Baixe MÓDULO II - Operações Matemáticas e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 1 1. Operações com Números Naturais: nesta etapa, faremos contas apenas com os números que estão no conjunto dos Números Naturais. Assim, toda e qualquer operação bem como sua resposta só será válida se todos os números forem naturais. Lembre-se: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Para resolver qualquer expressão numérica é preciso entender apenas duas coisas: a ordem das operações e os sinais de associação. A ordem ou seqüência correta em que as operações matemáticas devem ser feitas é a seguinte: 1o) Resolvem-se as operações de potenciação e radiciação. 2o) Resolvem-se as operações de multiplicação e divisão. 3o) Resolvem-se as operações de adição e subtração Os sinais de associação entre os números são os parênteses ( ), os colchetes [ ] e as chaves { }. À medida que a conta vai se desenvolvendo, é preciso ir eliminando cada um desses sinais de associação entre os números. A ordem correta para eliminá-los é a seguinte: 1o) Eliminam-se os parênteses ( ). 2o) Eliminam-se os colchetes [ ]. 3o) Eliminam-se os chaves { }. Se você sempre seguir essas duas regrinhas básicas jamais errará conta alguma. Só se você errar, então, em uma ou mais operações. Para evitar isso é importante conhecer a tabuada. Por isso, antes mesmo de ir adiante, é aconselhável fazer ou rever as tabuadas do 1 ao 10 da adição e da multiplicação. Se você se garante por já conhecer bem essas tabuadas, então prossiga. a) Adição e Subtração de Números Naturais: Adição Exs.: 7 + 6 = 13; 11 + 8 = 19; etc. Números que se somam são chamados de parcela e o resultado da adição é a soma. Assim, no primeiro exemplo, 7 e 6 são parcelas e 13 é a soma. Subtração: Exs.: 7 – 6 = 1; 13 – 5 = 8; 10 – 13 = ? Observe que o resultado desta conta não pode ser obtido dentro do conjunto dos Nûmeros Naturais, pois o resultado desta conta é 3 e esse valor não número é um número natural, mas inteiro. O resultado da subtração é chamado de resto. Propriedades da Adição e Subtração Propriedade Conceito Exemplo Comutativa* A ordem das parcelas não altera a soma. 5 + 6 = 6 + 5 = 11 Associativa* Alterando os números com os sinais de associação, o resultado da expressão não se altera. 1 + (5 + 3) = (1 + 5) + 3 = 9 Fechamento* A soma de vários números naturais é sempre um número natural. 1 + 2 + 3 + 4 = 10 25 + 16 + 14 +125 +1562 = 1742 Elemento Neutro Todo número natural adicionado a zero ou subtraído o zero permanece igual a ele mesmo. 25 + 0 = 25 36 + 5 + 0 = 41 * A Comutativa, Associativa e a Fechamento não são válidas para a subtração. Tente descobrir o motivo disto. Expressões Numéricas com Adição e Subtração em N: agora vamos às contas com sinais de associação. É fundamental que essas regrinhas de eliminar os parênteses, colchetes e chaves, de trocar o sinal dos números e de somar todos os números positivos com os positivos e somar os negativos com os negativos, estejam bem claras pois isto é a base para qualquer operação. Essa ordem sempre deverá ser respeitada ou a conta nunca dará o resultado certo. Se o sinal na frente do sinal de associação for negativo, ao eliminá-lo é preciso trocar o sinal de (+/) de todos os números de dentro. Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 2 Ex.: 5 + {3  1 + [15  (11 – 5) + 2] 1} = primeira linha 5 + {3  1 + [15  11 + 5 + 2]  1} = segunda linha 5 + {3  1 + 15  11 + 5 + 2  1} = terceira linha 5 + 3  1 + 15  11 + 5 + 2  1 = quarta linha 5 + 3 + 15 + 5 + 2  1  11  1 = 30  12 = 18 quinta linha 30  12 = 18 b) Multiplicação e Divisão de Números Naturais: Idéias Gerais: Para resolver qualquer expressão numérica é preciso entender apenas duas coisas: a ordem das operações e os sinais de associação. A ordem ou seqüência correta estudada na página anterior, em que as operações matemáticas devem ser feitas NUNCA MUDAM. Todavia não existe uma seqüência rígida e imutável para resolver adição ou subtração. Podemos fazer as duas o mesmo tempo que o resultado sempre dará certo. Os passos abaixo são apenas para lhe orientar na hora de resolver as contas. NÃO É PRECISO DECORÁ-LOS, pois é apenas para lhe orientar. 1o) Resolva todas operações de multiplicação e divisão dentro dos parênteses, colchetes e chaves, nesta ordem. 2o) Resolva todas operações de adição e subtração que ainda restam dentro dos parênteses, colchetes e chaves, nesta ordem. 3o) Elimine os parênteses, não esquecendo de trocar o sinal dos números se for preciso. 4o) Se ainda surgir uma conta de divisão ou multiplicação após eliminar os parênteses, resolva-a antes de prosseguir. 