Cálculo 3 - Equações Diferenciais Ordinárias

Cálculo 3 - Equações Diferenciais Ordinárias

CÁLCULO III ESTUDO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS.

PROF. Msc.: GENIVALDO DOS PASSOS CORRÊA.

 

 

 

INTRODUÇÃO:

  • Este texto tem como principal objetivo fazer um estudo sobre as principais equações diferenciais, em particular, as equações diferenciais ordinárias, as denominadas EDO, todos nossos esforços serão dedicados na busca de soluções analíticas dessa classe de equações, que aparecem freqüentemente nas mais diversas áreas do conhecimento científico, à saber:

INTRODUÇÃO:

  • Na física uma equação diferencial aparece quando se estuda sistemas mecânicos do tipo (massa-mola) e em sistemas elétricos do tipo (circuito RLC). Começaremos nossos estudos definindo alguns conceitos de fundamental importância para o desenvolvimento dessa teoria.

Lição 1 : origem e formação das edo’s

  • Definição de Equação Diferencial : Uma equação diferencial é todo tipo de equação que apresenta como variáveis uma função, bem como suas derivadas,assim o domínio de uma equação diferencial é um espaço de funções, os exemplos abaixo estabelecem esse tipo de equações:

Lição1

LIÇÃO 1

  • 1.2. TIPOS: Existem dois tipos de equações diferenciais, à saber: As Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e as Equações Diferenciais Parciais (EDP). A diferença entre elas encontram-se na quantidade de variáveis independentes presentes na equação. Isto é, quando uma equação apresenta somente uma variável independente, como no caso, dos exemplos: 1, 2, 3 e 4, essa equação é denominada EDO, caso contrário, como nos exemplos: 5 e 6, será denominada EDP. Neste texto, serão estudadas somente as equações diferenciais ordinárias (EDO).

Lição 1

  • 1.3. ORDEM: A ordem de uma equação diferencial corresponde a mais alta derivada que aparece na equação.

  • De posse dessa definição podemos dizer que as equações dos exemplos 1 e 5 são ambas de ordem 1, as equações dos exemplo2, 3 e 6, são de ordem 2, já a equação do exemplo 4 é de ordem 3.

Lição 1

  • 1.4. GRAU: O grau de uma equação diferencial é determinado pelo maior expoente da derivada de ordem mais alta presente na equação.

  • Observando nossos exemplos é possível concluir que somente a equação do exemplo3 é do 2º grau e o restante das equações são todas do 1º grau.

Lição 1

  • 1.5. ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: Uma equação diferencial tem basicamente sua origem em problemas Geométricos, Físicos e com problemas envolvendo Primitivas de uma função dada. A seguir serão mostrados alguns desses problemas que podem ser modelados por uma equação diferencial ordinária.

Lição 1

  • Problema1: Uma curva é tal que a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer dela, é sempre igual ao triplo da soma das coordenadas do mesmo ponto.

  • Então denotando um ponto qualquer dessa curva por (x, y), onde: f(x)= y , temos que a inclinação da reta tangente nesse ponto é dada pela derivada da função.

Lição 1

  • Logo, de acordo com o enunciado do problema teremos a seguinte equação diferencial ordinária:

  • Problema 2: Cem gramas de açúcar de cana, em água, estão sendo transformados em dextrose numa razão que é proporcional à quantidade não transformada. Determinar a equação diferencial que exprime a razão de transformação depois de t minutos.

Lição 1

  • Solução: Seja y a quantidade de açúcar em gramas que está sendo transformada em minutos, então, 100 - y será a quantidade, em gramas, de açúcar não transformado. Do enunciado do problema teremos a seguinte equação diferencial ordinária:

Onde K é a denominada constante de proporcionalidade.

Lição 1

  • Problema3: (Problema Físico) Uma partícula se move ao longo de uma trajetória e sua posição (x) em função do tempo (t) obedece a seguinte equação horária do espaço

  • Obtenha a equação diferencial da velocidade da partícula.

  • Solução: De acordo com os estudos feitos em Cálculo I, sabemos que a velocidade é a primeira derivada da função posição, isto é:

Lição 1

  • Solução: De acordo com os estudos feitos em Cálculo I, sabemos que a velocidade é a primeira derivada da função posição, isto é:

Lição 1

  • Problema4: (Problema Envolvendo Primitivas) Obter uma equação diferencial para a família de primitivas

  • Solução: Derivando a função em relação a variável x obtemos:

  • Assim, obtemos a equação diferencial:

Lição 1

  • 1.5. Equação Diferencial Ordinária de ordem n: Dada uma função y=f(x), chama-se equação diferencial ordinária de ordem n, toda relação da forma:

  • em que aparecem ao lado de x e y, certas derivadas de y em x de ordem não superior a n. Abaixo apresentaremos algumas equações diferenciais ordinárias e a ordem de cada uma delas ao lado.

