Baixe Apostila-Concurso-Vestibular (1) e outras Notas de aula em PDF para Matemática, somente na Docsity! Nome do Aluno Organizadores Antônio Carlos Brolezzi Elvia Mureb Sallum Martha S. Monteiro Elaboradoras Cristina Cerri Lisbeth K. Cordani Matemática 2 módulo GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO Governador: Geraldo Alckmin Secretaria de Estado da Educação de São Paulo Secretário: Gabriel Benedito Issac Chalita Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP Coordenadora: Sonia Maria Silva UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Reitor: Adolpho José Melfi Pró-Reitora de Graduação Sonia Teresinha de Sousa Penin Pró-Reitor de Cultura e Extensão Universitária Adilson Avansi Abreu FUNDAÇÃO DE APOIO À FACULDADE DE EDUCAÇÃO – FAFE Presidente do Conselho Curador: Selma Garrido Pimenta Diretoria Administrativa: Anna Maria Pessoa de Carvalho Diretoria Financeira: Sílvia Luzia Frateschi Trivelato PROGRAMA PRÓ-UNIVERSITÁRIO Coordenadora Geral: Eleny Mitrulis Vice-coordenadora Geral: Sonia Maria Vanzella Castellar Coordenadora Pedagógica: Helena Coharik Chamlian Coordenadores de Área Biologia: Paulo Takeo Sano – Lyria Mori Física: Maurício Pietrocola – Nobuko Ueta Geografia: Sonia Maria Vanzella Castellar – Elvio Rodrigues Martins História: Kátia Maria Abud – Raquel Glezer Língua Inglesa: Anna Maria Carmagnani – Walkyria Monte Mór Língua Portuguesa: Maria Lúcia Victório de Oliveira Andrade – Neide Luzia de Rezende – Valdir Heitor Barzotto Matemática: Antônio Carlos Brolezzi – Elvia Mureb Sallum – Martha S. Monteiro Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes – Marcelo Giordan Produção Editorial Dreampix Comunicação Revisão, diagramação, capa e projeto gráfico: André Jun Nishizawa, Eduardo Higa Sokei, José Muniz Jr. Mariana Pimenta Coan, Mario Guimarães Mucida e Wagner Shimabukuro Carta da Pró-Reitoria de Graduação Caro aluno, Com muita alegria, a Universidade de São Paulo, por meio de seus estudantes e de seus professores, participa dessa parceria com a Secretaria de Estado da Educação, oferecendo a você o que temos de melhor: conhecimento. Conhecimento é a chave para o desenvolvimento das pessoas e das nações e freqüentar o ensino superior é a maneira mais efetiva de ampliar conhecimentos de forma sistemática e de se preparar para uma profissão. Ingressar numa universidade de reconhecida qualidade e gratuita é o desejo de tantos jovens como você. Por isso, a USP, assim como outras universidades públicas, possui um vestibular tão concorrido. Para enfrentar tal concorrência, muitos alunos do ensino médio, inclusive os que estudam em escolas particulares de reconhecida qualidade, fazem cursinhos preparatórios, em geral de alto custo e inacessíveis à maioria dos alunos da escola pública. O presente programa oferece a você a possibilidade de se preparar para enfrentar com melhores condições um vestibular, retomando aspectos fundamentais da programação do ensino médio. Espera-se, também, que essa revisão, orientada por objetivos educacionais, o auxilie a perceber com clareza o desenvolvimento pessoal que adquiriu ao longo da educação básica. Tomar posse da própria formação certamente lhe dará a segurança necessária para enfrentar qualquer situação de vida e de trabalho. Enfrente com garra esse programa. Os próximos meses, até os exames em novembro, exigirão de sua parte muita disciplina e estudo diário. Os monitores e os professores da USP, em parceria com os professores de sua escola, estão se dedicando muito para ajudá-lo nessa travessia. Em nome da comunidade USP, desejo-lhe, meu caro aluno, disposição e vigor para o presente desafio. Sonia Teresinha de Sousa Penin. Pró-Reitora de Graduação. Carta da Secretaria de Estado da Educação Caro aluno, Com a efetiva expansão e a crescente melhoria do ensino médio estadual, os desafios vivenciados por todos os jovens matriculados nas escolas da rede estadual de ensino, no momento de ingressar nas universidades públicas, vêm se inserindo, ao longo dos anos, num contexto aparentemente contraditório. Se de um lado nota-se um gradual aumento no percentual dos jovens aprovados nos exames vestibulares da Fuvest — o que, indubitavelmente, comprova a qualidade dos estudos públicos oferecidos —, de outro mostra quão desiguais têm sido as condições apresentadas pelos alunos ao concluírem a última etapa da educação básica. Diante dessa realidade, e com o objetivo de assegurar a esses alunos o patamar de formação básica necessário ao restabelecimento da igualdade de direitos demandados pela continuidade de estudos em nível superior, a Secretaria de Estado da Educação assumiu, em 2004, o compromisso de abrir, no programa denominado Pró-Universitário, 5.000 vagas para alunos matriculados na terceira série do curso regular do ensino médio. É uma proposta de trabalho que busca ampliar e diversificar as oportunidades de aprendizagem de novos conhecimentos e conteúdos de modo a instrumentalizar o aluno para uma efetiva inserção no mundo acadêmico. Tal proposta pedagógica buscará contemplar as diferentes disciplinas do currículo do ensino médio mediante material didático especialmente construído para esse fim. O Programa não só quer encorajar você, aluno da escola pública, a participar do exame seletivo de ingresso no ensino público superior, como espera se constituir em um efetivo canal interativo entre a escola de ensino médio e a universidade. Num processo de contribuições mútuas, rico e diversificado em subsídios, essa parceria poderá, no caso da estadual paulista, contribuir para o aperfeiçoamento de seu currículo, organização e formação de docentes. Prof. Sonia Maria Silva Coordenadora da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas Uma das ferramentas mais utilizadas hoje em dia pelos cientistas, analistas econômico-sociais, profissionais liberais, jornalistas etc. é a Estatística, que descreve os dados observados