5o) Continue na conta fazendo os 2o, 3o e/ou 4o passo(s) também para os colchetes e as chaves. 6o) Agrupe os números positivos com os números positivos e os negativos com os negativos, separando-os. 7o) Some todos os números positivos e some todos os números negativos, mantendo o sinal de cada um. 8o) Subtrai os positivos dos negativos. Siga um exemplo abaixo: {32  4 + [593  (79  1244)8 + 25]}= (essa é a conta para resolver) {6  4 + [15  (63  31)8 + 25]}= (Feito o 1o passo) { 2 + [15  328 + 25]}= (Feito o 2o e o 3o passos) { 2 + [15  4 + 25]}= (Feito o 4o passo) { 2 + 15  4 + 25}= (Feito o 3o passo para colchetes) 2 + 15  4 + 25 = (Feito o 3o passo para as chaves) 2 + 15 + 25  4 = (Feito o 6o passo) 42  4 = (Feito o 7o passo) 38 (Feito o 8o passo) Multiplicação: adição de parcelas iguais (Ex.: 5 + 5 + 5 = 35) . Ex.: 34  27 + 92  5 = 12  14 + 18  5 = 12 + 18  14  5 = 30  19 = 11 Primeiro resolve-se as multiplicações. Após isso, é melhor agrupar os positivos junto com os positivos e os negativos juntos com os negativos. Agora devemos somar todos positivos com eles mesmos e somar todos negativos com eles mesmos. Após isso, para obter o resultado final, devemos subtrair os positivos dos negativos. Primeira linha: essa é conta para resolver. Segunda linha: Parênteses eliminados e os números de dentro com sinal trocado, pois na frente do parênteses tinha o sinal negativo. Será feito o mesmo com os colchetes e as chaves (Terceira e Quarta linhas). Quando o sinal for positivo +, os números ficam com o mesmo sinal. Quinta linha: Após eliminar todos os parênteses, os colchetes e as chaves, junte todos números positivos com os positivos e todos números negativos com os negativos. Sexta linha: foi feita a soma de todos números positivos e de todos números negativos. Agora basta apenas subtraí-los e pronto. O resultado da conta está aí. Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 5 Ex. 1) Calcule o valor numérico da expressão 60  (22+31)2330. Vamos lá então: 60  (22+31)2330= (essa é a conta para resolver) 60  (4+3)81= (Feito o passo 1) 60  781= (Feito o passo 3 e o 4: o passo 2 não foi preciso). 60  56 = (feito o passo 5) 4 (feito o passo 9: os passos 6, 7 e 8 não foram precisos) Ex. 2) Esse exemplo será feito sem seguir os passos anteriores. Pense e escolha o que você acha melhor. Calcule o valor numérico da seguinte expressão: 3 2749  + {2 0 64 + 3[6 3  (3 3 8 + 2)2]  1999}= (essa é a conta para resolver) 7  3 + {18 + 3[216  (32 + 2)2]  1} = (as raízes e potências foram resolvidas) 7  3 + {8 + 3[216  (6+ 2)2]  1} = (as multiplicações foram resolvidas) 7  3 + {8 + 3[216  82]  1} = (os parênteses foram eliminados) 7  3 + {8 + 3[216  4]  1} = (a divisão foi feita) 7  3 + {8 + 3212  1} = (os colchetes foram eliminados) 7  3 + {8 + 636  1} = (as multiplicações restantes foram feitas) 7  3 + 8 + 636  1 = (as chaves foram eliminadas) 7 + 8 + 636 3 1 = (os números foram agrupados em negativos e positivos) 651  4 = (foram somados os números positivos com os positivos e os negativos com os negativos) 647 (o resultado final foi feito a partir da subtração que havia sobrado) e) Potências de base 10 ou Potências de 10: essas potências são aquelas em que a base é sempre 10. De qualquer forma, para calcular a potência de base 10, basta adicionar tantos zeros quantos forem os expoentes naturais. Observe os exemplos abaixo. Exs.: 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10000 etc. Também é possível determinar o expoente da base 10. Para isso basta seguir a seguinte regrinha simples: escreve-se o número seguido da multiplicação pela potência de base 10; a quantidade de zeros que há será o expoente da base 10. Se não houver zeros, o expoente será zero. Exs.: 500m = 5100m = 5102m 780Km = 7810Km (quando o expoente for um, não é necessário escrevê-lo). 1200Kg = 12100 = 12102Kg 1000 l = 11000 l = 103 l (não é necessário escrever o número um na frente da potência de 10) 2Km = 2100Km A potência de base 10 será revista no estudo dos números racionais. Para saber qual é a potência certa, basta você ver o expoente: quando a base for 10 o valor do expoente indica quantos zeros você deverá acrescentar à direita do 1 (um). Assim, é possível calcular a potência de qualquer base 10 rapidamente. Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 6 2. Operações com Números Inteiros: os números inteiros estão muito ligados em nosso dia a dia. Por exemplo, para representarmos uma temperatura menor que zero, usamos o sinal negativo () antes; no extrato de banco, se o saldo estiver devedor, aparecerá um sinal negativo indicando débito, etc. Nesta etapa, já faremos contas com os números que estão no conjunto dos Números Inteiros. Assim, como já estudamos anteriormente, esses números são os Números Naturais e também os negativos. Toda e qualquer operação bem como sua resposta só será válida se todos os números forem inteiros. Lembre-se: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Vamos então aos Números Inteiros a) Adição e Subtração de Números Inteiros: para ser possível somar e subtrair valores negativos, devemos ter em mente sempre algumas regrinhas gerais para soma de dois números inteiros quaisquer. Regras Gerais para adição e Subtração em Z: todas as regras para adição e subtração vistas até agora também são válidas para a adição e subtração de números inteiros. Contudo, como se trata de outros tipos de números, algumas regras novas acabam surgindo. Abaixo está um quadro com essas idéias básicas para adição e subtração de Números Inteiros. Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 7 CASO REGRA EXEMPLO Sinais Iguais (+) e (+) ou () e () Mantém-se o sinal e soma-se os números. 5 + 7 = 12 ou +12 5 7 =  12 (conserva o sinal e somam-se os números) Sinais Diferentes (+) e () ou () e (+) Mantém-se o sinal do maior número e subtrai-se os números. 9  7 = 2 ou +2 (conserva o sinal do 9) 7  9 = 2 (conserva o sinal do 9) Além dessas duas regras, outra muito importante, que já foi estudada no conjunto dos Números Naturais deve ser sempre lembrada pelo seu contínuo uso é a seguinte: “Se na frente de um parênteses, colchetes ou chaves tiver o sinal negativo, devemos trocar os sinais de todos os números dentro desses parênteses, colchetes ou chaves”. É imprescindível lembrar isso ou haverá erro na conta. Ex.1: 49  (2 + 2 3) = 49  16  6 + 12 = (aqui os sinais dos números foram trocado ao eliminar os parênteses) 49 + 12 16  6 = (os números foram agrupados em negativos e positivos) 61  24 = (foram somados os números positivos com os positivos e os negativos com os negativos) 37 (conservou-se o sinal do maior número e subtraiu-se) Ex.2: Vamos agora a um exemplo com parênteses, colchetes e chaves. 4 + {5 7  [9  5  (2 +11  14) + 5] 15} = 4 + {5 7  [9  5 2 11 + 14 + 5] 15} = (parênteses eliminados e sinais dos números trocados) 4 + {5 7  9 + 5 + 2 +11  14 5 15} = (colchetes eliminados e sinais dos números trocados) 4 + 5 7  9 + 5 + 2 +11  14 5 15 = (chaves eliminadas e sinais dos números nã foram trocados) 5 + 5 + 2 + 11  7  9 14 5 15 = (os números foram agrupados em negativos e positivos) 23  73 = (foram somados os números positivos com os positivos e os negativos com os negativos) 50 (conserva-se o sinal do maior e subtri-se) Propriedades Operatórias da Adição e Subtrção em Z: as mesmas propriedades válidas para a adição em N também é válida para a adição em Z. Além destas, há ainda uma nova propriedade: Número Oposto. Propriedade Conceito Exemplo Comutativa A ordem das parcelas não altera a soma. 5 + 6 = 6  5 = 1 Associativa Alterando os números com os sinais de associação, o resultado da expressão não se altera. 1 + (5 + 3) = (1 + 5) + 3 = 8 3  (5  3) = (3  5) + 3 = 1 Fechamento A soma de vários números inteiros é sempre um número inteiro. 1 2 + 3  4 = 2 25 16 + 14 125 +162 = 10 Elemento Neutro Todo número inteiro adicionado a zero ou subtraído o zero permanece igual a ele mesmo. 25 + 0 = 25 36  0 = 36 Número Oposto Um número é o oposto de outro número quando a soma ou subtração deles dá zero. 6 + 6 = 0 (6 e 6 são opostos entre si) 14 14 = 0 (14 e 14 são opostos entre si) Expressões Numéricas com Adição e Subtração em Z: nessas expressões, você fará contas de adição e subtração com números negativos. É importante relembrar o seguinte: “Se na frente de um parênteses, colchetes ou chaves tiver o sinal negativo, devemos trocar os sinais de todos os números dentro desses parênteses, colchetes ou chaves”. Nunca esqueça isso!!!!!! Ex.1: 30 + 18 + 45 = 18 + 45  18 = (agrupando os positivos com os positivos e os negativos com os negativos) 63  18 (todos os positivos foram somados. Não foi preciso somar os negativos) 45 ou + 45 (conserve o sinal do maior e subtraia) Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 10 P4) Se a base for um, a potência sempre será um  1X = 1 Exs.: 12 = 1; 125 = 1; 1999 = 1. P5) Não existe a potência de 00. Não existe resultado possível. P6) A raiz de zero, seja qual for o índice não nulo, sempre será zero  000  XX Exs.: 00  ; 003  P7) Não existe a raiz zero de qualquer número. Exs.: ?160  ; ?90  ; ?00  P8) Se o expoente for par, a potência sempre será positiva, mesmo que a base seja negativa  ()PAR = (+) Exs.: (2)4 = (2) (2) (2) (2) = 16 ou +16. Portanto, (2)4 = 16. (3)2 = (3) (3) = 9 . Portanto, (3)2 = 9. 