Fenômenos de Transferência - Apostilas - Engenharia Química , Notas de estudo de Engenharia Química

Baixe Fenômenos de Transferência - Apostilas - Engenharia Química e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Química, somente na Docsity! CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DIVISÃO DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE Disciplina: Fenômenos de Transporte I UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CT/DEQAL DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE I TE-06033 (Pré-requisito - Cálculo III) PROFESSOR: CÉLIO SOUZA: NORMAS DA DISCIPLINA: EMENTA Teoria: Introdução aos fenômenos de transferência. Transporte molecular de Quantidade de Movimento, Calor e Massa Transporte unidimensional em fluxo laminar: Balanços de quantidade de movimento e Calor. Transporte multidimensional: Equações de variação para sistemas isotérmicos, não isotérmicos e para mistura binárias. Laboratório: Análise dimensional. Determinação de propriedades de transporte (viscosidade, condutividade térmica e coeficiente de difusão), determinação de Reynolds críticos e de coeficiente de atrito, medidas de perfis de perda de carga em dutos e localizada. FAIXA DE CONCEITO REGIME DE CRÉDITO REGIME DE SERIADO SR [ 00, 10 ) INS [ 00, 50 ) MAU [ 10, 30 ) REG [ 50, 70 ) INS [ 30, 50 ) BOM [ 70, 85 ) REG [ 50, 70 ) EXC [ 85, 100] BOM [ 70, 90 ) EXC [ 90, 100] APROVAÇÃO NA DISCIPLINA: a) Freqüência igual ou superior a 75% da CH (60h) b) Os conceitos de acordo com o Regimento da UFPA. BIBLIOGRAFIA: A ) Livros Textos : 1 - BENNET, C. O. & MYERS, J. E. Fenômenos de Transporte. Trad. Eduardo Walter Leser... (et alii). São Paulo. Mc Graw - Hill, 1978, 812p. 2 - SISSOM, Beighton E. & PITTS, Donald R. Fenômenos de Transporte Trad, Adir M, Luiz Rio de Janeiro, Guanabara dois, 1979, 765p. 3 - BIRD, R, B, et alli. Fenômenos de Transporte. Trad, Fidel Mafo Vázques. Espanha, Reverté. 1978. 4 - BRODKEY, R. S. V. & HERSHEY, H.C. Transport Phenomena . McGraw-Hill, 1988. 847p. 5 - WELTY, J.R., WICKS, C.E. E WILSON, R.E. Fundamentals of Momentun, Heat, and Mass Transfer, 3a. ed. Ed. John Wiley & Sons, Inc.1969. 803p. B ) Outros: B.1 ) Transporte de Quantidade de Movimento 1 - SHAMES, J.H. Mechanics of Fluids. Ed. Mc Graw-Hill. Book company. 1982. 692p. 2 - STREET, Victor L. Mecânica dos Fluidos. Guanabara Dois. 1978. 673p. 3 - BASTOS, F. A. A. Problemas de Mecânica dos Fluidos. Ed. Guanabara Dois. 1983, 483p. B.2) Transporte de Calor 1 - KREITH, Frank. Princípios de Transmissão de Calor. Trad. Eitaro Yamane... (et alii), São Paulo. Edgard Blucher. 1973, 650p. 2 - HOLMAN, J.P. Transferência de Calor. Ed. Mc Graw-Hill. 1983, 639p. 3 - INCROPERA, F, P & WITT, D.P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. Ed. Guanabara Koogam. 1992, 455p B.3 ) Transporte de Massa: 1 - HINES, A.L. & MADDOX, R.N. Mass Transfer. Ed. Prentice-Hall, Inc. 1985. 