Aula 01 - Número, a Linguagem da Ciência

Aula 01 - Número, a Linguagem da Ciência

(Parte 1 de 2)

Fısica Matematica I

Jorge L. deLyra Aula de 4 de Agosto de 2010

01: Numero, a Linguagem da Ciencia

A matematica e a linguagem na qual a ciencia natural e formulada. Em particular, o uso de numeros e essencial para representar os aspectos quantitativos da ciencia. Na fısica estamos habituados a usar o corpo dos numeros reais como uma ferramenta basica para a descricao da natureza. Os numeros sao utilizados tanto na descricao quantitativa de resultados experimentais quanto na estrutura matematica das teorias da fısica, cuja funcao e descrever as relacoes que existem entre estes resultados experimentais, levando assim a compreensao da natureza.

A definicao matematica de um corpo K consiste de um conjunto de numeros e de duas operacoes aritmeticas definidas sobre estes numeros, a adicao ou soma e a multiplicacao ou produto. A existencia destas duas operacoes e essencial para a maior parte das aplicacoes fısicas. O conjunto e um corpo se as duas operacoes podem ser definidas para todos os pares de elementos do conjunto e tem as propriedades que seguem.

Operacao de Adicao:

Fechamento: a,b ∈ K ⇒ a+b ∈ K. Existencia do elemento neutro: ∃ 0 ∈ K tal que a + 0 = a, ∀a ∈ K. Existencia de inverso: ∃ − a ∈ K tal que a + (−a) = 0, ∀a ∈ K. Comutatividade: a,b ∈ K ⇒ a+b = b+a. Associatividade: a,b,c ∈ K ⇒ (a + b) + c = a + (b + c).

Operacao de Multiplicacao:

Fechamento: a,b ∈ K ⇒ ab ∈ K. Existencia do elemento neutro: ∃ 1 ∈ K tal que 1a = a, ∀a ∈ K. Existencia de inverso: ∃ a−1 ∈ K tal que a−1 = 1, ∀a ∈ K exceto a = 0. Comutatividade: a,b ∈ K ⇒ ab = ba. Associatividade: a,b,c ∈ K ⇒ (ab)c = a(bc).

Distributividade do produto em relacao a soma: a,b,c ∈ K ⇒ a(b + c) = ab + ac.

Toda a aritmetica real que usamos cotidianamente na fısica pode ser deduzida deste conjunto de propriedades basicas, que vale para o corpo R dos numeros reais. Elas sao essenciais para que se possa interpretar nocoes de quantificacao ou de medida em termos dos numeros reais, ou de algum subconjunto dos numeros reais.

Este uso aparente de numeros reais e tao difundido que sua importancia chega a ser exagerada, gerando a impressao de que o uso de numeros reais e um fator conceitualmente fundamental e essencial da ciencia natural. Vamos argumentar aqui que isto nao e verdadeiro, devido ao fato de que, tanto na pratica da atividade experimental quanto na estrutura da teoria, com o advento da mecanica quantica relativıstica, os resultados de experimentos so podem ser determinados com uma quantidade finita de precisao.

Pode-se pensar em usar as operacoes e propriedades listadas acima para fazer uma construcao explıcita dos numeros reais a partir de um conjunto mais simples que podemos assumir como entendido intuitivamente a priori. Um conjunto muito simples e, por exemplo, o conjunto infinito mas discreto N dos numeros naturais, ou seja os inteiros positivos, que e um sub-conjunto do corpo dos numeros reais. O conjunto N nao e, entretanto, um corpo, e sera preciso aumenta-lo para que obtenhamos um conjunto que satisfaca a todas as propriedades de um corpo.

Tomando este conjunto simples e intuitivo como o conjunto inicial de nossa construcao, impomos que exista um elemento neutro da adicao, o que nos forca a acrescentar o elemento 0 (zero) ao conjunto. Alem disso, se impusermos que exista o inverso da soma para estes numeros, somos levados a acrescentar ao conjunto os numeros inteiros negativos. Com isto obtemos o conjunto I de todos os numeros inteiros, no qual valem todas as propriedades relativas apenas a operacao de adicao. Entretanto, ainda nao temos aqui um corpo, pois nem todas as propriedades da multiplicacao valem em I.

