1 - Integral duplai

1 - Integral duplai

(Parte 2 de 2)

Exemplo 1

Calcule por meio dos dois metodos a integral de f(x,y) = xy sobre a regiao D limitada pelas curvas y = x e y = x2.

Solucao:

As curvas se interceptam quando x2 = x ou x(x−1) = 0. Entao x = 0 ou x = 1. Assim, os pontos de intersecao sao (0,0) e (1,1). Logo, o esboco de D e:

Calculo I-A Modulo 1 6

x2 xydydx =

Metodo 2 x y

y xydxdy =

Calculo I-A Modulo 1 7

Exemplo 2

Calcule, por meio de integral dupla, a area da regiao plana D limitada pelas curvas y = x3 e y = √ x.

Solucao: O esboco de D e:

Podemos descrever D por

Exemplo 3 Calcule o volume do tetraedo W com faces nos planos coordenados e no plano x + y + z = 3. Solucao:

Calculo I-A Modulo 1 8 yz A

W teto de W

D (piso)

Observemos que o teto de W e a porcao do plano x + y + z = 3 ou z = 3 − x − y = f(x,y) e que o piso de W e o triangulo D. Entao,

D f(x,y)dxdy

Exercıcio 1: Calcule as integrais iteradas:

y2 dydx

Exercıcio 2: Esboce a regiao de integracao e calcule as integrais:

Calculo I-A Modulo 1 9

Exercıcio 3: Esboce a regiao de integracao e inverta a ordem das integrais iteradas em:

f(x,y) dydx

x f(x,y) dydx

Exercıcio 4: Calcule ∫ 10

Exercıcio 5: Calcule ∫ 51 x y xlny dydx.

Exercıcio 6: Use a integral dupla para calcular a area da regiao D limitada pelas curvas y = 4x−x2 e y = x.

Exercıcio 7: Encontre o volume do solido W limitado pelos planos y = 0, z = 0 y = 4 e pelo cilindro parabolico z = 4 − x2.

Exercıcio 8: Encontre o volume do solido W limitado pelas superfıcies z = 1 − y2, z ≥ 0, x = 0, z = 0 e x −y = 2.

(Parte 2 de 2)

Comentários