Resumo-pa..Raciocínio Lógico, Resumos de Matemática

Baixe Resumo-pa..Raciocínio Lógico e outras Resumos em PDF para Matemática, somente na Docsity! Raciocínio Lógico A Lógica é uma ciência com características matemáticas, mas está fortemente ligada à Filosofia. Ela cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar humano. Aristóteles, filósofo grego (384–322 a.C) em sua obra "Órganon", distribuída em oito volumes, foi o seu principal organizador. George Boole (1815– 1864), em seu livro "A Análise Matemática da Lógica", estruturou os princípios matemáticos da lógica formal, que, em sua homenagem, foi denominada Álgebra Booleana. No século XX, Claude Shannon aplicou pela primeira vez a álgebra booleana em interruptores, dando origem aos atuais computadores. Desde 1996, nos editais de concursos já inseriam o "Raciocínio Lógico" em suas provas. Existem muitas definições para a palavra “lógica”, porém no caso do nosso estudo não é relevante um aprofundamento nesse ponto, é suficiente apenas discutir alguns pontos de vista sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis do pensamento”, e neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento é matéria estudada na Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). Segundo Irving Copi, uma definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, pois a sua idéia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos envolvidos nele. "Lógica: Coerência de raciocínio, de idéias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequência coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas." (dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica é a ciência do raciocínio. Assim concluímos que a lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições. Veremos nas próximas linhas a definição do que venha a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposições denominadas premissas ou conclusões. Dica: A esmagadora maioria das questões de raciocínio lógico exigidas em concursos públicos necessita de uma forma ou de outra, de conhecimentos básicos de matemática. Este é o motivo para que façam paralelamente à matéria de raciocínio lógico propriamente dito uma revisão dos principais tópicos da matemática de nível secundário. Concomitantemente com a revisão acima mencionada, devem estudar todas as grandes famílias de problemas consideradas de raciocínio lógico, e a maneira mais rápida de resolvê- los. Muitas questões podem ser resolvidas pela simples intuição. Porém, sem o devido treinamento, mesmo os melhores terão dificuldade em resolvê-las no exíguo tempo disponível nos concursos. Grande parte dos problemas de Raciocínio Lógico, como não poderia deixar de ser, serão do tipo “charada” ou “quebra-cabeças”. Alguns problemas que caem nos concursos exigem muita criatividade, malícia e sorte, e, a não ser que o candidato já tenha visto coisa similar, não podem ser resolvidos nos três a cinco minutos disponíveis para cada questão. Muitos candidatos, mesmo devidamente treinados não terão condições de resolvê-los. Nosso conselho é que não devem se preocupar muito. Esses problemas irrespondíveis no tempo hábil não passam de 20% das questões de Raciocínio Lógico exigidas nos concursos públicos. Uma base sólida de matemática será suficiente para resolver pelo menos 50% dos problemas. Os outros 30% podem ser resolvidos pela aplicação direta dos métodos de raciocínio lógico que estudarão. Portanto veremos alguns conceitos sobre lógica e, posteriormente, alguns testes para avaliação do aprendizado. No mais, já servindo como dica, raciocínio lógico deve ser estudado, principalmente, através da prática, ou seja, resolução de testes. Pode, à primeira vista, parecer complexa a disciplina "Raciocínio Lógico". Entretanto, ela está ao alcance de toda pessoa que memorize as regras e exercite bastante. Portanto, mãos à obra. Proposições e seus Valores Lógicos Sentenças ou Proposições Uma proposição é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa. Ela é o significado da afirmação, não um arranjo preciso das palavras para transmitir esse significado. Princípios - Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. - Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor. a) “O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo”é um proposição verdadeira. b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira. c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa. As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas. Os conectivos serão representados da seguinte forma: corresponde a “não” 2 2 2 7 corresponde a “e” 2 2 2 8 corresponde a “ou” 2 1 D 2 corresponde a “então” 2 1 D 4 corresponde a “se somente se” Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar: • Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b) • Disjunções: a ∨ b (lê-se: a ou b) • Condicionais: a ⇒ b (lê-se: se a então b) • Bicondicionais: a ⇔ b (lê-se: a se somente se b) Exemplo “Se Cacilda é estudiosa então ela passará no AFRF” Sejam as proposições: p = “Cacilda é estudiosa” q = “Ela passará no AFRF” Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma: Se p então q (ou p ⇒q) Exercícios 1. Dois números somados totalizam 510. Sabe-se que um deles está para 8, assim como o outro está para 9. Quais são os dois números? 2. Um número a somado a um outro número b totaliza 216. a está para 12, assim como b está para 15. Qual o valor de a e de b? 3. Um número a subtraído de um outro número b resulta em 54. a está para 13, assim como b está para 7. Qual o valor de a e de b? 4. A diferença entre dois números é igual a 52. O maior deles está para 23, assim como o menor está para 19. Quais são os números? 5. A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos? 6. O peso de uma sacola em kg está para o peso de uma outra sacola também em kg, assim como 32 está para 28. Quanto pesa cada uma das sacolas, sabendo-se que juntas elas pesam 15kg? 7. A soma de dois números é igual a 46. O primeiro está para o segundo, assim como 87 está para 51. Quais são os números? 8. Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. a está para b, assim como 825 está para 627. Qual o valor de a e de b? 9. Quatro números, 72, 56, 90 e x, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor da quarta proporcional x? 10. Quatro números, x, 15, 15 e 9, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor da terceira proporcional x? Respostas 1) Solução: Chamemos o primeiro número de a e o outro número de b. Do enunciado, tiramos que a está para 8, assim como b para 9. Utilizando-nos da terceira propriedade das proporções temos: Sabemos que a e b somados resultam em 510, assim como a adição de 8 a 9 resulta em 17. Substituindo estes valores na proporção teremos: Portanto: 2) Solução: Recorrendo à terceira propriedade das proporções montamos a seguinte proporção: Sabemos que a soma de a com b é igual a 216, assim como também sabemos que 12 mais 15 totaliza 27. Substituindo tais valores teremos: Portanto: 3) Solução: Recorremos à terceira propriedade das proporções para montarmos a seguinte proporção: Sabemos que a diferença entre a e b é igual a 54, e sabemos também que 13 menos 7 dá 6. Substituindo tais valores teremos: Portanto: 4) Solução: Vamos chamar o número maior de a e o menor de b. Do enunciado, a está para 23, assim como b está para 19. Ao utilizarmos a terceira propriedade das proporções temos: Sabemos que a menos b é igual a 52, assim como 23 menos 19 é igual a 4. Ao substituirmos estes valores na proporção teremos: Portanto: 5) Solução: Identifiquemos a idade de Pedro por a e a idade de Paulo por b. A partir do enunciado, temos que a está para b, assim como 5 está para 6. Utilizando-nos da segunda propriedade das proporções temos: Sabemos que a soma a e b resulta em 55, assim como 5 mais 6 resulta em 11. Substituindo estes valores na proporção temos: Para calcularmos o valor de a temos: 2. Se ele me ama então casa comigo. Ele me ama. __________________________ Ele casa comigo. 3. Todos os brasileiro são humanos. Todos os paulistas são brasileiros. __________________________ Todos os paulistas são humanos. 4. Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho. Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho. __________________________ Todos os jogadores receberão o bicho. Observação: No caso geral representamos os argumentos escrevendo as premissas e separando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes. Veja exemplo extraído do Irving M. Copi. Premissa: Todos os sais de sódio são substâncias solúveis em água. Todos os sabões são sais de sódio. ____________________________________ Conclusão: Todos os sabões são substâncias solúveis em água. Os argumentos, em lógica, possuem dois componentes básicos: suas premissas e sua conclusão. Por exemplo, em: “Todos os times brasileiros são bons e estão entre os melhores times do mundo. O Brasiliense é um time brasileiro. Logo, o Brasiliense está entre os melhores times do mundo”, temos um argumento com duas premissas e a conclusão. Evidentemente, pode-se construir um argumento válido a partir de premissas verdadeiras, chegando a uma conclusão também verdadeira. Mas também é possível construir argumentos válidos a partir de premissas falsas, chegando a conclusões falsas. O detalhe é que podemos partir de premissas falsas, proceder por meio de uma inferência válida e chegar a uma conclusão verdadeira. Por exemplo: 1. Premissa: Todos os peixes vivem no oceano. 2. Premissa: Lontras são peixes. 3. Conclusão: Logo, focas vivem no oceano. Há, no entanto, uma coisa que não pode ser feita: a partir de premissas verdadeiras, inferirem de modo correto e chegar a uma conclusão falsa. Podemos resumir esses resultados numa tabela de regras de implicação. O símbolo à denota implicação; A é a premissa, B é a conclusão. Regras de Implicação Premissas Conclusão Inferência A B A à B Falsas Falsa Verdadeira Falsas Verdadeira Verdadeira Verdadeiras Falsa Falsa Verdadeiras Verdadeira Verdadeira - Se as premissas são falsas e a inferência é válida, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa (linhas 1 e 2). - Se as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a inferência é inválida (linha 3). - Se as premissas e a inferência são válidas, a conclusão é verdadeira (linha 4). Desse modo, o fato de um argumento ser válido não significa necessariamente que sua conclusão seja verdadeira, pois pode ter partido de premissas falsas. Um argumento válido que foi derivado de premissas verdadeiras é chamado de argumento consistente. Esses, obrigatoriamente, chegam a conclusões verdadeiras. Premissas: Argumentos dedutíveis sempre requerem certo número de “assunções-base”. São as chamadas premissas. É a partir delas que os argumentos são construídos ou, dizendo de outro modo, é as razões para se aceitar o argumento. Entretanto, algo que é uma premissa no contexto de um argumento em particular pode ser a conclusão de outro, por exemplo. As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas. A omissão das premissas é comumente encarada como algo suspeito, e provavelmente reduzirá as chances de aceitação do argumento. A apresentação das premissas de um argumento geralmente é precedida pelas palavras “admitindo que...”, “já que...”, “obviamente se...” e “porque...”. É imprescindível que seu oponente concorde com suas premissas antes de proceder à argumentação. Usar a palavra “obviamente” pode gerar desconfiança. Ela ocasionalmente faz algumas pessoas aceitarem afirmações falsas em vez de admitir que não entenda por que algo é “óbvio”. Não se deve hesitar em questionar afirmações supostamente “óbvias”. Inferência: Uma vez que haja concordância sobre as premissas, o argumento procede a passo a passo por meio do processo chamado “inferência”. Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a outras novas. Se a inferência for válida, a nova proposição também deverá ser aceita. Posteriormente, essa proposição poderá ser empregada em novas inferências. Assim, inicialmente, apenas se pode inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta. Há vários tipos de inferência válidos, mas também alguns inválidos. O processo de inferência é comumente identificado pelas frases “Conseqüentemente...” ou “isso implica que...”