Exercícios Resolvidos de Matemática - Função Exponencial

Exercícios Resolvidos de Matemática - Função Exponencial

128 Matemática

1(Furg-RS) O valor da expressão

A n n = a) 235b) 4610c) 112d) 465e) 115 8

2(Uniube-MG)SeA=0222023, então A é igual a:

a)3 9 210c)1 0 213

b)213d)221023

A = 2 9 3

Pelos dados, temos: N = 1,23 9 10 ΘN = 1,23 9 10 9 10

N = 12,3 9 10, ou seja, M , N M 0 N = 9,84 9 10 0 12,3 9 10 ΘM 0 N = 10 9 (9,84 0 12,3) M 0 N = 10 9 2,14 M 0 N = 2,214 9 10 M 9 N = 9,84 9 10 9 12,3 9 10 Θ M 9 N = 121,032 9 10 M 9 N = 1,21032 9 10

3(UFRN) Dados os números M = 9,84 9 1015 e N = 1,23 9 1016, pode-se afirmar que:

a)M , Nc)M . N b)M 0 N = 1,07 9 1016d)M 9 N = 1,21 9 1031

4(UAM-SP) Há pouco, Carla procurou-me para mostrar uma coisa interessante. Ela resolveu três equações exponenciais e todas apresentaram o mesmo resultado: x = 2. — Giba, o que é que você acha? Será que é coincidência ou andei errando alguma coisa? — Deixe-me ver, Carla. Quais são as equações?

Ela acertou todas as equações? a)Não, errou a 2a.d)Não, errou todas. b)Não, acertou apenas a 3a.e)Sim, acertou todas. c)Não, errou a 1a e a 3a.

M 7 - Função Exponencial

129 Matemática

Em questões como a 7, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.

(01)

A proposição é falsa.

(02)52 9 (49!) − 2(49!) = 49!(52 − 2) = 49! 50 = 50! A proposição é verdadeira.

A proposição é verdadeira. (08)Substituindo x = 1, vem: 1

= (impossível)

A proposição é verdadeira. (16)2 9 3 − 3 9 2 = 0 Θ2 9 3 = 3 9 2

A proposição é verdadeira. Portanto: 02 0 04 0 08 0 32 = 46

7(UEM-PR) Com relação aos números reais, é correto afirmar que:

(02)52 9 (49!) − 2 9 (49!) = 50!

(04)104410−=−

8(UCDB-MS) O conjunto verdade da equação exponencial e){1, −1} b) −−

Portanto: S = {−1, 1}

Logo:

a){1, 4}c){0, 1}e){ } b){1, 2}d){0, 2}X

Substituindo 2 y, temos:

130 Matemática

10(UFSM-RS) Um piscicultor construiu uma represa para criar traíras. Inicialmente, colocou 1000 traíras na represa e, por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponhase que o aumento das populações de lambaris e traíras

T(t) = T02t, onde L0 é a população inicial de lambaris, T0, a população inicial de traíras, e t, o número de anos que se conta a partir do ano inicial. Considerando-se log 2 = 0,3, o número de lambaris será igual ao de traíras depois de quantos anos? t 0 1 = 8 t = 7 h

1(Cefet-PR) Cientistas de um certo país, preocupados com as possibilidades cada vez mais ameaçadoras de uma guerra biológica, pesquisam uma determinada bactéria que cresce segundo a expressão onde t representa o tempo em horas. Para obter-se uma população de 3125 bactérias, será necessário um tempo, em horas, com valor absoluto no intervalo:

a)]0, 2]c)]4, 6]e)]8, 10] b)]2, 4]d)]6, 8]X

12(UCDB-MS) Certa substância radioativa de massa

M0, no instante t = 0, tende a se transformar em outra substância não radioativa.

Para cada instante t > 0, dado em segundos, a massa da substância radioativa restante obedece à lei M(t) = M0 3−2t. Nessas condições, o tempo necessário, em segundos, para que a massa da substância radioativa seja reduzida a um terço da massa inicial é igual a:

Devemos ter M(t) M 3 . Logo:=

13(Vunesp-SP) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função:

sendo q0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses.

Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início?

A quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade quando

131 Matemática a)Sendo Q(t) = 700 − 400 9 e, temos:

Q(2) = 700 − 400 9 e Q(2) = 700 − 400 9 e

Q(2) Λ 552 b)Q(0) = 700 − 400 9 e

Q(0) = 700 − 400 9 e Q(0) = 700 − 400 Q(0) = 300

Comparando esses resultados, observamos que Q(2) . Q(0), isto é, a eficiência de um funcionário com 2 meses de experiência é maior do que a de um funcionário sem qualquer experiência.