542p. 2 - CUSSLER, EL. Diffusion: Mass Transfer in Fluid Sistems. Ed. Cambridge University Press, 1984. 525p. PROGRAMA DE FEN. DE TRANSP. I (LAB) 1a AULA: ANÁLISE DIMENSIONAL -Considerações gerais -Leis mecânicas -Sistemas de unidades e dimensões -Teorema de Bridgman -Exercícios 2a AULA: DENSIDADE (PRÁTICA) -Considerações gerais -Definições de massa específica, peso específico e densidade -Medida da massa específica de líquidos 3a AULA: VISCOSIDADE (PRÁTICA) -Considerações gerais -Dedução da fórmula da viscosidade para o viscosímetro de Queda de Esfera. -Medida da viscosidade no viscosímetro de Queda de Esfera. 4a AULA: VISCOSIDADE (PRÁTICA) -Considerações gerais CONVERSÃO DE UNIDADES 1.1 - Comprimento, Área e Volume: Comprimento (L) 1Km = 103m 1cm = 10 −2m 1mm = 10−3m 1mícron (µ) = 10−6m 1milimícron (mµ) = 10−9m 1ângstron (A) = 10−10m 1ft = 12in = 30,48cm 1in = 2,54cm 1m = 39,32in = 3,28ft 1milha = 1,609Km = 1.609m Área (A) 1ft2 = 144m2 = 929cm2 1m2 = 10,76ft2 = 104cm2 Volume (V) 1L =103cm3 = 61,02m3 = 0,03532ft3 1m3 = 103L = 35,32ft3 1ft3 = 7,481 US galão = 0,02832m3 = 28,32L 1 US galão = 231in3 =3,785L 1 galão imperial = 1,201 US galão 1.2 - Massa: ↑ → X Kg g utm lb oz slug Observação Kg 1 103 0,102 2,205 35,28 6,85x10−2 Quilograma g 10−3 1 1,02x10−4 2,2x10−3 35,3x10−3 6,85x10-5 grama utm 9,80665 9806,65 1 21,62 346 0,67 unid. Téc. de massa lb 0,4535 453,5 4,62x10−2 1 16 3,1x10−2 libra-massa oz 2,83x10− 2 28,3 2,9x10−3 6,25x10−2 1 1,9x10−3 onça slug 14,59 14589 1,49 32,17 514,7 1 _____ 1.3 - Velocidade: 1.4 - Densidade Absoluta: ↑ → X Km/h m/s no ft/s ↑ → X Kg/m 3 g/cm3 lb/ft3 Km/h 1 0,28 0,54 0,91 Kg/m3 1 10−3 6,25.10−2 m/s 3,6 1 1,94 3,28 g/cm3 103 1 62,5 no 1,852 0,51 1 1,59 lb/ft3 16 1,6.10−2 1 ft/s 1,1 0,3048 0,59 1 1.5 - Força: ↑ → X dina N Kgf pdl lbf Observações dina 1 10−5 0,102x10-5 7,23x10−5 2,3x10−6 dina N 105 1 0,102 7,23 0,225 Newton Kgf 980665 9,80665 1 70,95 2,205 quilograma-força pdl 13823 0,138 1,41x10−2 1 3,1x10−2 poundal lbf 4,45x10−5 4,45 0,453 32,17 1 libra-força 1.6 - Pressão: ↑ → X Pa atm bar ba Kgf/m 2 at lbf/ft2 psi Torr in Hg Pa 1 9,869.10−6 10−5 10 10,2.10-2 10,2.10−6 20,9.10−3 1,45.10−4 7,5.10−3 2,95.10 −4 atm 101325 1 1,01325 1,013.106 10,33.103 1,033 2116 14,6959 760 29,92 bar 105 9,87.10−1 1 106 10,2.103 1,02 2088,5 14,5 750 29,53 ba 10−1 9,87.10−7 10−6 1 10,2.10−3 10,2.10−7 2,09.10−3 14,5.10−6 7,5.10−4 29,5.10 −6 Kgf/m2 9,80665 9,68.10−5 9,8.10−5 98 1 10−4 20,5.10−2 14,2.10−4 735.10−4 28,9.10 −4 at 98066,5 9,68.10−1 9,8.10−1 98.105 104 1 2048 14,2 735,56 28,958 lbf/ft2 47,88 47,26.10−5 4,79.10−4 478,8 4,88 4,9.10−4 1 69,4.10−4 36.10−4 14.10−3 psi 6894,8 6,80.10−2 6,9.10−2 68,95.103 703 703.10−4 144 1 51,7 2,04 Torr 133,3 13,2.10−4 1,33.10−1 1333 13,595 13,6.10−4 2,78 19,3.10−3 1 39,4.10 −3 in Hg 3386,5 3,34.10−2 