topologia pdf

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(Parte 3 de 10)

El hecho antes mencionado de que ℵ0 < c se deduce ahora del teorema, porque |R| = |P(N)|. Esto ultimo puede mostrarse usando la numeracion binaria de los reales entre 0 y 1 (que son biyectables a todo R). Hace falta observar que para todo conjunto A, se tiene que

La biyeccion natural es la que manda cada B ⊆ A a su “funcion caracterıstica”. La inversa esta dada por 2A 3 f 7→ f−1({1}).

1.6 Conjuntos Numerables

Diremos que un conjunto A es numerable si es finito o biyectable con N. En otras palabras, si |A| ≤ ℵ0 . Ahora veremos que los conjuntos infinitos numerables son los menos infinitos posibles (lo que, de paso, justifica la observacion anterior).

Teorema 1.6.1. Sea A un conjunto infinito. Entonces existe un B ⊆ A tal que |B| = ℵ0 (o sea que B es infinito y numerable). En otras palabras, vale que ℵ0 ≤ α para todo cardinal infinito α.

Demostracion. La prueba usa el proceso recursivo que mencionabamos antes: Como A 6= ∅,

Corolario 1.6.2. Un conjunto A es infinto si y solo si existe un

X ⊆ A tal que X 6= A pero |A| = |X| . O sea que los infinitos son los que son biyectables a una parte propia.

Demostracion. Observar que N es biyectable con 2N = { numeros pares } vıa la funcion N 3 n 7→ f(n) = 2n ∈ 2N. Es facil ver que esta propiedad se puede transladar a cualquier conjunto B con |B| = ℵ0 . Tomando ahora cualquier conjunto infinito A, por el Teo.1.6.1 tenemos un tal B dentro de A. Luego definiendo una funcion como la identidad en A \ B y como la biyeccion anterior entre B y una mitad de B, obtenemos la biyeccion de A con una parte propia que buscabamos. Por otra parte, es claro que los conjuntos finitos no pueden tener esa propiedad. Una prueba formal podrıa hacerse por induccion, o mas bien por buena ordenacion. Porque la unica parte propia de un singuelete es el vacıo.

Enumeraremos ahora varias propiedades de los conjuntos numerables que se usaran intensamente en el resto del texto:

1. Producto de numerables es numerable: Dados A y B numerables, entonces tambien se tiene que |A × B| ≤ ℵ0 .

2. Union nuerable de numerables es numerable: Dada una sucesion {An}n∈N de conjuntos numerables, se tiene que ∣∣ ⋃

3. Partes finitas de un numerable es numerable: Dado un conjunto A, definamos

Las pruebas se basan en el hecho de que se puede construir una biyeccion entre N y N × N. Mas facil aun, dos inyecciones para ambos lados. Una es obvia. La otra puede ser

Este resultado se translada para obtener 1. Y de ahı de deduce facilmente 2. En efecto, fijando sendas funciones sobre fn : N → An (que se pueden elegir todas de un saque por el AdE), tomamos la funcion sobre

Capıtulo 2 Espacios topologicos

Definir una topologıa en un conjunto X es darle una familia τ ⊆ P(X) de subconjuntos abiertos. Este solo hecho sera suficiente para desarrollar gran parte del analisis basico en X, permitiendo definir nociones como

• Conjuntos cerrados.

• Clausuras, interior y borde de subconjuntos.

• Entornos de un punto.

• Convergencia (de redes, las sucesiones no alcanzan).

• Funcions continuas (que son las flechas de la categorıa de espacios topologicos).

• Compacidad, conexidad, etc.

Este tipo de objetos y propiedades son las llamadas propiedades topologicas de (X,τ). Esta teorıa es la abstraccion maxima de las propiedades basicas del analisis, y es tan general que se confunde con la misma teorıa de conjuntos. Hay topologıa en todas las ramas de la matematica.

Las convenciones, definiciones y resultados basicos de la topologıa fueron desarrollados en las primeras decadas del siglo X, y fueron mejorandose hasta los mınimos detalles hasta estos dıas. Por eso, hoy en dıa estan tan “decantados” que la mayorıa de las demostraciones son, o bien cuasi-triviales, o bien algo mas complicadas pero ya no es posible mejorarlas o simplificarlas.

Lo mas importante de la teorıa es que desarrolla un lenguaje unificado que es comun a todos los matematicos, y que resulta un abc de las herramientas de trabajo en todas las ramas de la matematica. El desconocimiento de este lenguaje (o mas bien esta pauta de concepcion de los objetos y sus propiedades) es lo que suele incomodar a los especialistas de otras ciencias al tener que encarar problemas matematicos, y sobre todo al tener que iteractuar con matematicos al respecto.