14(FGV-SP) Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por este indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão Q (t) = 700 − 400e−0,5t, onde

Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário t = meses de experiência e Λ 2,7183 a)De acordo com esta expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência deverá produzir mensalmente? b)E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente?

Compare este resultado com o resultado do item a. Há coerência entre eles? b)Duplicando a área corporal, teremos 0,8 m .

15(Vunesp-SP) Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente a área, em metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa, é dada por:

mas. Considere uma criança de 8 kg. Determine:

a)a área da superfície corporal da criança b)a massa que a criança terá quando a área de sua super-

fície corporal duplicar (use a aproximação214=,)

16(Unicamp-SP) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: T(t) = TA 0 ε3ψt, onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no ins- tante t, dado em minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta constante, e ε e ψ são constantes. O referido cor- po foi colocado em um congelador com temperatura de −18 oC. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0 oC após 90 minutos e chegou a −16 oC após 270 minutos.

a)Encontre os valores numéricos das constantes ε e ψ. b)Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é peratura ambiente.

Consideremos que a temperatura T também seja expressa em graus Celsius.

a)Do enunciado, podemos concluir que:

Resolvendo esse sistema, obtemos:

ε 9 3 = 18 ε 9 3 = 2

Θ ε9 ε9 =

O valor de ε é igual a:

ε 9 3 = 18 ε = 54 t = 360 min

132 Matemática a)Candidato A Θ A(0) = 2 9 10(1,6) = 200000 eleitores a)Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B em 1o de janeiro de 2000.

b)Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores.

c)Mostre que, em 1o de outubro de 2000, a razão entre os números de eleitores de A e B era maior que 1.

17(UERJ) Utilize os dados abaixo para responder às questões.

Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao dia 1 de janeiro de 2000.

Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variava em função do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes funções:

Pelos dados, temos: f(d) = 87 Θ 100 − 100 9 e = 87 e = 0,13 d = 10 dias

Utilizando f(d) = 100 − 100 9 e−0,2d e o gráfico acima, a empresa pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for igual a:

19(UERJ) Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido, utilizando uma função f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (d), a partir da data de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo, que representa a função y = ex.

20(UFF-RJ) Em um meio de cultura especial, a quantidade de bactérias, em bilhões, é dada pela função Q definida, para t > 0, por Q(t) = k5kt, sendo t o tempo, em minuto, e k uma constante. A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a 25Q(0). Assinale a opção que indica quantos bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto.

a)pertence ao intervalo (−∃, −3[ b)pertence ao intervalo ]4, +∃) c)pertence ao intervalo ]0, 2[ d)é um número par e)é um número irracional

Se y = 5 Θ 5 = 5 Θ x = 1 Se y = −4 Θ 5 = −4 Θ Ξ x 7 ς Como x = 1, pertence ao intervalo ]0, 2[

Substituindo 5 = y, vem: y(y − 1) = 20 Θ y − y − 20 = 0 c) AB y = e

Q(8) = 312,5

133 Matemática

Quando t = 12 h, temos:

1800 = 600 9 3 Θ 3 = 3 Θ 12k = 1 Θ

12 Quando t = 24 h, obtemos:

21(UMC-SP) O crescimento de uma cultura de bactérias obedece à função N(t) = 600 9 3kt, em que N é o número de bactérias no instante t, sendo t o tempo em horas. A produção tem início em t = 0. Decorridas 12 horas há um total de 1800 bactérias. O valor de k e o número de bactérias, após 24 horas do início da produção, são, respectivamente:

a) 1 12 b) −− c) −

23(UEPG-PR) Dadas as funções definidas por f(x) e g(x)==

(01)os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam. (02)f(x) é crescente e g(x) é decrescente. (04)g(−2) 9 f(−1) = f(1) (08)f[g(0)] = f(1)

Fazendo o gráfico das funções, temos:

Se y

(01)Falso, pois os gráficos se interceptam em:

x = 0

A proposição é verdadeira. Portanto: 04 + 08 + 16 = 28 a)Determine o valor de k.

b)Obtenha as taxas relativas aos anos de 1960 e 2020 (valor estimado), usando o gráfico e a equação anterior.

