Baixe Forcas Distribuidas - Momentos de Inercia e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Curso de Engenharia Civil Disciplina: Mecânica dos Sólidos 1 Código ECIV018: Professor: Eduardo Nobre Lages Forças Distribuídas: Momentos de Inércia Maceió/AL Motivação M Flexão em vigas dA y M dA y kdF = y x ∫= dFR ∫= A kydA ∫= A ydAk xkQ= Ayk= 0= 0y = ∫= ydFM ∫= A 2dAky ∫= A 2dAy k Momento de Inércia ou Momento de 2ª Ordem y y dA Momento de inércia ou de 2a ordem em relação ao eixo x ∫= A 2 x dAyI xx Momento de inércia ou de 2 a ∫= 2y dAxI ordem em relação ao eixo y A Determinação dos Momentos de Inércia por Integração ∫= dAyI 2 ∫= dAxI 2x y Em princípio, para quantificação dos momentos de 2ª ordem (ou momentos de inércia), esses são calculados a partir de integrais duplas no d míni p s nt ti d iã st d d o o re re e a vo a reg o e u a a, onde se deve escrever o elemento infinitesimal de área dA de acordo com a conveniência das coordenadas de descrição da região dtrata a. Determinação dos Momentos de Inércia por Integração Dupla ( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤= d ∫= dAyI 2xy dA=dxdy ∫ ∫= d c b a 2dxdyy dx dy [ ]∫= d b a 2 dyxy ( )∫ −= d 2dyyab b c a x c c ( ) d3yab ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ −= c3 ⎦⎣ ( )( )cdab 33 −− 3 = Determinação dos Momentos de Inércia por Integração Dupla ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤≤≤= x a by0 e ax0|yx, D b ∫ dAxI 2 y ∫ ∫ a xa b 2dydxx dA=dxdy =y = 0 0 [ ] a b a bd a x ∫= 0 x a 0 2 dxyx ∫= 0 3dxx a dx y a4 4 x a b ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 ba 3 = 0 Momentos de Inércia de Figuras Geométricas Comuns — 1 3 le = 15bh Lr = if ly = 155% A 1 = lo3 Retângulo x=3 - 1,8 = gh 1,,3 ca le == bh Triângulo 36 1= Lo m3 x 12 z 1 Le =1 quê -— Circulo Momentos de Inércia de Figuras Geométricas Comuns or l = 1; 5 aut Semicírculo 1.4 f=l,==mw a" “y = 16 Quadrante = 1 ly = E rabo * Elipse 1 = rob Determinação dos Momentos de Inércia por Integração Exemplo: Determine por integração os momentos de inércia da superfície 3a hk = mostrada em relação aos eixos coordenados em termos de a e h. a h 3kx)x(y = Determinação dos Momentos de Inércia por Integração Exemplo (continuação): I ∫ ∫ a h 2d d Por integração dupla =x ⎤⎡a h3 0 x a h 3 3 y xy ∫ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ = 0 x a h dx 3 y 3 3 ⎞⎛a 33 a ∫ ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ −= 0 9 9 dxx3a h 3 h a ⎤⎡ hdx dy 0 10 9 33 10 x 3a hx 3 h ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ −= 3 3 3 xa h)x(y = 10 ah3 =( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤≤≤= hyx a h e ax0|yx, D 33 Determinação dos Momentos de Inércia por Integração ∫ ∫ a h 2dydxxExemplo (continuação): =I 0 x a h 3 3 Por integração dupla (cont.) y [ ]∫= a 0 h x a h2 dxyx 3 3a ∫ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= a 0 5 3 2 dxx a hhx hdx dy a 0 6 3 3 6 x a h 3 hx ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= 3 3 xa h)x(y = 6 ha 3 =( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤≤≤= hyx a h e ax0|yx, D 33 Determinação dos Momentos de Inércia por Integração Exemplo (continuação): ∫Por integração de fatias = xx dII ∫= h 2 dy)y(xy a 0 ∫ h 3 7 dy hh 3 1 h ya)y(x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= = 0 3 1 y h a h 3 10 y3 ⎤⎡ 3 3 xa h)x(y = 0 3 1 h10 a ⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎣ = 3 ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛≤≤≤≤= 3 1 h yax0 e hy0|yx, D 3ah 10 = Determinação dos Momentos de Inércia por Integração Exemplo (continuação): ∫Por integração de fatias = yy dII ∫= h 3 dy)y(x a 0 3 ∫ h 3 dyya hh 3 1 h ya)y(x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= = 0 h3 h23ya ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ 3 3 xa h)x(y = 0h6 ⎦⎣ = ha3 ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛≤≤≤≤= 3 1 h yax0 e hy0|yx, D 6 = Momento Polar de Inércia y ∫= 20 dArJ y dA A r xx0 Presente no estudo de barras sob torção Raios de Giração kx y ∫ 2 y dA = A x dAyI x0 r Ax y =xI Ak2x xk x0 A Ik xx = Raios de Giração ky y ∫ 2 y dA = A y dAxI x0 r Ax y =yI Ak2y yk x0 A I k yy = Raios de Giração k0 y ∫ 2 y dA = A 0 dArJ x0 r A x y =0J Ak20 0k x0 A Jk 00 = Momentos de Inércia Exemplo: Determine os momentos de inércia da superfície mostrada em relação aos eixos