e desenvolve a metodologia para a tomada de decisão em presença da incerteza. O verbete estatística foi introduzido no século XVIII, tendo origem na palavra latina status (Estado), e serviu inicial- mente a objetivos ligados à organização político-social, como o fornecimento de dados ao sistema de poder vigente. Hoje em dia, os modelos de aplicação da Teoria Estatística se estendem por todas as áreas do conhecimento, como testes educacionais, pesquisas eleitorais, análise de riscos ambientais, finan- ças, controle de qualidade, análises clínicas, data mining, índices de desen- volvimento, modelagem de fenômenos atmosféricos etc. Podemos informal- mente dizer que a Teoria Estatística é uma ferramenta que ajuda a tomar deci- sões com base na evidência disponível, decisões essas afetadas por margens de erro, calculadas através de modelos de probabilidade. No entanto, a probabilidade se desenvolveu muito antes de ser usada em aplicações da Teoria Estatística. Um dos marcos consagrados na literatura probabilística foi a correspondência entre B. Pascal (1623-1662) e P. Fermat (1601-1665), onde o tema era a probabilidade de ganhar em um jogo com dois jogadores, sob determinadas condições. Isso mostra que o desenvolvimento da teoria de probabilidades começou com uma paixão humana, que são os jogos de azar, mas evoluiu para uma área fortemente teórica, em uma perspectiva de modelar a incerteza, derivando probabilidades a partir de modelos matemáti- cos. A análise combinatória deve grande parte de seu desenvolvimento à ne- cessidade de resolver problemas probabilísticos ligados à contagem, mas hoje há diversas áreas em que seus resultados são fundamentais para o desenvolvi- mento de teorias, como, por exemplo, a área de sistemas de informação. Esta apostila tratará das três áreas descritas na introdução: estatística, pro- babilidade e combinatória. Para o desenvolvimento dos temas, foi difícil a escolha da ordem e do conteúdo, limitados que fomos pelo tempo disponível para o desenvolvimento de cada assunto. Optamos por fazer um tratamento sucinto de dados, através da estatística descritiva, por oferecer algumas no- ções de probabilidade, a fim de trabalhar situações ligadas à incerteza, bem como apresentar elementos de análise combinatória, visando desenvolver o raciocínio para solucionar certos tipos de problemas de contagem dando me- nos ênfase ao uso de fórmulas. Apresentação do módulo    de sexo em tabelas de freqüências e devem ser registrados, nas tabelas dispo- níveis, os valores obtidos na classe (f denota freqüência absoluta = número de pessoas). As variáveis numéricas podem ser classificadas como contínuas (provenientes de mensuração) ou discretas (provenientes de contagem), en- quanto que as qualitativas podem ser classificadas como ordinais (ordem im- plícita) ou nominais (sem ordem implícita). Vimos então duas maneiras de representar o conjunto de valores da variá- vel numérica palmo: através do gráfico de pontos e através de tabelas de fre- qüências. Também a variável qualitativa sexo foi contemplada, tanto na repre- sentação da tabela de freqüências, separando quantos indivíduos eram do sexo masculino e quantos eram do feminino, quanto na construção do gráfico de pontos para a variável palmo, em que houve uma estratificação para cada categoria da variável qualitativa sexo (M e F). Compare os valores de palmo para cada categoria de sexo. SEXO M F f 16 14 PALMO 17 18 19 20 21 22 23 freqüência f 1 2 5 12 8 1 1 Tabela 2 PALMO 17 18 19 20 21 22 23 freqüência f PREENCHA SEXO M F f TENTE FAZER Colete os valores da variável palmo da mão esquerda de todos os colegas e trabalhe com a diferença entre as medidas (mão esquerda – mão direita). Construa o gráfico de pontos para as diferenças e a tabela de freqüências. Repare que você trabalhou com medidas nos mesmos indivíduos – isso significa que você trabalhou com dados emparelhados (ou pareados). Discuta e compare o comportamento do palmo da mão direita e da mão esquerda através das diferenças. Considerando novamente a variável palmo, além de usarmos todos os valores em um gráfico ou em uma tabela, podemos caracterizar o comporta- mento dos dados a partir de um (ou mais) valores que a caracterizem – são as chamadas medidas-resumo. Medidas-resumo de variáveis numéricas podem ser de dois tipos: de posição e de variabilidade. Há várias medidas de posição, assim chamadas porque podem ser assina- ladas no mesmo eixo de representação dos pontos (por exemplo, podem ser   17 18 18 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 21 21 21 21 22 23 A classe deverá fazer a média dos valores obtidos da variável PALMO de todos os seus alunos. Tanto no caso dos dados da Tabela 1 como naqueles da Tabela 2, não houve nenhuma perda de informação e os valores da média são idênticos. Se a tabela de freqüências disponível fosse a Tabela 4 (que apresentaremos adiante) então haveria perda de informação, pois os dados estariam compactados em classes e o cálculo da média seria feito com o ponto médio de cada classe como valor de X – assim, com perda de informação, a média obtida não seria necessariamente igual à anterior. Não vamos aqui explorar esse conteúdo para o cálculo de me- didas descritivas, uma vez que com os recursos computacionais atuais não é necessário dividir os dados em classes com esse objetivo. No entanto, veremos uma aplicação gráfica com a Tabela 4, cujos dados estão divididos em classes. A mediana da variável palmo é um valor que divide o conjunto dos valo- res dessa variável em duas partes: metade dos valores é inferior (ou igual) à mediana e a outra metade apresenta valores maiores (ou iguais) à mediana. Para encontrar a mediana é então necessário ordenar os valores da variável e verificar o valor que ocupa a posição central. Se o número de elementos for par, e esse é o caso do exemplo (com n = 30), toma-se para mediana a média aritmética entre os dois valores centrais – neste caso será a média entre o 15o e o 16o elementos. Ordenando os dados de palmo do menor para o maior (pode ser também ao contrário), tem-se: X ≅= [(1. 