto união desses conjuntos. O conceito matemática é a seguinte: (a parte mais escura do gráfico representa a união dos conjuntos A e B).

AB

AB = {x | x A ou x B}

Observe os exemplos abaixo:

Ex.1.: Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {0, 2, 4, 6}  A  B = {0, 1, 2, 3, 4, 6}.

Ex.2: Se C = {a, b, c, d} e D = {a, e, i, o, u} C  D = {a, b, c, d, e, i, o, u}.

Observações:

  1. os elementos repetidos nos conjuntos que serão unidos nunca serão repetidos no conjunto união.

  2. se os elementos forem números devem aparecer em ordem crescente e, se forem letras, devem aparecer em ordem alfabética.

  1. Intersecção (): operação entre 2 ou mais conjuntos que consiste em “escolher” apenas os elementos que há em comum nos conjuntos, isto é, a intersecção entre conjuntos é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B, simultaneamente. A definição matemática é a seguinte: (a parte mais escura do gráfico representa a intersecção dos conjuntos A e B).

AB

A  B = { x | x  A e x  B }

Observe os exemplos abaixo:

Ex.1: Se A = { 0, 1, 2, 3 } e B = { 0, 2, 4, 5 }  A  B = { 0, 2 }

Ex.2: Se C = { a, b, c, d } e D = { a, e, i, o, u }  C  D = { a }.

As propriedades da intersecção são as seguintes:

P1. A  A = A

P2. A   = A

P3. A  B = B  A (COMUTATIVA)

P4. . (A  B)  C = A  (B  C) (ASSOCIATIVA)

P5. A  B  A  B = B

  1. Número de Elementos da União de Conjuntos: a quantidade de elementos de um conjunto A qualquer é representada da seguinte maneira: n(A). Se o conjunto for B, será n(B) e assim em diante. O n quer dizer “número de elementos” ou “quantidade de elementos”. Por exemplo: se A = {1, 2, 3, 4}  n(A) = 4, porque o conjunto A tem 4 elementos; se B =   n(B) = 0, porque o conjunto B é vazio e não tem elementos; se B = {1, 2, 5, 7, 9}  n(C) = 5, pois o conjunto C tem 5 elementos. Isso é válido para qualquer conjunto. Portanto, em matemática, a representação n(A), n(B), n(C), n(D) etc. indica a quantidade de elementos de cada um dos conjuntos A, B, C, D...

Se tentarmos calcular o número de elementos de uma união de 2 conjuntos, geralmente a primeira idéia que surge na mente é que esse número é a soma de todos os elementos de ambos conjuntos. Entretanto, essa idéia só é válida se não há elementos comuns nos conjuntos. Observe que fazendo a soma dos elementos de ambos conjuntos você acabará incluindo os elementos da intersecção, isto é, os elementos que há simultaneamente em ambos conjuntos. Portanto, sempre que você for calcular a quantidade de elementos da união entre conjuntos deverá subtrair a quantidade de elementos que há em comum entre esses conjuntos, ou seja, deverá subtrair a intersecção desses conjuntos. A definição matemática é a seguinte: (a parte mais escura do gráfico representa o Número de Elementos da União dos conjuntos A e B).

n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)

Observe os exemplos abaixo:

Ex.1: Se A = {a, b, 1, 3} e B = {0, 1, 3, 5, 11}, calcule n(A  B). Resolução: n(A) = 4 e n(B) = 5; A  B = {1, 3}  n(A  B) = 2. Usando o conceito n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B):

n(A  B) = 4 + 5  2  n(A  B) = 7

Podemos confirmar isso fazendo a união entre A e B.

A  B = {a, b, 0, 1, 3, 5, 11}

  1. Diferença ou Subtração de Conjuntos (): operação entre 2 conjuntos que consiste em “excluir” do primeiro conjunto todos os elementos que há em comum com o segundo conjunto. Fazendo isso você obterá apenas os elementos que realmente fazem o primeiro conjunto ser diferente do segundo. Esses elementos formam um novo conjunto chamado diferença entre A e B e é representado assim: A – B. Dessa forma, a diferença entre 2 conjuntos A e B, nesta ordem, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A mas que não pertencem a B. Se você observar vai perceber que para determinar esses elementos basta retirar, do conjunto A, os elementos que há em comum com o conjunto b, ou seja, basta retirar de A os elementos da intersecção de A com B. A definição matemática é a seguinte: (a região mais escura do gráfico representa o conjunto diferença entre A e B).

A – B = {x | x e x B}

A – B = A – (A  B) e n(A – B) = n(A) – n(A  B)

Observe o exemplo abaixo:

Ex.1: Se A = {a, b, 1, 3} e B = {0, 1, 3, 5, 11}, calcule A – B e n(A  B).

Resolução:

1. Calculando A – B:

A  B = {1,3}

A – B = A – (A  B) = {a, b, 1, 3} – {1,3}  A – B = {a,b}

2. Calculando n(A – B):

n(A) = 4 e n(A  B) = 2

n(A – B) = n(A) – n(A  B) = 4  2  n(A – B) = 2.

Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes

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