Apostila de Dinâmica

Apostila de Dinâmica

(Parte 4 de 6)

  1. Uma roda de 340 mm de raio rola em linha reta sem deslizar. No instante em que o centro da roda tem uma velocidade linear de 1,4 m/s, determine: a) a velocidade angular da roda em relação ao seu centro; b) a velocidade angular de uma partícula no topo da roda.

  1. Uma hélice de avião tem 3,2 m de ponta a ponta e massa de 35 kg. Qual é a energia cinética rotacional da hélice ao girar a 1000 rev/min.

  1. Estime o momento de inércia de um pneu de 5,8 kg, cujo raio externo é de 0,31m.

  1. Mostre que a energia cinética de um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo pode ser escrita como: .

  1. Considere o momento de inércia I de um cubo uniforme de massa m e aresta L. a) Escreva uma expressão de I para a rotação em torno de um eixo paralelo a uma aresta do cubo e passando pelo centro; b) Escreva a expressão de I para uma rotação em torno de um eixo ao longo de uma aresta do cubo.

  1. Três pequenos corpos, que podem ser considerados como partículas, são unidos por barras rígidas leve, conforme figura. Qual é o momento de inércia deste sistema: a) Em relação a um eixo que passa por A e perpendicular ao plano da figura e b) em relação a um eixo que coincide com a barra BC.

  1. Uma roda de bicicleta, com momento de inércia de 0,25 kg.m2 em torno do seu eixo e velocidade angular inicial 12 rad/s, reduz sua velocidade até parar, em razão do atrito nos mancais, em um intervalo de tempo de 320 s. Determine o módulo do torque devido ao atrito, supondo-o constante.

  1. Um helicóptero tem um rotor de três pás. Cada pá tem 5,5 m de comprimento e massa de 250 kg. Determine o módulo do momento angular do rotor quando sua velocidade angular é de 300 rev/min.

  1. Considere o momento de inércia I de um cubo uniforme de massa m e aresta L:

      1. Escreva uma expressão de I para a rotação em torno de um eixo paralelo a uma aresta do cubo e passando pelo centro;

      2. Escreva a expressão de I para uma rotação em torno de um eixo ao longo de uma aresta do cubo.

  1. Quatro esferas pequenas estão presas à extremidades de uma estrutura de massa desprezível no plano xy (conforme figura).

      1. Se a rotação do sistema ocorre ao redor do eixo y com velocidade angular ω, encontre o momento de inércia Iy ao redor do eixo y e a energia cinética rotacional desse eixo

      2. Suponha que o sistema gire no plano xy ao redor de um eixo passando por O (eixo z). Calcule o momento de inércia ao redor do eixo z e a energia rotacional desse eixo.

  1. Um cilindro cheio uniformemente tem um raio R, massa M, e comprimento L. Calcule seu momento de inércia ao redor de seu eixo central (eixo z mostrado na figura)

    1. Energia cinética de rotação, trabalho e potência

Energia Cinética (K)

(para a translação)

, para uma partícula só.

Para um sistema de partículas, tem-se:

K = [joules] = [J]

Trabalho ()

ds

d

0

Nota: O torque é exercido por Fs e não por F.

Potência (P)

P = Fs . v  P = Fs . r .   P = .

= [watt] = [W]

Nota: = K

    1. Teorema dos eixos paralelos (STEINER)

I = ICM + m . d2

ICM = momento de inércia do centro de massa

R m = massa total

d = distância entre dois eixos paralelos

    1. Raio de Giração (K)

I = m . k2

k = raio de giração

k

    1. Coordenadas Normal e Tangencial (n – t)

C t

n n

A n

t

B

t

O sentido positivo de n em qualquer posição é sempre tomado para o centro de curvatura da trajetória.

O sentido positivo de n muda de um lado para outro da curva se a curvatura mudar de sentido.

    1. Velocidade e Aceleração

      1. Vetores unitários:

Vamos definir como sendo o vetor unitário na direção t e como sendo o vetor unitário na direção n. Assim, podemos escrever:

t’

após algumas devidas ope-

V’ rações matemáticas, chega-

A’ se a:

n’ t

C

n

V

A

trajetória

Onde: an = aceleração normal

aT = aceleração tangencial

Obs.:

  1. No ponto de inflexão sobre a curva, a aceleração normal, , vai para zero, pois  tende para o infinito. (Se um ponto material se move ao largo de uma linha reta, então    e aN = 0, sendo assim, .

  1. Se o ponto material se move ao longo de uma curva, com velocidade escalar constante, então: e .

,

onde  é o raio de curvatura, quando a trajetória é expressa da forma y = f (x).

  1. O plano que contém os eixos, normal e tangencial, é denominado Plano Osculador, e no caso de movimento plano, coincide com o plano do movimento.

