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EDITORA
CM CIÊNCIA MODERNA
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Estática das Estruturas
2º edição revista e ampliada
Humberto Lima Soriano
EDITORA
CIENCIA MODERNA
Sumário
7.7 Exercícios propostos 344
78 Questões para reflexão 346
Capítulo 8 — Forças móveis
8.1 Introdução
8.2 Linhas de influência
8.3 Processo de Miiller-Breslau
84 — Trem-tipo
8.5 Formulário de linhas de influência de vigas isostáticas
8.6 Exercícios propostos
8.7 Questões para reflexão
Notações
Glossário
Bibliografia
Índice Remissivo
Fonte: PROJECON Consultoria de Projetos Ltda - www.projecon.com.br.
Obras de John Robinson:
Intuição Gênesis Criação
Fundamentos
Ds
1.1 - Introdução
Uma vez que matéria é tudo o que ocupa lugar no espaço, define-se partícula como
uma quantidade de matéria cujas dimensões possam ser consideradas tão pequenas quanto se
queira, sendo também referida como ponto material. E define-se corpo como formado por
um conjunto de inúmeros elementos infinitesimais de massa, em abstração de sua estrutura
real em átomos e em partículas ainda menores, como prótons e elétrons.
O estudo do comportamento de partículas e de corpos sob o efeito de forças éo
que se denomina Mecânica.' E a Mecânica (clássica) se fundamenta em quatro axiomas
apresentados por Sir Isaac Newton (1642-1727) em 1687, na obra conhecida como Principia
Mathematica e ilustrada na Figura 1.1. Esses axiomas, em texto modernizado simples, são:
— Toda partícula permanece em estado de repouso ou em movimento retilíneo
uniforme, a menos que lhe seja aplicada alguma força, o que é denominado primeira lei
de Newton ou princípio da inércia e que já era de conhecimento de Galileu Galilei (1564 —
1642).
“A derivada em relação ao tempo do produto da massa pela velocidade é proporcional
à resultante das forças aplicadas à partícula e age na direção dessa resultante, o que é a
segunda lei de Newton. E no caso de massa invariante no tempo, como apresentado por
Leonhard Euler (1707 — 1783), essa resultante é igual ao produto da massa pela aceleração.
- Para toda força corresponde uma reação igual e contrária, o que é chamado de
terceira lei de Newton ou princípio da ação e reação.
— Matéria atrai matéria na razão direta de suas massas e na razão inversa do
quadrado da distância entre elas, o-que-é conhecido como lei da atração universal.
Anteriormente a Newton, acreditava-se, sem maiores esclarecimentos, que os
“corpos pesados” tivessem propensão para cair com aceleração constante, assim como não
eram compreensíveis as órbitas planetárias. Newton expôs a realidade dos fatos. Nesse
sentido, é famosa a história de que Newton, ao observar a queda de uma maçã aos 23 anos,
Em sua origem, a palavra mecânica significa a arte de construir máquinas
Estática das Estruturas — H.L. Soriano
em 1666, teria tido o lampejo para formular a lei da atração universal. Com essa lei, não só
explicou como os corpos se atraem como também concluiu que à força da gravidade
terrestre, como força centrípeta, mantém a lua “presa” em órbita da Terra, de maneira a
impedir que ela continue em movimento de translação pelo espaço. E com raciocínio
semelhante explicou o porquê dos movimentos dos seis planetas conhecidos, da lua e dos
satélites aos outros planetas, assim como explicou os equinócios e as marés.
pHILOSOPHIA |
NATURALIS
PRINCIPTA
MATHEMATICA
Figura 1.1 — Newton aos 46 anos, em pintura de Godfrey Kneller e seus Principia.