72 = 77 = 49 P9) A potência será negativa apenas se a base for negativa e o expoente for ímpar  ()ÍMPAR = () Exs.: (2)3 = (2) (2) (2) = 8. Portanto, (2)3 = 8. (3)5 = (3) (3) (3) (3) (3) = 243 P10) Multiplicação de potências de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes  XmXn = Xm+n Exs.: 3332 = 35 ; (2)3(2)4 = (2)7. P11) Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes  XmXn = Xmn Exs.: 3532 = 33 ; (2)8(2)5 = (2)3. P12) Potenciação de uma potência: conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes  (Xm)n = Xmn Exs.: (32)3 = 36; (32)5 = 310; (23)2 = (2)6. P13) Potenciação de ordem superior: conservamos a base e calculamos a potência de cima para baixo. Exs.: 93 22 2  ; 51222 333 923  P14) Potenciação de um produto de vários números: o expoente vale para todas as bases (regra do chuveirinho)  (abc)X = aXbXcX Exs.: (234)2 = 223242; (234)2 = (2)2 32 42. P15) Não existe raiz par de números negativos  .0 XseexistenãoXPAR Exs.: existenão 4 ; existenão16 existenão 4 16 ; etc. Isso acontece porque não é possível, para qualquer número, elevá-lo a um expoente par e a potência dê negativa. OBS.: você não precisa se preocupar em decorar essas regras, pois à medida que você as vai usando também vai memorizando. NÃO SE EXTRESSE!! d) Expressões Numéricas com as Seis Operações em Z: as expressões numéricas de números inteiros se baseia em todas as propriedades vistas até agora para as seis operações. Sendo assim, é muito importante que você tenha um bom domínio dessas propriedades estudadas até aqui. Nessa etapa que, sem dúvida alguma, é a mais complexa até agora, é bom relembrarmos que os mesmos procedimentos para realizar expressões numéricas ainda são válidas aqui. Para resolver expressões numéricas em Z, você poderá usar os passos sugeridos desde as expressões numéricas de Números Naturais. Relembre as etapas abaixo: 1o) Resolva todas operações de potenciação e radiciação dentro dos parênteses, colchetes e chaves, nesta ordem. 2o) Resolva todas operações de multiplicação e divisão dentro dos parênteses, colchetes e chaves, nesta ordem. 3o) Resolva todas operações de adição e subtração que ainda restam dentro dos parênteses, colchetes e chaves, nesta ordem. Faça o jogo de sinal, se preciso. 4o) Elimine os parênteses, não esquecendo de trocar o sinal dos números se for preciso. 5o) Se ainda surgir uma conta de divisão ou multiplicação após eliminar os parênteses, resolva-a antes de prosseguir. 6o) Continue na conta fazendo os 3o, 4o e/ou 5o passo(s) também para os colchetes e as chaves. 7o) Agrupe os números positivos com os números positivos e os negativos com os negativos, separando-os. 8o) Some todos os números positivos e some todos os números negativos, mantendo o sinal de cada um. 9o) Subtrai os resultados encontrados. Ex.1) Calcular o valor numérico da expressão (2)3+ 3 8  {3(4) +[ 16 (1) 3  (2325)24] + 2223}. Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 11 (2)3+ 3 8  {3(4) +[ 16 (1) 3  (2325)24] + 2223} = (essa é a conta que temos que resolver) 8 + (2)  {3(4) +[4(1)  2824] + 25} = (Feito o passo 1) 8 + (2)  {3(4) +[4(1)  16] + 32} = (Feito o passo 1 novamente para as potências que sobraram) 8 + (2)  { 12 + [ 4  16] + 32} = (Feito o passo 2) 8 2  { 12 + 4  16 + 32} = (Feito o passo 4 para os colchetes) 8 2  12  4 + 16  32 = (feito o passo 4 para as chaves) 16 8 2  12  4  32 = (Feito o passo 7: passos 5 e 6 não foram precisos) 16  58 = (Feito o passo 8) 42 (Feito o passo 9) Ex.2) 372  { (2)4( 4) + [ 33 26436  3((3) 05 – 6)] – 11]} 349  { 16(4) + [648 3(15 6)] 11} Foram feitas a potenciação e a radiciação 147  {4 + [3  3(5 6)] 11} Foram feitas a multiplicação e a divisão 147  {4 + [3 3(1)]  11} Foi feita a subtração que restou nos parênteses, que foi eliminado 147  {4 + [3 + 3]  11} Resolvido a multiplicação restante 147  {4 + 3 + 3  11} Colchetes eliminados 147 + 4  3  3 + 11 Chaves eliminadas 147 + 4 + 11  3  3 Números agrupados em positivos e negativos 162  6 Números positivos somados com positivos e o mesmo com os números negativos 156 Resultado final 3. Operações com Números Racionais (só com frações): os números racionais surgiram da necessidade de realizar contas com números que não são naturais e nem inteiros. Por exemplo, se um terreno tem uma área de 760m2 e, por herança, ele deverá ser dividido por 3 filhos herdeiros então qual será a área que cada um deles deverá receber, se for feito uma divisão por igual? A conta será a seguinte: 7623. O resultado dessa conta não é um número natural e nem inteiro. Faça a divisão e verifique você mesmo! A divisão não dá exata, então o número não é natural e nem inteiro. Depois de alguns estudos, ficou definido que os números racionais são todos aqueles que podem ser escritos em forma de fração. Nessa idéia entram também os Números Naturais e os Números Inteiros, pois eles também podem ser representados por uma fração. Isso acontece porque toda fração também é uma divisão. Por exemplo: 5210 2 10  . A fração “dez meios” é a mesma coisa que “cinco”, que é um número natural. Assim, o zero também fará parte do Números Racionais, pois é possível representar zero em forma de fração: 0... 