17 + 2. 18 + 5. 19 + 12 . 20 + 8 . 21 + 1. 22 + 1. 23) / 30 ] 20 cm Tabela 3 X X n i i n = ∑ 1 (1) onde f i é a freqüência do valor X i , n é a soma de f i e a média é evidentemente igual à anterior: (2)X f X n i i i k = = ∑ . 1 representadas no gráfico de pontos). Começaremos pelas chamadas de ten- dência central: a média, a mediana e a moda. A média (aritmética) da variável palmo é obtida através da somatória de todos os valores de palmo dividida por 30 (dados da Tabela 1). A notação usual é: onde X é a representação para palmo (cada um pode escolher a sua represen- tação), é a notação usual para média de X e n é o número de elementos. Fazendo então o cálculo, vem: = [(17 + 18 + 18 +……….+ 22 + 23) / 30] 20 cm (aqui o resultado é uma dízima periódica e vamos trabalhar com este valor aproximado) Com os valores apresentados sob a forma de tabela de freqüências, a ex- pressão para a média aritmética fica: X X ≅ Média aritmética de palmo = =    O 15o valor é 20 e o 16o valor também é 20. Portanto, a mediana da variável palmo é 20 cm. Verifiquem a mediana da variável palmo do conjunto da classe. A terceira medida de tendência central é a moda, que é definida como sendo o valor mais freqüente. No nosso exemplo é bem claro o valor da moda, pois o valor mais freqüente é 20 cm. Nem sempre a moda é tão evidente e há situações com mais de uma moda. Depois de calcular a média, a mediana e a moda, posicionem esses valores no gráfico de pontos, feito inicialmente com os dados da classe. É fácil então entender por que elas se chamam medidas de tendência central – elas resumem os dados como se estivessem procurando um “equilíbrio” entre eles. Os dados da Tabela 1 mostram uma certa simetria, situação em que média, mediana e moda praticamente coincidem (rigidamente falando, a média não é exatamente 20 e sim 20,033...). Vejam qual a situação dos dados obtidos por vocês. Há o costume de resumir um conjunto de dados pelo valor de alguma medida de tendência central – a média é geralmente a mais utilizada, embora em certos casos ela não reflita o comportamento dos dados. Como exemplo disso, pode-se citar o caso em que ocorre um valor muito extremo em relação aos demais: a média será afetada fortemente por ele e então se deslocará em sua direção, não sendo, portanto, a melhor opção para resumir tais dados. Neste caso, a mediana é mais eficiente. Se temos uma discussão em uma empresa entre patrões e empregados, por exemplo, onde os salários são em sua grande parte (80%) iguais a um salário mínimo, e os demais mais do que 50 salários mínimos, o salário médio dará uma idéia distorcida do poder aquisitivo dos membros da empresa. Nesse caso, a mediana, que será igual a um salário mínimo, será mais informativa. Calculem, por exemplo, a média dos valores 1, 2, 5, 7 e 10: a resposta será 5. Se o número 10 for substituído pelo valor 100, a média será 23, de onde se percebe o quanto ela é influenciada pelo valor extremo 100. A mediana nos dois casos é 5, o que mostra que ela é uma medida “robusta” em relação a valores extremos. Outras medidas descritivas de posição são: valor máximo, valor mínimo, 1o quartil (Q1) e 3o quartil (Q3). As duas primeiras são auto-explicativas e passa- remos rapidamente pela definição das outras duas: o 1o quartil é como se fosse a mediana da primeira metade dos dados e o 3o quartil é como se fosse a medi- ana da segunda metade dos dados. As quatro medidas acima mais a mediana são suficientes para construir um gráfico de variáveis numéricas conhecido como boxplot ou gráfico de caixas, ou, ainda, gráfico dos cinco pontos. O leitor interessado irá encontrar a sua construção nas referências desta apostila. TENTE FAZER Calcule as medidas de posição para as diferenças (mão esquerda - mão direita). Discuta. No entanto, apesar de as medidas de posição ajudarem na compreensão do comportamento dos dados, elas são incompletas para caracterizar o com- portamento das variáveis, como mostra o próximo exemplo. Exemplo 1: Imagine que 3 pessoas da família A apresentem para a variável palmo os valores 19, 23 e 24 e que 3 pessoas da família B apresentem os valores 22, 22 e 22. Vamos calcular a média dessa variável para ambas as famílias: Média da família A = A = [(19 + 23 + 24) / 3] = 22 Média da família B = B = [(22+22+22) / 3] = 22 X X   Para verificar quantos são os valores que estão nos intervalos de interesse, podemos nos reportar à Tabela 3, que representa os dados da Tabela 1 de modo ordenado. Verifica-se assim que: - no intervalo em a, (18,8; 21,2), encontramos 25 valores na Tabela 3 (83%). - no intervalo em b, (17,6; 22,4), encontramos 28 valores na Tabela 3 (93%). - no intervalo em c, (16,4; 23,6), encontramos 30 valores na Tabela 3 (100%). TENTE FAZER Para os dados coletados em classe determine a porcentagem dos valores que pertencem a cada um dos intervalos definidos acima. Compare com os resultados do Exemplo 2. Voltando à análise gráfica, vamos terminar a abordagem descritiva com mais três gráficos, um para variáveis qualitativas e dois deles para variáveis numéricas. O primeiro será o chamado Gráfico de Setores (informalmente chamado de gráfico em pizza) que mostramos a seguir e que representa a proporção de homens e mulheres nos dados apresentados na Tabela 1. Faça, no espaço em branco, um gráfico de setores utilizando as freqüências da va- riável (sexo) coletada em classe. O próximo gráfico é utilizado para variáveis numéricas, como a variável palmo, em que os valores estão dispostos em classes, numa tabela de freqüên- cias (Tabela 4). A Tabela 2 é também uma tabela de freqüências, porém, os dados não estão dispostos em classes, como na Tabela 4. Então, com os da- dos da Tabela 1, vamos construir uma tabela de