Para facilitar o estudo da Mecânica, esta ciência é dividida em:
estática
dinâmica
estática
Mecânica dos Corpos Rígidos |
Mecânica dos Corpos Deformáveis 4...
dinâmica
se , incompressíveis
Mecânica dos Fluídos e
compressíveis
A hipótese de corpo rígido é baseada na idealização de que os seus elementos
infinitesimais tenham posições relativas fixas entre si, de maneira que o corpo não tenha
alterações de dimensões e de forma, quando submetido a forças. E no estudo de um corpo
em que não sejam relevantes as suas dimensões para bem caracterizar posição e/ou
movimento, é prático associar esse corpo à uma partícula de massa igual à do corpo.
A hipótese de corpo deformável é baseada na suposição de que as posições relativas
de seus elementos infinitesimais se alterem em função das forças aplicadas ao corpo é de
propriedades da matéria. * E quando a configuração deformada de um corpo é próxima da
Na ge pot cocaina
2 Antes de Newton, Hohannes Kepler (1572- 1630) identificou
que as órbitas dos planetas ao redor do Sol são elípticas.
a idealização, supõe-se a matéria como um meio contínuo sem vazios, diferentemente da sua constituição
mos e entre as partículas subatômicas.
a tendência de atração no universo € identificou
existem espaços entre os áto!
2
Capítulo 1 — Fundamentos
deformações das barras. Essas são as chamadas estruturas hiperestáticas. Assim, a
diferença entre essa disciplina e a que lhe precede é que a primeira está focada nas barras,
enquanto a segunda está focada nas estruturas hiperestáticas. Em continuidade à descrição
do esquema apresentado na figura anterior, na disciplina Análise Matricial de Estruturas,
são determinados com formulação matricial, deslocamentos, esforços reativos e
esforços solicitantes internos de estruturas constituídas de barras. Pode parecer que
essas duas últimas disciplinas superpõem-se. Contudo, elas têm abordagens diferentes que
implicam em vantagens distintas e complementares. A Hiperestática tem as vantagens de:
1) poder ser utilizada com uma calculadora de bolso em resolução de problemas simples; (2)
propiciar ao estudante compreensão do comportamento das estruturas hiperestáticas; e
3) fornecer resultados para o desenvolvimento de Disciplinas de Projeto de Estruturas. Esse é
o caso das disciplinas de Concreto Armado, de Concreto Protendido, de Estruturas de Aço e de
Madeira ou mais especificadamente, das disciplinas de Edifícios, Pontes, Estruturas Offshore
etc.” Já as vantagens da Análise Matricial de Estruturas são: (1) ter generalidade de abordagem
para todos os tipos de estruturas constituídas de barras e (2) ser de fácil utilização em computador,
por ser simples e eficiente o uso de matrizes em linguagens de programação de alto nível.
Alguns currículos de graduação em Engenharia Civil incluem também a disciplina
Dinâmica das Estruturas e a disciplina Método dos Elementos Finitos. Na primeira dessas
disciplinas é determinado o comportamento das estruturas submetidas a ações
externas que sejam funções do tempo e que possam desenvolver forças de inércia
relevantes. Na segunda, é apresentado um método numérico destinado principalmente
à análise de estruturas em que não se caracterizam as barras, estruturas, essas, ditas
contínuas. Nas formulações analíticas clássicas dessas estruturas, como em Teoria da
Elasticidade, Teoria das Placas e Teoria das Cascas, recai-se na resolução equações
diferenciais parciais de soluções conhecidas apenas em casos particulares muito restritivos,
enquanto que, com o Método dos Elementos Finitos, se pode determinar o comportamento
de praticamente qualquer estrutura através da resolução de sistemas de equações algébricas
Eneares facilmente resolvíveis com computador. E embora a maioria das estruturas seja
projetada através de recursos computacionais, vale ressaltar que os conceitos trabalhados na
Estática das Estruturas são essenciais para o uso desses recursos e para a compreensão de
seus resultados. Além do que, essa estática insere-se no que se entende por Mecânica dos
Sólidos, do núcleo dos conteúdos básicos das Diretrizes Curriculares Nacionais do Curso
de Graduação em Engenharia, estabelecidas pelo Conselho Nacional da Educação em
. é como tal, é obrigatória a todas as habilitações de engenharia.” Esclarecido o contexto
em que se insere a Estática das Estruturas, descreve-se a estruturação deste livro.
