Baixe Gradiente e Derivada Direcional e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo, somente na Docsity! Capítulo 2 Derivada Direcional, Gradiente, Máximos e Mínimos CÁLCULO 2 – PÁGINA 2 PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA (fbatista@bol.com.br) Produto escalar O produto escalar é uma operação entre vetores que produz um escalar. Essa operação é bastante utilizada no cálculo de tamanhos ou ângulos entre vetores. O produto escalar pode ser calculado através de duas fórmulas, dependendo das informações disponíveis: • Se possuirmos as coordenadas dos vetores: Considere os vetores )y,x(u uu= e )y,x(v vv= . A fórmula que calcula o produto escalar entre esses vetores é dada por: vuvu yyxxvu +=⋅ • Se possuirmos os tamanhos dos vetores e o ângulo entre eles: Considere que os vetores u , de tamanho u , e v , de tamanho v , formem um ângulo θ entre eles. O produto escalar entre esses vetores é dado por: θ=⋅ cosvuvu Podemos utilizar a última fórmula para demonstrar que o produto escalar pode ser usado quando desejamos calcular o tamanho de um vetor, dispondo apenas das suas coordenadas. Fazendo o produto escalar do vetor )y,x(u uu= com ele mesmo: 0cosuuuu =⋅ ∴ 2 uuu =⋅ Observe que o ângulo entre o vetor )y,x(u uu= e ele próprio é zero já que os dois vetores estão na mesma direção e sentido. O produto escalar que se encontra do lado esquerdo da igualdade pode ser calculado por vuvu yyxxvu +=⋅ . Uma rápida introdução sobre vetores e retas Considere que desejamos encontrar a equação de uma reta r que passa pelo ponto )y,x(P 00= e é paralela ao vetor )b,a(u = conforme mostra a figura: CÁLCULO 2 – PÁGINA 5 PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA (fbatista@bol.com.br) Conforme a definição geométrica dada por limites, as derivadas parciais em relação a x ou a y medem as inclinações das retas tangentes à superfície nas direções x e y conforme o gráfico: A derivada parcial na direção do vetor u r mede a inclinação da reta tangente à superfície na direção do vetor u r como mostra o gráfico a seguir: Podemos perceber no gráfico anterior que, passando pelo ponto P, existem infinitas retas tangentes à superfície )y,x(fz = cuja inclinações são dadas pelas respectivas derivadas direcionais. A derivada direcional é o caso mais geral de derivação parcial, pois podemos obter as derivadas parciais em relação a x e a y fazendo a direção do vetor unitário u r coincidir com as direções dos vetores unitários i r (direção x) e j r (direção y). A derivada de z na direção do vetor )0,1( i = é dada por: x z 0 y z 1 x z i z ∂ ∂= ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ ∂ Inclinação da reta = y z ∂ ∂ Inclinação da reta = x z ∂ ∂ Inclinação da reta = u z r∂ ∂ u r P P CÁLCULO 2 – PÁGINA 6 PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA (fbatista@bol.com.br) A derivada de z na direção do vetor )1,0( j = é dada por: y z 1 y z 0 x z j z ∂ ∂= ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ ∂ Note que, no cálculo da derivada de z na direção do vetor )0,1( i = , desconsideramos a derivada parcial em relação a y. Isso acontece porque o vetor )0,1( i = está apontando na direção do eixo x, então, devemos desconsiderar qualquer efeito da variação da função na direção y. Raciocínio análogo se aplica ao cálculo da derivada da função z na direção do vetor )1,0( j = . Por outro lado, se o vetor u apontar numa direção qualquer, diferente das direções dos eixos x e y, devemos então