Lição 1

Lição 1

  • 1.6. SOLUÇÃO DE UMA EDO: uma solução de uma equação diferencial é uma função ou uma família de funções (primitiva ou integral) que quando substituída na equação à torna verdadeira. Vejamos que no exemplo1 queremos uma função cuja derivada seja igual a 3X - 2. Nesse caso, é fácil perceber que uma função que satisfaz essa condição:

Lição 1

  • Porém, não é tão simples perceber que a função y = sen(x) é uma solução da equação diferencial

  • Mas, você pode comprovar que isto realmente é verdade. Verifique!

Lição 1

  • 1.7. TIPOS DE SOLUÇÕES: Existem três tipos de soluções para uma EDO, a saber:

  • - Solução Geral, Particular e Singular

  • 1.7.1- SOLUÇÃO GERAL: Uma solução geral é uma função onde aparecem certas constantes denominadas, constantes arbitrárias, elas são obtidas toda vez que integramos a EDO. Por exemplo, se tivermos a equação diferencial

podemos integrá-la em ambos os membros e obter a solução geral:

Lição 1

  • 1.7.2- SOLUÇÃO PARTICULAR: Temos uma solução particular toda vez que atribuímos um valor real para a constante arbitrária que está presente na solução geral. Assim, por exemplo, se atribuirmos para a constante o valor real 50, teremos como solução particular para a EDO a função:

Lição 1

  • 1.7.3- SOLUÇÃO SINGULAR: Uma solução singular é aquela que não deriva da solução geral. Por exemplo, a função y= sen(x+C) é a solução geral da equação diferencial:

  • Porém a função constante y=a, é uma solução da mesma EDO que não é obtida da solução geral, logo, essa função é uma Solução Singular da EDO dada.

Lição 1

  • 1.8- EQUAÇÃO DIFERNCIAL DE 1ª ORDEM: Uma equação diferencial de 1ª ordem é toda equação do tipo:

  • g(x, y, y’)=0 ou y’=f(x, y) ou Mdx + Ndy=0

  • Onde, as funções M e N são funções de x e y.

  • 1.8.1- EQUAÇÃO A VARIÁVEIS SEPARADAS: Considere a equação diferencial de 1ª ordem na forma

  • M dx + N dy = 0

  • e suponhamos, em particular, que os coeficientes M e N sejam funções de x e y, respectivamente, isto é: M=M(x) e N= N(y).

Lição 1

  • Nesse caso, dizemos que a equação se diz a variáveis separadas, e sua solução geral é obtida integrando separadamente a função M em x e a função N em y . Isto é:

  • Exemplo1: Vamos encontrar uma solução geral para a equação diferencial 2y dy + sen(x) dx =0

Lição 1

  • 1.8.2- Equações a variáveis separáveis: Seja a equação diferencial ordinária de 1ª ordem na forma: M dx + N dy = 0 (2)

  • Onde: M=M(x,y) e N=N(x,y) são funções de x e y, suponha que existam funções: m(x), n(x), p(y) e q(y) tais que: M(x,y)= m(x).p(y) e N(x,y)= n(x). q(y). Então, a equação (2), poderá ser reescrita na seguinte forma:

  • cuja solução pode ser obtida como no caso anterior.

Lição 1

  • Exemplo2: Obter a solução geral da equação diferencial (x - xy) dy + (y - xy) dy = 0.

  • Exemplo3: Achar a equação da curva que passa pelo ponto (3, 4), sabendo que o declive da tangente num ponto qualquer dessa curva é igual a –x/y.

Lição 2

  • 2.1- Função Homogênea: Dizemos que uma função M(x, y) é homogênea, quando apresenta o mesmo grau nas variáveis x e y.

2.2- Teorema de Euler: Uma função M(x, y) é homogênea se, e somente se, existem e f(u, v), tal que M( u, v) = f(u, v). Nesse caso, n é o grau de homogeneidade.

Lição 2

  • Vamos mostrar usando o Teorema de Euler que as funções do exemplo anterior são homogêneas de grau dois. De fato,

  • Portanto, M e N são ambas homogêneas de grau 2.

Lição 2

  • 2.2- Equação diferencial com coeficientes homogêneos: É toda equação da forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, em que as funções M e N são homogêneas de mesmo grau.

  • Exemplo2: A equação diferencial ordinária

  • é homogênea de grau 2. Verifique.