Este capítulo é destinado aos fundamentos, a saber: esclarecimentos do Sistema
macional de Unidades quanto aos fenômenos geométrico-mecânicos, conceituação dos
arismos significativos, operação com as grandezas vetoriais força e momento,
esentação da redução de um sistema de-forças a um ponto, e desenvolvimento e aplicação
equações de equilíbrio da mecânica dos corpos rígidos em repouso. E ao final deste e
ompreensão do comportamento das estruturas é muito importante para a interpretação crítica dos
los fornecidos por sistemas computacionais de análise de estruturas.
ssas Diretrizes não detalham os conteúdos programáticos das diversas habilitações de engenharia e,
. o conteúdo deste livro pode ser mais amplo do que o necessário a determinadas habilitações.
5
Estática das Estruturas — H.L. Soriano
dos demais capítulos, são propostos exercícios e questões para reflexão, com o objetivo de
estimular o leitor a transformar as informações aqui apresentadas em conhecimento.
É no segundo capítulo que se inicia de fato a Estática das Estruturas, quando, então,
são apresentadas noções preliminares das estruturas em barras, são descritos os esforços
aplicados às estruturas, suas condições de apoio e seus esforços internos, assim como são
detalhadas suas condições de equilíbrio. Nessa abordagem, as estruturas constituídas de
barras são divididas em vigas, pórticos, grelhas, treliças e estruturas mistas; e classificadas
quanto ao seu equilíbrio estático, em estruturas hipostáticas, isostáticas e hiperestáticas. Em
sequência, o terceiro capítulo é dedicado ao estudo das vigas isostáticas, o quarto capítulo é
destinado ao estudo dos pórticos isostáticos, o quinto capítulo trata das grelhas isostáticas, o
sexto capítulo trata das treliças isostáticas, o sétimo detalha os fios e cabos suspensos pelas
extremidades, e o oitavo aborda as estruturas isostáticas sob forças móveis.
A prática na resolução de problemas é essencial para a aprendizagem na presente
área da engenharia de estruturas. Contudo, para que essa prática possa conduzir ao
conhecimento e à competência, os princípios, hipóteses e métodos ou processos utilizados
devem ser bem entendidos antes de utilizados. Por isso, neste e nos demais livros deste
autor, dá-se preferência à exemplificação da Análise de Estruturas em apli
simples que requeiram interpretação do fenômeno físico, entendimento e raciocínio do
porquê do método ou processo de análise em questão, do que às resoluções de problemas
com elevado número de operações numéricas que seguem padrões preestabelecidos.
1.2 — Sistema Internacional de Unidades
As unidades de medida de grandezas físicas são tão antigas quanto o comércio, dada
a necessidade de quantificar e comparar os produtos comercializados. De início, essas
unidades eram empíricas, como as baseadas no corpo humano, por exemplo, palmo,
polegada, pé, braça, légua, jarda e côvado, o que causava problemas devido à imprecisão de
definição. Com o desenvolvimento tecnológico foram definidos melhores padrões de
unidades físicas e estabelecidas escalas adequadas, o que deu origem a diversos sistemas de
unidades, mas ainda com consequente dificuldade de entendimento entre usuários de países
de sistemas diferentes. Na busca de um sistema global, após grande empenho da
comunidade científica, chegou-se ao Sistema Internacional de Unidades — SI, que é uma
ampliação modernizada do antigo Sistema Métrico Decimal e cujo uso passou a ser
obrigatório no território nacional a partir de 1988, através da Resolução nº12 do Conselho
Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial - CONMETRO.
Certamente o leitor já se iniciou no estudo do SI. Contudo, para propiciar uma nova
oportunidade de esclarecimentos-quanto à quantificação das grandezas físicas necessárias à
Estática das Estruturas, descreve-se esse sistema de unidades no que diz respeito aos
fenômenos geométrico-mecânicos.
Como todo sistema de unidades consistente, o SI distingue duas classes de
unidades, as unidades de base e as unidades derivadas. As primeiras são as unidades de
medida das grandezas físicas escolhidas como fundamentais por serem independentes
entre si e por permitirem a partir delas a definição de todas as demais grandezas. As
6
Capítulo 1 — Fundamentos
unidades derivadas provêm das unidades de base por multiplicações e/ou divisões
destas, de acordo com leis físicas ou fórmulas de definição. Com isso, qualquer
quantidade de grandeza física pode ser comparada, somada, dividida ou multiplicada.
As grandezas fundamentais do SI, em número de sete, estão relacionadas na Tabela 1.1,
juntamente com as correspondentes unidades e símbolos. É norma que os símbolos das unidades
de base e derivadas permaneçam invariantes no plural e que sejam grafados com letra
minúscula, exceto quando advindas de nomes de pessoas quando então, são grafados com a
primeira letra em maiúscula. Já quando escritas por extenso, essas unidades têm inicial
minúscula, mesmo no caso de nomes de pessoas, excetuado o grau Celsius, e admitem o plural.
Grandeza Unidade Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Corrente elétrica ampêre
Temperatura termodinâmica kelvin K
Quantidade de matéria mol mol
Intensidade luminosa candela cd
Tabela 1.1 — Grandezas fundamentais do SI.
As grandezas fundamentais são compreendidas de forma rudimentar com base na
=speriência humana e suas unidades são estabelecidas de forma precisa através de protótipos
me por experimentos físicos, denominados padrões físicos. Os valores dessas unidades não se
eram com o passar do tempo, embora costumem ter suas definições aprimoradas em função
senvolvimento científico-tecnológico. Isto diferentemente das unidades monetárias que
mam ou deflacionam, mesmo com a manutenção de seus padrões monetários.
Entre as grandezas fundamentais do SI, o comprimento, a massa e o tempo são as
mentais nos fenômenos geométrico-mecânicos, que são grandezas de conceitos
os. E quando esses fenômenos estão acoplados a efeitos térmicos, essas grandezas
izadas juntamente com a grandeza fundamental temperatura.
mo
são uti
A grandeza comprimento está associada à noção de distância entre dois pontos no
espaço geométrico. A correspondente unidade metro (m) foi estabelecida como
149000000 do meridiano terrestre e materializada em protótipo de platina iridiada
mme foi depositado, em 1889, no Bureau Internacional de Pesos e Medidas — BIPM. Com
Estática das Estruturas — H.L. Soriano
denominado kelvin. Além disso, importa observar que os símbolos dos múltiplos mega e
giga são em letras maiúsculas, respectivamente, M e G. Assim, 1 quilonewton é
representado por 1kN e 1 megapascal é representado por IMPa. E a única unidade de
grandeza de base que tem prefixo é o quilograma, que é igual a 10º gramas ou 10ºg.
Algumas unidades fora do SI são reconhecidas oficialmente em combinações com
unidades deste Sistema. Para a grandeza ângulo, por exemplo, são reconhecidos o grau (5)
e seus submúltiplos: minuto (1'= 1/60 do grau) e segundo (1"= 1/60 do minuto). E para a
grandeza tempo, cuja unidade é o segundo (s), são reconhecidos os múltiplos minuto
(1 min=60s), hora (1h =3600s) e dia (1d =86400s).
A escrita das unidades das grandezas físicas e dos sinais e símbolos matemáticos
deve também atender ao estabelecido pela norma ISO 31/XI — Mathematical Signs and
Symbols for use in the Physical Sciences and Technology. Assim, na escrita de uma unidade
derivada em termos do produto de unidades de base, utiliza-se ponto entre os símbolos dessas
unidades e a meia altura desses símbolos ou utiliza-se um espaço entre as unidades. Isso para
evitar confusão com o uso de prefixos, como no caso da unidade metro-segundo de abreviatura
m:s ou m s que não deve ser confundida com o submúltiplo da unidade de tempo milissegundo
de símbolo ms. E para expressar divisão entre as unidades de base, utiliza-se a potência negativa
ou a barra inclinada (/), desde que a barra não seja utilizada mais de uma vez, para evitar
confusão; com a possibilidade do uso de parênteses. Com isso, pode-se escrever (kgm:s?) ou
(kg:m/s?, mas não (kg-m/s/s). Logo, escreve-se a constante universal da gravidade sob a
forma (G = 6,67310m'/(kg: Tê
) ou (6 =6,673:10! m?-kg!-s2).º Além disso, ao final
do símbolo de uma unidade de medida nunca se coloca o ponto, a menos que seja no final de
uma frase. Assim, escreve-se 6m e não 6m. no meio de uma frase. Também, para facilitar a
leitura de valores numéricos com muitos dígitos, de acordo com a norma ISO 31/0 —
General Principles Concerning Quantities, Units and Symbols, deve-se utilizar espaço em
lugar de ponto para separar os dígitos em grupos de três a partir do sinal decimal, tanto para
a esquerda quanto para a direita. Assim, escreve-se 53457m e não53457m, como também
deve-se escrever 1,537 43 km e não 1,53743km.
As notações que ocorrem em equação que expresse comportamento de sistema físico
se referem a variáveis ou a constantes, em grande parte com dimensões físicas. Logo, toda
equação de fenômeno físico deve ter homogeneidade dimensional, isto é, os dois membros da
equação devem ter as mesmas unidades, para que seja aplicável em diferentes sistemas de
unidades e nela possam ser usadas diferentes magnitudes das unidades fundamentais. E a
verificação dessa homogeneidade permite identificar eventuais enganos ao deduzir ou escrever
de memória uma equação que tenha significa físico, embora, é claro, nem toda equação
dimensionalmente homogênea possa ser considerada correta. Além disso, ao utilizar uma
equação todas as quantidades das grandezas físicas envolvidas devem estar em um mesmo
sistema, além de ter uniformidade quanto a múltiplos e submúltiplos das correspondentes
unidades fundamentais.
Para exemplificar essa homogeneidade, considera-se a próxima equação que fornece
o alongamento (ou encurtamento) à de uma barra de comprimento inicial ( e de área de
A lei da atração universal tem a expressão matemática (F = G mymo/r”), onde m, e mo são as massas de
dos corpos e r é a distância entre esses corpos.
10
Capítulo 1 — Fundamentos
seção transversal inicial A, quando submetida à força axial de tração (ou de compressão) F,
em aplicação gradual lenta dessa força e dentro do limite de comportamento em que se tenha
proporcionalidade entre força e a alteração do comprimento, o que é denominado
comportamento físico linear e é ilustrado na próxima figura:
Fe
gs
EA
(1.1)
Nessa equação, ocorre também a propriedade de material de notação E, determinada
experimentalmente e denominada módulo de elasticidade ou módulo de Young.
Seção transversal
D
L : õ
8/2 3/2 E
(a) Vista lateral. (b)Diagrama força-alongamento.
Figura 1.3 — Tração axial de barra.
Em análise da homogeneidade dimensional da equação anterior, identifica-se que, como
Jongamento tem dimensão de comprimento é necessário que o módulo de elasticidade tenha a
nsão de força dividida pela unidade de área, que no SI é a unidade pascal de símbolo Pa,
bém utilizada como unidade da grandeza pressão. Isso evidencia que embora cada grandeza
a apenas uma unidade em um sistema de unidades, uma unidade de medida pode dizer
peito a mais de uma grandeza física. Além disso, como no segundo membro da equação
rior tem-se a unidade de força no numerador e a unidade de força dividida pela unidade de
no denominador, pode-se adotar o mesmo fator multiplicador para a unidade de força e para
sidade do módulo de elasticidade, por esse fator cancelar-se. Por exemplo, com o prefixo
adota-se KN para a força e kPa para esse módulo.
1.3 - Algarismos significativos
A medição de qualquer grandeza física guarda aproximações, por melhor que
seja o equipamento de medida. Em medição das dimensões de determinado tampo de mesa
om uma régua, por exemplo, obtém-se precisão de, no máximo, até a ordem do milímetro,
a proporcionalidade entre força e alongamento foi identificada por Robert Hooke (1635 — 1703) em 1678
dessa propriedade de material advém de Thomas Young (1773 - 1 829). No caso do aço, E=205GPa;
o do alumínio, E=70GPa, e no caso do concreto, E = 21GPa
n
Estática das Estruturas — H.L. Soriano
por limitação do aparelho de medida e pelo próprio tampo ter irregularidades de dimensões.
No caso de terem sido encontrados para o comprimento e para a largura desse tampo,
respectivamente, 1,70lm e 1,041m, diz-se que essas quantificações são expressas por
valores numéricos de 4 algarismos significativos. Assim, algarismos significativos são os
algarismos utilizados na representação de quantificações de grandezas físicas, inclusive o
zero, desde que não seja usado para localizar a casa decimal. Com esse conceito, o número
5 000, quando considerado com 2 algarismos significativos, deve ser escrito sob a forma
50-10? ou 5,0-10”.
O tampo anterior tem a área de (1,701-1,041 = 1,770 741m?). Contudo, esse resultado
não pode ter maior precisão do que as quantificações das dimensões do tampo. Logo, por
coerência com essas quantificações, é mais adequado expressar essa área com 4 algarismos
significativos, com o arredondamento do resultado anterior para 1, 77mº.
Para uma representação com n algarismos significativos, de acordo com a norma
ISO 31/0, adota-se o seguinte procedimento de arredondamento:
a Se o dígito de ordem (n + 1), da esquerda para a direita, for menor do que 5, esse dígito e
os que lhe são superiores em ordem são eliminados. Com isso, em representação de 3
algarismo significativos, escreve-se o número 1,770 741 sob a forma 1,77.
b — Se o dígito de ordem (n + 1) for igual a 5 seguido de zeros, o dígito de ordem n é
arredondado para o número par superior mais próximo se esse dígito for ímpar. Assim,
em representação de 3 algarismos significativos, os números 1,775 e 1,765 são escritos,
respectivamente, sob as formas 1,78 e 1,76.
c— Se o dígito de ordem (n + 1) for igual ou superior a 5 seguido de qualquer quantidade de
dígitos diferentes de zero, o dígito de ordem n é aumentado de uma unidade e os dígitos
de ordem superior a n são eliminados. Por exemplo, o número 1,765004 em
representação de 3 algarismos significativos escreve-se 1,77.
Caso haja necessidade de expressar o referido resultado de área em milímetros, é
prático adotar a notação científica ou a notação de engenharia, que são notações
exponenciais. Na primeira dessas notações, apenas um algarismo de 1 a 9 é utilizado à
esquerda da vírgula e potências de 10 são utilizadas para expressar a posição da vírgula da
quantidade que se quer expressar. Assim, em lugar de escrever 0,000 017 7imm?, escreve-se
1,771-10mm?. Já na notação de engenharia, a potência de 10 é sempre um múltiplo de três,
para facilitar as transformações entre múltiplos e submúltiplos do SI. Assim, em lugar de
escrever 0,000 017 7Imm?, escreve-se 17,71:10“mmº. E ao escrever um valor numérico sob
a forma de notação científica a,b- 10", diz-se que a ordem de grandeza desse valor será 10º se
(lab| < 5,5) e 10"! se (Ja,b| > 5,5). Assim, 1,771-10º tem a ordem 10º e 5,771: 10% tem a
ordem 10.
Uma outra razão para não Operar com muitos algarismos nas representações dos
valores numéricos das grandezas físicas é que a maior parte das quantificações em
engenharia é estimada ou estabelecida em normas de projeto através de procedimentos
semiprobabilísticos. Este é o caso da máxima velocidade do vento que virá a atuar sobre
uma determinada edificação, que pode apenas ser prevista com determinada
probabilidade de ocorrência, assim como o caso da carga que as lajes das edificações
esidenciais virão a receber em condições de uso. Também, os limites de resistência
12
Capítulo 1 — Fundamentos
de força, nada se altera ao deslocá-la segundo a correspondente linha de ação ou reta suporte,
quando então se diz vetor deslizante. Esse é o princípio da transmissibilidade de força em corpo
rígido, que estabelece ser irrelevante identificar a posição da força em sua linha de ação. Isso
está ilustrado na Figura 1.4b que mostra um corpo apoiado em uma superfície horizontal e sob a
ação de uma força F também horizontal, sem representação do peso do corpo e da reação vertical
e, mas com a indicação da força de atrito entre corpo e superfície.
B
edi Extremidade Linha de ação
A
Origem
0,6cm = 1kN
+
F=3kN Escala
(a) Representação gráfica. (b) Princípio da transmissibilidade.
Figura 1.4 — Grandeza vetorial força.
Quando um vetor está associado a uma direção, mas não a uma linha de ação, diz-se
vetor livre. Esse é o caso do vetor que caracteriza o deslocamento de um corpo rígido sem
rotação, quando então um único vetor define o deslocamento de todas as partículas do corpo.
E para esclarecer o princípio da ação e reação, considera-se um corpo suspenso por
um cabo como mostra a parte esquerda da próxima figura. De acordo com a lei da atração
universal, a Terra atrai o corpo com uma força P denominada peso e aplicada no centro de
gravidade do corpo, que pela terceira lei de Newton tem reação igual e contrária aplicada no
centro da Terra. Assim, ação e reação agem em corpos distintos. Ainda devido a aquela lei,
o peso traciona o cabo, que por sua vez exerce uma força igual e contrária sobre o corpo.
Além disso, como o cabo está fixo em um anteparo superior, a referida força é transferida a
esse anteparo que, com a suposição do peso do cabo ser desprezível, reage com força igual e
contrária, como mostra a parte intermediária da mesma figura.
P
Diagrama de corpo livre
A P
t
Pp
Figura 1.5 — Corpo suspenso por um cabo.
o)
Estática das Estruturas — H.L. Soriano
As representações de corpos isolados com indicações das forças externas que atuam
sobre os mesmos, como ilustra a parte direita da figura anterior, são denominadas diagramas
de corpo livre. Diagramas desse tipo são muito utilizados quando se analisa o equilíbrio de
uma estrutura ou de suas partes. Contudo, vale ressaltar que quando se fala de um corpo em
equilíbrio, quer-se referir ao equilíbrio das forças que atuam sobre o corpo e não às forças de
ação e reação, que agem em corpos distintos e que se interagem.
A combinação vetorial de duas forças foi concebida por Stevinus"? e deu origem à
análise vetorial. Dessa análise, são apresentadas, a seguir, as informações necessárias à
Análise de Estruturas.
Multiplicar ou dividir uma força por um escalar é simplesmente multiplicar ou
dividir a sua intensidade por esse escalar. E no caso desse escalar ser negativo, o sentido da
força resultante é contrário ao da força original.
É usual trabalhar com grandezas vetoriais através de seus componentes em um
sistema de referência de coordenadas triortogonais direto ou sistema cartesiano de
coordenadas, cujos eixos, perpendiculares entre si, são identificados pela mão direita como
mostra a próxima foto. No caso, o polegar define o eixo X, o indicador o eixo Y e os demais
dedos, o eixo Z, o que se diz triedro direto.
Foto 1.1 — Sistema cartesiano de coordenadas.
E de acordo com a Figura 1.6a, a decomposição de uma força F (ou de qualquer
outro vetor) em um referencial cartesiano, também denominada resolução da força (ou do
vetor) em seus componentes, escreve-se:
F=F,+R,+E, (1.3)
em que os vetores Fx, Fy e F, são segundo os eixos X, Y e Z, respectivamente, e
denominados componentes vetoriais retangulares da força.
2 Simon Stevinus (1548 — 1620), matemático e engenheiro flamengo.
16