considerar uma combinação das derivadas parciais em relação a x e a y, ou seja, o resultado é uma combinação dos efeitos nas direções x e y. Exemplo Calcular a derivada da função 23yx)y,x(fz == na direção do vetor )4,3(u = calculando a derivada no ponto )2,1()y,x( 00 = . Solução Vamos calcular o módulo do vetor )4,3(u = : 25169)4,3()4,3(uuu 2 =+=⋅=⋅= ∴ 5u = Observe que o vetor )4,3(u = não é unitário, devemos então dividí-lo pelo seu tamanho para normalizá-lo:      === 5 4 , 5 3 5 )4,3( u u u unitário Calcule o tamanho deste último vetor e verifique que o resultado é igual a 1. A derivada de z na direção do vetor u (normalizado) é dada por: b y z a x z u z ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ ∂ Onde: 22yx3 x z = ∂ ∂ e yx2 y z 3= ∂ ∂ 5 3 a = e 5 4 b = Substituindo os resultados temos que: yx 5 8 yx 5 9 5 4 )yx2( 5 3 )yx3( u z 322322 +=+= ∂ ∂ Finalmente, calculando a derivada parcial no ponto )2,1()y,x( 00 = : 5 52 21 5 8 21 5 9 )2,1( u z 322 =+= ∂ ∂ A derivada direcional não é um vetor! A derivada direcional apenas utiliza a direção do vetor u para calcular a taxa de crescimento/decrescimento instantânea nessa direção cujo resultado é um escalar e não um vetor. CÁLCULO 2 – PÁGINA 7 PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA (fbatista@bol.com.br) Definição formal de derivada direcional Considere um vetor )b,a(u = paralelo a uma reta r que contém o ponto )y,x(P 00= e o ponto )y,x(A = cujas coordenadas são desconhecidas. Suponha uma função )y,x(fz = em que x e y seguem a direção da reta r, ou seja, atx)t(gx 0 +== e bty)t(hy 0 +== . A derivada direcional é definida pela seguinte equação: t )y,x(f)bty,atx(f lim t )y,x(f)y,x(f lim u z 0000 0t 00 0t −++ = − = ∂ ∂ →→ Graficamente estamos calculando a inclinação da reta tangente à curva obtida no limite quando t→0 (quando 0PA → ): Propriedade da derivada direcional A derivada direcional tem uma propriedade bastante especial. Quando invertemos o sentido do vetor unitário a derivada direcional troca de sinal. Considere o vetor unitário )b,a(u = e o seu vetor unitário oposto )b,a(u −−=− . As derivadas parciais na direção de cada um desses vetores são dadas por: b y z a x z u z ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ ∂ e )b( y z )a( x z )u( z − ∂ ∂+− ∂ ∂= −∂ ∂ Podemos então dizer que: u z b y z a x z )u( z ∂ ∂−=      ∂ ∂+ ∂ ∂−= −∂ ∂ Essa equação nos revela que se em uma direção a função está crescendo, na direção contrária a função deve decrescer. Gradiente É interessante notar que a expressão da derivada direcional pode ser representada como um produto escalar entre dois vetores: )b,a( y z , x z b y z a x z u z ⋅      ∂ ∂ ∂ ∂= ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ ∂ CÁLCULO 2 – PÁGINA 10 PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA (fbatista@bol.com.br) 2432z ==∇ O valor máximo da derivada direcional pode ser calculado pela fórmula: 24z u z =∇+= ∂ ∂ A derivada direcional é máxima quando o vetor u for igual a:      == ∇ ∇= 2 1 , 2 1 24 )4,4( z z u Curvas de nível Os médicos recorrem à tomografia computadorizada quando desejam visualizar a imagem do cérebro do paciente. Nesse tipo de exame, a imagem do cérebro do paciente é “fatiada” em várias partes conforme mostram as figuras a seguir: Em matemática, diríamos que cada “fatia” da tomografia computadorizada é uma curva de nível da função. Os engenheiros civis utilizam gráficos de nível, chamados mapas topológicos, para auxiliá- los na construção