  1. O eixo tangente t tem o sentido do movimento e o eixo normal n é sempre voltado para o centro de curvatura da trajetória.

      1. Aceleração Tangencial:

O componente tangencial da aceleração é o resultado da taxa temporal de variação do módulo da velocidade. Esse componente terá o sentido do vetor velocidade se o módulo de estiver aumentando e terá o sentido oposto caso o módulo de esteja decrescendo.

Nota:

    1. Exercícios sobre dinâmica da rotação

    1. Quando o esquiador alcança o ponto A de sua trajetória parabólica, ele tem uma velocidade escalar de 6 m/s que está aumentando à taxa de 2 m/s2. Determine a sua velocidade e a aceleração no instante considerado. Despreze o tamanho do esquiador.

    1. Um carro de corrida parte do repouso e percorre uma pista circular horizontal de raio de 300 pés. Se sua velocidade escalar aumenta a uma taxa constante de 7 pés/s2, determine o tempo necessário para ele alcançar uma aceleração de 8 pés/s2. Qual é sua velocidade escalar nesse instante.

    1. Um carro faz uma curva circular de 50 m de raio, aumentando sua velocidade a uma taxa de 8 m/s2. Se num dado instante sua velocidade é de 16 m/s, determine o módulo da sua aceleração nesse instante.

    1. Um carro se move ao longo de uma pista circular de 250 pés de raio de modo que sua velocidade varia no tempo de acordo com v =3.(t + t2) pés/s no intervalo de tempo 0≤ t ≤ 4s. Determine o módulo de sua aceleração quando t = 3s. Que distância ela percorreu até esse instante.

    1. Num dado instante, um avião a jato tem uma velocidade de 400 pés/s e uma aceleração de 70 pés/s2 orientada como mostra a figura. Determine a taxa de aumento da velocidade do avião e o raio de curvatura R de sua trajetória.

    1. Um bote desloca-se numa curva circular de 100 pés de raio. Sua velocidade no instante t = 0 é de 15 pés/s e está aumentando a uma taxa dada por ·v = (0,8t) pés/s2, onde t é expresso em segundos. Determine o módulo de sua aceleração no instante t =5s.

    1. Um bote está deslocando numa trajetória circular de 20 m de raio. Determine o módulo da aceleração do bote quando sua velocidade escalar é v = 5 m/s e está aumentando a uma taxa de ·v = 2 m/s2.

    1. O avião a jato desloca-se na trajetória parabólica mostrada na figura. Quando ele passa pelo ponto A, sua velocidade é de 200 m/s e está crescendo a uma taxa de 0,8 m/s2. Determine o módulo da aceleração do jato no ponto A.

    1. Partindo do repouso, um bote segue uma trajetória circular R = 50 m a uma velocidade escalar v = (0,2t2) m/s, onde t é dado em segundos. Determine os módulos da velocidade e da aceleração do bote no instante t = 3s.

    1. Partindo do repouso, um bote segue uma trajetória circular, R = 50 m, a uma velocidade de módulo v = (0,8 t) m/s, onde t é dado em segundos. Determine os módulos da velocidade e da aceleração do bote no instante em que ele completa um percurso de 20 m.

    1. Um carro se move ao longo de uma pista circular de 250 pés de raio, a uma velocidade dada por v = 3.(t + t2) pés/s, no intervalo de tempo 0≤ t ≤ 2s. Determine o módulo da sua aceleração quando t = 2s. Que distância ele percorreu até esse instante.

    1. Num dado instante, a locomotiva em E tem uma velocidade de 20 m/s e uma aceleração de 14 m/s2 orientada como indicado na figura. Determine a taxa de aumento da velocidade do trem nesse instante e o raio de curvatura da trajetória.

    1. Um trenó desliza ao longo de uma curva que pode ser aproximada pela parábola y = 0,01x2. Determine o módulo de sua aceleração quando ele atinge o ponto A, onde a sua velocidade é de 10 m/s e está aumentando a uma taxa de 3 m/s2.

    1. A velocidade de um automóvel, inicialmente em repouso em s = 0, varia de acordo com v = (0,05t2) pés/s2, onde t é dado em segundos. Determine os módulos da velocidade e da aceleração do carro quando t = 18 s.

    1. A velocidade de um automóvel, inicialmente em repouso em s = 0, varia de acordo com ·v = (0,05t2) pés/s2, onde t é dado em segundos. Determine os módulos da velocidade e da aceleração do carro em s = 550 pés.

    1. Um caminhão desloca-se numa trajetória circular de 50 m de raio a uma velocidade de 4 m/s. Num pequeno trecho a partir de s = 0, sua velocidade aumenta à taxa ·v = (0,05s) m/s2, onde s é medido em metros. Determine os módulos da velocidade e da aceleração do caminhão quando s = 10 m.