freqüências a partir de classes (ou intervalos), construídas de preferência com a mesma amplitude, com suas respectivas freqüências. A Tabela 4 dará origem ao gráfico denominado His- tograma: um gráfico cuja abscissa é formada pelas classes justapostas e cuja ordenada é formada pelas freqüências absolutas correspondentes a cada clas- se. Este gráfico pode também ser construído com as freqüências relativas (%) ou com densidades, mas essas abordagens não serão desenvolvidas aqui. PREENCHA freqüência f 1 7 20 2 PALMO 16|–18 18|–20 20|–22 22|–24 Tabela 4 Obs.: O símbolo 16 |-18 significa intervalo fechado à esquerda: o valor à esquerda, 16, está incluído na classe e o valor à direita, 18, não está incluído na classe (é equiva- lente à notação [16, 18[, vista na apostila 1). PALMO freqüência f Construa a tabela com os dados coletados na classe    O último gráfico que veremos neste tópico é aquele que relaciona duas variáveis numéricas: diagrama de dispersão, que nada mais é do que a repre- sentação em um eixo de coordenadas cartesianas de pares associados a duas variáveis numéricas. A Tabela 5 mostra mais duas variáveis coletadas na amos- tra dos trinta adultos: a altura e o peso. Normalmente (mas não obrigatoria- mente) o gráfico de dispersão das variáveis peso e altura mostra um compor- tamento crescente (aproximadamente linear), com a possível interpretação de que peso e altura são diretamente proporcionais. Construa um histograma para os dados da variável palmo coletados na classe. TENTE FAZER Construa a tabela de freqüências das diferenças entre as medidas da mão esquerda e da mão direita e o correspondente histograma. Use as freqüências relativas na ordenada. Sexo Peso (Kg) Altura (m) M 94 1,85 M 99 1,92 M 84 1,75 M 88 1,88 F 70 1,66 F 65 1,58 M 73 1,75 F 72 1,76 F 59 1,60 F 70 1,65 F 80 1,75 M 85 1,75 M 85 1,82 M 85 1,73 F 69 1,72 M 85 1,86 F 66 1,73 M 83 1,72 F 72 1,70 M 83 1,71 F 67 1,63 F 69 1,71 M 99 1,89 M 83 1,81 F 64 1,70 M 94 1,89 F 72 1,74 F 69 1,70 M 83 1,72 M 88 1,79 Tabela 5   Vê-se acima o gráfico de dispersão das variáveis (peso(x), altura(y)) e, neste caso, os valores foram separados pela variável sexo. É possível ampliar o estudo das relações entre duas variáveis numéricas, quer ajustando uma função, como, por exemplo, uma reta neste caso (ou mesmo duas, uma para o SEXO masculino e outra para o SEXO feminino), quer calculando a “força” da relação entre as variáveis através de algum coeficiente (por exemplo, o coeficiente de correlação linear de Pearson). No entanto, essas abordagens não serão feitas neste texto, e as referências bibliográficas podem ser consul- tadas para este fim. TENTE FAZER Colete na sua classe os dados de altura e peso e construa o gráfico de dispersão com essas variáveis. Faça sem separar por sexo e depois faça com a separação. Comente e compare com o gráfico de dispersão aqui apresentado. Finalizando, gostaríamos de mencionar um gráfico de dispersão especial em que a abscissa é o tempo (anos, meses, dias etc) e a ordenada é o valor da variável de interesse (cotação do dólar, risco-país, acompanhamento das marés, vendas de eletrodo- mésticos etc.) em cada instante: são as chamadas Séries de Tempo usadas para descrever o compor- tamento de variáveis ao longo do tempo. A área de economia é uma das que mais fazem uso das Séries de Tempo, principalmente para variáveis associa- das ao mercado financeiro. A seguir, apresentamos uma Série de Tempo (Folha de São Paulo, 24 de maio de 2004) que mostra o crescimento dos veí- culos convertidos para o Gás Natural Veicular (GNV) no Brasil ao longo dos anos (com ** significando o valor de uma previsão). TENTE FAZER Colete os dados do risco-país (você sabe o que é isso?) do primeiro dia útil de cada mês, de janeiro de 2004 até o mês atual, e construa o gráfico de Série de Tempo. Você achará esses dados em jornais de circulação nacional. Comente o aspecto do gráfico ao longo do tempo. Para outros dados, como, por exemplo, dados da Pesquisa Domiciliar ou mesmo alguns relativos ao Censo, consulte o site www.ibge.gov.br.    (sementes idênticas plantadas sob as mesma condições), a freqüência relativa vai se estabilizando e aproximando-se do valor teórico da probabilidade de germinar. TENTE FAZER Jogue uma moeda 10 vezes e marque a freqüência relativa de Caras. Repita para 20 lances, 30 lances, 40 lances e 50 lances. Coloque as freqüências observadas como ordenadas num gráfico em que a abscissa seja o número de tentativas. Compare com o resultado dos colegas. Comente. Nessa tabela os valores 200 e 200 significam o total de funcionários tanto do sexo masculino quanto do feminino, sem levar em conta opinião. De modo análogo, 190 e 210 representam a quantidade de sim e não, respectivamente, sem levar em conta o sexo. Os valores internos representam conjuntamente sexo e opinião – por exemplo, há 140 funcionários que são do sexo feminino e que responderam sim. Opinião Sexo M 50 150 200 F 140 60 200 total 190 210 400 sim não total Bem diferente dessas duas abordagens é a Situação C, sobre a probabili- dade de o Brasil ganhar a próxima Copa do Mundo de futebol. Neste caso, não é razoável pensar nem em aplicar a definição clássica (que teria que su- por que as possibilidades têm igual chance de ocorrer) e nem a definição freqüentista (pois não há como gerar dados através de repetição). A resposta será de caráter individual, baseada tanto em desempenhos anteriores (regis- tros históricos) da seleção brasileira e das demais participantes, como no co- nhecimento do estágio atual das mesmas e ainda em um “sentimento” particu- lar, que pode mudar de indivíduo para indivíduo. O caráter subjetivo desta situação sugere a definição de probabilidade subjetiva, que é a opinião indivi- dual sobre determinado resultado, a qual pode ou não ser baseada em infor- mação anterior (informação a priori). Assim, podemos chamar genericamen- te de p a