33,9.10−3 33865 345,3 345.10−4 70,73 49.10−2 25,4 1 Observações: Pascal atmosfera física ou normal bar bária -------------------- atmosfera técnica = 1kgf/cm2 -------------------- lbf/in2 Torricelli = 1mmHg polegada de mercúrio 1.7 - Energia e Trabalho: ↑ → X J KJ L.atm cal Kcal Kgf.m Btu lbf.ft J 1 10-3 98,7.10−4 238,8.10−5 23,9.10−5 10,2.10−2 94,8.10−5 737,5.10−7 KJ 103 1 98,7.10−1 238,85 23,9.10−2 101,97 94,8.10−2 737,5 L.atm 101,325 101,3.10−3 1 24,2 24,2.10−3 10,33 96.10−3 74,73 cal 4,1868 4,19.10−3 4,13.10−2 1 10−3 426,9.10−4 39,7.10−4 3,09 Kcal 4,187.103 4,1868 41,31 103 1 426,9 3,97 3,09.103 Kgf.m 9,80665 9,8.10−3 96,8.10−3 2,34 2,3.10−3 1 93.10−4 7,2 Btu 1055 1055.10−3 10,413 252 0,252 107,59 1 778,165 lbf.ft 1,356 1,36.10−3 1,3.10−2 0,324 3,2.10−4 138,3.10−3 12,9.10−4 1 Observações: Btu → Unidade Térmica Britânica J → Joule cal → caloria 1.8 - Viscosidade Dinâmica: ↑ → X P Kg/m.s Kg/m.h Kgf.s/m 2 Kgf.h/m2 lb/ft.s lbf.s/ft2 P 1 0,1 360 0,010197 2,833.10−6 0,06721 2,0885.10−5 Kg/m.s 10 1 3600 0,10197 2,833.10−5 0,6721 2,0885.10−2 Kg/m.h 2,778.10−3 2,778.10−4 1 2,833.10−5 78,68.10−10 18,67.10−5 5,801.10−6 Kgf.s/m2 98,07 9,807 353,04.102 1 2,778.10−4 6,5919 0,20482 Kgf.h/m2 353,04.103 353,04.102 127,09.106 3600 1 23730 737,28 lb/ft.s 14,882 1,4882 5357 0,15175 4,214.10−5 1 0,03108 lbf.s/ft2 478,8 47,88 172,4.103 4,882 1,356.10−3 32,174 1 1.10 - Condutividade Térmica [k]: ↑ → X Ccm.º W Cm.h.º Kcal Ccm.s.º cal F.h.ºft Btu.in 2 Fft.h.º Btu Fin.h.º Btu Ccm.º W 1 85,985 0,23885 693,5 57,79 4,815 Cm.h.º Kcal 0,01163 1 2,778.10−3 8,064 0,6719 0,05599 Ccm.s.º cal 4,1868 360 1 2903 241,9 20,16 F.h.ºft Btu.in 2 1,442.10−3 0,1240 3,445.10−4 1 0,08333 6,944.10−3 Fft.h.º Btu 1,731.10−2 1,488 4,134.10−3 12 1 0,08333 Fin.h.º Btu 0,2077 17,858 4,964.10−2 144 12 1 Observação: Cm.º W210 Ccm.º W 1 = 1.11 - Coeficiente de Transmissão de Calor [h]: ↑ → X C.ºcm W 2 Cºm W 2 C.h.ºm Kcal 2 C.s.ºcm cal 2 F.h.ºft Btu 2 C.ºcm W 2 1 104 8598,5 0,23885 1761 Cºm W 2 10−4 1 0,85985 2,389.10−5 0,1761 C.h.ºm Kcal 2 1,163.10−4 1,163 1 2,778.10−5 0,2048 C.s.ºcm cal 2 4,1868 4,1868.104 3,6.104 1 7373 F.h.ºft Btu 2 5,681.10−4 5,681 4,886 1,356.10−4 1 1.12 - Viscosidade Cinemática (ν) , Temperatura, Densidade (ρ) e Ângulo: Viscosidade Cinemática 1Stoke (St) = 102 centistokes (cSt) =1,076.10−3ft2/sec 1ft2/sec = 92900 (cSt) = 0,01 (St) Temperatura K = ºC + 273,15 = 9 5 R R = ºF + 459,67 = 5 9 K ºC = 9 5 (ºF − 32) = K − 273,15 ºF = 5 9 ºC + 32 = R - 459,67 Densidade 1g/cm3 = 10−3Kg/m3 = 62,43lb/ft3 = 1,94 slug/ft3 1lb/ft3 = 0,01602g/cm3 1slug/ft3 = 0,5154g/cm3 Ângulo 1rad = 57,296º 1º = 0,017453rad 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTES I PROFESSOR: CÉLIO SOUZA ANÁLISE MATEMÁTICA 1 − CONSIDERAÇÕES GERAIS: Tem como principal objetivo o estudo das variáveis e suas inter- relações, ou seja, a análise trata de forma geral o conceito de magnitude (módulo) sem entretanto considerar seu significado físico. 