7 0 8 0 2 0  . Abaixo tem uma classificação dos tipos de números racionais. 1- Frações  Exs.: ; 5 8 ; 4 3 ; 9 5 ; 3 7  ; etc 2- Números Decimais Exatos  Exs.: 8,3; 6,45; 3,128; etc. 3- Números Decimais Inexatos ou Dízimas Periódicas  Exs.: 4,333...; 1,232323...; 2,353535...; etc. É necessário entender que fração e números decimais são modos diferentes de escrever um mesmo valor. Como se lê uma fração?? As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ... Observe as tabelas das próximas páginas. OS TRÊS TIPOS DE NÚMEROS RACIONAIS Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 12 FRAÇÃO LEITURA FRAÇÃO LEITURA um meio dois quintos um terço quatro sétimos um quarto sete oitavos um quinto quinze nonos um sexto um décimo um sétimo um centésimo um oitavo um milésimo um nono oito milésimos Classificação das frações Fração própria: o numerador é menor que o denominador. Exs.: Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador. Exs.: Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Exs.: OBS.: o resultado de uma fração aparente sempre será um número inteiro. Pense no porque disso! a) Critérios de Divisibilidade e MMC: o objetivo é saber em que situação e ocasião um número será divisível por outro número. Divisibilidade significa “capacidade de ser dividido”. Conhecer esses critérios é muito importante pois será muito útil depois, principalmente para não perder muito tempo em certas continhas de divisão como simplificação de frações, fatoração, etc. Os principais critérios de divisibilidade são os seguintes: Divisibilidade por Zero (0): não é possível, em qualquer caso, dividir por zero. Não existe resultado. Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 15 d) Adição e Subtração de Frações: ao contrário dos Números Naturais e Inteiros, a adição e subtração são as operações que exigem mais cálculos em se tratando de fração. De acordo com a maioria das pessoas que aprendem fração, é mais simples multiplicar ou extrair a raiz quadrada de uma fração do que somar duas frações. Assim, se você entender bem como somar e subtrair frações, as operações restantes serão mais fáceis de assimilar, conforme a maioria dos alunos com quem já trabalhei pensa. Vamos então às contas. Assim como na comparação de frações há dois casos possíveis, para adição e subtração de frações ocorre a mesma coisa e os casos são os mesmos. 1o CASO  Frações com Denominadores Iguais: Pense na seguinte situação: suponha que você e seu colega têm muita dificuldade em matemática e resolvem rezar para isso. Se vocês rezarem um terço hoje para aprender, dois terços amanhã e depois de amanhã rezarão mais cinco terços, quantos terços você terão rezado até depois de amanhã? É isso mesmo...! Podemos escrever isso matematicamente assim: 3 8 3 521 3 5 3 2 3 1    Essa regra pode ser generalizada assim: “para somar ou subtrair frações com o mesmo denominador, somamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador”. Veja outros exemplos: 4 1 4 1173 4 11 4 7 4 3    (conservamos o denominador e somamos ou subtraímos o numerador). 2o CASO  Frações com Denominadores Diferentes: agora é preciso lembrar do método usado para igualar os denominadores de duas frações. Vamos ao primeiro exemplo. 15 12 15 10 35 34 53 52 5 4 3 2        Agora as frações já estão com os denominadores iguais. Como se trata de frações equivalentes, elas têm o mesmo valor e por isso somá-las é o mesmo que somar as frações originais, que tinham os denominadores diferentes. Continuando: 15 22 15 12 15 10  então a soma 15 22 5 4 3 2  . Como essa fração é irredutível, isto é, não tem como simplificar, a conta pára por aqui. OBS.: Existe outro método para somar ou subtrair frações: tirar o MMC (Mínimo Múltiplo Comum). Entretanto, para soma de até 3 frações é mais fácil e rápido esse método. Contudo, se você for somar 4 ou mais frações com denominadores diferentes (coisa que é muito rara acontecer) aí será mais fácil tirar o MMC. Em nosso estudo, não faremos soma de várias frações com denominadores diferentes porque é algo que você provavelmente só utilizará na matemática no Nível Médio ou Avançado. Propriedades Operatórias da Adição e Subtração em Q: lembre-se que as frações estão no mesmo conjunto dos números decimais e das dízimas. Portanto, as propriedades aqui citadas serão válidas também para os números decimais e dízimas. As propriedades valem para todo o Conjunto dos Números Racionais (Q). Lembre-se também que todo número inteiro também é um número racional. Propriedade Conceito Exemplo Comutativa A ordem das parcelas não altera a soma. 3 7 3 2 3 5 3 5 3 2  Associativa Alterando os números com os sinais de associação, o resultado da expressão não se altera.b 3 1 3 4 3 2 3 1 3 4 3 2 3 1              Fechamento A soma de vários números inteiros é sempre um número inteiro. 