Apostila  completa de calculo I da UFMG

Apostila completa de calculo I da UFMG

(Parte 1 de 10)

Cálculo 1

S. Friedli

Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas Universidade Federal de Minas Gerais

Versão: 6 de agosto de 2012

Apostila em acesso livre em w.mat.ufmg.br/~sacha no formato pdf. Disponível também, impressa frente/verso e encadernada, na copiadora da praça dos serviços da UFMG.

Versão: 6 de agosto de 2012. Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br i

Sumário

1.1 Números reais3
1.1.1 Equações do primeiro e segundo grau4
1.1.2 Ordem e intervalos6
1.1.3 Valor absoluto7
1.1.4 Inequações e sinal7
1.2 O plano cartesiano10
1.2.1 Retas1
1.2.2 Círculos14
1.3 Trigonometria15
1.3.1 Medir ângulos no plano15
1.3.2 Seno, cosseno e tangente16
1.3.3 Identidades trigonométricas18
2.1 Definição e Exemplos21
2.1.1 Limitação23
2.2 Gráfico24
27
2.2.2 Paridade29
2.2.3 Funções Trigonométricas30
2.2.4 Transformações31
2.3 Montar funções34
2.4 Composição, contradomínio e imagem35
2.4.1 Bijeção, função inversa37
2.4.2 Inversos das potências39
2.4.3 Funções trigonométricas inversas40

2.2.1 Potências inteiras: xp

3.1 Exponencial46
3.2 Logaritmo51
3.3 A base e = 2; 718:::54
3.4 Funções trigonométricas hiperbólicas56

3 Exponencial e Logaritmo 45 i

f(x)59
4.1.1 A definição de limite62
4.1.2 Limites infinitos64
f(x)68

4.2 Limites laterais: lim x!a

f(x)71

4.4 Indeterminações do tipo 0

72
74

senx

74
4.5 Limites laterais infinitos, assíntotas verticais75
4.6 Mudar de variável7
78
4.8 Continuidade79
4.8.1 O Teorema do valor intermediário81
4.9 Limites e funções contínuas82
4.10 Exercícios de revisão83
5.1 Retas e gráficos de funções85
5.2 Reta tangente e derivada87
5.2.1 Pontos de não-diferenciabilidade89
5.2.2 Derivabilidade e continuidade90
5.3 A derivada como função91

5 Derivada 85

92
5.3.2 Derivar as funções trigonométricas92
5.3.3 Derivar exponenciais e logaritmos93
5.4 Regras de derivação94

5.3.1 Derivar as potências inteiras: xp

; exponenciação97
5.4.2 Derivadas logarítmicas98
5.4.3 Derivar uma função inversa9
5.5 O Teorema de Rolle100
5.6 Derivada e Variação101
5.7 Linearização104
5.8 Derivação implícita106
5.9 Taxa de variação, velocidade108
5.9.1 Taxas relacionadas110
5.10 Convexidade, concavidade112
5.1 Valores extremos15
5.1.1 Extremos globais15
5.1.2 Extremos locais16
5.1.3 Extremos em intervalos fechados18
5.1.4 Problemas de otimização19
5.1.5 A Lei de Snell122
5.12 A Regra de Bernoulli-l'Hôpital124
5.12.1 Sobre o crescimento das funções no 1129
5.13 Assíntotas oblíquas130

5.4.1 Derivar as potências x

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5.14 Estudos de funções133
6.1 Introdução137
6.2 A integral de Riemann140
6.3 O Teorema Fundamental do Cálculo142
6.4 Áreas de regiões do plano146
6.5 Primitivas147
6.5.1 Integração por Substituição148
6.5.2 Integração por Partes151
6.6 Comprimento de arco154
6.7 Sólidos de revolução155
6.7.1 Aproximação por cilindros157
6.7.2 Aproximação por cascas159
6.7.3 Exercícios163
6.8 Áreas de superfícies de revolução163
6.9 Integração de funções racionais164
6.10 Integrais Impróprias169
6.10.1 Integrais impróprias em intervalos infinitos169

6 Integral 137

6.10.2 As integrais a dx

171
6.10.3 O critério de comparação173
6.10.4 Integrais impróprias em R174
6.10.5 Integrais impróprias em intervalos finitos175
6.1 Integrar potências de funções trigonométricas176
x176