2 − CONCEITO DE VARIÁVEL: Se uma grandeza física assume valores numéricos diferentes, então, podemos afirmar que a mesma é uma variável. 3 − TEORIA DE CAMPOS: 3.1 − Campo escalar: Denomina-se campo escalar a lei de correspondência que associa a cada ponto do espaço ⎥n, ou de parte do espaço, uma grandeza física escalar. Ex: Campo de temperatura, campo de concentração, campo de pressão. Se tivermos uma função escalar do ponto "M", f = f(M), onde M ∈ ⎥n, no sistema cartesiano de coordenadas (x, y, z), teremos f = f (x, y, z), logo se: F = Concentração ⇒ C = C (x, y, z); F = Temperatura ⇒ T = T (x, y, z); f = Pressão ⇒ P = P (x, y, z); 3.2 − Campo Vetorial: É a lei de correspondência que associa a cada ponto do espaço ⎥n, ou parte do espaço, uma quantidade física vetorial. Ex: Campo de velocidade, campo de quantidade de movimento, campo de aceleração. 4 6 − OPERADOR DE LA PLACE (∇2): É a divergência do gradiente (div.gradϕ ; ou ; ∇.∇ϕ ; ou ; ∇2ϕ) 2 2 2 2 2 2 2 zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ , então: 2 2 2 2 2 2 2 zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ ϕϕϕ 7 − ROTACIONAL (ROT): É uma função vetorial derivada do produto vetorial entre dois vetores. 321 vvv kyx kji vROT ∂∂∂∂∂∂= →→→ → onde: ( ) ( ) ( ) ( ) →→→→ ++= kzyxvjzyxvizyxvzyxv ,,,,,,,, 321 8 − PROPRIEDADES DO OPERADOR NABLA: ( ) 2121 ϕϕϕϕ ∇+∇=+∇ ( ) 2121 VVVV ⋅∇+⋅∇=+⋅∇ ( ) 2121 xxx VVVV ∇+∇=+∇ ( ) ( ) ( )VVV ⋅∇+∇=⋅∇ ϕϕϕ ( ) ( ) ( )VVV xxx ∇+∇=∇ ϕϕϕ ( ) 0x =∇⋅∇ A APLICAÇÃO: Calcular o gradiente e a divergência do gradiente da função abaixo e provar que 2∇=∇⋅∇ . 332 zyyx +=ϕ ( ) →→→→→→ +++=∇∴⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ kzyjzyxixyk z j y i x 23322 332 ϕϕϕϕϕ 5 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = += = ∴ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇⋅∇ 23 3 322 2 1 321 3 3 2 zyv zyxv xyv z v y v x vϕ zyyzy 33 662 ++=∇⋅∇ ϕ zyyzy zyx 332 2 2 2 2 2 2 2 662 ++=∇∴⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ ϕϕϕϕϕ logo: ϕϕ ∇⋅∇=∇2 9 − DERIVADA SUBSTANTIVA: Representa a taxa de variação de uma grandeza física, associada a uma partícula em movimento. Sendo [ ]ttztytxBB ),(),(),(= , então: t z z B t y y B t x x B t B Dt DB ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ = onde t z t y t x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ e , são as componentes da velocidade, então: zyx vz Bv y Bv x B t B Dt DB ⋅ ∂ ∂ +⋅ ∂ ∂ +⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ = e UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ DEQAL/CMEQ DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE PROFESSOR: CÉLIO SOUZA LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE 1 − INTRODUÇÃO AO FENÔMENO DE TRANSFERÊNCIA: O processo de transferência é caracterizado pela tendência ao equilíbrio, que é uma condição em que não ocorre nenhuma variação. Numa força motriz, o movimento no sentido do equilíbrio e o transporte de alguma quantidade, são os fatores comuns a todos os processos de transferência. 