Probabilidade (Brasil ganhar a próxima Copa do Mundo de Fute- bol) – alguém pode colocar 0,8 (80%) ou 0,30 (30%) ou qualquer outro valor entre 0 e 1 (ou entre 0% e 100%) . O que há de comum entre essas três abordagens é que, para todos, a pro- babilidade (p) é um número entre 0 e 1 que goza de algumas propriedades e, em cada situação, devemos verificar o processo mais adequado para calculá- la. Resumindo, temos que 0 p 1. Exemplo 3: havia um boato na empresa MEX de que os funcionários estariam descontentes com o salário. O diretor de RH resolveu fazer uma pesquisa entre os seus 400 funcionários, os quais foram chamados a responder sim ou não à seguinte pergunta: Você aceita uma redução de jornada com redução de salário? Os resultados foram registrados na chamada tabela de contingência como segue: ≤ ≤   O gerente faz um sorteio aleatório de uma viagem entre todos os 400 funcionários. Por sorteio aleatório entende-se um processo em que todos os elementos têm igual probabilidade de serem sorteados – por exemplo, nume- rar todos os funcionários, colocar os números em uma urna e sortear um ele- mento da urna. Este sorteio é encarado como um processo normalmente de- nominado de experimento. Vamos olhar os resultados possíveis dentro de três perspectivas: a) sexo do sorteado; b) opinião do sorteado; c) sexo e opinião do sorteado. Na primei- ra perspectiva, o conjunto de todos os resultados possíveis seria {M,F}. Na segunda, o conjunto de todos os resultados possíveis seria {SIM, NÃO} – nessas duas primeiras perspectivas estamos somente interessados no compor- tamento marginal do elemento sorteado, ou seja, quero saber algo sobre a variável sexo ou algo sobre a variável opinião. A terceira perspectiva é relaci- onada ao elemento sorteado sob o ponto de vista de sexo conjuntamente com opinião e o conjunto de todos os resultados possíveis seria {M SIM, M NÃO, F SIM, F NÃO}. Esses elementos descritos no último conjunto são os compo- nentes do interior da tabela deste exemplo. Trabalhar com probabilidades pode ser simplificado se usarmos os dados dispostos em tabelas, ou ainda se considerarmos diagramas de árvore. Vamos considerar o experimento de sortear ao acaso um funcionário dentre os 400 funcionários (já descrevemos o sorteio) e como o sorteio é aleatório (por su- posição) todos os funcionários têm a mesma chance de serem sorteados. En- tão, nesse caso, para o cálculo de probabilidades, faz sentido pensar na defi- nição clássica já vista anteriormente e é este esquema que vamos adotar. Va- mos responder, uma a uma, às seis perguntas seguintes, sempre com referên- cia ao sorteio do funcionário e você, em alguns casos, poderá se reportar implicitamente a elementos da teoria de conjuntos (como, por exemplo, as noções de união e intersecção): 1 – qual a probabilidade de o sorteado ser do sexo feminino? 2 – qual a probabilidade de o sorteado ter dito não? 3 – qual a probabilidade de o sorteado dizer não ou ser do sexo feminino? 4 – qual a probabilidade de o sorteado ter dito não e ser do sexo feminino? 5 – qual a probabilidade de o sorteado ter dito sim e ser do sexo feminino? 6 – qual a probabilidade de o sorteado ser do sexo feminino dado que respon- deu não? Respostas: 1 – P(F) = ? Resposta: P(F) = (200/400) = 1/2 = 0,5 (ou 50%) 2 – P(NÃO) = ? Resposta: P(NÃO) = (210/400) = 0,525 (ou 52,5%) As respostas às questões 1 e 2 foram obtidas diretamente dos valores marginais, ou seja, 200 funcionários do sexo feminino entre os 400 funcionários e 210 funcionários que responderam não à pergunta entre os 400 funcionários. 3 –P ( NÃO ou F) = ? (União ) Resposta: P (NÃO ou F)= (210 + 200 – 60)/400 = (350/400)= (7/8) = = 0,875 (ou 87,5%) U    A resposta à questão 3 foi obtida através da verificação de quantos funcionários podem ser ou NÃO ou F, ou mesmo ambos, ou seja, é a união entre os funcionários NÃO com os funcionários F. Veja que são retirados da soma os 60 funcionários que foram contados duas vezes. A resposta à questão 4 foi obtida diretamente do valor do interior da tabela, ou seja, dentre os 400 funcionários, 60 responderam não e ao mesmo tempo são do sexo feminino. A questão 5 tem raciocínio análogo. Verifique! A resposta à questão 6 levou em conta a informação, ou seja, podemos pensar que, quando foi feito o sorteio o diretor olhou o resultado e avisou: o funcionário sorteado respondeu não! Com essa informação, o total de funcionários diminuiu de 400 para 210, que é o total marginal para as respostas não e então o denominador para o cálculo da probabilidade fica sendo 210 e o numerador é igual ao número mulheres na categoria não (60). Vamos agora dar uma forma alternativa à resposta da questão – P (F | NÃO) – através da definição de probabilidade condicional (sabendo que = condicionado a) P (F | NÃO) = [ P (F e NÃO)] / (P(NÃO)] (8) 4 – P(NÃO e F) = ? (Intersecção ) Resposta: P(NÃO e F) = (60/400) = 0,15 (ou 15%). U 5 – P(SIM e F) = ? Resposta: P (SIM e F) = (140/400) = 0,35 (35%) Antes de passarmos a discutir a próxima questão, vamos voltar à questão 3, que trata da probabilidade da união de dois eventos. Genericamente, para dois eventos A e B, a probabilidade de A ou B (A união B) é dada por P(A B) = P(A) +P(B) – P(A B) Evidentemente, se a intersecção for vazia, temos que a probabilidade as- sociada é nula, e dizemos que A e B são eventos disjuntos. Vem então que, se A e B forem eventos disjuntos (ou mutuamente exclusivos), P(A B) = P(A) + P(B) Como responder à questão 6? Aqui surge uma linguagem nova: dado que. Isso significa que queremos um valor de probabilidade, mas temos alguma informação adicional (dado que = sabendo que). A notação que usaremos para dado que será uma barra vertical | , como a seguir: 6 – P (F dado NÃO) = P (F | NÃO) = ? Resposta: P (F | NÃO) = (60/210) 0,286 (ou 28,6%). (6) (7) ≅ U U U   TENTE FAZER No espaço a seguir, faça um diagrama de árvore iniciando pela característica