Podemos agora continuar a construcao impondo a existencia do inverso do produto destes numeros, o que nos leva a introduzir as fracoes inteiras, e eventualmente ao conjunto de todos os numeros que podem ser expressos como p/q onde p e q sao inteiros, ou seja, como o produto de um inteiro pelo inverso de algum outro inteiro. Isto nos leva ao conjunto Q dos numeros racionais, que satisfaz de fato a todas as propriedades de um corpo, incluindo as de fechamento. Portanto ja temos aqui um corpo, o corpo dos numeros racionais.

Este corpo tem tambem a propriedade de ser ordenado, ou seja, dados dois numeros do conjunto e sempre possıvel decidir qual deles e o maior, propriedade esta que tambem vale para os numeros reais. Dizemos que os pares de numeros tem uma propriedade de tricotomia: dados a,b ∈ Q, uma e apenas uma de tres coisas e verdade: a > b, a = b ou a < b. O corpo dos numeros racionais e conceitualmente suficiente para descrever todos os possıveis resultados de experimentos e as relacoes entre eles. Entretanto, muitas vezes esta pode nao ser a forma mais simples de se proceder.

Como ja obtivemos um corpo, por um momento pode parecer que neste ponto completamos nossa construcao. Entretanto, podemos de fato continuar a construcao de forma a obter corpos maiores do que Q e que o contem como um subconjunto. Se tentarmos representar geometricamente os numeros racionais, colocando-os sobre uma linha reta, podemos ver que eles nao enchem a reta de forma completa, pois existem pontos da reta, os quais podem ser definidos por meio de argumentos puramente geometricos, que nao podem ser expressos como a razao de dois inteiros. De fato, pode-se mostrar que o conjunto Q e enumeravel, ou seja que tem o mesmo numero de elementos que o conjunto N. Por outro lado, o mesmo nao e verdade para os numeros reais, que tem infinitamente mais elementos do que Q ou N.

Pode-se mostrar que o conjunto Q enche a reta real num sentido que, de forma geral, e suficiente para as aplicacoes da fısica, mas que ainda e um tanto limitado do ponto de vista matematico: uma vez colocados todos os racionais sobre a reta, nao sobra nela nenhum intervalo vazio de comprimento nao-nulo, ou seja, nao sobra nenhum buraco finito. Ha, entretanto um conjunto infinito muito grande de buracos infinitesimais, de comprimento zero. Dizemos que o conjunto Q e denso na reta real, mas que ele nao a completa, ou seja, ele nao e um conjunto completo.

E relativamente simples demonstrar este fato por reducao ao absurdo. Para isto, imaginemos que houvesse um intervalo da reta dentro do qual nao ha nenhum numero racional.

Digamos que este intervalo fosse (r−,r+), onde tomamos o intervalo aberto pois nao sabemos se os numeros reais r− ou r+ sao racionais. O comprimento deste intervalo e o numero real ∆ = r+ − r− > 0. Podemos assumir que este intervalo nao pode ser aumentado, pois caso contrario, basta aumenta-lo ao maximo possıvel antes de iniciar o argumento. Este au- mento nao pode nunca tornar o intervalo infinito, devido a existencia dos numeros inteiros, que sao racionais. De fato, devido a isto sabemos de antemao que ∆ < 1.

Certamente que ha um numero racional q+ maior do que r+, por exemplo o primeiro numero inteiro maior do que r+. O mesmo e verdade para um numero racional q− que e menor do que r−. Certamente que e possıvel escolher q+ e q− de tal forma que eles estejam a uma distancia menor do que, por exemplo, ∆/10 das respectivas pontas do intervalo, pois caso contrario seria possıvel aumentar o intervalo. Basta agora considerar a media aritmetica de q+ e q−,

que tambem e um numero racional, uma vez que q+, q− e 2 sao racionais e os numeros racionais formam um corpo. Nao e difıcil ver, da geometria do problema, que q esta contido no intervalo original, o que e absurdo pois este intervalo por hipotese nao deveria conter nenhum numero racional. Assim, mostramos que nao pode existir nenhum intervalo com comprimento ∆ nao nulo que nao contenha nenhum numero racional.