2 − FORÇA MOTRIZ: É a diferença entre duas grandezas às quais ocorre uma variação ( é dado pelo gradiente unidirecional dx dB ) Ex1: Transporte de calor: y T1 T2 Fluxo de calor da esquerda para a x direita (T1 > T2) z fonte de aquecimento 0 0 dx dTTk z Tj y Ti x TT =∇∴ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ →→→ Ex2: Transporte de massa: y C1 x Fluxo de massa (C1 > C2) C2 z 0 0 dx dCTk z Cj y Ci x CC =∇∴ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ →→→ y FC P.M. t = pequeno; há um regime transiente, ou seja, o perfil é vx = vx (y, t). x P.F. y FC P.M. t = ∞; perfil de velocidade estacionário, ou seja, vx = vx (y) x P.F. y dx P.M. dy γ vx = vx (y) x P.F. ( ) dy dxtg =γ ; porém para ângulos pequenos ⇒ ( )γγ tg= logo dy dx =γ ; então ⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = dy dx dt d yxτ ∴ dy dvx⋅−= µτ yx (II) Obs: O sinal negativo da equação acima é devido ao atrito, pois o mesmo é exercido pela parede sólida sobre o fluido e em sentido contrário ao escoamento. Matematicamente, podemos dizer que o escoamento está indo de uma região de maior fluxo de quantidade de movimento para uma de menor fluxo. tAt v A m A am A FC yx . movimento de Quantidade. =⋅===τ , mas... :logo , área TaxaFluxo e tempo grandezaTaxa == τyx = Densidade de fluxo de quantidade de movimento. 5.4 − Validade da Lei de Newton da Viscosidade: Fluido newtoniano; Distância entre as placas muito pequena; Utilizado para pequenas deformações. 6 − VISCOSIDADE: A constante de proporcionalidade da equação (I) ou (II) é chamada de viscosidade absoluta ou dinâmica (µ) e mede, portanto, a resistência que o fluido oferece às forças cisalhantes, ou seja, mede o atrito interno que as moléculas constituintes do fluido exercem entre si. A viscosidade cinemática (υ) é uma outra propriedade do fluido. Ela é definida como sendo a relação entre a viscosidade dinâmica (µ) e a massa específica (ρ) do fluido. ρ µυ = 6.1 − Dimensões de "µ" e "υ": a) Sistema [MLT]: [ ]112 2 .. −− − =∴⋅=⋅=∴= TML TL L L TLM v y A F dydvx yx µµ τ µ [ ]123 11 . .. − − −− =∴== TL LM TLM υ ρ µυ b) Sistema [FLT]: [ ]22 −=∴⋅=⋅= FTLTL L L F v y A F µµ 6.2 − Unidades mais usuais de viscosidade: a) Viscosidade dinâmica (µ): ## Sistema CGS: 100cP1P POISEou . ou .2 =∴scm g cm sdy ## Sistema Internacional: sm Kg m sN . ou .2 ## Sistema Inglês: sft lbm ft slbf . ou .2 b) Viscosidade cinemática (υ): ## Sistema CGS: 100cSt1St STOKE 2 =∴= s cm ## Sistema Internacional: s m2 ## Sistema Inglês: s ft 2 6.3 − Influência da Pressão e Temperatura: a) Pressão: Para pressões moderadas a viscosidade dos fluidos independe da