sexo. Verifique que o conjunto dos resultados associados aos caminhos constitui o espaço amostral já visto. O diagrama de árvore tem todos os ramos e probabilidades associados ao experimento de sortear um indivíduo da tabela inicialmente apresentada. Os ramos iniciais, antes do “traço” vertical, representam eventos marginais da tabela e as probabilidades também podem ser chamadas de marginais. Como já havia sido visto na questão 2, P(NÃO) = (210/400) = 0,525. Como com relação à OPINIÃO há somente duas possibilidades, podemos encontrar a P(SIM) pelo complementar, ou seja, P(SIM) = 1 – P(NÃO) = 1 – 0,525 = 0,475 (= 190/400). Depois do “traço”, os eventos são considerados condicionais e devem levar em conta a ocorrência antes do “traço”. Assim, o valor 50/190 é P(M|SIM). O valor da probabilidade pedida na questão 6 é obtido diretamente no último ramo após o traço, ou seja, P(F|NÃO) = 60/210 0,286 (28,6%). Ainda observando a árvore, vemos que ao percorrer os caminhos, desde o nó inicial, temos quatro resultados, SIM M, SIM F, NÃO M e NÃO F, cujas probabilidades podem ser obtidas através do produto dos ramos correspon- dentes. Na verdade, isso não é novidade, pois as relações vistas anteriormente permitem fazê-lo, ou seja, cada probabilidade pode ser calculada pelo produ- to entre uma probabilidade marginal e uma condicional. De fato, temos, por exemplo, para cálculo de P(NÃO e F) o produto (210/400).(60/210) = 0,15 (ou 15%, valor já obtido como resposta à questão 4). Veremos a seguir uma aplicação do diagrama de árvore para um problema da área financeira. Exemplo 4 (FUVEST 2000). Um investidor quer aplicar 120 mil reais. Seu corretor lhe oferece um investimento em duas fases, com as seguintes regras: I) Na primeira fase do investimento, ocorrerá um entre os dois eventos seguin- tes: com probabilidade p, o investidor ganha metade do que investiu; com probabilidade (1-p), o investidor perde 1/3 do que investiu. ≅    II) Na segunda fase do investimento, a quantia f inal da primeira fase será reinvestida, de forma independente da primeira fase. Neste novo investimen- to, ocorrerá um dentre os dois eventos seguintes: com probabilidade 1/2, o investidor ganha a quarta parte do que foi reinvestido; com probabilidade 1/2, o investidor perde metade do que foi reinvestido. a) Se o investidor aplicar seu dinheiro desta forma, com que valores pode ficar ao término do investimento? Qual a probabilidade, em função de p, de ficar com cada um desses valores? b) Uma revista especializada informa que, neste investimento, a probabilida- de de perder dinheiro é de 70%. Admitindo como correta a informação da revista, calcule p. Vamos resolver esse problema aplicando o diagrama de árvore: Ganha: (1/2)p Perde: (1/2)p Ganha: (1/2)p (1-p) Perde: (1/2)p (1-p) 225.000 90.000 100.000 40.000 180.000 80.000 p (1-p) 1/2 1/2 1/2 1/2 Quantia inicial: R$ 120.000,00 Observação: A premissa de que a segunda fase é independente da primeira fase permite colocar na segunda parte dos ramos os valores 1/2 e 1/2 direta- mente. Resposta: a) O investidor pode ficar com qualquer dos seguintes valores (e respectivas probabilidades): R$ 225 000,00 [(½)p], R$ 90 000,00 [(½)p], R$ 100 000,00 [½(1-p)] ou R$ 40 000,00 [½(1-p)]. b) Levando em conta as quatro possibilidades, o investidor só não perde na primeira delas. Como, segundo a revista, a probabilidade de perder é de 70%, a probabilidade de não perder (complementar!) é de 30% e temos então que (½) p = 0,30. Portanto p = 0,60. Outra maneira de chegar a este resultado é igualar a probabilidade de perder a 70%, ou seja, P(perder) = [(½)p+ (½)(1-p)+( ½)(1-p)] = 0,70, o que produz o resultado p = 0,60 (confira!).   Os exemplos analisados neste tópico de probabilidades procuraram dar sentido aos conceitos, através de esquemas simples quer seja com tabelas ou através de diagramas de árvore, sempre no contexto discreto. No entanto, para experimentos mais sofisticados, ainda no âmbito do discreto, por exem- plo, o caso em que o número de ramos se torna proibitivo, temos que recorrer a técnicas de contagem para o cálculo de probabilidades e a área de análise combinatória, que será desenvolvida na próxima seção, fornecerá elementos para que esses cálculos sejam facilitados. O leitor, interessado em probabili- dades associadas a experimentos em que a característica medida é contínua, achará material nas referências bibliográficas. A seguir, temos um resumo dos principais resultados descritos nesta seção para eventos genéricos A e B (associados a um espaço amostral S). Probabilidade da União P(A ou B) = P(A B) = P(A) +P(B) – P(A B) Probabilidade Condicional P(A | B) = P(A B) / P(B) para P (B) 0 Probabilidade Conjunta P(A B) = P(A|B) . P(B) = P(B|A) . P(A) Se A e B são independentes então P(A B) = P(A) . P(B) ≠ U U U U U    Princípio da Multiplicação Se uma decisão d 1 pode ser tomada de p 1 maneiras e se, uma vez tomada a decisão d 1 , a decisão d 2 puder ser tomada de p 2 maneiras, então o número de maneiras de se tomarem as decisões d 1 e d 2 é p 1 x p 2 maneiras. Facilmente, o princípio acima pode ser generalizado para uma quantidade finita de decisões. Agora, usando o princípio da multiplicação, resolva alguns problemas de contagem. TENTE FAZER Em uma estante existem 5 livros em espanhol, 6 em francês e 3 em inglês. De quantas maneiras posso escolher 2 livros sem escolher dois da mesma língua? TENTE FAZER - Quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem? (Preste atenção: as decisões envolvidas podem ser tomadas em várias ordens. Qual é a mais conveniente?) - Quantos números naturais pares de 3 algarismos distintos existem? (Qual a dificuldade maior deste problema?) Um outro princípio elementar de contagem diz respeito ao número de elementos da união de conjuntos. Um problema de contagem muito interessante é o seguinte: ao se colorir um mapa, pode-se usar a mesma cor mais de uma vez, desde que