  • 2.3- Solução de uma EDO homogênea: Para resolver uma EDO homogênea deve-se fazer a mudança de variável

Lição 2

  • de onde obtemos pela derivada do produto

  • com essa mudança de variável a EDO homogênea é reduzida para uma EDO de variáveis separáveis, nas variáveis x e u.

  •  Exemplo3: Determinar a solução geral da equação diferencial homogênea

Lição 2

  • Exemplo4: Mostre que a equação diferencial

  • é homogênea e obtenha a sua solução geral.

Lição 2

  • 2.4- Casos redutíveis a coeficientes homogêneos: Um caso típico de equação redutível a coeficiente homogêneo ocorre quando M e N são funções de trinômios lineares em x, y, isto é:

  • Neste caso, a equação diferencial assume a forma

Lição 2

  • Se a=b=0 então a equação diferencial se reduz a coeficientes homogêneos e se resolve como no caso anterior. Porém se, a e b não são ambos nulos, então temos dois casos a estudar:

  • 1º caso: Se os coeficientes de x e y não são proporcionais então teremos:

Lição 2

Então podemos fazer a mudança de variáveis :

Onde, o ponto

É a solução do sistema linear do 1º grau abaixo

Lição 2

  • Com essas mudanças é possível transformar a equação diferencial dada em uma equação diferencial homogênea, cuja solução é obtida como anteriormente.

  • Exemplo5: Determinar a solução da equação diferencial

Lição 2

  • 2º caso: Se (1) for igual a zero então, não podemos aplicar o método anterior visto que o sistema (2) não tem solução. Porém podemos escrever

  • Substituindo estes valores na equação diferencial dada, obteremos a equação diferencial

Lição 3

  • A equação com as devidas substituição gera a seguinte equação diferencial ordinária de variáveis separáveis:

  • Cuja solução pode ser encontrada integrando separadamente em x e em y.

  • Exemplo6:Determinar a solução geral da equação diferencial ordinária

Lição 2

  • 2.5- Equação diferencial Exata: Seja a equação diferencial ordinária na forma M dx + N dy = 0, onde M e N são funções de x e y, cujas derivadas parciais existem e são contínuas em uma certa região do plano cartesiano. Dizemos que a EDO é exata quando existir uma função u(x, y) tal que sua diferencial total é igual a zero, isto é:

Lição 2

  • Porém, isto nos permite dizer que u(x, y)= C . O próximo teorema nos dá uma condição necessária e suficiente para que uma EDO seja exata.

  • Teorema: Uma EDO na forma M dx + N dy =0 é exata se, e somente se,

  • Além disso, sua solução geral é obtida pela seguinte relação:

Lição 2

  • Exemplo7: (Aplicação do Teorema) Mostre que

  • a equação diferencial ordinária

  • é exata e obtenha a solução geral dessa equação.

Lição 2

  • 2.6- Fatores Integrantes: Quando a equação M dx + N dy=0 não é uma diferencial exata, é possível, em muitos casos, torná-la exata, multiplicando-a por fator adequado R denominado fator integrante. Dessa forma, a equação resultante da multiplicação por R, (RM)dx + (RN)dy=0 , será uma diferencial exata. É possível mostrar que tal fator integrante é da forma:

Lição 2

  • Exemplo8: Determinar a solução geral da equação diferencial ordinária

Lição 3: EDO Linear de 1ª ordem, EDO de Bernoulli e Aplicações

  • 3.1- Equação Linear de 1ª ordem: É toda equação diferencial que pode ser escrita na forma:

  • Onde as funções P(x) e Q(x) são contínuas em um intervalo aberto de números reais, podendo ser o próprio conjunto dos números reais.

  • 3.2- Solução de uma Equação Linear de 1ª ordem: Afim de obter uma solução da EDO linear de 1ª ordem vamos escrever a equação (1) na forma M dx + N dy=0, isto é:

Liçao3

  • Note que aqui temos M=P(x) y – Q(x) e N= 1. Observe que a diferencial em (2) não é exata. Logo ela admite um fator integrante da forma:

  • Consequentemente a solução será:

Lição 3

  • Exemplo1: Determinar a solução da equação diferencial linear de 1ª ordem

  • Exemplo2: Resolva o PVI (Problema de Valor Inicial)

Lição 3

  • 3.3- Equação diferencial ordinária de Bernoulli: É toda equação diferencial da forma:

  • Esse tipo de EDO pode ser reduzida a uma EDO linear de 1ª ordem mediante as seguintes passos:

  • 1º) dividi-se toda equação por ;

  • 2º) faça

  • 3º) encontre a derivada de z em relação a variável x;

  • 4º) Faça uma substituição conveniente para obter uma EDO linear em z.

Lição 3

  • Exemplo3: Resolva a seguinte equação diferencial ordinária de Bernoulli

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