de estradas e pontes. Na construção do gráfico de nível, o relevo da região é “fatiado” em várias cotas (nível de altura) e desenhado num único mapa conforme mostra a figura: Cada número que acompanha uma curva representa a altura da “fatia” do relevo. Por exemplo, o ponto 1 e o ponto 2 mostrados na figura estão na cota 10, ou seja, possuem a mesma altura igual a 10. No mapa topológico da região estão presentes as várias curvas de nível do relevo. CÁLCULO 2 – PÁGINA 11 PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA (fbatista@bol.com.br) Os engenheiros mecânicos utilizam curvas de nível quando precisam selecionar bombas d’água que funcionem com o maior rendimento possível. Podemos relacionar a altura de descarga, a vazão e o rendimento de uma bomba d’água conforme a superfície a seguir: Os fabricantes apresentam as curvas de nível da superfície anterior no seguinte gráfico: ' As curvas de nível de uma função representam as diversas “fatias” do gráfico da função, uma para cada valor escolhido da variável dependente z. As figuras a seguir mostram os gráficos de funções e as suas curvas de nível: Gráfico da função 22 yx)y,x(fz +== Curvas de nível de 22 yx)y,x(fz +== Curvas de rendimento constante Vazão (litros por segundo) A ltu ra ( m et ro s) Vazão (litros por segundo) Altura de descarga (metros) Rendimento (%) CÁLCULO 2 – PÁGINA 12 PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA (fbatista@bol.com.br) Gráfico da função )y(sen)x(sen)y,x(fz ⋅== Curvas de nível de )y(sen)x(sen)y,x(fz ⋅== Observe que os pontos “mais altos” (maior valores de z) são mais claros e os pontos “mais baixos” (menores valores de z) são mais escuros. Uma curva de nível é uma curva no espaço 2IR para um valor arbitrário de z, ou seja, escolhemos um valor para z (fazemos z igual a uma constante genérica c) e descobrimos qual é a característica das curvas de nível. Vale dizer que nem sempre é fácil imaginar o formato das curvas de nível de uma função a partir das equações obtidas fazendo cz = . A expressão matemática das curvas de nível da função 22 yx)y,x(fz +== é dada por: cyx 22 =+ Conforme a equação anterior, as curvas de nível são circunferências centradas na origem com raios iguais a c . Gradiente e curvas de nível Considere as curvas de nível da função 22 yx)y,x(fz +== : Curvas de nível de 22 yx)y,x(fz +== Suponha que o vetor u é tangente a uma das curvas de nível da função. Como todos os pontos sobre uma curva de nível possuem a mesma “altura” z, a taxa de crescimento ou decrescimento da função na direção tangente a qualquer curva de nível é igual a zero. u u u u CÁLCULO 2 – PÁGINA 15 PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA (fbatista@bol.com.br) Na figura anterior, a segunda derivada parcial em relação a x é positiva, pois a concavidade da curva paralela ao eixo x é para cima. Estamos então sobre o ponto mais baixo da curva. Além disso, a segunda derivada em relação a y também é positiva, indicando que a concavidade da curva paralela ao eixo y também está voltada para cima. Combinando as duas situações, podemos afirmar que localizamos um ponto de mínimo local. Existe ainda um terceiro tipo de ponto crítico, denominado de ponto de sela, que ocorre quando as derivadas parciais em relação a x e a y se anulam e, mesmo assim, não estamos nem sobre um ponto de máximo, nem sobre um ponto de mínimo local. A figura seguinte ilustra um ponto de sela da função: Se apenas derivarmos uma função parcialmente