dois países que têm fronteira comum sejam pintados de cores diferentes. Usando no má- ximo 4 cores, de quantas maneiras se pode colorir um mapa formado pelos seguintes países: Brasil, Uruguai, Argentina e Paraguai? E um mapa formado por Brasil, Uruguai, Argentina, Paraguai e Chile? E pelos países Brasil, Ar- gentina, Paraguai e Bolívia? Usando no máximo 3 cores, seria possível pintar um mapa formado pelos países Brasil, Uruguai, Argentina e Paraguai? E o mapa formado por Brasil, Argentina, Paraguai e Bolívia? O Problema das 4 Cores. Na resolução do problema anterior, você percebeu que, em alguns casos, não se pode usar menos de 4 cores para pintar um determinado mapa. Mas, fazendo alguns testes, percebe-se que é possível pintar vários mapas com até 4 cores. Será possível pintar qualquer mapa com até 4 cores? Este atraente problema pode ser formulado matematicamente, já que “mapas” não deixam de ser subdivisões do plano que não se sobrepõem. O Problema das 4 Cores, como é conhecido hoje, foi proposto pela primeira vez em 1852, por Francis Guthrie. Contudo, só foi publicado em 1878, após ter sido estudado por vários matemáticos da época. Em 1879, Kempe apresentou a primeira “demonstração” da conjectura, cujo erro foi descoberto por Heawood, que provou que o resultado era verdadeiro para 5 cores. Finalmente, depois de muitos anos e esforços, o resultado foi provado em 1977 por K. Appel e W. Haken. Porém, a demonstração fez uso de mais de 1200 horas de processamento (isso mesmo, computador!), o que provocou grandes discussões sobre a validade da prova. Recentemente, em 1997, N. Robertson, D. Sanders, P. Seymour e R. Thomas encontraram uma resolução mais simples, mas ainda dependente do auxílio de computadores. Princípio da Adição Se A e B são dois conjuntos disjuntos, com p e q elementos respectivamente, então A B possui p+q elementos.U   O problema das 4 cores é um típico problema de Teoria dos Grafos. Um “grafo” é um tipo de diagrama com vértices e linhas. Podemos fazer um es- quema do problema das 4 cores usando um diagrama do tipo, onde cada vértice é um país. Uma linha ligando os vértices significa que os países têm fronteiras em comum. Um outro problema fascinante deste tipo é o Problema das Sete Pontes de Königsberg, que foi resolvido por L. Euler em 1735. Como este é um assunto bastante vasto, não o discutiremos aqui. Se você ficou interessado, leia sobre o problema na Revista do Professor de Ma- temática (Alguns problemas clássico sobre grafos, n. 12, 1988) ou no site http://www.prof2000.pt/users/agnelo/pontesh.htm. Voltemos aos problemas de contagem. TENTE FAZER - De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em fila? (Resposta 60) - Quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 e (a) têm todos os dígitos diferentes? (Resposta 3864) (b) não têm dígitos iguais a 3, 5 ou 6? (Resposta 1567) (c) satisfazem às duas condições acima simultaneamente? (Resposta 560) - Quantos subconjuntos possuem um conjunto de n elementos? (Resposta 2n) Discuta com seus colegas o raciocínio usado em cada resolução, pois às vezes obtém-se a resposta correta por métodos incorretos. Vamos fazer algumas generalizações. Consideremos n objetos distintos. De quantas maneiras n objetos diferentes podem ser ordenados? De quantas for- mas podemos permutá-los? A resposta é fácil agora: n(n-1).(n-2)...3.2.1=n! Se, por outro lado, desejamos saber de quantos modos podemos ordenar m objetos dentre os n, logo m n, a resposta é de maneiras. ELIMINANDO REPETIÇÕES Vamos ver agora outros tipos de problemas de contagem. Quantas comissões de 4 alunos podem ser formadas numa classe de 7 alunos? Para o primeiro lugar da comissão temos 7 escolhas, para o segundo lugar 6 escolhas, para o terceiro lugar 5 escolhas e para o quarto lugar 4 escolhas, o que nos dá, pelo princípio da multiplicação, 7.6.5.4 = 840 escolhas de 4 alu- nos. Entretanto, 840 não é a quantidade total de comissões! Note que a co- missão formada pelos alunos A, B, C e D é a mesma daquela formada por B, D, C e A. Precisamos saber quantas vezes cada comissão foi contada repe- tidamente. Fixemos 4 alunos (uma comissão). De quantas maneiras podemos formá-la? Chamando um aluno por vez, para a primeira chamada temos 4 opções, para a segunda 3, para a terceira 2 e para a quarta apenas 1. Logo ≤ n n n n m n n m ( ) ( )...( ) ! ( )! − ⋅ − − + = − 1 2 1    10 2 2 3 ! ! ! ! 840 24 35= 4 2 12 ! ! = podemos chamar os alunos de 4.3.2.1=24 maneiras diferentes. Assim temos que, das 840 escolhas, cada grupo de 24 representa a mesma comissão. Portanto, o total de comissões será de . A seguir, vamos ver outra situação onde se deve usar a divisão para elimi- nar repetições e efetuar a contagem. Um anagrama é um código formado pela permutação das letras de uma palavra, podendo ou não originar palavras com significado. Quantos são os anagramas da palavra CASA? Se as 4 letras fossem distintas então teríamos 4! = 24 anagramas. Neste caso, estamos pensando que A C S A é diferente de A C S A. Só que temos a mesma palavra A C S A. Assim, como cada anagrama foi contado duas vezes (que é o número de permutações dos dois A’s) temos na verdade anagra- mas diferentes. Quantos são os anagramas da palavra MATEMATICA? Se as 10 letras fossem todas diferentes, uma aplicação simples do princí- pio da multiplicação forneceria 10! anagramas. Entretanto, podemos permu- tar os 2 T’s, os 2 M’s e, ignorando o acento, também os 2 A’s. Isso significa que cada anagrama está sendo contado 2!2!3! vezes. Portanto, existem anagramas distintos. Vamos analisar mais uma situação. Qual é o número de rodas de ciranda distintas que podem ser formadas com 6 crianças? Temos certamente 6! filas de crianças. Entretanto, quan- do organizadas em um círculo, duas filas formam a mesma roda de ciranda se houver coincidência das crianças após uma rotação de uma das rodas (ver o diagrama a seguir). Podíamos dizer que tais filas são “equivalentes”. Dessa forma, 6 filas distintas originam uma mesma roda de ciranda. Portanto, o número de rodas de ciranda é 6 6 5 ! != Em cada situação anterior, a divisão foi utilizada aqui para eliminar as repetições. Identificando os elementos que são “iguais” podemos, usando a divisão, eliminá-los da contagem. Examinando mais detalhadamente os últimos exemplos, percebemos que podemos dar um tratamento mais geral para situações onde a divisão é usada para eliminar repetições em problemas de contagem. Considere a seguinte situação: um conjunto A contém elementos de diver- sos tipos distintos, digamos, tipo 1, tipo 2, tipo 3, ... tipo k. Se o número de elementos de cada tipo é n k , então o número total de elementos de A é (n 1 + n 2 +...