1 4 4 4 7 4 3  Elemento Neutro Todo número racional adicionado a zero ou subtraído o zero permanece igual a ele mesmo. 7 3 0 7 3  Número Oposto Um número é o oposto de outro número quando a soma ou subtração deles dá zero. 02 5 2 5        Obs.: essas propriedades também são válidas para frações com denominadores diferentes. Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 16 e) Multiplicação e Divisão Frações: como foi dito anteriormente, a multiplicação e a divisão são mais simples que a adição e subtração de frações, como você perceberá agora. É importante também entender o seguinte: Toda fração é uma divisão e por isso o denominador nunca pode ser zero. Tente resolver, por exemplo, 70. Perceba que não existe nenhum número que multiplicado por zero dê sete. Assim, não existe resultado para essa conta! Outro caso: ?00 0 0  . Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, então existe um único resultado para esse cálculo, mas infinitos resultados! Portanto, de qualquer forma, uma condição para que exista um número racional é que ele não pode ser divido por zero em hipótese alguma. Multiplicação de Frações: para melhor compreender o porque da regra de multiplicação de frações, analise o exemplo abaixo, que representa uma barra de chocolate dividida em pequenos bloquinhos. A parte escura representa o quanto você já comeu do chocolate. Que fração representa esse total? A quantidade de quadrados pintados também pode ser obtida multiplicando-se a quantidade de quadrados de cada um dos lados entre si. A altura dos quadrados pintados equivale a dois terços da altura total e a largura dos quadrados pintados equivale a quatro quintos da largura total. Multiplicando-se esses dois valores teremos o quanto a área pintada equivale do total. Então o resultado de 5 4 3 2  representa a quantidade de chocolate. O resultado dessa fração deverá ser igual aos oito quinze avos previstos anteriormente. Portanto: 5 4 3 2  = 15 8 Desse exemplo podemos generalizar uma regra para multiplicação de frações: para multiplicar frações, multiplicam-se os numeradores pelos numeradores e os denominadores pelos denominadores. Vamos a alguns exemplos: Ex.1) Calcule o produto de: a) 7 9 856 872 724 )3(83 7 3 2 8 4 3              b) 4 15 312 345 12 45 43 95 4 9 3 5        c) 32 15 84 53 8 5 4 3     Se a multiplicação for de um número inteiro por uma fração, o número inteiro irá multiplicar apenas o numerador e o denominador deve ser conservado. Exs.: 3 5 21 5 73 5 7    Inverso de uma Fração: para avançar em divisão de fração é preciso determinar a fração inversa. A fração inversa de uma outra fração é aquela obtida invertendo-se as posições do numerador com o denominador. Veja os exemplos: 3 4 4 3 fraçãoaédeinversafraçãoa ; a fração inversa de 3 é 3 1 (debaixo do 3 tem o número 1). O inverso de 7 é 7 1  ; o inverso de 5 4  é a fração 4 5  (a inversão de um número não altera seu sinal). OBS.: Não existe inverso de zero pois, como já foi dito, não fica determinado uma fração com denominador igual a zero. Faça o inverso dos seguintes números: 6, 11, 5 8 7 5 e . 3 2 5 4 O chocolate todo está dividido em 15 partes. Essa área mais escura representa 15 8 do todo, pois são 8 blocos num total de 15. Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 17 Divisão de Frações: para divisão de frações não faremos nenhuma explicação ilustrativa por ser muito semelhante à dada para multiplicação. Apenas daremos a regra de como se divide frações. Para dividir frações, deve-se multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Exs.: a) b) 5 6 5 3 2 3 5 2  c) 15 2 3 1 5 2 3 5 2  OBS.: para não confundir, o traço maior é o que separa as frações. f) Potenciação e Radiciação Frações: as regrinhas de potenciação e radiciação estudadas para Números Inteiros também são válidas para as frações. Radiciação: quando elevamos uma fração entre parênteses a um expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente. Exs.: a) b) Se a fração não estiver entre parênteses, o expoente só valerá para o numerador