em relação a x e em relação a y, igualando a zero o resultado, não temos condições de afirmar que tipo de ponto crítico localizamos. Para caracterizarmos qual dos três tipos de ponto crítico foi calculado devemos utilizar o determinante Hessiano, ou simplesmente, Hessiano dado por: 2 22 2 2 2 y z xy z yx z x z )y,x(H ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ = As condições para a caracterização dos pontos críticos são apresentadas no quadro a seguir: • Se 0)y,x(H 00 > e 0)y,x( x z 002 2 > ∂ ∂ , então, )y,x( 00 será ponto de mínimo local. • Se 0)y,x(H 00 > e 0)y,x( x z 002 2 < ∂ ∂ , então, )y,x( 00 será ponto de máximo local. • Se 0)y,x(H 00 < , então, )y,x( 00 será ponto de sela. • Se 0)y,x(H 00 = nada se pode afirmar. Exemplo Considere a função: 4y3x3yx)y,x(fz 33 +−−+== Determine os pontos críticos da função e classifique os resultados em pontos de máximo, mínimo ou de sela. CÁLCULO 2 – PÁGINA 16 PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA (fbatista@bol.com.br) Solução As derivadas parciais em relação a x e a y são dadas por: 3x3 x z 2 −= ∂ ∂ 3y3 y z 2 −= ∂ ∂ Os pontos críticos da função podem ser encontrados anulando as derivadas parciais: 03x3 x z 2 =−= ∂ ∂ 03y3 y z 2 =−= ∂ ∂ Temos então um sistema com duas equações e duas variáveis:     =− =− 03y3 03x3 2 2 As soluções do sistema são os pontos: )1,1( , )1,1( − , )1,1(− , )1,1( −− Embora tenhamos encontrado os pontos críticos da função, ainda não sabemos que tipo de ponto crítico é cada um dos pontos calculados. Para isso, precisamos da ajuda do determinante Hessiano conforme as condições dadas no quadro mostrado anteriormente. Vamos calcular as derivadas parciais presentes no Hessiano: x6 x z 2 2 = ∂ ∂ e y6 y z 2 2 = ∂ ∂ 0 xy z yx z 22 = ∂∂ ∂= ∂∂ ∂ Substituindo as derivadas parciais no Hessiano temos a seguinte expressão: xy36 y60 0x6 )y,x(H == Vamos analisar cada ponto crítico encontrado conforme as condições de caracterização dadas anteriormente. • Ponto )1,1( : Como 36 60 06 )1,1(H == e 6)1,1( x z 2 2 = ∂ ∂ , então, )1,1( é ponto de mínimo • Ponto )1,1( − : Como 36 60 06 )1,1(H −= − =− , então, )1,1( − é ponto de sela • Ponto )1,1(− : Como 36 60 06 )1,1(H −= − =− , então, )1,1(− é ponto de sela • Ponto )1,1( −− : Como 36 60 06 )1,1(H = − − =−− e 6)1,1( x z 2 2 −=−− ∂ ∂ , então, )1,1(− é ponto de máximo CÁLCULO 2 – PÁGINA 17 PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA (fbatista@bol.com.br) Observe o gráfico da função 4y3x3yxz 33 +−−+= e comprove os resultados obtidos: As curvas de nível e o campo de gradientes da função 4y3x3yxz 33 +−−+= são mostrados nos gráficos a seguir: Curvas de nível da função Campo de gradientes da função Observe que o sentido das setas do campo de gradientes conduz aos pontos críticos, onde o gradiente é zero. As setas podem convergir de todas as direções para um ponto de máximo (1) ou divergir de um ponto de mínimo para todas as direções (2). Os pontos de sela (3) são caracterizados pela convergência de setas numa direção e divergência de setas em outra direção. )1,1( −− é máximo )1,1( − é ponto de sela )1,1(− é ponto de sela )1,1( é mínimo 1 2 3 3 CÁLCULO 2 – PÁGINA 20 PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA (fbatista@bol.com.br) Projeto de Aplicação: Mínimos Quadrados Suponha que tenhamos um conjunto de dados tabelados que foram obtidos de um experimento qualquer com n valores de x e y: x x1 x2 x3 ... xn y y1 y2 y3 ... yn Precisamos encontrar uma função f(x) que