A definicao de subconjunto denso na reta e que, dado um ponto qualquer da reta e uma distancia δ, e sempre possıvel achar um elemento de Q a uma distancia menor do que δ daquele ponto. Do argumento acima, segue que Q e um subconjunto denso da reta. Entretanto, nem todo ponto que e possıvel definir na reta pertence de fato a Q. Um exemplo tradicional disto e o numero √ 2, o comprimento da diagonal do quadrado de lado unitario.

Podemos mostrar que √ 2 nao e racional usando o fato de que a decomposicao de um numero inteiro em fatores primos e unica. Se um numero inteiro n e decomposto em um produto de fatores primos pi onde todos os pi sao diferentes uns dos outros, e tambem pode ser decomposto em um produto diferente de fatores primos qi onde todos os qi sao diferentes uns dos outros, entao temos que

Simplificando quaisquer fatores comuns aos dois lados desta igualdade, e assumindo que as duas decomposicoes nao sejam identicas, resta uma igualdade entre produtos de numeros primos

onde todo pi e diferente de cada um dos qi. Isolando um dos numeros primos obtemos a partir disto

o que e impossıvel, pois o lado direito da equacao nao e inteiro, uma vez que o produto de numeros primos no numerador nao e divisıvel pelo conjunto de numero primos no denominador. Assim, vemos que e impossıvel termos uma igualdade como onde todo pi e diferente de cada um dos qi. Voltando a questao do numero r = √ 2, se assumirmos que ele e racional, entao existem inteiros p e q tais que

onde decompusemos p e q em seus fatores primos e cancelamos todos os fatores comuns.

Como p e q sao dois numeros diferentes, restam dois conjuntos de numeros primos pi e qi todos diferentes entre si, e como r nao e inteiro, ha pelo menos um elemento qi no denominador. Se tomarmos agora o quadrado desta equacao, onde r2 = 2, obtemos

o que nao e possıvel pois o lado direito nao e um numero inteiro. Segue que √ 2 nao pode ser escrito como p/q para p e q inteiros, e portanto que √ 2 nao e um numero racional.

Considerando-se que as raızes dos numeros inteiros tipicamente nao sao racionais, neste ponto pode-se considerar uma generalizacao dos numeros racionais, adicionando-se a eles as raızes de numeros inteiros ou, de forma mais geral, todas as raızes reais dos polinomios de todas as ordens com coeficientes racionais. O conjunto resultante e chamado de conjunto dos numeros algebricos, mas trata-se na verdade de uma generalizacao ainda incompleta, que nao inclui, por exemplo, o numero pi. Assim como no caso dos numeros racionais, podese mostrar que este conjunto possui uma infinidade enumeravel de elementos. De qualquer forma, vemos aqui que a generalizacao dos numeros racionais esta associada ao conceito de funcao, neste caso aos polinomios, que envolvem algoritmos para a manipulacao destes numeros.

A maior generalizacao possıvel dos numeros racionais, de forma a cobrir todos os buracos infinitesimais deixados pelos numeros racionais na reta, envolve a introducao em nossa discussao de processos infinitos, o que constitui um dos mais difıceis e importantes aspectos da matematica abstrata. E aqui que entra o conceito de limite, que e um dos fundamentos do calculo integral e diferencial. Pode-se mostrar que a maior generalizacao possıvel consiste de se acrescentar ao conjunto Q os limites de todas as possıveis sequencias infinitas convergentes de numeros racionais, o que nos leva ao conjunto R dos numeros reais.

A demonstracao de que isto e uma generalizacao completa e difıcil e esta alem dos nossos objetivos aqui. A demonstracao de que o conjunto resultante e um corpo pode ser feita atraves da generalizacao das operacoes aritmeticas para as sequencias infinitas de numeros racionais. Do ponto de vista geometrico o corpo R dos numeros reais pode ser identificado de forma biunıvoca com uma reta infinita orientada, que denominamos entao de reta real, onde os numeros sao interpretados como as distancias de cada ponto da reta a partir da origem, que e associada ao zero.