Las definiciones, nombres y lineamientos de esta teorıa son fuertemente convencionales, en el sentido de que podrıan haberse hecho de muchas otras maneras. Pero la version que hoy se estudia ha sido el fruto de muchos anos de discusiones, y de un consenso final (salvo en algunos detalles menores) que, afortunadamente, hoy en dıa abarca a toda la comunidad matematica.

2.1 Definiciones basicas

Definicion 2.1.1. Sea X un conjunto. Una topologıa en X es un sistema de subconjuntos τ ⊆ P(X) que verifica las siguientes tres propiedades basicas.

En otras palabras, τ es una topologıa si contiene a X y ∅, y es cerrada por uniones arbitrarias y por intersecciones finitas.

En tal caso, decimos que el par (X,τ) es un espacio topologico (ET). Si no hay ambiguegdad sobre que topologıa se esta usando, escribiremos X solo en lugar de (X,τ). Los elementos de τ se llamaran subconjuntos abiertos (o τ-abiertos) de X. N

La familia mas conocida de espacios topologicos proviene de dotar a un conjunto X de una metrica o distancia:

Definicion 2.1.2. Sea X un conjunto. Una metrica en X es una funcion d : X ×X → R≥0 que verifica las siguientes propiedades: Dados x,y,z ∈ X,

3. d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y), o sea que d cumple la desigualdad triagular. En tal caso, (X,d) es un espacio metrico, y usaremos las notaciones:

son la bola abierta y la bola cerrada de centro x y radio N.

2. Un conjunto A ⊆ X es abierto (o d-abierto) si para todo x ∈ A existe un ε > 0 tal que B(x,ε) ⊆ A.

3. Dados A,B ⊆ X, la distancia entre ellos es

Observacion 2.1.3. Si (X,d) es un espacio metrico, es facil ver que el sistema de conjuntos τd = {A ⊆ X : A es d-abierto } es una topologıa en X. Pensando al reves, si τ es una topologıa para X, diremos que el espacio topologico (X,τ) es metrizable si existe alguna distancia d en X tal que τ = τd .

La mayorıa de los espacios topologicos son metrizables. Sin embargo, hay dos razones importantes para que las teorıas topologica y metrica se desarrollen separadamente (o en paralelo). Por un lado, existen importantes ejemplos en la matematica de espacios topologicos no metrizables (pocos pero buenos). Por otro lado, las dos teorıas hacen incapie en aspectos bien diferenciados entre sı, hasta el punto de que es usual hablar de propiedades topologicas (como las enumeradas al principio del capıtulo) y de propiedades metricas. Como ejemplo de estas ultimas, podemos mencionar propiedades como “ser acotado”, ser “completo”, diametro, sucesiones de Cauchy, etc. Todas estas son puramente metricas y no tienen un correlato topologico. N

A continuacion seguiremos introduciendo lenguaje topologico: Definicion 2.1.4. Sea (X,τ) un ET y fijemos un punto x ∈ X. 1. Diremos que un conjunto

A ⊆ X es un entorno de x si existe U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ A .

A se llamara entorno abierto de x si se tiene que x ∈ A y el mismo A ∈ τ.

falta especificar el espacio o la topologıa en cuestion, escribiremos OX(x) o tambien Oτ(x). Lo mismo para Oa(x).

3. Dado un conjunto Y ⊆ X denotaremos por al interior de Y . Los elementos x ∈ Y ◦ se llamaran puntos interiores de Y . N

Demostracion. Sea x ∈ A◦, y sea U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ A. Por la definicion de ser entorno, vemos que todos los otros y ∈ U tambien cumplen que A ∈ O(y). Es decir que U ⊆ A◦. De ahı podemos deducir que

Es claro que esta igualdad sirve para demostrar los primeros 5 items del enunciado. Como A◦ ∩ B◦ ⊆ A ∩ B y es abierto, el ıtem 5 asegura que A◦ ∩ B◦ ⊆ (A ∩ B)◦. La otra inclusion tambien se deduce de la Ec.(2.2).

2.2 Cerrados, lımites y clausuras

Sea (X,τ) un ET. Los subconjuntos cerrados de X seran los complementos de los conjuntos abiertos. Es decir, F ⊆ X es cerrado si y solo si X \ F ∈ τ. Usando la Def.2.1.1 y las leyes de De Morgan (Ejer.1.1.1), tenemos las siguientes propiedades:

• Intersecciones arbitrarias de cerrados son cerradas.

• Uniones finitas de cerrados son cerradas.

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