aproxime a tabela com o menor erro possível. Graficamente, podemos ter uma idéia melhor do problema: Podemos descobrir a função f(x) através do método dos mínimos quadrados. Quando as quantidades envolvidas x e y são grandes em relação ao erro calculado, podemos facilmente verificar que esse erro elevado ao quadrado é pequeno e ainda sempre positivo. Deste conceito simples é que surge o método dos mínimos quadrados. Considere o seguinte gráfico: Para a abscissa xi podemos identificar dois valores de y: um corresponde ao valor tabelado yi e o outro correspondente ao cálculo de f(xi), ou seja, substituindo xi na função que aproxima os pontos tabelados. O erro entre o valor tabelado yi e o valor calculado f(xi) é igual a: )x(fyE ii −= O erro elevado ao quadrado é dado por: [ ]2ii2 )x(fyE −= Como f(x) depende de vários parâmetros (constantes), vamos chamar: ,...)c,b,a,x(f)x(f = Quando os valores de a, b, c, ... são conhecidos, a função possui apenas uma variável. Para o nosso caso, conhecemos o valor de x e desconhecemos os valores das constantes. A função então possui várias variáveis. CÁLCULO 2 – PÁGINA 21 PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA (fbatista@bol.com.br) Vamos somar todos os erros cometidos para os valores de xi presentes na tabela. Dessa maneira, a soma dos quadrados dos erros fica: [ ]∑ = −= n 1i 2 ii ,...)c,b,a,x(fy,...)c,b,a(S Para que o valor da soma seja mínimo, devemos calcular: 0 a ,...)c,b,a(S = ∂ ∂ , 0 b ,...)c,b,a(S = ∂ ∂ , 0 c ,...)c,b,a(S = ∂ ∂ , ... Na forma desenvolvida: [ ] 0 a ,...)c,b,a,x(f ,...)c,b,a,x(fy a ,...)c,b,a(S n 1i i ii =∂ ∂ ⋅−= ∂ ∂ ∑ = [ ] 0 b ,...)c,b,a,x(f ,...)c,b,a,x(fy b ,...)c,b,a(S n 1i i ii =∂ ∂ ⋅−= ∂ ∂ ∑ = [ ] 0 c ,...)c,b,a,x(f ,...)c,b,a,x(fy c ,...)c,b,a(S n 1i i ii =∂ ∂ ⋅−= ∂ ∂ ∑ = E assim sucessivamente. Vamos demonstrar a equação da reta que tenha o mínimo de erro ao aproximar um conjunto de dados. A tabela será aproximada pela seguinte função: bax)b,a,x(fy +== Observe que a equação da reta possui apenas duas constantes (a e b). A soma dos erros elevados ao quadrado é dada por: [ ]∑ = −= n 1i 2 ii )b,a,x(fy)b,a(S [ ]∑ = +−= n 1i 2 ii )bax(y)b,a(S As derivadas da função soma são iguais a: [ ] 0x)bax(y2 a )b,a(S n 1i iii =⋅+−−=∂ ∂ ∑ = [ ] 01)bax(y2 b )b,a(S n 1i ii =⋅+−−=∂ ∂ ∑ = Ou melhor: 0bxaxyx n 1i i n 1i 2 i n 1i ii =−− ∑∑∑ === 0baxy n 1i n 1i i n 1i i =−− ∑∑∑ === Ou ainda: 0xbxayx n 1i i n 1i 2 i n 1i ii =−− ∑∑∑ === 0nbxay n 1i i n 1i i =−− ∑∑ == CÁLCULO 2 – PÁGINA 22 PROF. FÁBIO NOGUEIRA BATISTA (fbatista@bol.com.br) Essas duas equações formam o seguinte sistema:        =+ =+ ∑∑ ∑∑∑ == === n 1i i n 1i i n 1i ii n 1i i n 1i 2 i ybnxa yxxbxa Da segunda equação encontramos: n xay b n 1i i n 1i i ∑∑ == − = Substituindo na primeira equação: ∑∑ ∑∑ ∑ == == = = − + n 1i ii n 1i i n 1i i n 1i in 1i 2 i yxxn xay xa ∑ ∑∑∑∑ ∑ = ==== = =−+ n 1i ii n 1i i n 1i i n 1i i n 1i in 1i 2 i yxn xxa n xy xa Multiplicando os dois membros por n: ∑∑∑∑∑∑ ====== =−+ n 1i ii n 1i i n 1i i n 1i i n 1i i n 1i 2 i yxnxxaxyxna ∑∑∑∑∑ ===== −=                   − n 1i i n 1i i n 1i ii 2n 1i i n 1i 2 i yxyxnxxna Enfim, o coeficiente a é encontrado a partir da seguinte fórmula: 2n 1i i n 1i 2 i n 1i i n 1i i n 1i ii xxn yxyxn a         − − = ∑∑ ∑∑∑ == === Vejamos agora um exemplo numérico. Exemplo Suponhamos que um experimento tenha fornecido os seguintes dados: i xi yi 1 1 3 2 2 4 3 3 2,5 4 5 0,5 Qual é a reta que melhor se ajusta aos dados anteriores ?