Cálculo Numérico - Notas de Aula

Cálculo Numérico - Notas de Aula

(Parte 1 de 7)

UNIVERSIDADE BRAZ CUBAS Notas de Aula - CÁLCULO NUMÉRICO

Prof. Nicolau

Introdução1
Erros e incertezas2
Sistemas Lineares de Equações6
Classificação de sistemas lineares6
Solução do Sistema de Equações Lineares8
Método de Eliminação de Gauss8
Métodos iterativos de resolução de sistema de equações lineares10
Método de Jacobi:10
Método de Gauss-Seidel13
Critério de convergência para métodos iterativos13
Equações algébricas e transcendentes15
Avaliação de polinômios:16
Método de Horner16
Método de Briot-Ruffini16
Limites das raízes reais17
Determinação do intervalo onde há raízes17
Determinação de raízes pelo método da bissecção20
Aplicação do método da bissecção para funções transcendentais21
Determinação de raízes pelo método de Newton-Raphson23
Interpretação geométrica23
Interpolação25
Interpolação linear25
Interpolação linear por relação de proporcionalidade26
Interpolação quadrática27
Interpolação de Newton29
Definição29
Diferenças divididas29
Interpolação de Lagrange31
O método dos Mínimos Quadrados32
Regressão Linear32
Coeficiente de determinação R234
Ajuste da curva exponencial35
Ajuste da curva potencial36
Integração Numérica38
Método dos trapézios38
Estimativa de incertezas no método dos trapézios40
Método de Simpson42

UNIVERSIDADE BRAZ CUBAS Notas de Aula - CÁLCULO NUMÉRICO

Prof. Nicolau

Introdução

Quando o cálculo é aplicado na solução de problemas reais (Fisica, engenharia, economia, etc...), em algum momento é necessário utilizar “números” para se obter a resposta desejada. Em aplicações de matemática, o resultado final desejado, de um modo geral, tem que ser quantitativo. Em algumas circunstâncias a substituição de variáveis por números ocorre somente no “final” do cálculo, em algumas circunstâncias isto ocorre em uma fase bem preliminar. Por cálculo numérico se compreende uma série de procedimentos que utilizam técnicas numéricas para a realização de cálculos. Tomemos a derivação como exemplo: se f(x) = x2, para a obtenção da derivada de f(x) no ponto x = 1 podemos utilizar o método analítico ou o método numérico.

Método analítico: Aplicando a definição de derivada,

dfdx =lim

=lim

Método numérico:

Escolhemos inicialmente um valor arbitrariamente pequeno de h (por exemplo, h = 0,01) e substituímos tanto o valor de x = 1 quanto h = 0,01 na definição de derivada. Teremos então

Verifica-se um diferença de de 0,01 entre os valores calculados analítica e numericamente. Isto se deve ao fato de termos utilizado um valor finito de h = 0,01 em vez de h 0.

Exercício 1: Verificar que a diferença entre os valores calculados analítica e numericamente diminui se escolhermos valores menores de h.

Mesmo na resolução analítica da derivada acima, no final, foi substituído o valor 1 na variável x. Assim, mesmo quando se utilizam analíticos, em algum momento é necessário substituir variáveis por seus valores numéricos para a obtenção de soluções quantitativas de problemas.

O cálculo numérico é a disciplina que estuda métodos numéricos para a solução de problemas matemáticos. Neste curso será apresentada uma introdução ao cálculo numérico, com especial atenção à propagação de erros associada ao método em questão. Serão abordados os tópicos:

Erros e incertezas; Solução de sistemas lineares de equações; Solução de equações algébricas e transcendentes; Interpolação Método dos mínimos quadrados Integração numérica.

Erros e incertezas.

Em um dado processo de obtenção de uma solução quantitativa para um dado problema1, surge espontaneamente o conceito de Erro. Por erro é entendida a diferença entre o valor real de uma dada grandeza e aquela que é obtida. Logo, erro é um conceito filosófico: se não conhecemos o valor real de uma dada grandeza, como podemos saber a diferença entre este valor e o o obtido por algum método de medição ou de cálculo? Daí que modernamente se prefere utilizar o conceito de incerteza. De qualquer maneira, neste curso utilizaremos o termo erro para expressar indistintamente erro ou incerteza, como utilizado pela maioria da bibliografia de uso didático no momento.

Erro de modelamento: a equação (expressão) matemática utilizada para expressar algum fenômeno ou processo tem aproximações, não o descreve precisamente. Exemplo: a queda livre de um objeto próximo ao solo é expressa pela conhecida equação de movimento S = S0 + v0t + gt2/2, onde S é a posição do corpo no instante t, S0 é a posição do corpo no instante t = 0, v0 é a velocidade de corpo no instante t0 e g é a aceleração da gravidade. Esta equação não leva em conta a resistência do ar, assim, ela é precisa ou para pequenas velocidades (ou para um ambiente em vácuo). Conforme a velocidade aumenta este equação passa a ser cada vez menos precisa. Erro de truncamento e arredondamento: representamos números reais utilizando o sistema decimal ou o binário (utilizado por computadores) de um modo geral. Ao executarmos algumas operações, o resultado pode necessitar de um número muito grande de dígitos (até mesmo um número infinito de dígitos, no caso de números irracionais) para ser representado com exatidão. O que ocorre na realidade é que limitamos o número de dígitos de modo que o erro introduzido seja desprezível para o propósito a

1Este processo pode ser de medição, cálculo, estimativa, etc... 2 que se destina o cálculo efetuado. Este procedimento é chamado de truncamento. Por exemplo, o pode ser representado com exatidão pela expressão = P/D onde P e D são o perímetro e o diâmetro de um círculo. No entanto, p é um número irracional e para ser representado no sistema decimal seria necessário um número infinito de dígitos. Tomando somente os primeiros 9 dígitos pode-se escrever