pressão (até 10atm). Para altas pressões, os gases e a maioria dos líquidos variam, porém não existem leis bem definidas. b) Temperatura: Nos gases, aumentando-se a temperatura, aumenta a viscosidade, devido à transferência de quantidade de movimento entre as moléculas. Nos líquidos, aumentando-se a temperatura, diminui a viscosidade, devido diminuírem as forças de coesão entre as moléculas. onde: K → é o índice de consistência do fluido; n → é o índice de comportamento do escoamento do fluido; 1− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ n x dy dvK → viscosidade aparente. Obs: Se K = µ e n = 1, o fluido é Newtoniano; Se n > 1, fluido Dilatante; Se n < 1, fluido Pseudoplástico. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE I PROFESSOR: CÉLIO SOUZA Lista de Exercícios de Lei de Newton da Viscosidade 1 − A distância entre dois pratos planos e paralelos é 0,00914m e o prato inferior está sendo puxado a uma velocidade relativa de 0,366m/s. O fluido entre os pratos é óleo de soja com viscosidade de 4x10−2Pa.s a 303K. a) Calcule a tensão cisalhante e o gradiente de velocidade, em unidades do S.I. Resp: 1,6 Pa; 40 s-1 b) Caso o glicerol a 293 K com viscosidade 1,069 Kg/m.s seja usado no lugar do óleo de soja, qual será a velocidade relativa em m/s necessária para a mesma distância entre os pratos e a mesma tensão cisalhante obtida no item (a)? Qual o novo gradiente de velocidade? Resp: 0,014 m/s; 1,5 s-1. 2 − O pistão mostrado na figura abaixo, desliza no cilindro com uma velocidade constante de 0,6m/s. Calcular o peso do pistão, sabendo-se que a viscosidade do fluido lubrificante é 200cP. Resp: 12,4 N. Lubrificante P 45º 3 − Tem-se um viscosímetro rotatório que consta basicamente de dois cilindros coaxiais onde o óleo de ensaio é colocado entre eles (ver figura). É necessário um torque de 2N.m para fazer o cilindro interno girar a 30rpm. Os cilindros possuem 0,457mde comprimento e a folga entre eles é de 0,30cm. Desprezando os efeitos de borda, demonstre que: a) A tensão cisalhante é dada por (τ = 0,697/r2); b) Calcule a viscosidade do óleo de ensaio em "Pa.s" supondo-o Newtoniano e ri =0,15m.Resp:0,2 Pa.s. Pistão Dados: Comprim.Pistão = 40cm DPistão = 11,6cm Dcilindro = 12,0cm 200cP = 2P 0,6m/s = 60cm/s Obs: Considere a espessura do filme muito pequena re ri 4 − A figura abaixo mostra uma placa "A", com área total de 1,0 m2 e massa de 0,10Kg, deslizando para baixo entre duas placas, entre as quais, encontra-se um óleo (µ = 407cP). Desprezando a espessura da placa "A" e o empuxo calcule: a) A tensão cisalhante no S.I; Resp: a) 0,981 N; b) v= 0,25 m/s. b) A velocidade da placa no S.I. Fc1 Fc2 P 5 − Um eixo com 18 mm de diâmetro externo, gira a 20 rotações por segundo dentro de um mancal de sustentação estacionário de 60 mm de comprimento. Uma película de óleo com espessura de 0,2 mm preenche