2(UNI-RIO/Ence-RJ) Conforme dados obtidos pelo IBGE, relativos às taxas de analfabetismo da população brasileira de 15 anos ou mais, a partir de 1960, foi possível ajustar uma curva de equação y = 30kx 0 10, onde k . 0, representada a seguir:

O ano de 2020 corresponde a 2020 − 1960 = 60. Logo:

g(x)1 f(x)

Taxa (%)

Os gráficos se interceptam em (0, 1). (02)Falso, pois f(x) é decrescente e g(x) é crescente.

(04) f(1) ==

A proposição é verdadeira.

(08) g(0) ==

(16)

Logo:

A proposição é verdadeira. a)Sendo x = 30 e y = 20, temos:

134 Matemática

24(Unicamp-SP) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: F(t) = a 9 2−bt, onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes.

a)Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t = 0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.

b)Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 18 da população inicial? c)Esboce o gráfico da função F(t) para t 7 [0, 40].

c)Pelos dados, temos: F(10) = 512

O gráfico de F(t) no intervalo [0, 40] é:

Pelos dados do exercício, temos: a)Para t = 0 Θ F(0) = a 9 2 = 1024 Θ a = 1024

Subtituindo em , vem:

1024 9 2 = 512 Θ 2 = 2 Θ

Temos f(g(x)) = será o valor de f(g(x)). Logo f(g(x)) assumirá um valor mínimo quando 2 0 1 assumir um valor máximo, o que ocorrerá quando g(x) assumir um valor máximo. Como g(x) = 3 0 2x − x, trata-se de uma função quadrática e, como o coeficiente de x é negativo, seu gráfico é uma parábola com concavidade para baixo e, portanto, ela assumirá um valor máximo, o qual ocorrerá quando o valor de x for igual à abscissa do vértice, isto é, quando

9−=21() Assim g(1) é o valor máximo assumido pela função g e, portanto, o valor mínimo da composta será

25(UFCE) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f(x) = e g(x) = 3 0 2x − x2. O valor mínimo de f(g(x)) é:

Devemos ter P . 31000. Logo: 32000(1 − 2) . 31000 Θ32(1 − 2) . 31 32 − 32 9 2 . 31 −32 9 2 . −1 32 9 2 , 1

26(Unipac-MG) A relação P = 32000 9 (1 − 2−0,1t) descreve o crescimento de uma população P de bactérias, t dias após o instante 0. O valor de P é superior a 31000 se, e somente se, t satisfizer à condição:

a)t . 50c)t . 16e)32 , t , 64 b)t , 30d)2 , t , 16 X t = 30 anos

F(x)

135 Matemática

27(ITA-SP) Seja a 7 ς com a . 1. O conjunto de todas as soluções reais da inequação a2x(1 − x) . ax − 1 é:

c)X

Se a 7 ς com a . 1, então:

a . a Π 2x(1 − x) . x − 1 Π 2x − x − 1 , 0 Π

O conjunto solução é, pois, x = 4 x = 1

29(UNI-RIO) Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula m = −32t − 3t 0 1 0 108. Assim sendo, o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar este material antes que ele se volatilize totalmente é:

a)inferior a 15 minutos. b)superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos. c)superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos. d)superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos. e)superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos.

Voltando na inequação inicial, temos: −12 , 3 , 9 logo, −12 , y , 9

Estudando o sinal, temos:

Devemos ter:

30(UFOP-MG) Determine o domínio da função:

Resolvendo a equação y 0 3y − 108 = 0 Analisando o sinal, temos:

136 Matemática

os quais14842<,x

a)[0, 12[c)[0, 6[e)[0, 3[ b)[0, 8[d)[0, 4[

S = {x 7 ς\0 < x , 12} = [0, 12[ Fazendo a intersecção, temos:

x > 0 x , 12

3 (UFF-RJ) a)Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio:

. tem-se que 2 . 3.”

Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão absurda.

b)Sem cometer o mesmo erro que José, determine o menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz à inequação:

a)José cometeu o erro na última etapa de seu raciocínio, uma vez que a função exponencial dada por é decrescente, ou seja, à medida que aumentamos o valor de x, o valor de f(x) diminui.

Conclui-se que o menor número inteiro e positivo m que satisfaz a inequação é 2.

m m

32(UESPI) Seja S o conjunto solução da inequação x2 x Então:.

a)S = ςd)S = {x 7 ς: x . 2} b)S = {x 7 ς: x , 7}e)S = {x 7 ς: x , 1} c)S = {x 7 ς: x , −7}X

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