= 3,14159265. No entanto, para a maior parte das aplicações o valor de 3,14 é preciso o suficiente, ou seja, o valor de é truncado na “casa da centena” . Este procedimento introduz no cálculo uma incerteza na “casa do milhar”. Para amenizar o erro introduzido por truncamento, é procedimento normal arredondar o número. Por exemplo, o valor de truncado na 4a. casa depois da vírgula fica como 3,1415; no entanto, arredondamos para 3,1416 pois o dígito imediatamente após o 5 é um 9 e certamente 3,1416 é mais próximo do valor de que 3,1415. Há discussões quanto a como arredondar de maneira adequada um número, neste curso tomaremos um processo simplificado que simplesmente arredonda “para baixo” se o dígito subseqüente for 4 ou menor e “ para cima” se o dígito subseqüente for 5 ou maior.

Erro absoluto: u=∣u−u0∣ onde u é o valor obtido por medição ou cálculo e u0 é o valor convencionado como correto para a variável u.

Notar que u é um número puro que pode freqüentemente ser apresentado na forma de porcentagem. Ou, u = 0,1 é o mesmo que u = 10%.

Propagação de erros: Se tomarmos 2 números com suas respectivas incertezas, u u e v v e

logaritmos, seno e cosseno, etco erro irá se propagar, isto é, no resultado do cálculo haverá um erro

efetuarmos operações com estes números, tais como soma, subtração, multiplicação, divisão, cálculo de que é conseqüência de u e v.

Soma e subtração: w = u + vou w = u - v  w=u2v2
Multiplicação e divisão: w = u  vou w = u/v  w=u2v2=

Pergunta: Com quantas “casas” devo deixar o resultado? Resposta: Com tantas casas quanto sejam necessárias para expressar o erro!

Exemplo 1: Dados a = 62,1 0,2 e b = 42,5 0 ; calcular c = a+b.

Neste caso a = 0,2 e b = 0,4, então c=a b=104,6

Exemplo 2: u = 2,125 e v = 42,32, como expressar w = u/v ? Quando o erro não é expresso de maneira explícita, estimamos como erro o valor de uma unidade da menor ordem de grandeza utilizada para expressar o número, isto é, u ~ 0,001 (porque u vai até a casa do milésimo) e v ~ 0,01 (porque v vai até a casa do centésimo). Daí, w = 2,125/42,32 = 0,05021266541

O resultado da operação deve então ser expresso como w = 0,05021 0,00003

b -) c = 321,1± 0,2;d= 123,42±0,08 ; calcular c + d e c -d ; c · d e c/d .

Exercício 2: Calcular as expressões abaixo com os respectivos erros e expressar os resultado de maneira adequada. a -) a = 12,5 ; b = 16 ; calcular a + b ; a – b ; a · b ; a/b .

d -) m = 1,22×105 ; n = 4,6×104 ; calcular m + n ; m – n ; m n em/n.

c -) u = 115,13 ± 0,08; v = 2,43 ± 0,04 ; calcular u + v; u – v ; u / v e u v.· e -) r = 0,012± 0,007 ; calcular ln(r) e cos(r) (Observação: o argumento do coseno é em radianos.).

g-) a = 3,21×10-6 ; b = 7,68×10-7 ; calcular a + b ; a – b ; a b ; a / b ; a2 + b2 ; ab .

Exercício 3: Um retângulo tem por lados A = (45,0 ± 0,5) cm e B = (60,08 ± 0,06) cm. Calcular e expressar de maneira adequada o perímetro e a área do retângulo.

Exercício 4: A distância de São Paulo a Curitiba é de 400 km com uma incerteza de aproximadamente 10 km. Se um veículo realiza uma viagem entre estas duas capitais em um intervalo de tempo de 4,0 horas com uma incerteza de 10 minutos, qual a velocidade escalar média do veículo e qual sua incerteza? Obs.: a expressão para velocidade escalar média é ve=D t, onde D é a distância percorrida e Dt é o intervalo de tempo em que D foi percorrida.

Exercício 5: Um tambor de óleo de forma cilíndrica tem um diâmetro de 655±5 m e uma altura de 1190±8 m. Qual a capacidade volumétrica do tambor, com qual incerteza?

Sistemas Lineares de Equações

Dado conjunto de equações lineares a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn = b1

an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + + annxn = bn ou, na forma matricial

dizemos que o sistema tem solução se e somente se existe o conjunto (x1, x2 xn tal que a equação acima seja verdadeira.

Exemplo 3: Dado o sistema linear de equações x1 + 2 x2 - x3 = 2 2 x1 - x2 - x3 = 0 x1 - 2 x2 + 4 x3 = 3 pode ser verificado, por substituição, que (1, 1, 1)T é solução para o sistema.

Classificação de sistemas lineares

- Quando o sistema tem solução, dizemos que é compatível. Logo, o sistema dado no exemplo 3 acima, é compatível. - Quando o sistema não tem solução, dizemos que é incompatível.

Exemplo 4: O sistema x1 + x2 = 1 x1 + x2 = 2 não tem solução, logo, é incompatível.

-Quando o sistema tem uma única solução, dizemos que é determinado.

Exemplo 5:x1 + x2 = 2 x1 - x2 = 0 é determinado pois a solução é (1, 1)T.

- Quando o sistema tem várias soluções possíveis, dizemos que é indeterminado.

Exemplo 6: x1 + 2 x2 = 4

2 x1 + 4 x2 = 8 é indeterminado pois a solução é qualquer x2, tal que x1 = 4 - x2.

Um sistema é compatível e determinado se e somente se det |a| 0.

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