    1. Um avião a jato desloca-se com velocidade de módulo constante igual a 110 m/s, ao longo da trajetória mostrada na figura. Determine o módulo da sua aceleração quando ele atinge o ponto A (y = 0).

    1. Um trem está viajando a uma velocidade escalar constante de 14 m/s. Determine o módulo da aceleração da frente do trem no instante em que ele atinge o ponto A (y = 0). (5,02 ms/2)

    1. Uma motocicleta inicia a partir do repouso em A um movimento circular ao longo da pista vertical. Sua velocidade aumenta à taxa ·v = (0,3t) pés/s2, onde t é dado em segundos. Determine os módulos da velocidade e da aceleração da moto quando ela passa por B.

    1. O movimento de um ponto material é definido pelas equações: x = (2t + t2) m e y = (t2) m, onde t é dado em segundos. Determine os componentes normal e tangencial da velocidade e da aceleração do ponto quando t = 2 s.

    1. Os pontos materiais A e B partem da origem O e deslocam-se em sentidos opostos ao longo da trajetória circular, com velocidades de módulos vA = 0,7 m/s e vB = 1,5 m/s, respectivamente. Determine o instante em que eles colidem e o módulo da aceleração de B, imediatamente antes da colisão.

    1. Um menino que brinca num carrossel localiza-se a uma distância r = 8 pés do eixo de rotação. O carrossel está inicialmente em repouso e então é posto para girar de tal modo que a velocidade do menino aumenta a uma taxa de 2 pés/s2. Determine o tempo necessário para que a aceleração da criança se torne igual a 4 pés/s2.

    1. A caixa de dimensões desprezíveis desliza ao longo da trajetória curva definida pela parábola y = 0,4x2. quando ela está em (xA = 2m , yA = 1,6 m), a velocidade é vA = 8 m/s e aumenta de acorda com dvA/dt = 4 m/s2. Determine o módulo da aceleração da caixa nessa posição.

    1. Um ponto material P desloca-se numa hélice elíptica tal que seu vetor posição é definido por r = [2cos(0,1t)i + 1,5 sen(0.1t)j + (2t)k] m, onde t é dado em segundos e os argumentos das funções trigonométricas, em radianos. Determine para t = 8 s os ângulos diretores coordenados α, β e γ, que o eixo binormal ao plano osculador forma com os eixos cartesianos. Resolva o problema para a velocidade VP e a aceleração aP do ponto material, em função dos seus componentes cartesianos. O eixo binormal é paralelo a VP x aP.

    1. A trajetória de um ponto material é definida por: X = 2t2 e Y = 0,04t3. Determine:

  1. O módulo da velocidade para t = 10 s;

  2. O módulo da sua aceleração normal e tangencial para t = 10 s.

    1. O vetor posição de uma partícula é dado por: r(t) = 0,6t2i + 3tj + 0,1t3k, tudo no SI. Determine as componentes normal e tangencial da aceleração e o raio principal de curvatura da trajetória da partícula quando t = 3s.

    1. A velocidade de uma partícula é definida por: vx = 30 – 0,3 t3/2 e vy = 30 + 3 t – 0,6 t2, tudo no SI. Determine o raio de curvatura no topo da trajetória.

    1. Usando os dados do problema anterior, determine o raio de curvatura da trajetória de uma partícula quando t = 12 s.

  1. Movimento sob força resistiva

É o movimento estudado com forças que opõem resistência ao movimento.

  • Atrito seco” ( =  . N   estático [e]

 cinético [c]

A experiência mostra que e > c

  • “Atrito viscoso” (R = – b . vn)

n é sempre positivo

n = 1  R = – b . v  caso linear;

n = 2  R = – c . v2  caso quadrático;

n = 3  R = – c . v3  caso cúbico;

Forças resistivas n = fracionário  .

b = coeficiente de forma e meio, depende de:

                  • forma do corpo

                  • do meio onde o corpo se move

                  • das dimensões do corpo

c = coeficiente de forma e meio, depende de:

                  • forma do corpo

                  • do meio onde o corpo se move

                  • das dimensões do corpo

                  • velocidade de queda do corpo

    1. Exemplos de Atrito Viscoso (Discussões Qualitativas):

      1. Gota da chuva (caso linear):

  • hmínimo da nuvem de chuva = 2 km

  • hmáximo da nuvem de chuva = 10 km

  • hprovável para nuvens de chuva normalmente = 1,5 km

  • 2 m/s < v < 10 m/s, onde v é a velocidade terminal

R = caso linear = – b . v

Obs.: Se “v” cresce, “R” também cresce

logo depois que a gota sai da nuvem ela entra em

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