ou só para o denominador. Exs.: 4 9 4 32  ; 16 3 4 3 2  Radiciação: quando o radical envolve o numerador e o denominador, devemos extrair a raiz do numerador e do denominador. Exs.: a) b) Se o radical só estiver no numerador ou só no denominador, devemos extrair apenas a raiz do número que está no radical. Exs.: 16 3 64 12 64 144  (a fração foi simplificada por 4) 3 48 9 144 81 144  (a fração foi simplificada por 3) g) Expressões Numéricas com as Seis Operações: as regras válidas para resolver expressões numéricas nos Números Inteiros também são válidas para os numero fracionários. Além dessas, é claro, devemos lembrar de como resolve cada uma das operações com frações: isso é imprescindível. a)                      200538 8 36100                     200538 8 64      2005388     200530    2005 1000 b)                              4 3 1 2 1 151 2 2                    4 3 1 4 1 151            4 7 4 1 151        28 4 151 28 416 1 7 111 28 444  (a fração foi simplificada por 4) Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 20 décimos ........................................... : quando houver uma casa decimal; centésimos....................................... : quando houver duas casas decimais; milésimos......................................... : quando houver três casas decimais; décimos milésimos ........................ : quando houver quatro casas decimais; centésimos milésimos ................... : quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente. Exemplos: 1,2: um inteiro e dois décimos; 2,34: dois inteiros e trinta e quatro centésimos Quando a parte inteira do número decimal é zero, lemos apenas a parte decimal. Exemplos: 0,1 : um décimo; 0,79 : setenta e nove centésimos Observação: 1. Existem outras formas de efetuar a leitura de um número decimal. Observe a leitura do número 5,53: Leitura convencional: cinco inteiros e cinqüenta e três centésimos; Outras formas: quinhentos e cinqüenta e três centésimos; cinco inteiros, cinco décimos e três centésimos. 2. Todo números natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vírgula após o último algarismo e acrescentar zero(s). Exemplos: 4 = 4,0 = 4,00 75 = 75,0 = 75,00 b) Transformação de Fração Decimal para Número Decimal: Observe os seguintes números decimais:  0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, 10 8 .  0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja, 100 65 .  5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou seja, 100 536 .  0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja, 1000 47 Sendo assim, compare com a próxima tabela. Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 21 Assim, concluímos que: Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para o numerador o número sem vírgula e dando para denominador o número um (1) seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais. Transformação de fração decimal em número decimal Observe as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir: Podemos concluir, então, que: Para se transformar frações decimais em números decimais, bastas dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. Decimais equivalentes: As figuras foram divididas em 10 e 100 partes, respectivamente. A seguir foram coloridas de cinza 4 partes da primeira figura e 40 partes da segunda figura. Observe: Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 22 Note que 0,4 representa na primeira figura representa o mesmo tamanho que 0,40, ou seja, 0,4 e 0,40 são decimais equivalentes. Dessa forma, concluímos que decimais equivalentes são aqueles que representam a mesma quantidade. Exemplos: 0,4 = 0,40 = 0,400 = 0,4000 8 = 8,0 = 8,00 = 8,000 2,5 = 2,50 = 2,500 = 2,5000 95,4 = 95,40 = 95,400 = 95,4000 Dos exemplos acima, podemos concluir que: Um número não se altera quando se acrescenta ou se suprime um ou mais zeros à direita de sua parte decimal. Comparação de números decimais Comparar dois números decimais significa estabelecer uma relação de igualdade ou de desigualdade entre eles, em outras palavras, descobrir através da comparação qual deles é o maior ou o menor. Há dois casos possíveis. 1º Caso: As partes inteiras são diferentes O maior é aquele que tem a maior parte inteira. Exemplos: 3,4 > 2,943, pois 3 >2. 10,6 > 9,2342, pois 10 > 9. 2º Caso: As partes inteiras são iguais O maior é aquele que tem a maior parte decimal. É necessário igualar inicialmente a quantidade de casas decimais acrescentando zeros. Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 25 2. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos: 3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens. Exemplos: 0,05 = = 5% 1,17 = = 117% 5,8 = 5,80 = = 580% OBSERVAÇÃO: apesar desse método ser relativamente fácil, é mais fácil ainda se você sempre converter o número decimal para fração decimal e assím fazer a multiplicação. Após isso, basta converter o resultado para número decimal novamente. Isso vale tanto para multiplicação como para a divisão, a potenciação e a radiciação de números decimais. Nessas 4 operações citadas, resolver as contas transformando o número decimal para fração decimal é a opção mais fácil. Divisão 1º: Divisão exata Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05 Transformando em frações decimais, temos: Método prático 1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada com as demais. Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 26 Exemplos:  1,4 : 0,05 Igualamos as casa decimais: 1,40 : 0,05 Suprimindo as vírgulas: 140 : 5 Logo, o quociente de 1,4 por é 28. Efetuado a divisão  6 : 0,015 Igualamos as casas decimais 6,000 : 0,015 Suprimindo as vírgulas 6.000 : 15 Logo, o quociente de 6 por 0,015 é 400. Efetuando a divisão  4,096 : 1,6 Igualamos as casas decimais 4,096 : 1,600 Suprimindo as vírgulas 4.096 : 1.600 Efetuando a divisão Observe que na divisão acima o quociente inteiro é 2 e o resto corresponde a 896 unidades. Podemos prosseguir a divisão determinando a parte decimal do quociente. Para a determinação dos décimos, colocamos uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero resto, uma vez que 896 unidades corresponde a 8.960 décimos. Continuamos a divisão para determinar os centésimos acrescentando outro zero ao novo resto, uma vez que 960 décimos correspondem a 9600 centésimos. Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56. 2º : Divisão não-exata No caso de uma divisão não-exata determinamos o quociente aproximado por falta ou por excesso. Seja, por exemplo, a divisão de 66 por 21: O quociente 2,56 é exato, pois o resto é nulo. Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 27 Tomando o quociente 3 (por falta), ou 4 (por excesso), estamos cometendo um erro que uma unidade, pois o quociente real encontra-se entre 3 e 4. Logo: Assim, na divisão de 66 por 21, temos: 3 é o quociente aproximado por falta, a menos de uma unidade. 4 é o quociente aproximado por excesso, a menos de uma unidade. Prosseguindo a divisão de 66 por 21, temos: Podemos afirmar que: 3,1 é o quociente aproximado por falta, a menos de um décimo. 3,2 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um décimo. Dando mais um passo, nessa mesma divisão, temos: Podemos afirmar que: 3,14 é o quociente aproximado por falta, a menos de um centésimo. 3,15 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um centésimo. Observação: 1. As expressões têm o mesmo significado: - Aproximação por falta com erro menor que 0,1 ou aproximação de décimos. - Aproximação por falta com erro menor que 0,01 ou aproximação de centésimos e, assim, sucessivamente. 2. Determinar um quociente com aproximação de décimos, centésimos ou milésimos significa interromper a divisão ao atingir a primeira, segunda ou terceira casa decimal do quociente, respectivamente. Exemplos: 13 : 7 = 1,8 (aproximação de décimos) 13 : 7 = 1,85 (aproximação de centésimos) 13 : 7 = 1,857 (aproximação de milésimo) Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 30 Dízima composta A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma d n , onde: n parte não-periódica seguida do período, menos a parte não-periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não-periódica. Exemplo: f) Potenciação e Radiciação de Números Decimais: As potências nas quais a base é um número decimal e o expoente um número natural seguem as mesma regras desta operação, já definidas. Assim: (3,5)2 = 3,5 · 3,5 = 12,25 (0,64)1 = 0,64 (0,4)3 = 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064 (0,18)0 = 1 Raiz Quadrada A raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada com facilidade, transformando o mesmo numa fração decimal. Assim: 99 725  Professor: Clayton Daniel Ianke de Menezes MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS e-mail: cdim3k@bol.com.br MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 31 g) Expressões Numéricas: No cálculo de expressões numérico envolvendo números decimais seguimos as mesmas regras aplicadas às expressões com números fracionários. Em expressões contendo frações e números decimais, devemos trabalhar transformando todos os termos em um só tipo de número racional. Exemplo: = 0,05 + 0,2 · 0,16 : 0,4 + 0,25 = 0,05 + 0,032 : 0,4 + 0,25 = 0,05 + 0,08 + 0,25 = 0,38 Em expressões contendo dízimas, devemos determinar imediatamente suas geratrizes. Exemplos: