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Nome do Aluno

Organizadores Antônio Carlos Brolezzi

Elvia Mureb Sallum Martha S. Monteiro

Elaboradoras Cristina Cerri

Lisbeth K. Cordani

Matemática

2 módulo

Governador: Geraldo Alckmin

Secretaria de Estado da Educação de São Paulo

Secretário: Gabriel Benedito Issac Chalita

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP Coordenadora: Sonia Maria Silva

Reitor: Adolpho José Melfi Pró-Reitora de Graduação

Sonia Teresinha de Sousa Penin

Pró-Reitor de Cultura e Extensão Universitária Adilson Avansi Abreu

Presidente do Conselho Curador: Selma Garrido Pimenta Diretoria Administrativa: Anna Maria Pessoa de Carvalho Diretoria Financeira: Sílvia Luzia Frateschi Trivelato

Coordenadora Geral: Eleny Mitrulis

Vice-coordenadora Geral: Sonia Maria Vanzella Castellar Coordenadora Pedagógica: Helena Coharik Chamlian

Coordenadores de Área

Biologia:

Paulo Takeo Sano – Lyria Mori

Física:

Maurício Pietrocola – Nobuko Ueta

Geografia:

Sonia Maria Vanzella Castellar – Elvio Rodrigues Martins

História:

Kátia Maria Abud – Raquel Glezer

Língua Inglesa:

Anna Maria Carmagnani – Walkyria Monte Mór

Língua Portuguesa:

Maria Lúcia Victório de Oliveira Andrade – Neide Luzia de Rezende – Valdir Heitor Barzotto

Matemática:

Antônio Carlos Brolezzi – Elvia Mureb Sallum – Martha S. Monteiro

Química:

Maria Eunice Ribeiro Marcondes – Marcelo Giordan

Produção Editorial

Dreampix Comunicação

Revisão, diagramação, capa e projeto gráfico: André Jun Nishizawa, Eduardo Higa Sokei, José Muniz Jr. Mariana Pimenta Coan, Mario Guimarães Mucida e Wagner Shimabukuro

Cartas ao Aluno

Carta da Pró-Reitoria de Graduação

Caro aluno,

Com muita alegria, a Universidade de São Paulo, por meio de seus estudantes e de seus professores, participa dessa parceria com a Secretaria de Estado da Educação, oferecendo a você o que temos de melhor: conhecimento.

Conhecimento é a chave para o desenvolvimento das pessoas e das nações e freqüentar o ensino superior é a maneira mais efetiva de ampliar conhecimentos de forma sistemática e de se preparar para uma profissão.

Ingressar numa universidade de reconhecida qualidade e gratuita é o desejo de tantos jovens como você. Por isso, a USP, assim como outras universidades públicas, possui um vestibular tão concorrido. Para enfrentar tal concorrência, muitos alunos do ensino médio, inclusive os que estudam em escolas particulares de reconhecida qualidade, fazem cursinhos preparatórios, em geral de alto custo e inacessíveis à maioria dos alunos da escola pública.

O presente programa oferece a você a possibilidade de se preparar para enfrentar com melhores condições um vestibular, retomando aspectos fundamentais da programação do ensino médio. Espera-se, também, que essa revisão, orientada por objetivos educacionais, o auxilie a perceber com clareza o desenvolvimento pessoal que adquiriu ao longo da educação básica. Tomar posse da própria formação certamente lhe dará a segurança necessária para enfrentar qualquer situação de vida e de trabalho.

Enfrente com garra esse programa. Os próximos meses, até os exames em novembro, exigirão de sua parte muita disciplina e estudo diário. Os monitores e os professores da USP, em parceria com os professores de sua escola, estão se dedicando muito para ajudá-lo nessa travessia.

Em nome da comunidade USP, desejo-lhe, meu caro aluno, disposição e vigor para o presente desafio.

Sonia Teresinha de Sousa Penin. Pró-Reitora de Graduação.

Carta da Secretaria de Estado da Educação

Caro aluno,

Com a efetiva expansão e a crescente melhoria do ensino médio estadual, os desafios vivenciados por todos os jovens matriculados nas escolas da rede estadual de ensino, no momento de ingressar nas universidades públicas, vêm se inserindo, ao longo dos anos, num contexto aparentemente contraditório.

Se de um lado nota-se um gradual aumento no percentual dos jovens aprovados nos exames vestibulares da Fuvest — o que, indubitavelmente, comprova a qualidade dos estudos públicos oferecidos —, de outro mostra quão desiguais têm sido as condições apresentadas pelos alunos ao concluírem a última etapa da educação básica.

Diante dessa realidade, e com o objetivo de assegurar a esses alunos o patamar de formação básica necessário ao restabelecimento da igualdade de direitos demandados pela continuidade de estudos em nível superior, a Secretaria de Estado da Educação assumiu, em 2004, o compromisso de abrir, no programa denominado Pró-Universitário, 5.0 vagas para alunos matriculados na terceira série do curso regular do ensino médio. É uma proposta de trabalho que busca ampliar e diversificar as oportunidades de aprendizagem de novos conhecimentos e conteúdos de modo a instrumentalizar o aluno para uma efetiva inserção no mundo acadêmico. Tal proposta pedagógica buscará contemplar as diferentes disciplinas do currículo do ensino médio mediante material didático especialmente construído para esse fim.

O Programa não só quer encorajar você, aluno da escola pública, a participar do exame seletivo de ingresso no ensino público superior, como espera se constituir em um efetivo canal interativo entre a escola de ensino médio e a universidade. Num processo de contribuições mútuas, rico e diversificado em subsídios, essa parceria poderá, no caso da estadual paulista, contribuir para o aperfeiçoamento de seu currículo, organização e formação de docentes.

Prof. Sonia Maria Silva Coordenadora da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

Apresentação da área

[...] a Matemática procura compreender os modelos que permeiam o mundo que nos rodeia assim como a mente dentro de nós. […] Assim é necessário colocar a ênfase: — em procurar soluções e não apenas em memorizar procedimentos;

— em explorar modelos e não apenas em memorizar fórmulas;

— em formular conjecturas e não apenas em fazer exercícios. [...] com essas ênfases, os estudantes terão a oportunidade de estudar a Matemática como uma disciplina exploradora, dinâmica, que se desenvolve, em lugar de ser uma disciplina que tem um corpo rígido, absoluto, fechado, cheio de regras que precisam ser memorizadas.

Shoenfeld (1992)1

Este curso de Matemática com duração de 4 meses está sendo oferecido a alunos do último ano do ensino médio da rede pública como um incentivo para continuarem seus estudos em direção ao ensino superior. Embora não cubra todo o programa do ensino médio, pretende-se estimular o interesse dos alunos pelos diversos temas de Matemática por meio de abordagens variadas.

Serão estudados tópicos sobre Números, Estatística, Probabilidade e Análise Combinatória, Geometria Plana e Espacial, Geometria Analítica, Sistemas Lineares e Funções, privilegiando o entendimento das possíveis facetas de um mesmo assunto, a análise de resultados obtidos e a interligação entre os diversos conteúdos.

Escolhas foram feitas de modo a priorizar sua formação, a discussão de idéias e a percepção de que a Matemática é uma disciplina viva que pode ser construída, e não um amontoado de fórmulas prontas para serem decoradas e usadas. Lembrando que realmente aprendemos quando trabalhamos o conhecimento, analisando-o de várias maneiras e usando-o com critério, consideraremos, sempre que possível, aplicações em problemas reais e interdisciplinares.

Acreditando que o intercâmbio entre vocês, alunos do ensino médio, e os alunos da USP, que serão os seus professores, venha a aumentar a sua predisposição para o ensino superior, desejamos a todos bons estudos!

Coordenação da área de Matemática

1SCHOENFELD A. H. “Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and sense making in mathematics”. In: D. A. Grouws (Ed.). Handbook of research on mathematicas teaching and learning. p. 334-370. Nova Iorque: MacMillan, 1992.

Uma das ferramentas mais utilizadas hoje em dia pelos cientistas, analistas econômico-sociais, profissionais liberais, jornalistas etc. é a Estatística, que descreve os dados observados e desenvolve a metodologia para a tomada de decisão em presença da incerteza. O verbete estatística foi introduzido no século XVIII, tendo origem na palavra latina status (Estado), e serviu inicialmente a objetivos ligados à organização político-social, como o fornecimento de dados ao sistema de poder vigente. Hoje em dia, os modelos de aplicação da Teoria Estatística se estendem por todas as áreas do conhecimento, como testes educacionais, pesquisas eleitorais, análise de riscos ambientais, finanças, controle de qualidade, análises clínicas, data mining, índices de desenvolvimento, modelagem de fenômenos atmosféricos etc. Podemos informalmente dizer que a Teoria Estatística é uma ferramenta que ajuda a tomar decisões com base na evidência disponível, decisões essas afetadas por margens de erro, calculadas através de modelos de probabilidade.

No entanto, a probabilidade se desenvolveu muito antes de ser usada em aplicações da Teoria Estatística. Um dos marcos consagrados na literatura probabilística foi a correspondência entre B. Pascal (1623-1662) e P. Fermat (1601-1665), onde o tema era a probabilidade de ganhar em um jogo com dois jogadores, sob determinadas condições. Isso mostra que o desenvolvimento da teoria de probabilidades começou com uma paixão humana, que são os jogos de azar, mas evoluiu para uma área fortemente teórica, em uma perspectiva de modelar a incerteza, derivando probabilidades a partir de modelos matemáticos. A análise combinatória deve grande parte de seu desenvolvimento à necessidade de resolver problemas probabilísticos ligados à contagem, mas hoje há diversas áreas em que seus resultados são fundamentais para o desenvolvimento de teorias, como, por exemplo, a área de sistemas de informação.

Esta apostila tratará das três áreas descritas na introdução: estatística, probabilidade e combinatória. Para o desenvolvimento dos temas, foi difícil a escolha da ordem e do conteúdo, limitados que fomos pelo tempo disponível para o desenvolvimento de cada assunto. Optamos por fazer um tratamento sucinto de dados, através da estatística descritiva, por oferecer algumas noções de probabilidade, a fim de trabalhar situações ligadas à incerteza, bem como apresentar elementos de análise combinatória, visando desenvolver o raciocínio para solucionar certos tipos de problemas de contagem dando menos ênfase ao uso de fórmulas.

Apresentação do módulo

Unidade 1 Estatística descritiva

Cada vez mais os meios de comunicação nos apresentam gráficos e medidas estatísticas resumidas de natureza descritiva. Esse é um material de apoio que deve ser utilizado para aprender os conceitos com base em notícias de nosso próprio cotidiano. Os gráficos e as estatísticas descritivas normalmente não são um fim em si mesmos, mas constituem uma parte importante do processo de análise.

A Estatística é um veículo para que os indivíduos, de modo geral, desenvolvam a capacidade de aproveitar as fontes disponíveis de informação para expressar e construir suas próprias idéias. Além disso, como já dissemos, essas noções são parte integrante de todas as áreas do conhecimento e certamente serão de grande utilidade para o curso universitário, qualquer que seja a área de interesse do estudante, pois praticamente todas as carreiras universitárias contêm uma disciplina de Estatística, a qual tornou-se um suporte para o desenvolvimento do conhecimento.

Esta seção tem como objetivo mostrar aos alunos como se trabalha um conjunto de dados simples, quer sejam de natureza numérica quer sejam de natureza qualitativa. Esses dados normalmente constituem uma amostra de determinada população de interesse de alguma área científica, econômica, social etc. É muito difícil uma pesquisa envolver todos os elementos de uma determinada população (o Censo faz isso), por motivos vários, e é por isso que se recorre às amostras (que são subconjuntos de populações).

POPULAÇÃO Conjunto de todos os indivíduos (ou elementos) de interesse.

AMOSTRA Qualquer subconjunto de uma população.

Vamos iniciar a análise descritiva propondo uma tarefa para a classe: cada um deverá medir o palmo de sua mão direita (em cm) com uma régua e registrar o valor inteiro mais próximo. Se a leitura da régua informar uma medida com 5 como o primeiro decimal (ex. 18,5 cm), vamos propor um arredondamento rápido, mas grosseiro: considere 19 cm, se o dia de seu nascimento for par, e 18 cm, se for impar. A classe pode discutir esse critério, pensando com

Organizadores

Antônio Carlos Brolezzi

Elvia Mureb Sallum

Martha S. Monteiro

Elaboradora Lisbeth K. Cordani

Tabela 1 o(a) professor(a) outras formas de arredondamento. Sempre que falarmos aqui da variável palmo, estaremos subentendendo que a medida é dada em cm. Os dados abaixo reproduzem as medidas do palmo da mão direita de uma amostra (que pertence a uma determinada população) de 30 adultos e está também representada a variável sexo (categorias M para masculino e F para feminino).

Estes mesmos dados estão representados no chamado Gráfico de pontos que se encontra a seguir. Observe como foi feita a marcação e marque o valor do palmo da sua mão direita na linha assinalada no gráfico (respeitando a ordem numérica). Todos os alunos deverão informar seu valor em voz alta e, à medida que cada valor for informado, toda a classe marca tal valor na linha acima do gráfico já construído – quando houver repetições, sigam a sugestão do gráfico já feito, isto é, coloquem os valores um sobre o outro. Comparem o gráfico obtido com os dados da classe com o proveniente dos dados da Tabela 1.

Na situação a seguir, os mesmos dados de palmo da Tabela 1 foram separados por sexo e os gráficos de pontos têm a seguinte forma:

Neste exemplo estamos trabalhando com duas características, comprimento do palmo da mão (palmo) e sexo. Em estatística, chamamos essas características de variáveis e, portanto, temos aqui duas variáveis já definidas: uma delas, palmo, tem a classificação numérica (ou quantitativa) e a outra, sexo, é classificada como qualitativa, apresentando duas categorias, ou seja masculino (M) e feminino (F). Vamos registrar os valores de palmo e as categorias de sexo em tabelas de freqüências e devem ser registrados, nas tabelas disponíveis, os valores obtidos na classe (f denota freqüência absoluta = número de pessoas). As variáveis numéricas podem ser classificadas como contínuas (provenientes de mensuração) ou discretas (provenientes de contagem), enquanto que as qualitativas podem ser classificadas como ordinais (ordem implícita) ou nominais (sem ordem implícita).

Vimos então duas maneiras de representar o conjunto de valores da variável numérica palmo: através do gráfico de pontos e através de tabelas de freqüências. Também a variável qualitativa sexo foi contemplada, tanto na representação da tabela de freqüências, separando quantos indivíduos eram do sexo masculino e quantos eram do feminino, quanto na construção do gráfico de pontos para a variável palmo, em que houve uma estratificação para cada categoria da variável qualitativa sexo (M e F). Compare os valores de palmo para cada categoria de sexo.

freqüência f PPPPPREENCHAREENCHAREENCHAREENCHAREENCHA

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTEFFFFFAZERAZERAZERAZERAZER

Colete os valores da variável palmo da mão esquerda de todos os colegas e trabalhe com a diferença entre as medidas (mão esquerda – mão direitamão esquerda – mão direitamão esquerda – mão direitamão esquerda – mão direitamão esquerda – mão direita). Construa o gráfico de pontos para as diferenças e a tabela de freqüências. Repare que você trabalhou com medidas nos mesmos indivíduos – isso significa que você trabalhou com dados emparelhados (ou pareados). Discuta e compare o comportamento do palmo da mão direita e da mão esquerda através das diferenças.

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