A completicidade de R em relacao a reta nao significa mais do que uma relacao biunıvoca completa entre os numeros reais e os pontos da reta, ou seja, nao ha nenhum ponto da reta que nao corresponda a um numero real, e nao ha nenhum numero real que nao corresponda a um ponto da reta. Outra forma, esta mais algorıtmica, de se expressar esta relacao entre elementos aritmeticos e geometricos e dizer que nao ha nenhuma forma de se produzir um numero real, usando as duas operacoes aritmeticas que existem sobre eles, mesmo com um numero infinito de passos, que nao esteja representado como um ponto na reta, e que nao e possıvel produzir nenhum ponto da reta por meios puramente geometricos que nao possa ser representado atraves de uma sequencia, possivelmente infinita, de operacoes aritmeticas com numeros reais.

Podemos ilustrar tanto os numeros racionais quanto os numeros reais em termos de sua representacao decimal. Note-se entretanto que nao ha nada de matematicamente fundamental em relacao a representacao decimal, e que o mesmo poderia ser feito com a representacao em qualquer outra base, tal como a binaria, por exemplo. Tipicamente os numeros racionais podem ser representados por um numero finito de dıgitos decimais, como por exemplo ou por um numero infinito de dıgitos que apresenta entretanto um padrao periodico a partir de um determinado dıgito, como por exemplo

= 2.6

Por outro lado, numeros reais que nao sao racionais, que sao chamados de numeros irracionais, sao representados por um numero infinito de dıgitos que nao apresenta nenhum padrao periodico, como por exemplo

pi = 3.141592653589793

O uso do contınuo dos numeros reais e frequentemente, mas nem sempre, um recurso simplificador muito desejavel. Conceitualmente, entretanto, o uso dos numeros reais nao e uma necessidade da fısica, mas apenas um recurso simplificador, que portanto so deve ser usado quando de fato simplifica as coisas. Na fısica estamos limitados a fazer apenas um numero possivelmente grande mas certamente finito de medidas, todas elas fornecendo resultados com precisao finita. E perfeitamente possıvel que as relacoes entre estas medidas, cuja descricao e a tarefa da fısica teorica, sejam expressas e compreendidas de forma mais simples com o uso do contınuo, mas isto nao quer dizer que uma teoria ou um metodo que nao usem ou sejam aplicaveis ao contınuo estejam necessariamente errados ou incompletos, apenas por este motivo. Podemos entao formular a seguinte afirmacao, que e suficientemente importante para ser colocada em destaque:

O uso do corpo R na fısica e frequentemente, mas nao sempre, muito util, entretanto ele nao e uma necessidade conceitual da fısica. O contınuo e um conceito abstrato, que nao esta diretamente acessıvel atraves de medidas fısicas.

Neste texto faremos algumas vezes uso de metodos discretos, sem qualquer preocupacao de que eles incluam uma representacao fiel do contınuo. Sera suficiente que a reta real seja representada de forma suficiente por um subconjunto que seja denso nela, tal como o corpo Q. Nao hesitaremos, entretanto, em usar resultados validos no contınuo, toda vez que isto se mostrar util e contribuir para simplificar nossos argumentos.

Como um exemplo da suficiencia de Q na fısica, podemos citar o problema do calculo do perımetro de um disco de raio unitario. A circunferencia do disco pode ser aproximada por um polıgono, o que e uma forma de se fazer um calculo aproximado de pi, que e irracional. Entretanto, um disco material, que e feito necessariamente de atomos e moleculas, nao tem nem o raio nem a circunferencia definidos de forma exata, e na melhor das hipoteses pode ser definido atraves de um numero inteiro N de moleculas, alinhadas ao redor da circunferencia, e com distancias consecutivas flutuantes. Assim, conceitualmente a medida da circunferencia reside no conjunto N e, dada uma unidade de medida, nao podemos fazer mais do que descrever aproximadamente o comprimento da circunferencia, para o que nos basta o uso do corpo Q.

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