centroidais paralelo e perpendicular ao lado AB. Momentos de Inércia Exemplo (continuação): Determinação do centróide d C Eixo de simetria ( ) 90455279075135135904575135d ⋅⎟⎞⎜⎛ +⎟⎞⎜⎛ ⋅ = - 2 , 322 ⋅ ⎠⎝ −⋅⋅= ⎠⎝ −⋅ mm 70d = Momentos de Inércia Exemplo (continuação): Determinação dos momentos de inércia 70 mm y xC = - - 1 2 3 Produto de Inércia y y dA ∫= Axy xydAI M Flexão reta xx M Flexão oblíqua Quando pelo menos um dos eixos cartesianos é de simetria, o produto de inércia é nulo. Determinação do Produto de Inércia por Integração ∫= xydAIxy Em princípio, para quantificação do produto de inércia, esse é calculado a partir de integral dupla no domínio representativo da região st d d nd s d s l m nt e u a a, o e e eve e crever o e e e o infinitesimal de área dA de acordo com a conveniência das coordenadas de descrição da região tratada. Determinação do Produto de Inércia por Integração Dupla ( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤= d ∫= xydAIxyy dA=dxdy ∫ ∫= d c b a xydxdy dx dy ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = d b2 dyy 2 x ∫ − = d 22 ydy 2 ab b c a x c a c ( ) d222 yab ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − = Neste caso, igual ao produto da área do c4 ⎦⎣ ( )( )cdab 2222retângulo pelas coordenadas do centróide do mesmo. 4 −−= Determinação do Produto de Inércia por Integração de Fatias y ∫= xydAIxy ∫= elxydI (x,y(x)) ∫= b a 2 dx 2 y(x)x a bdx x dx 2 )x(yxdI 2 el xy = Determinação do Produto de Inércia por Integração Exemplo: Determine por integração o produto de inércia da superfície 3a hk = mostrada em relação aos eixos coordenados em termos de a e h. a h 3kx)x(y = Determinação do Produto de Inércia por Integração Exemplo (continuação): I ∫ ∫ a h d d Por integração dupla =xy ⎤⎡a h2 0 x a h 3 3 xy y x ∫ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ = 0 x a h dx 2 yx 3 3 ⎞⎛a 722 a ∫ ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ −= 0 6 dx2a xh 2 xh a ⎤⎡ hdx dy 0 6 8222 16a xh 4 xh ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ −= 22 3 3 xa h)x(y = 16 ha3 =( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤≤≤= hyx a h e ax0|yx, D 33 Teorema dos Eixos Paralelos para o Produto de Inércia ∫ ′′ dAyx=′′yxI y'y dA ∫ xydAx'y' A =xyIx x' xxx ′ +′= A y C y x ( )( )∫ +′+′=xy dAyyxxI yyy += x ( )∫ +′+′+′′= dAyxyxyxyx A A ∫∫∫∫ +′+′+′′= AAAA dAyxdAyxdAxydAyx AyxII yxxy += ′′AyxQxQyI xyyx +++= ′′′′ 0 0 Eixos e Momentos de Inércia Principais y dA y ∫ ∫ A 2dAy=xI ∫ ∫ ′ A 2dAy=′xI ∫ xydA ∫ ′′ dAyx=′′I=I A 2dAx=yI ′ A 2dAx=′yI θ+θ−=′θ+θ=′ cosysinxy e sinycosxx A A yxxy xx θ θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy 2 y 2 xx θ+θ+θ=′ 2sinIcosIsinII xy 2 y 2 xy θ+θ − =′′ 2cosI2sin2 II I xy yx yx Eixos e Momentos de Inércia Principais θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy 2 y 2 xx θ+θ+θ=′ 2sinIcosIsinII xy 2 y 2 xy θ+θ − =′′ 2cosI2sin2 II I xy yx yx0 A soma dos momentos de inércia independe do ângulo de giro do sistema de referência, ou seja, IIII +=+ J=yxyx ′′ Isso é fato pois a soma dos momentos de inércia leva ao momento polar de inércia, que depende apenas do ponto referente à origem do sistema de referência que não foi modificado 0 , . Vamos fazer uso dessa identidade para estabelecer Iy’ sem fazer uso da expressão que depende do ângulo θ. Eixos e Momentos de Inércia Principais yxI ′′ ( )yxx I,I ′′′ I xyI R θ2 2 J 2 II I 0yxmed = + = xI ′ xI y medI 2 xy 2 yx I 2 II R +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = AB xyI− Os pontos A e B são os que apresentam, respectivamente, o maior e o menor valor do momento de inércia, também denominados momentos principais d i é i d d e n rc a, a os por RII RII medminmedmax −=+= e Eixos e Momentos de Inércia Principais yxI ′′ ( )yxx I,I ′′′ I xyI R θ2 2 J 2 II I 0yxmed = + = xI ′ xI y medI 2 xy 2 yx I 2 II R +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = AB xyI− Ainda em relação aos pontos A e B, o produto de inércia é nulo, o que permite determinar as orientações dos eixos principais de inércia 02cosI2sin 2 II 0I mxym yx yx =θ+θ − ∴=′′ yx xy m II I2 2tan − −=θ Eixos e Momentos de Inércia Principais Exemplo: mm Para a cantoneira em L mostrada, determine a i ã d i 12 ,5 m or entaç o os e xos centroidais e principais de inércia, bem como os respectivos valores do momento de inércia. 12 5 m m 1 75 mm 12,5 mm