+ n k ), ou seja, a soma do número de elementos de cada tipo. Em particular, se o número de elementos de cada tipo é sempre igual a m, então o número de elementos de A é obviamente k.m.   Vamos denotar por K a face “cara” da moeda e por C a face “coroa”. Assim, temos KKKC, KKCK, KCKK e CKKK combinações vencedoras. Na verdade, já vimos este tipo de problema: esta é a quantidade de anagramas formados por KKKC. Assim, temos exatamente combinações. Mas se as combinações ganhadoras são as com exatamente 2 caras e 2 coroas? Neste caso são combinações. Note também que o número de combinações com exatamente 3 coroas é também 4. 4 3 4 ! ! = 4 2 2 6 ! ! ! = TENTE FAZER Num tipo de jogo, 5 moedas idênticas são lançadas simultaneamente. Cada jogador, antes de jogar as moedas, declara qual o número exato de caras e coroas que vai obter. Ganha aquele que acertar o resultado. Qual das combinações é a melhor escolha? Você já notou que se n é o número de moedas a serem jogadas e se m é o número de caras (ou coroas) que se deseja, então o número de combinações “vencedoras” é exatamente: É claro que se m é o número de caras (ou coroas), então n-m é o número de coroas (ou caras) e assim temos facilmente que, Esses números aparecem em muitas situações e possuem várias relações surpreendentes. Tais relações foram observadas por vários matemáticos como o árabe Al-Karaji (fins do século X) e Niccoló Fontana de Brescia, conhecido por Tartaglia (1499-1557). Colocando os valores acima na forma de triângulo e convencionando que 0! = 1, temos: C n m n m m n n n m Cm m n n m=     = − = −     = −! !( )! C n m n m n mn m = − =     ! !( )! 0 0 1 0 1 1 2 0 2 1 2 2                                         3 0 3 1 3 2 3 3 4 0                     4 1 4 2 4 3 4 4                   5 0 5 1 5 2 5 3 5 4                    5 5 6 0 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6                    Foi B. Pascal (1623-1662) quem popularizou este “triângulo” quando pu- blicou, em 1654, um tratado mostrando a relação dos coeficientes de (a+b)n com os valores que aparecem nas linhas do triângulo. Apesar de ser conheci- do antes, o triângulo aritmético passou a ser conhecido como o Triângulo de Pascal. Calculando os valores em cada linha e coluna, temos: Triângulo de Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 32 21 7 1 ... ... Note algumas propriedades interessantes. Se selecionarmos uma linha n qualquer e adicionamos ao elemento da coluna p o elemento da coluna p+1 o resultado está na (n+1)-linha e (p+1)-coluna. Veja neste exemplo. 1. Michael Stifel (1486-1567) é considerado como o maior algebrista alemão do século XVI. 1 3 + 3 1 1 4 6 4 1 C C C C n n n n nn n n n n0 1 2 0 1 2 + + + + =     +     +     + +     ... ...  = 2 n Esta relação é também conhecida como a Relação de Stifel1. TENTE FAZER Mostre que, de fato, vale sempre que C C n m n n n m Cn m n m n m+ =     + +     + + +     =+ + +1 1 1 2 1 1 Retornemos ao jogo de moedas. Sabemos que quando lançamos n moe- das, o número total de resultados possíveis é 2n. Vimos que cada combinação de m caras (ou coroas) aparece vezes. Portanto, somando-se todas as com- binações temos que: Vamos agora representar os resultados dos lançamentos das moedas de outra maneira. Cn m   Se jogarmos 2 moedas, temos 4 resultados possíveis. Se usarmos o símbo- lo de soma e a propriedade distributiva, todas as combinações possíveis po- dem ser representadas por: KK + KC + CK + CC = (K + C) (K + C) Mas neste jogo, KC = CK, isto é, ambas são combinações “vencedoras”. Então: KK + 2KC + CC = (K + C) (K + C) No caso de jogarmos 3 moedas, sabemos que existem 8 possíveis resulta- dos, mas as combinações KKC, KCK e CKK são “iguais” para o nosso propó- sito. Assim também são “iguais” as combinações: CCK, CKC, KCC. Portanto: KKK + 3 KKC + 3 KCC+ CCC = (K + C) (K + C) (K + C) Podemos ainda simplificar a notação e escrever as seqüências de K ou C na forma de potência. Por exemplo, escrevemos KKK da forma K3. Assim: K3 + 3 K2 C + 3 KC 2+ C 3 = (K + C)3 Mas isso pode ser feito sempre. Se jogarmos n moedas e se as combina- ções que têm o mesmo número de K (caras) e C (coroas) são identificadas, ou seja, são “iguais”, então cada combinação aparece vezes. Portanto, em geral, temos que: Esta é a conhecida fórmula do Binômio de Newton. Isaac Newton (1642- 1727) mostrou como desenvolver expressões do tipo (a+b)r, com r racional, e assim a fórmula acabou sendo conhecida com o seu nome. Contudo, o desen- volvimento de uma expressão do tipo (a+b)n já era conhecida e usada antes. n m     ( ) ...K C n K n K C n K C n n n n n n+ =     +     +     + + − − − 0 1 2 1 1 1 2    +     −KC n n Cn n1 TENTE FAZER Usando o desenvolvimento acima, dê uma expressão para (1+x)n Observe que as linhas do Triângulo de Pascal são os coeficientes da ex- pressão do binômio. TENTE FAZER Qual é o coeficiente do termo a11b6 no desenvolvimento (a+b)17 ? Há muito mais a ser explorado no Triângulo de Pascal. As relações numé- ricas que aparecem surpreendem. Convidamos você a ler mais sobre isso em [MORGADO] (ver referência). Você certamente ficará impressionado. Anotações Anotações Anotações