. Conclusão: Finalmente se chegará a uma proposição que consiste na conclusão, ou seja, no que se está tentando provar. Ela é o resultado final do processo de inferência e só pode ser classificada com conclusão no contexto de um argumento em particular. A conclusão respalda-se nas premissas e é inferida a partir delas. Exemplo de argumento A seguir está exemplificado um argumento válido, mas que pode ou não ser “consistente”. 1. Premissa: Todo evento tem uma causa. 2. Premissa: O universo teve um começo. 3. Premissa: Começar envolve um evento. 4. Inferência: Isso implica que o começo do universo envolveu um evento. 5. Inferência: Logo, o começo do universo teve uma causa. 6. Conclusão: O universo teve uma causa. A proposição do item 4 foi inferida dos itens 2 e 3. O item 1, então, é usado em conjunto com proposição 4 para inferir uma nova proposição (item 5). O resultado dessa inferência é reafirmado (numa forma levemente simplificada) como sendo a conclusão. Validade de um Argumento Conforme citamos anteriormente, uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido. A validade de uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos: a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Exemplo: Todos os apartamentos são pequenos. (V) Todos os apartamentos são residências. (V) __________________________________ Algumas residências são pequenas. (V) b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira. Exemplo: Todos os peixes têm asas. (F) Todos os pássaros são peixes. (F) __________________________________ Todos os pássaros têm asas. (V) c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa. Exemplo: Todos os peixes têm asas. (F) Todos os cães são peixes. (F) __________________________________ Todos os cães têm asas. (F) Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então as conclusões também as seriam. Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas são verdadeiras, acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto, um argumento será não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa. Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados. Exemplo Todas as mulheres são bonitas. Todas as princesas são mulheres. __________________________ Todas as princesas são bonitas. Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento é válido. Vamos substituir mulheres bonitas e princesas por A, B e C respectivamente e teremos: Todos os A são B. Todos os C são A. ________________ Todos os C são B. Logo, o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, isto é, este argumento é válido para quaisquer A, B e C, portanto, a validade é conseqüência da forma do argumento. O atributo validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos. Argumentos Dedutivos e Indutivos O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas. Exemplo Exemplo Se ele me ama então ele casa comigo. Ele casa comigo. _______________________ Ele me ama. Podemos escrever esse argumento como: ou Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Outra falácia que corre com freqüência é a conhecida por “falácia da negação do antecedente”. Exemplo Se João parar de fumar ele engordará. João não parou de fumar. ________________________ João não engordará. Observe que temos a forma: ou Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim, podemos ter, por exemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém, as premissas não sustentam a conclusão. Exemplo Todos os mamíferos são mortais. (V) Todos os gatos são mortais. (V) ___________________________ Todos os gatos são mamíferos. (V) Este argumento tem a forma: Todos os A são B. Todos os C são B. _____________________ Todos os C são A. p qSe p, então q, Podemos facilmente mostrar que esse argumento é não-válido, pois as premissas não sustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por cobra. Todos os mamíferos são mortais. (V) Todas as cobras são mortais. (V) __________________________ Todas as cobras são mamíferas. (F) Podemos usar as tabelas-verdade, definidas nas estruturas lógicas, para demonstrarmos se um argumento é válido ou falso. Outra maneira de verificar se um dado argumento P1, P2, P3| C é válido ou não, por meio das tabelas-verdade, é construir a condicional associada: (P1P2P3 ...Pn)| C e reconhecer se essa condicional é ou não uma tautologia. Se essa condicional associada é tautologia, o argumento é válido. Não sendo tautologia, o argumento dado é um sofisma (ou uma falácia). Há argumentos válidos com conclusões falsas, da mesma forma que há argumentos não- válidos com conclusões verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade de sua conclusão não determinam a validade ou não-validade de um argumento. O reconhecimento de argumentos é mais difícil que o das premissas ou da conclusão. Muitas pessoas abarrotam textos de asserções sem sequer produzirem algo que possa ser chamado de argumento. Às vezes, os argumentos não seguem os padrões descritos acima. Por exemplo, alguém pode dizer quais são suas conclusões e depois justificá-las. Isso é válido, mas pode ser um pouco confuso. Para complicar, algumas afirmações parecem argumentos, mas não são. Por exemplo: “Se a Bíblia é verdadeira, Jesus foi ou um louco, ou um mentiroso, ou o Filho de Deus”. Isso não é um argumento, é uma afirmação condicional. Não explicita as premissas necessárias para embasar as conclusões, sem mencionar que possui outras falhas. Um argumento não equivale a uma explicação. Suponha que, tentando provar que Albert Einstein cria em Deus, alguém dissesse: “Einstein afirmou que ‘Deus não joga dados’ porque acreditava em Deus”. Isso pode parecer um argumento relevante, mas não é. Trata-se de uma explicação da afirmação de Einstein. Para perceber isso, deve-se lembrar que uma afirmação da forma “X porque Y” pode ser reescrita na forma “Y logo X”. O que resultaria em: “Einstein acreditava em Deus, por isso afirmou que ‘Deus não joga dados’”. Agora fica claro que a afirmação, que parecia um argumento, está admitindo a conclusão que deveria estar provando. Ademais, Einstein não cria num Deus pessoal preocupado com assuntos humanos. Exercícios 1. Identificar as premissas e conclusões nos seguintes trechos, cada um dos quais contém apenas um argumento: Foi assinalado que, embora os ciclos de negócio não sejam períodos, são adequadamente descritos pelo termo “ciclos” e, portanto, são suscetíveis de medição. (James Arthur Estey, Ciclos de Negócios) 2. Cada um dos seguintes trechos contém mais de um argumento. Distingui-los e identificar suas premissas e conclusões. A instituição do longo aprendizado não é favorável à formação de jovens para a indústria. Um jornaleiro, que trabalha por peça, é provavelmente ativo, porque extrai o benefício de todos os esforços resultantes da sua atividade. Um aprendiz é provavelmente preguiçoso, e quase sempre o é, porque não tem qualquer interesse imediato em ser outra coisa. (Adam Smith, A riqueza das nações) 3. Apenas alguns dos trechos seguintes contêm argumentos. Indicar os que têm argumentos e identificar suas premissas e conclusões. Bem-aventurado é aquele que nada espera, pois nunca será decepcionado. ( Alexander Pope, Letter to John Gay) 4. Distinguir os argumentos dedutivos e indutivos contidos nos seguintes trechos: Como os testes demonstraram que foram precisos, pelo menos, 2,3 segundos para manobrar a culatra do rifle de Oswald, é óbvio que Oswald não poderia ter disparado três vezes – atingindo Kennedy duas vezes e Connally uma vez – em 5,6 segundos ou menos. 5. Indicar as premissas e conclusões dos argumentos contidos nos seguintes trechos. É ilógico raciocinar assim: “Sou mais rico do que tu, portanto sou superior a ti”. “Sou mais eloquente do que tu, portanto sou superior a ti”. É mais lógico raciocinar: “Sou mais rico do que tu, portanto minha propriedade é superior à tua”. “Sou mais eloquente do que tu, portanto meu discurso é superior ao teu”. As pessoas são algo mais do que propriedade ou fala. (Epicteto, Discursos) Respostas 1) Solução: Premissa: Os ciclos de negócio são adequadamente descritos pelo termo “ciclos”. Conclusão: Os ciclos de negócios são suscetíveis de medição. 2) Solução: Primeiro argumento: Premissa: Um jornaleiro que trabalha por peça extrai um benefício de todos os esforços resultantes da sua atividade. Conclusão: Um jornaleiro que trabalha por peça é provavelmente ativo. Segundo argumento: Premissa: Um aprendiz não tem interesse imediato em ser outra coisa, senão preguiçoso. Conclusão: É provável que um aprendiz seja preguiçoso, e quase sempre o é. Terceiro argumento: Premissa: É provável que um aprendiz seja preguiçoso, e quase sempre o é. Conclusão: A instituição do longo aprendizado não é propensa à formação de jovens para a indústria. 3) Solução: Possui um argumento. Premissa: Aquele que nada espera nunca será decepcionado. Conclusão: Bem-aventurado aquele que nada espera. 4) Solução: Argumento dedutivo. Premissa: Os testes demonstraram que foram precisos, pelo menos, 2,3 segundos para manobrar a culatra do rifle de Oswald. Conclusão: É óbvio que Oswald não poderia ter disparado três vezes – atingindo Kennedy duas vezes e Connally uma – em 5,6 segundos. Exercícios Tendo em conta os Silogismos que se seguem: a) Testa a sua validade (indicando as regras que violam); b) Indica o Modo do Silogismo; c) Indica a sua Figura. 1. Todas as vacas voadoras são lindas Nenhum avião é lindo ______________________________ Algumas vacas voadoras são aviões 2. Nenhum chocolate engorda Alguns doces não engordam ________________________ Todos os doces são chocolates 3. O arroz é branco O gelo é branco _______________ O gelo não é arroz 4. Alguns bancos são mobília Todos os bancos emprestam dinheiro ________________________________ Nenhum dinheiro é emprestado por mobília 5. Touro é um signo do zodíaco O touro pasta ________________________________ Alguns signos do zodíaco não pastam Respostas 1) Solução: a) A conclusão não seguiu a parte mais fraca. A conclusão foi construída indevidamente, pois o termo Maior (voadores) é sujeito, e deveria ser o predicado da conclusão, e o termo Menor (avião/ões) deveria ser sujeito e aparecer como predicado. O Silogismo é inválido b) A E, I c) 2ª figura 2) Solução: a) O termo em extensão na conclusão (doces), mas não na premissa. De duas premissas negativas nada se pode concluir. A conclusão não seguiu a parte mais fraca (deveria ser negativa). Silogismo inválido. b) E O, A c) 2ª figura 3) Solução: a) O termo Médio (branco) não se encontra uma única vez em toda a sua extensão. De duas premissas afirmativas, não se pode concluir pela negativa. Silogismo inválido. b) A A, E c) 2ª figura 4) Solução: a) existem mais que 3 termos – o termo “branco”, refere-se a conceitos diferentes. O sujeito e o predicado da oração encontra-se em toda a sua extensão, mas não nas premissas. De duas premissas afirmativas, não se pode tirar uma conclusão negativa. A conclusão não seguiu a parte mais fraca (deveria ser particular). Silogismo inválido. b) I A, E c) 3ª figura 5) Solução: a) Mais que 3 termos – “touro”ora é signo ora é animal. Termo em extensão na conclusão (pastam), mas não na premissa. Na conclusão o sujeito e o predicado estão trocados. Silogismo Inválido. b) A A, O c) 3ª figura Sentenças Abertas Existem sentenças que não podem ser classificadas nem como falsas, nem como verdadeiras. São as sentenças chamadas sentenças abertas. Exemplos 1. A sentença matemática é aberta, pois existem infinitos números que satisfazem a equação. Obviamente, apenas um deles, , tornando a sentença verdadeira. Porém, existem infinitos outros números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como 2. Dessa maneira, na sentença , obtemos infinitos valores que satisfazem à equação. Porém, alguns são verdadeiros, como , e outros são falsos, como Atenção: As proposições ou sentenças lógicas são representadas por letras latinas e podem ser classificadas em abertas ou fechadas. A sentença é uma sentença fechada, pois a ela se pode atribuir um valor lógico; nesse caso, o valor de é F, pois a sentença é falsa. A sentença “Phil Collins é um grande cantor de música pop internacional” é fechada, dado que possui um valor lógico e esse valor é verdadeiro. Já a sentença “O sorteio milionário da Mega-Sena” é uma sentença aberta, pois não se sabe o objetivo de falar do sorteio da Mega-Sena, nem se pode atribuir um valor lógico para que seja verdadeiro, ou falso. Modificadores A partir de uma proposição, podemos formar outra proposição usando o modificador “não” (~), que será sua negação, a qual possuirá o valor lógico oposto ao da proposição. Exemplo p: Jacira tem 3 irmãos. ~p: Jacira não tem 3 irmãos. É fácil verificar que: 1. Quando uma proposição é verdadeira, sua negação é falsa. 