6.1.1 Primitivas das funções senm xcosn

x178
6.12 Substituições trigonométricas179

6.1.2 Primitivas das funções tanm xsecn

6.12.1 A primitiva

R p

dx179

6.12.2 A primitiva

R p

dx182

6.12.3 A primitiva

R p

1 dx183

x2 A Soluções dos Exercícios 185

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Prefácio

Oriundo principalmente do estudo da mecânica e da astronomia, o Cálculo, chamado também Cálculo infinitesimal, nasceu no fim do século XVII, com os trabalhos de

Newton 1 e Leibnitz 2 . Hoje em dia, ele é usado em todas as áreas da ciência, e funda- mental nas áreas da engenharia.

A presente apostila contém a ementa da matéria Cálculo I, como ensinada no Departamento de Matemática da UFMG. Ela tem como objetivo fornecer ao aluno um conhecimento básico dos conceitos principais do Cálculo que são: limites, derivadas e integral. Ela também prepara o aluno para as outras matérias que usam Cálculo I nos cursos de ciências exatas (física e matemática) e engenharia, tais como Cálculo I e II, EDA, EDB, EDC...

A apostila começa com um capítulo sobre fundamentos, fazendo uma revisão de vários conceitos básicos em princípio já conhecidos pelo aluno: equações, inequações, plano cartesiano e trigonometria. A partir do Capítulo 2, o conceito de função é introduzido. A noção central de limite é abordada no Capítulo 4, e a de derivada no Capítulo 5. O resto do texto é sobre o objeto central desse curso: a noção de integral, o Teorema Fundamental do Cálculo, e as suas aplicações.

O texto contém bastante exercícios, cuja compreensão é fundamental para a assimilação dos conceitos. As soluções, às vezes detalhadas, se encontram num apêndice.

Essa apostila está em fase de elaboração. Qualquer sugestão, crítica ou correção é bem vinda: sacha@mat.ufmg.br.

Agradeço às seguinte pessoas pelas suas contribuições, correções e sugestões: Euller Tergis Santos Borges, Felipe de Lima Horta Radicchi, Fernanda de Castro Maia, Marina Werneck Ragozo, Mariana Chamon Ladeira Amancio, Pedro Silveira Gomes de Paiva, Prof. Carlos Maria Carballo, Prof. Francisco Dutenhefner, Profa. Viviane Ribeiro Tomaz da Silva, Prof. Viktor Bekkert.

1 Sir Isaac Newton (Woolsthorpe-by-Colsterworth, 4 de janeiro de 1643 Londres, 31 de março de

2 Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julho de 1646 Hanôver, 14 de novembro de 1716).

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Capítulo 1 Fundamentos

A good course is a course with many stupid questions. Wendelin Werner, medalhista Fields 2006

Quem faz uma pergunta boba fica com vergonha 5 segundos. Quem não pergunta nada fica bobo para sempre...

Um faxineiro do ICEx, 2008

Cálculo lida com funções de uma ou mais variáveis reais. Portanto, ele necessita de uma compreensão boa das principais propriedades dos números reais, e suas manipulações na resolução de problemas elementares.

Esse capítulo contém lembretes sobre a aritmética elementar dos números reais, assim como a descrição de certos conjuntos do plano cartesiano, como retas e círculos. Não pretendemos dar uma exposição completa sobre esses assuntos, mas apenas lembrar alguns fatos e estabelecer notações a respeito de coisas elementares conhecidas pelo leitor.

A matéria desse capítulo será usada constantemente no restante da apostila: é importante o leitor verificar que ele consegue fazer todos os exercícios.

1.1 Números reais

O conjunto dos números reais, R, pode ser visto como o conjunto dos pontos da linha real, que serão em geral denotados por letras minúsculas: x;y;s;t;u, etc. R é munido de quatro operações aritméticas básicas: adição (+), subtração ( ), multiplicação ( ou ) e divisão ( , ou simplesmente =).

Lembremos a importância de dois números com papel relevante com respeito à adição e multiplicação. Primeiro, o elemento 0 ( zero ) é tal que x+0 = 0+x = x, x 0 = 0 x = 0 para todo x. Um real x diferente de zero será às vezes chamado de não-nulo.

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