2. Quando uma proposição é falsa, sua negação é verdadeira. V ou F Sentença: p Negação: ~p V ou F V F F 12 é divisível por zero 12 não é divisível por zero. V Para classificar mais facilmente as proposições em falsas ou verdadeiras, utilizam-se as chamadas tabelas-verdade. Para negação, tem-se p ~p V F F V Atenção: A sentença negativa é representada por “~”. A sentença t: “O time do Paraná resistiu à pressão do São Paulo” possui como negativa de t, ou seja, “~t”, o correspondente a: “O time do Paraná não resistiu à pressão do São Paulo”. Observação: Alguns matemáticos utilizam o símbolo “ O Brasil possui um grande time de futebol”, que pode ser lida como “O Brasil não possui um grande time de futebol”. "Não veio ninguém", "Não fiz nada hoje" etc. Conjunção A conjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ambas são verdadeiras. A saber: P Q PΛQ V V V V F F F V F F F F Interpretação: "P˄Q" pode ser interpretada como " P e Q", "Tanto P quanto Q", "Ambas proposições 'P' e 'Q' são verdadeiras" etc. Assim, em uma linguagem “L”na qual P significa "Sou cidadão brasileiro" e Q significa "Sou estudante de filosofia", P˄Q pode ser interpretada como "Sou cidadão brasileiro e estudante de filosofia"; o que só é verdade se P é verdadeira e Q é verdadeira. Repare que a conjunção é comutável, ou seja, P˄Q é equivalente a Q˄P, a saber: P Q P˄Q Q˄P V V V V V F F F F V F F F F F F A comutatividade da conjunção traz um problema para formalizar proposições da linguagem natural no Cálculo Proposicional Clássico, pois a ordem em que as orações aparecem pode sugerir uma sequência temporal. Por exemplo "Isabela se casou e teve um filho" é bem diferente de "Isabela teve um filho e se casou". Repare que o mesmo problema não acomete a proposição "Isabela é casada e tem filhos", que é equivalente a "Isabela tem filhos e é casada". Esta sentença é, portanto, perfeitamente formalizável no Cálculo Proposicional Clássico por meio de uma conjunção. Proposições que levam a palavra "mas" também podem ser formalizadas pela conjunção. Por exemplo, em uma linguagem “L” na qual R significa "João foi atropelado" e D significa "João sobreviveu ao atropelamento", as sentenças "João foi atropelado e sobreviveu" e "João foi atropelado, mas sobreviveu" podem ambas ser formalizadas assim: R˄D Afinal, ambas as proposições afirmam os mesmos eventos na mesma sequência: o atropelamento e a sobrevivência de João. A única diferença entre ambas é que aquela que leva "mas" expressa que uma expectativa subjetiva não foi satisfeita o que não importa para a lógica clássica. Disjunção A disjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ao menos uma delas é verdadeira. A saber: P Q PVQ V V V V F V F V V F F F Repare que a disjunção também é comutativa: P Q P˅Q Q˅P V V V V V F V V F V V V F F F F Interpretação: "P˅Q" pode ser interpretada como "P ou Q", "Entre as proposições P e Q, ao menos uma é verdadeira". Assim, se P significa "Fulano estuda filosofia" e Q significa "Fulano estuda matemática", P˅Q pode ser interpretada como "Fulano estuda filosofia ou matemática"; o que só é falso se nem P nem Q forem verdadeiras. Com a disjunção é preciso tomar muito cuidado tanto na interpretação de fórmulas quanto na formalização de proposições, pois na linguagem natural muitas vezes os disjuntos são excludentes. Por exemplo: "Uma moeda ao ser lançada resulta em cara ou coroa", "Nestas férias eu vou viajar ou ficar em casa". Para estes casos usamos a disjunção exclusiva ou a bi-implicação combinada com a negação. Implicação A implicação entre duas fórmulas só é falsa se a da esquerda (antecedente) for verdadeira e da direita (consequente) for falsa. A saber: P Q P→Q V V V V F F F V V F F V Repare que a implicação não é comutativa: P Q P→Q Q→P V V V V V F F F F V V V F F V V Interpretação: "P→Q" pode ser interpretada como "Se P, então Q", "P implica Q", "Se a proposição 'P' é verdade, então a proposição 'Q' também é verdade", "A partir de 'P' inferimos 'Q' ", "P satisfaz Q", "P é condição suficiente de Q". Assim, se, em uma linguagem “L”, P significa "O botão vermelho foi apertado" e Q significa "O lugar inteiro explode", P→Q pode ser interpretada como "Se o botão vermelho foi apertado, o lugar inteiro explode", o que só é falso se o botão vermelho for apertado (verdade de P) e o lugar inteiro não explodir (falsidade de Q): A interpretação da implicação é uma das mais complicadas. Talvez você tenha estranhado que a implicação seja verdadeira quando o antecedente é falso. Ou ainda, você poderia objetar "mas e se o botão for apertado, o lugar explodir, mas uma coisa não tiver nada a ver com a outra?". Basicamente, o que se deve observar é que "O botão vermelho ser apertado" é condição suficiente para se deduzir que "O lugar inteiro explodiu", isto é, quando o botão é apertado, o lugar deve explodir. Se o botão for apertado e o lugar não explodir, algo está errado, ou seja, P não implica Q (P→Q é falso). Quando temos na linguagem natural uma proposição que afirma que, a partir de um evento, outro segue inexoravelmente (por exemplo: "Se você sair na chuva sem guarda-chuva ou capa de chuva, então você vai se molhar") ou uma proposição que afirma que podemos deduzir um fato de outro (por exemplo: "Se todo número par é divisível por 2, então nenhum número par maior que 2 é primo"), podemos seguramente formalizar estas proposições por meio da implicação. Mas o contrário, ou seja, interpretar uma implicação na linguagem natural é problemático. Podemos estar lidando com uma implicação cujo antecedente e cujo consequente não têm relação alguma. Basta, contudo que o antecedente seja falso ou o consequente seja verdadeiro para que a implicação seja verdadeira. Nestes casos, é bem difícil dar uma interpretação satisfatória para a implicação. Bi-implicação A bi-implicação entre duas fórmulas é verdadeira quando ambas são verdadeiras ou ambas são falsas. P Q P↔Q V V V V F F F V F F F V Repare que a bi-implicação é comutativa: P Q P↔Q Q↔P V V V V V F F F F V F F F F V V Interpretação: "P↔Q" pode ser interpretada como "P se e somente se Q", "P é equivalente a Q", "P e Q possuem o mesmo valor de verdade". Assim, se P significa "As luzes estão acesas" e Q significa "O interruptor está voltado para cima", P↔Q pode ser interpretada como "As luzes estão acesas se e somente se o interruptor está voltado para cima", o que só é falso se as luzes estiverem acesas e o interruptor não estiver voltado para cima (verdade de P falsidade de Q), ou se as luzes não estiverem acesas e o interruptor estiver voltado para cima (falsidade de P e verdade de Q) Números de Linhas de uma Tabela Verdade O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema: A tabela-verdade de uma proposição composta, com n proposições simples componentes, contém 2 elevado a n linhas. Para se construir a tabela-verdade de uma proposição composta dada, procede-se da seguinte maneira: - Determina-se o número de linhas da tabela- verdade que se quer construir; - Observa-se a precedência entre os conectivos, isto é, determina-se a forma das proposições que ocorrem no problema; - Aplicam-se as definições das operações lógicas que o problema exigir. Exemplo Construir a tabela-verdade da proposição: P(p,q) = ~ (p || ~ q) p q ~ q p || ~ q ~ (p || ~ q) V V F F V V F V V F Sejam as proposições abaixo: p: . q: 3 é um número primo. A partir de p e q, podemos compor: pq: se , então 3 é um número primo. Conceito: Se p e q são duas proposições, a proposição pq é chamada subjunção ou condicional. Considere a seguinte subjunção: “Se fizer sol, então irei à praia.” 1. Podem ocorrer as situações: 2. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade) 3. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti) 4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade) 5. Não fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade, pois eu não disse o que faria se não fizesse sol. Assim, poderia ir ou não ir à praia) Observe que uma subjunção pq somente será falsa quando a primeira proposição, p, for verdadeira e a segunda, q, for falsa. Para a subjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade: p q pq V V V V F F F F V F V V Existem outras maneiras de ler: pq: “p é condição suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária pra p”. Sejam: p: 18 é divisível por 6. q: 18 é divisível por 2. Podemos compor: pq: se 18 é divisível por 6, então 18 é divisível por 2, que se pode ler: - “18 é divisível por 6” é condição suficiente para “18 é divisível por 2” ou, ainda, - “18 é divisível por 2” é condição necessária para “18 é divisível por 6”. Atenção: Dizemos que “p implica q” (pq) quando estamos considerando uma relação entre duas proposições, compostas ou não, diferentemente do símbolo , que denota uma operação entre duas proposições, resultando numa proposição. Conectivo “Se e somente se” () Sejam: p: q: 2 é um número primo. A partir de p e q, podemos compor: pq: se e somente se 2 é um número primo. Se p e q são duas proposições, a proposição pq1 é chamada bijunção ou bicondicional, que também pode ser lida como: “p é condição necessária e suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária e suficiente para p”. Considere, agora, a seguinte bijunção: “Irei à praia se e somente se fizer sol.” Podem ocorrer as situações: 1. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade) 2. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti) 3. Não fez sol e fui à praia. (Eu menti) 4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade) Observe que uma bijunção só é verdadeira quando as proposições formadoras são ambas falsas ou ambas verdadeiras. Para a bijunção, tem-se a seguinte tabela-verdade: p q pq V V V V F F F V F F F V Devemos lembrar que pq é o mesmo que (pq)(qp). Assim, dizer “Hoje é sábado e somente se amanhã é domingo” é o mesmo que dizer: “Se hoje é sábado, então amanhã é domingo e, se amanhã é domingo, então hoje é sábado”. Atenção: Dizemos que “p equivale a q” (pq) quando estamos considerando uma relação entre duas ou mais proposições, diferentemente do símbolo , que denota uma operação entre duas proposições, resultando numa nova proposição. Exemplos: 1. Dar os valores lógicos das seguintes proposições compostas: a) ou Temos que pq, com p(V), q(F); portanto, b) se , então Temos que pq com p(F), q(F); portanto, 2. Estude os valores lógicos das sentenças abertas compostas: “se x²-14x+48=0, então x-2=4” Como x²-14x+48=0x=6 ou x=8 e x-2=4 x=6, tem-se: a. (VV) substituindo x por 6, temos o valor lógico V. b. (VF) substituindo x por 8, temos o valor lógico F. c. (FV) não se verifica. d. (FF) substituindo x por qualquer número real diferente de 6 e 8, temos o valor lógico V. 3. Sejam as proposições: p: Joana é graciosa. q: Fátima é tímida. Dar as sentenças verbais para: a. p~q Se Joana é graciosa, então Fátima não é tímida. b. ~(~pq) É falso que Joana não é graciosa ou que Fátima é tímida. Atenção: O conectivo é usado quando se quer mostrar que dois argumentos são equivalentes. Por exemplo, quando dizemos que “todo número par é da forma 2n, n є N”, não é o mesmo que dizer que “os números pares são divisíveis por 2”. Proposições Simples e Composta Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta (também denominada molecular). As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se considerá-las como frases formadas por apenas uma oração. As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas. Exemplos (1) p: eu sou estudioso; (2) q: Maria é bonita: (3) r: 3 + 4 > 12. Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples. Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...). Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P. Exemplos: (4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita. (5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p: Maria é bonita e q: Maria é estudiosa. (6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x2 + 1 = 5. (7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a > b e q: b < a. As proposições simples são aquelas que expressam “uma única idéia”. Constituem a base da linguagem e são também chamadas de átomos da linguagem. São representadas por letras latinas minúsculas (p, q, r, s, ...). As proposições composta são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos. São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, S, ...). O símbolo P (p, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q e r. Exemplos São proposições simples: p: A lua é um satélite da terra. q: O número 2 é primo. r: O número 2 é par. s: Roma é a capital da França. t: O Brasil fica na América do Sul. u: 2+5=3.4. ~(pq)~p~q V – Dupla negação: ~(~p)p Teorema contra-recíproco Toda proposição composta pelo conectivo “Se... então” pode ser reescrita em seu sentido contrário, mas com o uso da negação nas duas proposições menores, que a compõem. pq equivale a ~qp Exemplos 1. “Se um número inteiro é par, então seu quádruplo é par”, que equivale a: “Se o quádruplo de um número não é par, então o número inteiro não é par”. 2. Consideremos agora a definição de função injetora: “Uma função f de A em B é injetora se e somente se , sendo ”, que equivale a: “Uma função f de A em B é injetora se e somente se , sendo ”, que equivale a: Observação: O símbolo significa: “para todo” ou “para qualquer que seja”. Atenção: Não podemos aplicar valores lógicos para sentenças abertas. Enquanto as sentenças se apresentam a tabela-verdade com todos os valores V são chamadas de tautologia, as contradições apresentam, em sua tabela-verdade, todos os valores com resultados iguais a F. Exercícios 1. A negação da sentença aberta corresponde a: a) b) c) d) e) 2. A sentença negativa de “Hoje é domingo e amanhã não choverá” é: a) Hoje é domingo ou amanhã não choverá. b) Hoje não é domingo nem amanhã choverá. c) Hoje não é domingo, então amanhã choverá. d) Hoje não é domingo ou amanhã choverá. e) Hoje não é domingo e amanhã choverá. 3. Em uma pequena comunidade, sabe-se que: “nenhum filósofo é rico” e que “alguns professores são ricos”. Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade: a) Alguns professores não são filósofos. b) Alguns professores são filósofos. c) Nenhum filósofo é professor. d) Alguns filósofos são professores. e) Nenhum professor é filósofo. 4. No final de semana, Chiquita não foi ao parque. Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Dada vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dada vai visitar tia Célia, Chiquita vai ao parque e, sempre que Dada vai à missa, Didi estuda. Então, no final de semana, a) Dada foi à missa e Didi foi aprovado. b) Didi não foi aprovado e Dada não foi visitar tia Célia. c) Didi não estudou e Didi foi aprovado. d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque. e) Dada não foi à missa e Didi não foi aprovado. 5. Considere a proposição “Pedro é estudioso e trabalhador, ou Pedro é bonito”. Como Pedro não é bonito, então: a) Pedro é estudioso e trabalhador. b) Pedro é estudioso ou trabalhador. c) Pedro não é estudioso ou não é trabalhador. d) Pedro é estudioso e não é trabalhador. e) Pedro não é estudioso e não é trabalhador. 6. As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem de chegada dos participantes de uma prova de ciclismo: I. Guto chegou antes de Aires e depois de Doda; II. Guto chegou antes de Juba e Juba chegou antes de Aires, se e somente se Aires chegou depois de Doda; III. Cacau não chegou junto com Juba, se e somente se Aires chegou junto com Guto. Logo: a) Cacau chegou antes de Aires, depois de Doda e junto com Juba. b) Guto chegou antes de Cacau, depois de Doda e junto com Aires. c) Aires chegou antes de Doda, depois de Juba e antes de Guto. d) Aires chegou depois de Juba, depois de Cacau e junto com Doda. e) Juba chegou antes de Doda, depois de Guto e junto com Cacau. 7. Considere a tabela-verdade abaixo, na qual as colunas representam os valores lógicos para as fórmulas A, B e AB. sendo que o símbolo denota o conector ou, V denota verdadeira e F denota falsa. A B AB V V V F F V F F Os valores lógicos que completam a última coluna da tabela, de cima para baixo, são: a) V – F – V – V b) V – F – F – V c) F – V – F – V d) V – V – V – F e) F – F – V – V 8. A proposição p~q é equivalente a: a) pq b) pq c) ~pp d) ~qp e) ~p~q 9. Dizer que” Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é o mesmo que dizer que: a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. b) Se Paulo é paulista, então Pedro é paulista. c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista. 10. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo: a) a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. b) se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa. c) o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. d) o rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. e) a duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. 11. Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo: a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. b) Camile e Carla não foram ao casamento. c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou. d) Carla não foi ao casamento e Vanderléia viajou. e) Vera e Vanderléia não viajaram. 12. Considere a seguinte tabela-verdade: p q pq pq V V V V V F F V F V F V F F F F Podemos escrever: a) pq é verdade pq é verdade b) pq é verdade pq é verdade c) pq é verdade pq é verdade d) pq é falso pq é falso e) pq é falso pq é verdade 13. Duas grandezas x e y são tais que: “se x=3, então y=7”. Pode-se concluir que: a) se então b) se então c) se então d) se então e) nenhuma das conclusões acima é válida. 14. Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo: a) Maria é magra e Bernard não é barrigudo. b) Bernardo é barrigudo ou César é careca. c) César é careca e Maria é magra. d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo. e) Lúcia e linda e César é careca. 15. Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então: a) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do que Pedro. b) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade. c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. Operação com Conjuntos Em algumas situações, símbolos matemáticos são usados para facilitar a compreensão e o estudo de temas mais teóricos, inclusive de outras áreas, como a Lógica Matemática. Os diagramas de Venn, desenvolvidos na Teoria dos Conjuntos, são usados para facilitar o estudo de afirmações ou sentenças lógicas argumentativas. Ao afirmar, por exemplo, que toda banana é uma fruta, mas nem toda fruta é uma banana, podemos usar a seguinte representação com diagramas de Venn. Estamos, com isso, mostrando que o conjunto da banana está contido no conjunto das frutas e que o conjunto das frutas contém o conjunto banana. Podemos, ainda, representar que banana frutas e que frutas banana. Em termos de Lógica Matemática, podemos afirmar de algumas maneiras, como: “Toda banana é um fruta” ou “No conjunto das frutas, existe o conjunto das bananas”. Tipos de relação entre Conjuntos Existem, fundamentalmente, três situações possíveis que relacionam dois tipos de conjunto numérico ou não e relacionam também: I – Um conjunto A contém o conjunto B ou o conjunto B está contido no conjunto A(AB)(BA). II – Os conjuntos A e B possuem uma parte de seus elementos em comum (AB). III – Os conjuntos A e B não possuem uma parte de seus elementos em comum (AB)=. Observações: 1. Quando estudamos mais de dois conjuntos, podemos considerar os mesmos casos anteriores: os conjuntos estão contidos em outros conjuntos (ou apenas em um deles), os conjuntos possuem elementos em comum ou todos os conjuntos não possuem nenhum elemento em comum. 2. Não nos interessa estudar o caso de dois conjuntos serem coincidentes, apesar de serem descritos de formas diferentes, por exemplo: A = conjunto dos números pares. B = conjunto dos números escritos na forma 2n. A=B. Atenção: Os diagramas de Venn servem para auxiliar a visualização de afirmações, em que se pode constatar se um grupo de elementos faz parte do outro, se está contido em outro grupo de elementos ou se não existe nenhuma relação entre os referidos grupos de elementos. Conjunto contido em outro Conjunto O conjunto B está contido no conjunto A completamente. E não podemos dizer o mesmo da situação inversa: o conjunto A está contido no conjunto B. Exemplos 1. Toda televisão é um eletrodoméstico, mas nem todo eletrodoméstico é uma televisão. 2. O cigarro é uma droga, mas nem toda droga é cigarro. 3. Todo número natural é um número inteiro, mas nem todo número inteiro é um número natural. Atenção: Existem proposições ou sentenças que indicam elementos em comum. Nos diagramas de Venn, esses elementos em comum são representados como a intersecção dos conjuntos ou proposições. Por exemplo, na proposição “Conjuntos numéricos é uma disciplina da Matemática cobrada tanto em provas de Raciocínio Lógico quanto em provas de Matemática”, temos que o “elemento” Conjuntos Numéricos é a intersecção dos dois conjuntos – Raciocínio Lógico e Matemática. Conjuntos que possuem uma parte dos elementos em comum Os conjuntos A e B possuem alguns e somente alguns elementos em comum. Em termos de Lógica Matemática, podemos dizer que algum elemento de A é elemento do conjunto B e vice-versa. Exemplo: Motocicletas e automóveis possuem rodas: as primeiras possuem duas rodas e os últimos possuem quatro rodas. Observação: Existem vários elementos comuns, como as rodas. Atenção: Algumas proposições podem conter informações de dois ou mais conjuntos numéricos. Essas informações podem ser representadas por meio de diagramas de Venn. Os conjuntos que não possuem elementos em comum Os conjuntos A e B não possuem nenhum elemento em comum. Em termos da Lógica, podemos afirmar que nenhum elemento de A é elemento do conjunto B e vice-versa. Exemplo Indicar o diagrama que melhor representa a relação entre os conjuntos citados: Fuscas, carros, rios Como todo fusca é um carro e não existe relação nenhuma entre carros e rios, o diagrama que melhor representa a situação é o primeiro, pois o conjunto de fuças está contido no conjunto de carros. Atenção: Existem proposições que podem ser consideradas exclusivas, isto é, não possuem elemento nenhum em comum. Por exemplo, na seguinte proposição: “Ronaldo é um grande jogador de futebol e Roberto Carlos é um fantástico cantor nacional”. Teoria dos Conjuntos Para desenvolvermos o estudo da Teoria dos Conjuntos, é necessário partir de noções elementares que são admitidas sem definição. Essas noções elementares são chamadas de conceitos primitivos. Associamos à idéia de conjunto às de grupo, coleção ou classe e, à idéia de elemento, os objetos ou “coisas” que constituem o conjunto. Exemplos 1. P = Conjunto dos números primos entre 1 e 9. Elementos: 2, 3, 5, 7. 2. N = Conjunto dos algarismos do número 4.123. Elementos: 1, 2, 3, 4. Associamos à idéia de constituir ao conceito de pertencer. Dizemos, então, que o elemento pertence ao conjunto. Os símbolos e são usados para relacionar elementos com conjuntos. = pertence. = não pertence. Exemplos Considerando os conjuntos dos exemplos anteriores: 1. 6 P. 2. 2 N. Representação de Conjuntos Um conjunto de elementos pode ser representado de três formas. Vejamos o caso do conjunto M, formado por janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro. a) pela enumeração de seus elementos: M = {janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro}. b) por meio de uma propriedade característica de seus elementos: M = {mM|m é um mês do ano que possui 31 dias}. c) graficamente, por meio de diagramas: Exemplos 1. e Atenção: Quando a intersecção entre dois conjuntos é o conjunto vazio, os conjuntos são disjuntos. Observação: Número de elementos do conjunto União. É possível estabelecer uma relação entre o número de elementos de uma intersecção e o da união de conjuntos: n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB). Diferença Dados dois conjuntos A e B, chamamos de diferença A – B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. A-B={x|xA e xB}. Exemplos 1. e 2. e Complementar Quando dois conjuntos A e B são tais que A B, dá-se o nome de complementar de A em B à diferença B – A. No diagrama a seguir, temos: O conjunto A está contido no conjunto B. Com isso, a região que fica entre o conjunto B e o conjunto A é definida como complementar de A em relação ao conjunto B e é escrita como: Exemplo 1. e Conjunto Diferença Propriedades: 1) 2) 3) 4) Exercícios AB A 1. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre: - 20 alunos praticam vôlei e basquete. - 60 alunos praticam futebol e 55 praticam basquete. - 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei. - o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número de alunos que praticam só vôlei. - 17 alunos praticam futebol e vôlei. - 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a: a) 93 b) 110 c) 103 d) 99 e) 114 2. Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos. Quantos músicos dessa Filarmônica tocam instrumentos diferentes dos dois citados? a) 340 b) 280 c) 40 d) 160 e) 10 3. Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas entrevistadas, 100 liam o jornal X, 150 liam o jornal Y, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram entrevistadas? a) 220 b) 240 c) 280 d) 300 e) 340 4. Em uma entrevista de mercado, verificou-se que 2.000 pessoas usam os produtos C ou D. O produto D é usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto C? a) 1.430 b) 1.450 c) 1.500 d) 1.520 e) 1.600 5. Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pessoas de um hospital, constatou-se que 40 delas têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 14 têm o antígeno AB. Com base nesses dados, quantas pessoas possuem o antígeno O? a) 50 b) 52 c) 59 d) 63 e) 65 6. Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B. Exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% lêem o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, encontre o percentual que lêem ambos os jornais. a) 40% b) 45% c) 50% d) 60% e) 65% 7. Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Determine o número de homens que não jogam xadrez. a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40 8. Analisando as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68 receberam vacina Sabin, 50 receberam vacina contra sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas? a) 30 b) 40 c) 46 d) 53 e) 60 9. Numa escola de apenas 800 alunos, é sabido que 200 deles gostam de pagode, 300 gostam de rock e 130, de pagode e rock. Quantos alunos não gostam nem de pagode nem de rock? a) 430 b) 560 c) 670 d) 730 e) 800 10. Em um grupo de 160 estudantes, 60% assistem a aulas de francês e 40% assistem a aulas de inglês, mas não às de francês. Dos que assistem a aulas de francês, 25% também assistem a aulas de inglês. O número de estudantes, do grupo de 160, que assistem a aulas de inglês é: a) 35 b) 55 c) 72 d) 88 e) 95 Respostas 1) Resposta “D”. Solução: n(FeB)=45 e n(FeB -V) = 30 → n(FeBeV)=15 n(FeV)=17 com n(FeBeV)=15 → n(FeV - B)=2 n(F)= n(só F) + n(FeB-V) + n(FeV -B) +n(FeBeV) 60= n(só F) + 30 + 2 + 15 → n(só F)=13 n(sóF)=n(sóV)= 13 n(B)= n(só B) + n(BeV)+ n(BeF-V) --> n(só B)= 65- 20 - 30= 15 70 sr 71 sr 72 sr enxergou a solução? é a intersecção dos grupos são as crianças entre 22 e 68 = 68 - 22 = 46 ou seja, 84 -12 tira as que não tomou nada = 72 72 - 50 = 22 72 - 68 = 4 72 – 22 – 4 = 46. 9) Respostas “A”. Solução: 200 - 30 = 70 deles gostam só de pagode; 300 - 130 = 170 deles gostam só de rock e 130 de pagode e de rock. Quantos alunos não gostam nem de pagode nem de rock 800 - 70 - 170 - 130 = 800 - 370 = 430 alunos não gostam nem de pagode nem de rock. 10) Resposta “D”. Solução: Dos 160 estudantes 60% assistem aulas de francês: 96 alunos Dos 160 estudantes 40% assistem a aulas de inglês mas não as de francês: 64 alunos Dos que assistem a aulas de francês, 25% também assistem a aulas de inglês: 24 alunos O número de estudantes, do grupo de 160 estudantes, que assistem a aulas de inglês é 88. Cálculos com Porcentagem Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos: 1. Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto à mercadoria passará a custar? O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo: Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108 Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00. 2. Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos? A quantidade de meninas será: E a de meninos será: 100 - 40 = 60. Razão centesimal Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100. Exemplos: 10/100 = 0,1 = 10% (lê-se 10 por cento) 150/100 = 1,5 = 150% (lê-se 150 por cento) Definição de taxa porcentual ou porcentagem Chama-se taxa porcentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b ≠ 0, à razão x/100tal que x/100 = a/b Indica-se x/100 por x% Definição meio complicada não acham? Pois é muito simples: Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor. Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100). Exemplos para compreendermos melhor: Calcule: a) 10% de 500: A razão centesimal é: b ≠ 0 Portanto, x/100 b) 25% de 200: x/100 = a/b Portanto, x/100 2. Qual a taxa porcentual de: a) 3 sobre 5? x% 5x = 300 x= 60 A taxa é de 60% b) 10 sobre 20? 10% = 10/100 20x = 1000 x = 50 A taxa é de 50% Exemplos Resolvidos 1. Uma compra foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteve-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago? O desconto será: 500 . 10/100 = 50 Portanto, pagou-se: 1500 - 300 = 1200. Dica: Para agilizarmos o cálculo, vamos pensar um pouco: O valor total da compra é 100%. Se obtivermos um desconto de 20%, isso quer dizer que pagaremos somente 80% do valor (100% - 20% = 80%). Logo, 25% = 25/100 2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar? O acréscimo será de: 200 . 25/100 = 50 Portanto, passará a custar: 12.000 + 1.200 = 13.200 Dica: O valor inicial do carro era de 100%, se ele sofreu uma valorização de 10%, isso quer dizer que ele passará a custar 110% (100 + 10 = 110) do seu valor inicial. Logo: 3/5 = x/100. 3. Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de venda? 10/20 = x/100 2000x = 10000 x = 5 Portanto, 5%. 4. Um comerciante que não possuía conhecimentos de matemática comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor? Vamos por etapas: O comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e acresceu 50% sobre esse valor. 20/100 . 1500 = 300 Logo, a mercadoria passou a custar R$300,00. Como deu um desconto de 40% sobre o preço de venda: 1500 . 80/100 = 1200 Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e a vendeu por R$180,00, obteve um prejuízo de R$20,00. É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: - A gasolina teve um aumento de 15%. Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 - O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 - Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. 50% de 50 = 50/100 . 50 = 2500/100 = 25 cavalos Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos: - Calcular 10% de 300. 10% de 300 = 10/100 . 300 = 30 - Calcular 25% de 200kg. 25% de 200 = 25/100 . 200 = 50 Logo, 50 kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? 8% de 75 = 8/100 . 75 = 600/100 = 6 Portanto o jogador fez 6 gols de falta. Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte-nos R$300,00. 19. Quanto é 60% de 200% de 80%? 20. Quanto é 45% de 90% de 180? 21. Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de ter escorrido toda a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos por cento do peso, por ter levado gelo a preço de frango? 22. Em uma população de 250 ratos, temos que 16% são brancos. Qual é o número de ratos brancos desta população? 23. Das 20 moedas que possuo em meu bolso, apenas 15% delas são moedas de um real. Quantas moedas de um real eu possuo em meu bolso? 24. Dos 8 irmãos que possuo, apenas 12,5% são mulheres. Quantas irmãs eu possuo? 25. Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de papel, passou a possuir apenas 30 metros. Como o preço do rolo não sofreu alteração, tal artimanha provocou de fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do papel? 26. Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido? Respostas 1) Solução: Multiplique 15 por 80 e divida por 100: Se você achar mais fácil, pode simplesmente multiplicar 15% na sua forma decimal, que é 0,15 por 80: 0,15 . 80 = 12 15% de 80 é igual a 12. 2) Solução: Multiplique 70 por 30 e divida por 100: Ou então você pode multiplicar 70% na sua forma decimal, que é 0,70 por 30: 0,70 . 30 = 21 70% de 30 é igual a 21. 3) Solução: Multiplique 150 por 45 e divida por 100: Você também pode simplesmente multiplicar 150% na sua forma decimal, que é 1,50 por 45: 1,50 . 45 = 67,5 150% de 45 é igual a 67,5. 4) Solução: Multiplique 100 por 40 e divida por 100: Se você preferir pode multiplicar 100% na sua forma decimal, que é 1,00 por 40: 1,00 . 40 = 40 Na verdade você não precisa fazer conta alguma. Como já sabe 100% representa o todo, por isto 100% de qualquer número será sempre o próprio número. 100% de 40 é igual a 40. 5) Solução: A razão de 19 para 25 pode ser expressa nestas duas formas: 19/25 = 19 : 25 Ao realizarmos a divisão de 19 por 25 iremos obter o valor da razão: 19/25 = 0,76 Tal como procedemos no caso das razões centesimais, devemos multiplicar este valor decimal por cem e acrescentar o símbolo "%" para termos a representação da porcentagem, na verdade o multiplicamos por 100%: 0,76 . 100% = 76% Assim 19 : 25 na forma de porcentagem é igual a 76%. 6) Solução: Sabemos que 30% da população da cidade mora na ilha e o restante 100 % - 30%, ou seja, 70% mora no continente. Como 70% correspondem a 337.799 habitantes, podemos montar uma regra de três para calcularmos quantos habitantes correspondem aos 30% que moram na ilha: 337.799 está para 70, assim como x está para 30: Podemos resolver este exercício de outra forma. Se multiplicarmos 337.799 por 100 e dividirmos este produto por 70, iremos encontrar o número total de habitantes da cidade: Ao calcular 30% de 482.570 iremos encontrar o número de habitantes da ilha: Portanto a população da cidade que mora na área insular é de 144.771 habitantes 7) Solução: Se dividirmos 15 por 0,04, que é equivalente a 4% na sua forma decimal, iremos obter o número que 4% dele é igual a 15: 15/0,04 = 375 Para calcularmos 20% de 375 basta multiplicá-lo por 0,20: 375 . 20% = 375 . 20/100 = 375 . 0,20 = 75. Em uma única conta faríamos: 15/0,04 . 0,20 = 15 . 5 = 75 Note que concluímos multiplicando 15 por 5, o que fica bastante claro se pensarmos que 20% também é cinco vezes 4%. 20% do referido número é igual a 75 8) Solução: Vamos resolver este exercício montando uma regra de três: O percentual que eu procuro (x) está para o desconto (R$ 240,00), assim como 100% está para o meu salário de R$ 1.200,00. Portanto este desconto equivale a 20% por cento do meu salário 9) Solução: Sem utilizarmos uma regra de três, basta que se divida o valor do qual se procura a porcentagem (12), pelo valor que representa os 100% (20) e que se multiplique o valor obtido por 100%: 12/20 . 100% = 60% Portanto a idade de meu irmão é 60% da minha idade 10) Solução: Basta que se dividamos o valor do qual se procura a porcentagem (200), pelo valor que representa os 100% (160) e que se multiplique o valor obtido por 100%: 200/160 . 100% = 125% Portanto a velocidade máxima do carro do meu pai é 125% da velocidade máxima do meu carro. O percentual encontrado (125%) é maior que 100% porque o carro de meu pai é 25% mais veloz que o meu. 11) Solução: R$ 336,00 é 28% de R$ 1.200,00. Obtemos este valor dividindo-se 336 por 1200: 336,00/1.200,00 = 0,28 0,28 está na forma decimal, então o multiplicamos por 100% para colocá-lo na sua forma percentual: 28%. Portanto: Eu perdi 28% desta quantia. 12) Solução: 25 é 62,5% de 40. Obtemos este valor pela divisão de 25 por 40:25/40 = 0,625 0,625 está na sua forma decimal, então o multiplicamos por 100% para colocá-lo na sua forma percentual: 62,5%. Este é o percentual de bolinhas que eu dei. A diferença entre 40 e 25 é 15. Como 40 equivale a 100% e 25 equivale a 62,5%, então 15 equivale à diferença entre 100% e 62,5% que é 37,5%: 40 – 25 = 15 100% - 62,5% = 37,5% Chegaríamos também aos mesmos 37,5% se tivéssemos divido 15 que é a quantidade de bolinhas que ficaram comigo, por 40 que é a quantidade total. Portanto: Eu dei 62,5% das bolinhas de gude que eu possuía e fiquei com 37,5% 13) Solução: 12% de R$ 1.500,00 é R$ 180,00. Chegamos a este valor pela conta: 1.500,00 . 0,12 = 180,00 A diferença entre R$ 1.500,00 e R$ 180,00 é de R$ 1.320,00, conforme calculado a seguir: 1.500,00 – 180,00 = 1.320,00 Portanto: Com o desconto percentual obtido de 12%, em valor obtive R$ 180,00 de desconto e acabei pagando R$ 1.320,00. 14) Solução: 15% de 40 é 6. Chegamos a este valor pela conta: 40. 0,15 = 6 A diferença entre 40 e 6 é de 34, conforme calculado a seguir: 40 – 6 = 34 Portanto: Das 40 garrafas que estavam na mesa, eu quebrei 34 e sobraram apenas 6 15) Solução: 75% de 28 é 21. Chegamos a este valor pela conta: 28 . 0,75 = 21 A diferença entre 28 e 21 é de 7, conforme calculado a seguir: 28 – 21 = 7 7 é o número de bombons que ainda me restam, mas poderíamos ter chegado a este resultado por outro caminho. Como eu já comi 75% dos 100% dos bombons que eu possuía, ainda tenho 25% deles, basta então calcularmos quanto é 25% de 28: 28 . 0,25 = 7 Portanto: Dos 28 bombons ainda me restam 7 16) Solução: 60% de 30 é 18. Chegamos a este valor pela conta: 30 . 0,6 = 18 Portanto: Eu vendi 18 das 30 peças logo na primeira saída. 17) Solução: Digamos que originalmente eu tivesse x ovos. Como você sabe 10% pode ser escrito como 0,1 já que 10% equivale a 10 divididos por 100. Desde que minhas galinhas botaram uma quantidade equivalente a 10% da que eu possuía, isto equivale a dizer que além dos x ovos originais, agora eu possuo mais 0,1x, ou seja, agora eu tenho 1,1x ovos: Só que quando eu tinha 1,1x ovos eu acabei perdendo 10% deles, ou seja, fiquei com 90% dos ovos, já que dos 100% eu perdi 10%: 0,99x representa 99% dos ovos que eu tinha originalmente e já que eu tinha 100%, ao ficar com 99% fiquei com 1% a menos que a quantidade original. Portanto: Inicialmente eu tinha mais ovos que agora. De forma resumida, a quantidade original de ovos pode ser representada pelo número 1 (100% dos ovos). Como foram acrescentados mais 10%, este acréscimo de 10% equivale a 100% + 10%, ou seja, equivale a 110% que é equivalente a 1,1. Ao perder 10% eu fiquei apenas com 90% dos ovos, ou seja, fiquei com 0,9 deles. Multiplicando-se tais valores teremos: (1 . 1,1) . 0,9 = 0,99 = 99% Estes 99% são os ovos que ainda me restam. 18) Solução: Experimentos Aleatórios Os experimentos cujos resultados podem ser previsto, isto é, podem ser determinados antes mesmo de sua realização, são chamados experimentos determinísticos. Por exemplo, é possível prever a temperatura em que a água entrará em ebulição desde que conhecidas as condições em que o experimento se realiza. Alguns experimentos, contudo, não são assim previsíveis. Por mais que sejam mantidas as mesmas condições, não podemos prever qual será o resultado ao lançarmos uma moeda. Esses são chamados experimentos aleatórios (em latim alea = sorte). Experimentos aleatórios: São aqueles, que repetidos em condições idênticas, não produzem sem o mesmo resultado. A teoria das probabilidades estuda a forma de estabelecermos as possibilidades de ocorrência num experimento aleatório. Espaço Amostral e Eventos Vamos estudar experimentos aleatórios com resultados equiprováveis (mesma chance de ocorrência) e em número determinado, isto é, finito. Desta forma definimos: Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicaremos o espaço amostral por U. Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral. Exemplo Lançaremos três moedas e observamos as faces que ficaram voltadas para cima. Representar: a) O espaço amostral do experimento; b) O evento A: chances de sair faces iguais; c) O evento B: sair exatamente uma face “cara”; d) O evento C: chances de sair, pelo menos, uma face “cara”. Resolução a) U = {(Ca, Ca, Ca), (Ca, Ca, Co), (Ca, Co, Ca), (Ca, Co, Co), (Co, Ca, Ca), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca), (Co, Co, Co)} b) A = {(Ca, Ca, Ca), (Co, Co, Co)} c) B = {(Ca, Co, Co), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca)} d) C = {(Ca, Ca, Ca), (Ca, Ca, Co), (Ca, Co, Ca), (Co, Ca, Ca), (Ca, Co, Co), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca)} Observação: Os números de elementos do espaço amostral e dos eventos de um experimento aleatório são calculados com a análise combinatória. Tipos de Eventos Consideremos o experimento aleatório: lançamento de um dado comum e observação do número representado na face voltada para cima. O espaço amostral será: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Analisemos os diversos tipos de eventos que podemos definir neste experimento. Evento Elementar: Qualquer subconjunto unitário de U. Exemplo Ocorrência de um número múltiplo de 5. A = {5} Evento Certo: É o próprio espaço amostral U. Exemplo Ocorrência de um divisor de 60. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento Impossível: É o conjunto vazio (). Exemplo Ocorrência de múltiplo de 8. C = { } = Evento União: É a reunião de dois eventos. Exemplo Evento A: Ocorrência de um número primo A = {2, 3, 5} Evento B: Ocorrência de um número ímpar B = {1, 3, 5} Evento A B: Ocorrência de um número primo ou ímpar A B = {1, 2, 3, 5} Evento Intersecção: É a intersecção de dois eventos. Exemplo Evento A: Ocorrência de um número primo A = {2, 3, 5} Evento B: Ocorrência de um número ímpar B = {1, 3, 5} Evento A B: Ocorrência de um número primo ou ímpar A B = {3, 5} Evento Mutuamente Exclusivo: Dois eventos E1 e E2 de um espaço amostral U são chamados mutuamente exclusivos quando E1 E2 = Exemplo Evento A: Ocorrência de um número par A = {2, 4, 6} Evento B: Ocorrência de um número ímpar B = {1, 3, 5} A e B são eventos mutuamente exclusivos, pois A B = Evento Complementar: É o evento Ē = U – E. Exemplo Evento A: Ocorrência de um número primo A = {2, 3, 5} Evento Ā: Ocorrência de um numero não primo Ā = U – A = {1, 4,6} Observação: No caso do exemplo, podemos dizer que o evento Ā é a não-ocorrência de um número primo. Probabilidade Estatística e Probabilidade Teórica Imaginamos a seguinte situação: em uma turma do segundo colegial, existem 25 garotas e 10 garotos e um brinde foi sorteado para um dos membros da turma. Temos que adivinhar o sexo do contemplado. Intuitivamente, “sabemos” que é “mais fácil” ter sido sorteada uma garota que um garoto, no entanto não podemos afirmar com certeza o sexo do contemplado. A “chance” de uma garota ter sido sorteada pode ser traduzida por um numero que chamamos probabilidade. Uma observação que pode ser feita é que a teoria das probabilidades é uma maneira matemática de lidar com a incerteza. O cálculo da probabilidade de um evento acontecer, muitas vezes, é feito experimentalmente, e essa probabilidade é chamada de experimental ou estatística. Exemplo A probabilidade de uma pessoa morrer aos 25 anos é obtida através do levantamento e do tratamento adequado de um grande número de casos. No entanto, para calcularmos a probabilidade de ao jogarmos dois dados obtermos, nas faces voltadas para cima, dois números iguais, não precisamos realizar o experimento, ela pode ser conseguida a partir de uma analise teórica do espaço amostral e do evento, e neste caso chamamos de probabilidade teórica. No 2º grau, não desenvolvemos estudos da probabilidade estatística, que será estudada na maioria dos cursos de 3º grau. Probabilidade Teórica de um Evento Se num fenômeno aleatório, o número de elementos do espaço amostral é n(U) e o número de elementos do evento A é n(A), então a probabilidade de ocorrer o evento A é o número P(A) tal que: P(A) = n(A) n(U) Outra forma de definir a probabilidade de ocorrer o evento A é: P(A) = Número de casos favoráveis a A Número de casos possíveis Exemplos - Retirando-se uma carta de um baralho normal de 52 cartas, qual é a probabilidade de que a carta retirada seja um rei? Resolução P(E) = Número de resultados favoráveis Número de resultados possíveis Os 900 números de três algarismos estão colocados em 900 envelopes iguais. Um dos envelopes é sorteado. Qual a probabilidade de ele conter um número que tenha, pelo menos, dois algarismos iguais? Resolução Sendo A o evento: ocorrer um número com pelo menos dois algarismos iguais. É mais fácil calcular P(Ā), a probabilidade do evento complementar de A. Assim, Propriedade do Evento União Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, dizemos que ocorrer o evento A (evento união) é ocorrer pelo menos um dos eventos A ou B. n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) Assim: n(AB) =n(A) +n(B) -n(AB) n(U) n(U) n(U) n(U) Ou seja: P (AB) = P(A) + P(B) – P(AB) Podemos enunciar essa conclusão assim: A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é dada pela soma da probabilidade de ocorrer A com a probabilidade de ocorrer B, menos a probabilidade de ocorrer os dois eventos (A e B). Caso particular: se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, isto é, A B = , P(A B) = 0 a formula acima se reduz a: P(A B) = PA + PB Exemplo De um baralho comum de 52 cartas, uma carta é retirada aleatoriamente. Qual a probabilidade de sair um valete ou uma carta de paus. Resolução Sendo: Evento A: “a carta e um valete” P(A) = 4 52 Evento B: “a carta de paus” P(B) = 13 52 Evento A B: “a carta é um valete de paus” AĀUNúmeros com algarismos dis�ntospelo menos dois algarismo repe�dos P(AB) = 1 52 Evento A B: “a carta é um valete ou é de paus” P( A B) = P(A) +P(B) – P(A B) P(A B) = 4 + 13 - 1 = 16 = 4 52 52 52 52 13 Probabilidades num Espaço Amostral não Equiprovável No espaço amostral equiprovável todos os resultados possíveis têm a mesma chance de ocorrência e por isso que nos problemas com dados e moedas estudados anteriormente sempre tomamos o cuidado de especificar que os dados e moedas eram “honestos” ou “não viciados”. Como estudar as probabilidades com dados ou moedas “viciados”? A fórmula que usamos até agora P(E) = Número de resultados favoráveis de E Número de resultados possíveis Não é válida, pois não importa apenas a quantidade de resultados favoráveis já que esses resultados não têm necessariamente a mesma “chance” de ocorrência. Consideramos um experimento, com espaço amostral U = {a1, a2..., a n}. Chamando de p(a1), p(a2),..., p(an) as probabilidades de ocorrência dos resultados a1, a2,..., na, respectivamente temos que: - p(a1) + p(a2) +...+ p (an) =1 - 0 ≤ p(a1) ≤ 1, para i = 1, 2, ..., n Desta forma para calcularmos a probabilidade do evento A = {a1, a2,..., am}(m≤n), fazemos: P(A) = p(a1) + p(a2) +...+ p(am) Exemplo Consideramos um experimento com espaço amostral U = {a, b, c} sendo p(a), p(b), p(c) as possibilidades dos resultados a, b e c de modo que p(a) = 1 ep(b) = 1 3 2 calcule : a) p(c) b) a probabilidade do evento A ={a,c} Resolução a) p(a) + p(b) + p(c) = 1 1 +1 +p(c) = 1 3 2 p(c) = 1 - 1 -1 =6–2 – 3 =1 3 2 6 6 b) P(A) = p(a) + p(c) P(A) = 1 +1 =2+1 =3 3 6 6 6 Assim,P(A) = 1 2 Probabilidade Condicional Consideremos num experimento aleatório de espaço amostral U os eventos A e B, com A B ≠ , conforme o diagrama abaixo: Na medida em que conhecemos a informação de que ocorreu o evento B, este passa a ser o espaço amostral do experimento, pois todos os resultados agora possíveis pertencem a A. assim, a probabilidade de ocorrer o evento A, dado que o evento B já ocorreu, será: P(A/B) = n(A B) n(B) Exemplo Numa turma de 50 alunos do colégio, 15 são homens e 35 são mulheres. Sabe-se que 10 homens e 15 mulheres foram aprovados num exame de seleção. Uma pessoa é sorteada ao acaso. Qual a probabilidade de: a) Ela ser do sexo feminino se foi aprovada no exame? b) Ela ter sido aprovada no exame se é do sexo masculino? Resolução O quando abaixo resume os dados do problema: Foi Aprovado Não foi Aprovado Total Homem 10 5 15 - Na extração de duas cartas de um baralho se antes de extrair a segunda carta for feita a reposição da primeira, o resultado da primeira não influi no resultado da segunda. Exemplo de Eventos Dependentes Na extração de duas cartas de um baralho se antes de extrair a segunda carta não for feita a reposição da segunda, o resultado da primeira influencia o resultado da segunda, pois o espaço amostral passa a ter 51 elementos. Exemplo Sejam A e B dois eventos independentes tais que: P(A) = 1 eP(A B)= 1 4 3 Calcule P (B). Resolução P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) Como A e B são independentes P (A B) = P(A) . P(B) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) ou seja: 1 =1 +P(B - 1 P (B) 3 4 4 4 = 3 + 12 P (B) – 3 P (B) 9 P (B) = 1 P (B) = 1 9 Exercícios 1. Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde? 2. Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima? 3. Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas? 4. Um credor está à sua procura. A probabilidade dele encontrá-lo em casa é 0,4. Se ele fizer 5 tentativas, qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa? 5. Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela? 6. Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. 7. Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer. 8. Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo. 9. Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo. 10. De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4? Respostas 1) Resposta “ ”. Solução: Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12. Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resolução assim: Logo, A probabilidade desta bola ser verde é 5/12. 2) Resposta “25%”. Solução: Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de agrupamentos ao lançarmos três moedas. Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral. Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por: Portanto, a probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 1/ 4, ou 0,25, ou ainda 25%. 3) Resposta “10,24%”. Solução: Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8. Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo: 0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%. Então, a probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%. 4) Resposta “0,2592”. Solução: Ou o credor vai a sua casa e o encontra, ou ele vai e não o encontra como em cada tentativa estamos tratando de um sucesso ou de um fracasso e não há outra possibilidade, além do fato de a probabilidade ser a mesma em todas as tentativas, vamos resolver o problema utilizando o termo geral do Binômio de Newton: n é o número de tentativas de encontrá-lo, portanto n = 5. k é o número de tentativas nas quais ele o encontra, portanto k = 1. p é a probabilidade de você ser encontrado, logo p = 0,4. q é a probabilidade de você não ser encontrado, logo q = 1 - 0,4, ou seja, q = 0,6. Substituindo tais valores na fórmula temos: O número binomial é assim resolvido: Então temos: Assim, a probabilidade de o credor o encontrar uma vez em casa é igual 0,2592. 5) Resposta “ ”. Solução: Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada através da fórmula e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar . Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Esta quantidade é o número total de elementos do espaço amostral. A probabilidade de sair uma bola divisível por 3 é: A probabilidade de sair uma bola divisível por 4 é: Como estamos interessados em uma ocorrência ou em outra, devemos somar as probabilidades, mas como explicado no tópico união de dois eventos, devemos subtrair a probabilidade da intersecção, pois tais eventos não são mutuamente exclusivos. Como podemos ver, o número 12 está contido tanto em E3 quanto em E4, ou seja: A probabilidade da intersecção é: Portanto: Logo, a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4 é 7/15. Análise Combinatória Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias. Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p m. Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos. Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia! Arranjos São agrupamentos formados com p elementos, (p m) de forma que os p elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição. Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. Fórmula: As(m,p) = Cálculo para o exemplo: As(4,2) = Exemplo: Seja Z = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: As = {AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC} Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos. Fórmula: Ar(m,p) = mp. Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16. Exemplo: Seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto: Ar = {AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD} Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos. Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1) Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72. Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}? Aqui temos um total de m = 7 letras, a taxa é p = 4, o subconjunto escolhido tem m1 = 3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1 = 2. Com as letras A, B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto: PABC = {AB, BA, AC, CA, BC, CB} Com as letras D, E, F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto: PDEFG = {DE, DF, DG, ED, EF, EG, FD, FE, FG, GD, GE, GF} Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG. Permutações Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares. Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos. Fórmula: Ps(m) = m!. Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3! = 6. Exemplo: Seja C = {A, B, C} e m = 3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: Ps = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C = {x1, x2, x3,..., xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1 + m2 + m3 +... + mn = m. Fórmula: Se m = m1 + m2 + m3 +... + mn, então Pr(m) = C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn) Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição. Cálculo para o exemplo: m1 = 4, m2 = 2, m3 = 1, m4 = 1 e m = 6, logo: Pr(6) = C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1) = C(6,4).C(2,2).C(1,1) = 15. Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C = {A, R, T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: Pr= {AAARRT, AAATRR, AAARTR, AARRTA, AARTTA, AATRRA, AARRTA, ARAART, ARARAT, ARARTA, ARAATR, ARAART, ARAATR, ATAARA, ATARAR} Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo. Fórmula: Pc(m) = (m-1)! Cálculo para o exemplo: P(4) = 3! = 6 Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K = {A, B, C, D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições? Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teríamos 24 grupos, apresentados no conjunto: Pc= {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA} Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que: ABCD=BCDA=CDAB=DABC ABDC=BDCA=DCAB=CABD ACBD=CBDA=BDAC=DACB ACDB=CDBA=DBAC=BACD ADBC=DBCA=BCAD=CADB ADCB=DCBA=CBAD=BADC Existem somente 6 grupos distintos, dados por: Pc= {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB} Combinações Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por: A(m,p) = m(m – 1)(m – 2)...(m – p + 1) Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é: {AE, AI, AO, AU, EA, EI, EO, EU, IA, IE, IO, IU, OA, OE, OI, OU, UA, UE, UI, UO} A solução numérica é A(5,2) = 5 4 = 20. Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)? Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5 x 5 = 25 possibilidades. O conjunto solução é: Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final? XYZ-1234 Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto. Número de Permutações simples Este é um caso particular de arranjo em que p = m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p = m, permitirá obter o número de permutações de m elementos: Retirada Número de possibilidades 1 m 2 m-1 ... ... p m-p+1 ... ... m-2 3 m-1 2 m 1 Nº.de permutações m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1 Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por: P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1 Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever: A(m,m) = P(m) Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente: P(m) = m! Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural. Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m = 0 e para isto podemos escrever: 0! = 1 Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0! = 1. O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P = P(m) ou com o uso do sinal de exclamação: (m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1 Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3) = 6 e o conjunto solução é: P = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4) = 24 e o conjunto solução é: P = {AMOR, AMRO, AROM, ARMO, AORM, AOMR, MARO, MAOR, MROA, MRAO, MORA, MOAR, OAMR, OARM, ORMA, ORAM, OMAR, OMRA, RAMO, RAOM, RMOA, RMAO, ROAM, ROMA} Número de Combinações simples Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H, M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H, M) ou (M, H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação. Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos. Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente. Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja: C(m,p) = Como A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1) então: C(m,p) = que pode ser reescrito: C(m,p) = Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por (m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1 que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará: (m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1 e o denominador ficará: p! (m-p)! Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes: Número de arranjos com repetição Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por: Arep(m,p) = mp Número de permutações com repetição Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10, 3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos restantes para obter C(10 – 3, 2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades são C(10 – 3 – 2, 5). O número total de possibilidades pode ser calculado como: Tal metodologia pode ser generalizada. Número de combinações com repetição Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos. Seja o conjunto A = (a, b, c, d, e) e p = 6. As coleções (a, a, b, d, d, d), (b, b, b, c, d, e) e (c, c, c, c, c, c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6. Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças (a, a, b, d, d, d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø (b, b, b, c, d, e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø# (c, c, c, c, c, c) equivale a ØØ######ØØ Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são preenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10, 6) modos. Assim: Crep(5,6) = C(5 + 6 – 1,6) Generalizando isto, podemos mostrar que: Crep(m,p) = C(m + p – 1,p) Propriedades das combinações O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha. Solução: Cada time deve ter 5 jogadores e, mudando a ordem destes, o time continua o mesmo. Logo, devemos calcular o número de combinações: C10,5 = Portanto, podemos formar 252 times. 8) Resposta “16”. Solução: = 9) a - Resposta “40”. Solução: Podemos ter C5,2 grupos distintos de 2 brasileiros e C4,1 grupos distintos de 1 alemão. Portanto, o numero de comissões com 2 brasileiros e 1 alemão é: C5,2 . C4,1 = 40. b - Resposta “74”. Solução: As possibilidades são: 1 alemão e 2 brasileiros, ou 2 alemães e 1 brasileiros, ou 3 alemães e nenhum brasileiro. Logo, o número de comissões é: C4,1 . C5,2 + C4,2 . C5,1 + C4,3 = 40 + 30 + 4 = 74. 10) Resposta “1 260”. Solução: Só devemos considerar os números que terminem em 8 ou 6. Os terminados em 6 são da forma: 6 As demais posições deverão ser preenchidas pelos algarismos restantes: 8, 3, 1, 7, 8 e 3. O total das permutações possíveis é: Os terminados em 8 são da forma: 8 As demais posições deverão ser preenchidas pelos algarismos restantes: 8, 3, 1, 7, 6 e 3. O total das permutações possíveis é: Logo, a quantidade total de números pares é 420 + 840 = 1 260. Exercícios 1. As letras dispostas no quadro abaixo, composto por 3 linhas e 3 colunas, devem ser substituídas por números inteiros de modo que em cada linha, coluna e diagonal a soma dos três números seja a mesma. 1 x -1 y 2 z 5 t 3 Os valores de x, y, z e t que satisfazem as condições dadas são tais que: a) x+y+z+t>9 b) x+y+z+t<6 c) x+y=z+t d) x-z=t-2y e) x-y=2z-y 2. Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que X e Y representam os algarismos da centena e da unidade, respectivamente. Sabendo que 15.480(X4Y)=24, então X4Y é um número compreendido entre: a) 800 e 1.000 b) 600 e 800 c) 400 e 600 d) 200 e 400 e) 100 e 200 Instruções para responder às questões de números 3 e 4, você deve observar que, em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi obtida da palavra da esquerda segundo determinado critério. Você deve descobrir esse critério e usá-lo para encontrar a palavra que deve ser colocada no lugar do ponto de interrogação. 3. Arborizado azar Asteróide dias Articular ? a) luar b) arar c) lira d) luta e) rara 4. Ardoroso rodo Dinamizar mina Maratona ? a) mana b) toma c) tona d) tora e) rato 5. Dispõe-se de uma caixa com 100 palitos de fósforo, todos inteiros, com os quais se pretende construir quadrados da seguinte forma: no primeiro, o lado deverá medir 1 palito; no segundo, 2 palitos; no terceiro, 3 palitos; e assim sucessivamente. Seguindo esse padrão, ao construir-se o maior número possível de quadrados: a) Serão usados exatamente 92 palitos a caixa. b) Sobrarão 8 palitos da caixa. c) Serão usados todos os palitos da caixa. d) Sobrarão 6 palitos da caixa. e) Serão usados exatamente 96 palitos da caixa. 6. Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação. (0,1,3,4,12,123,...) Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa seqüência é um número: a) Menor que 200. b) Compreendido entre 200 e 400. c) Compreendido entre 500 e 700. d) Compreendido entre 700 e 1.000. e) Maior que 1.000. Instruções: Nas questões 7 e 8, observe que há uma relação entre o primeiro e o segundo grupos de letras. A mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação. Considere que a ordem alfabética adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y. 7. ABCA:DEFD::HIJH:? a) IJLI b) JLMJ c) LMNL d) FGHF e) EFGE 8. CASA:LATA::LOBO:? a) SOCO 18. Uma máquina, operando ininterruptamente por 2 horas diárias, levou 5 dias para tirar cento número de cópias de um texto. Pretende-se que essa mesma máquina, no mesmo ritmo, tire a mesma quantidade de cópias de tal texto em 3 dias. Para que isso seja possível, ela deverá operar ininterruptamente por um período diário de: a) 3 horas b) 3 horas e 10 minutos c) 3 horas e 15 minutos d) 3 horas e 20 minutos e) 3 horas e 45 minutos 19. Calculando 38% de vinte e cinco milésimos, obtém-se: a) 95 décimos de milésimo b) 19 milésimos c) 95 milésimos d) 19 centésimos e) 95 centésimos 20. Segundo determinado critério, foi construída a sucessão seguinte, em que cada termo é composto de um número seguido de uma letra: A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – Considerando que no alfabeto usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá anteceder o número 12 é: a) J b) L c) M d) N e) O 21. Considere que os símbolos e que aparecem no quadro seguinte, substituem as operações que devem ser efetuadas em cada linha, a fim de se obter o resultado correspondente, que se encontra na coluna da extrema direita. 36 4 5 = 14 48 6 9 = 17 54 9 7 = ? Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número: a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12 22. Certo dia, três auxiliares judiciários – Alcebíades, Benevides e Corifeu – executaram, num dado período, um único tipo de tarefa cada um. Considere que: - As tarefas por eles executadas foram: expedição de correspondências, arquivamento de documentos e digitação de textos; - Os períodos em que as tarefas foram executadas foram: das 8 às 10 horas, das 10 às 12 horas e das 14 às 16 horas; - Corifeu efetuou a expedição de correspondências; - O auxiliar que arquivou documentos o fez das 8 às 10 horas; - Alcebíades executou sua tarefa das 14 às 16 horas; Nessas condições, é correto afirmar que: a) Alcebíades arquivou documentos. b) Corifeu executou sua tarefa das 8 às 10 horas. c) Benevides arquivou documentos. d) Alcebíades não digitou textos. e) Benevides digitou textos. 23. Um seminário foi constituído de um ciclo de três conferências: uma de manhã, outra à tarde e a terceira à noite. Do total de inscritos, 144 compareceram de manhã, 168, à tarde e 180, à noite. Dentre os que compareceram de manhã, 54 não voltaram mais para o seminário, 16 compareceram às três conferências e 22 compareceram também à tarde, mas não compareceram à noite. Sabe-se também que 8 pessoas compareceram à tarde e à noite, mas não de manhã. Constatou-se que o número de ausentes no seminário foi de um oitavo do total de inscritos. Nessas condições, é verdade que: a) 387 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferências. b) 282 pessoas compareceram a somente uma das conferências. c) 108 pessoas compareceram a pelo menos duas conferências. d) 54 pessoas inscritas não compareceram ao seminário. e) O número de inscritos no seminário foi menor que 420. 24. Repare que com um número de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, podem-se criar 4 números de dois algarismos. Por exemplo: de 34.712, podem-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um número de 5 algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja abaixo alguns números desse tipo e, ao lado de cada um deles, a quantidade de números de dois algarismos que esse número tem em comum com o número procurado. Número dado Quantidade de números de 2 algarismos em comum 48.765 1 86.547 0 87.465 2 48.675 1 O número procurado é: a) 87456 b) 68745 c) 56874 e) 58746 f) 46875 25. Numa ilha dos mares do Sul convivem três etnias distintas: os zel(s) só mentem, os Del(s) só falam a verdade e os mel(s) alternadamente falam a verdade e mentiras – ou seja, uma verdade, uma mentira, uma verdade, uma mentira -, mas não se sabe se começaram falando uma ou outra. Encontramo-nos com três nativos, Sr. A, Sr. B, Sr. C, um de cada uma das etnias. Observe bem o diálogo que travamos com o Sr. C: Nós: Sr. C, o senhor é da etnia zel, del ou mel? Sr. C: Eu sou mel. (1ª resposta) Nós: Sr. C, e o senhor A, de que etnia é? Sr. C: Ele é zel. (2ª resposta) Nós: Mas então o Sr. B é Del, não é isso, Sr. C? Sr. C: Claro, senhor! (3ª resposta) Nessas condições, é verdade que os senhores A, B e C são, respectivamente: a) del, zel, mel b) del, mel, zel c) mel, del, zel d) zel, del, mel e) zel, mel, del 26. Numa sala de 30 alunos, 17 foram aprovados em Matemática, 10 em História, 9 em Desenho, 7 em Matemática e História, 5 em Matemática e Desenho, 3 em História e Desenho e 2 em Matemática, História e Desenho. Sejam: - V o número de aprovados em pelo menos um das três disciplinas; - W o número de aprovados em pelo menos duas das três disciplinas; - X o número de aprovados em uma e uma só das três disciplinas; - Y o número de aprovados em duas e somente duas das três disciplinas; - Z o número dos que não foram aprovados em qualquer uma das três disciplinas. Os valores de V, W, X, Y, Z são, respectivamente: a) 30 – 17 – 9 – 7 – 2 b) 30 – 12 – 23 – 3 – 2 c) 23 – 12 – 11 – 9 – 7 d) 23 – 11 – 12 – 9 – 7 e) 23 – 11 – 9 – 7 – 2 27. Um auxiliar judiciário foi incumbido de arquivar 360 documentos: 192 unidades de um tipo e 168 unidades de outro. Para a execução dessa tarefa, recebeu as seguintes instruções: I – Todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em caixas, de modo que todas fiquem com a mesma quantidade de documentos. II – Cada caixa deverá conter apenas documentos de um único tipo. Nessas condições, se a tarefa for cumprida de acordo com as instruções, a maior quantidade de documentos que poderá ser colocada em cada caixa é: a) 8 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48 28. Floriano e Peixoto são funcionários do Ministério Público da União e, certo dia, cada um deles recebeu um lote de processos para arquivar. Sabe-se que: - Os dois lotes tinham a mesma quantidade de processos; - Ambos iniciaram suas tarefas quando eram decorridos 37/96 do dia e trabalharam ininterruptamente até concluí-las; - Floriano gastou 1 hora e 45 minutos para arquivar todos os processos de seu lote; - Nas execuções das respectivas tarefas, a capacidade operacional de Peixoto foi 60% da de Floriano. Nessas condições, Peixoto completou a sua tarefa às: a) 11 horas e 15 minutos b) 11 horas e 20 minutos c) 11 horas e 50 minutos d) 12 horas e 10 minutos e) 12 horas e 25 minutos 29. Mensalmente, um técnico administrativo elabora relatórios estatísticos referentes à expedição de correspondências internas e externas. Analisando os relatórios por ele elaborados ao final dos meses de setembro, outubro e novembro de 2006, foi observado que: - do total de correspondências em setembro, 20% eram de âmbito interno; - em cada um dos meses seguintes, o número de correspondências internas expedidas aumentou 10% em relação às internas expedidas no mês anterior, enquanto que para as externas o aumento mensal foi de 20% em relação ao mês anterior. Segundo esse mesmo padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é: 37. Considere que a seqüência seguinte é formada pela sucessão natural dos números inteiros e positivos, sem que os algarismos sejam separados. 1234567891011121314151617181920... O algarismo que deve aparecer na 276ª posição dessa seqüência é: a) 9 b) 8 c) 6 d) 3 e) 1 38. Durante a perícia feita em uma residência assaltada foram encontrados os seguintes vestígios que, com certeza, haviam sido deixados pelos assaltantes: - uma lata vazia de refrigerante; - uma lata vazia de cerveja; - um fio de cabelo loiro; - um toco de cigarro. Após a realização da perícia, a Polícia concluiu que os assaltantes eram apenas dois e que eles se encontraram entre cinco suspeitos – Alceste, Boni, Calunga, Dorival e Eufrásio -, cujas características são as seguintes: I – Alceste: só bebe refrigerante, tem cabelos loiros e não fuma; II – Boni: bebe cerveja e refrigerante, tem cabelos pretos e não fuma; III – Calunga: não bebe refrigerante e nem cerveja, é ruivo e fuma cigarros; IV – Dorival: só bebe cerveja, tem cabelos loiros e não fuma; V – Eufrásio: só bebe refrigerante, é totalmente careca e fuma cigarros. Com base nas informações dadas, é correto afirmar que os assaltantes eram: a) Alceste e Boni b) Dorival e Eufrásio c) Boni e Calunga d) Calunga e Dorival e) Alceste e Eufrásio 39. Considere que a seguinte seqüência de figuras foi construída segundo certo critério. Se tal critério foi mantido para obter as figuras subseqüentes, o total de pontos da figura de número 15 deverá ser: a) 69 b) 67 c) 65 d) 63 e) 61 40. Uma pessoa tem R$ 14,00 em sua carteira apenas em cédulas de 1, 2 e 5 reais, sendo pelo menos uma de cada valor. Se X é o total de cédulas que ela possui, quantos são os possíveis valores de X? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 41. A sentença seguinte é seguida de um número entre parênteses, o qual corresponde ao número de letras de uma palavra que se aplica à definição dada. “Entrada ilegal de mercadorias no país.” (11) A letra inicial da palavra é: a) T b) S c) E d) B e) C 42. A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de triângulo, segundo determinado critério. Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letra “K”, “W” e “Y”, a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é: a) P b) O c) N d) M e) L 43. Uma lesma encontra-se no fundo de um poço de 15 metros de profundidade. Suponha que durante o dia, ela suba exatamente 3 metros e à noite, quando está dormindo, ela escorregue exatamente 1 metro pela parede do poço. Nessas condições, quantos dias essa lesma levaria para ir do fundo ao topo desse poço? a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 44. Observe que na sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo a uma lei de formação. Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X+Y é igual a: a) 40 b) 42 c) 44 d) 46 e) 48 45. Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo determinado padrão. Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é: 46. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critério. LACRAÇÃO cal AMOSTRA soma LAVRAR ? Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de interrogação é: a) alar b) rala c) ralar d) larva e)arval 47. Caetano, Gilberto e Eudes, soldados da Polícia Militar do Estado da Bahia, foram designados certo dia para o patrulhamento de trânsito em três bairros – A, B e C – de uma cidade. Indagados sobre seus locais de patrulhamento, forneceram as seguintes informações: - O soldado que vai patrulhar o bairro A disse que Caetano vai patrulhar B. - O soldado que vai patrulhar B disse chamar-se Gilberto. - O soldado que vai patrulhar C afirmou que Eudes vai patrulhar B. Como era sabido que apenas Caetano não mentiu, então os bairros que Caetano, Gilberto e Eudes fizeram patrulhamento em tal dia foram, respectivamente: a) A – B – C b) A – C – B c) B – C – A d) C – A – B e) C – B – A 48. (Estruturas Lógicas) Na análise de um argumento, podem-se evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que “”, “”, “” e “” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conector condicional”. Considere também a proposição a seguir: Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda- chuva e também dinheiro trocado.