a folga anular entre o eixo e o mancal. O torque necessário para girar o eixo é de 0,0036 N.m. Estime a viscosidade do óleo que se encontra que se encontra na folga. Resp: 0,0208 Pa.s. 6- Uma fina placa quadrada de 20 cm de lado, desliza ao longo de um palano inclinado de 300. Qual a massa da placa se a viscosidade do fluido é de 800 cP? O perfil de velocidade é dado por Vx= 3,5 y (em cm/s). Resp: 22,834 g. 7- Marque V se for verdadeira e F se for falsa: ( ) Na Lei de Newton da Viscosidade, o gradiente de velocidade eqüivale a taxa de deformação do fluido, cuja dimensão é o segundo, e sempre esse gradiente é negativo, pois o fluido movimenta-se de maiores para menores concentração de velocidade de quantidade de movimento. ( ) A diferença mecânica entre um dilatante é que esse último deve vencer uma tensão inicial para começar a se deformar. ( ) Para µ= 0,06 kg/m.s e d= 0,6, a viscosidade em Stokes é igual a 1. 8- A tabela abaixo contém dados experimentais para um reograma de um material polimérico. Determine se este fluido é um pseudoplastico. Caso o for, determine os parâmetros k e n. Resp: 9604,62 e n< 1. dv/dy (s-1) 10 20 50 100 200 400 600 1000 2000 σ (N/m2).104 2,2 3,1 4,4 5,8 7,4 9,8 11,1 13.9 17,0 y1 y2 # Balanço de força: 21 FFP += 2 .981,0 81,910,0 s mKgPgmP =⇒⋅=⋅= a) Cálculo da tensão: 2 2121 2 2 1 1 11 962,1 5,0 981,0 5,05,05,05,0 m NPFFFF A F A F =⇒== + =+=+=+= ττττ b) Cálculo da velocidade: 2 2 1 121221121 y VA y VAFFAAFFAF A F ⋅+⋅=+∴⋅+⋅=+∴⋅=∴= µµττττ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⋅=⇒== 21 21 115,0 5,0 :mas yy VPAA µ s mVV 51,0 15,0 1 35,0 1407,05,0981,0 =⇒⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⋅⋅⋅= 5ª) Solução: h bayVr += V1 V2 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − =∴=∴= =∴=∴= h VVaVVhy VbVVy r r 12 2 11 0 r y ( ) h VVa 21 −−= ( ) ( ) dy dV h VV dy dVVy h VVV ryrrr ⋅−=∴ − −=⇒+⋅ − −= µτ 21121 ( ) dA h VVdF A F h VV c c yr ⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⋅==⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −−⋅−= 2121 :ando)(diferenci µµτ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅⋅= =∴⋅= cia)ircunferên(Área da cddrrdA (Torque) r dTdFrdFdT θ ∫ ∫ ∫ ⋅=⋅=⇒⋅⋅= π ππθ 2 0 2 2 0 2 2 RRAddrrdA R ⎩ ⎨ ⎧ ⋅= ⋅= ∴⋅⋅⋅⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⋅= rV rV ddrrr h VVdT 22 1121 :mas ω ω θµ ∫∫∫ ⋅⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⋅=⇒⋅⋅⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⋅= π θωωµθωωµ 2 0 2 0 321 0 321 ddrr h dTddrr h dT dT ( ) 4214 4 21 32 42 2 d h Td h T ⋅−⋅ ⋅ ⋅ =⇒ ⋅ ⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⋅⋅= ωωπµωωµπ ( ) 421 32 d Th ⋅⋅ ⋅⋅ =− πµ ωω UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTES I PROFESSOR: Célio Souza EQUAÇÕES DE VARIAÇÃO (SISTEMAS ISTÉRMICOS - I) 1 − CONSIDERAÇÕES GERAIS: As equações são baseadas em leis fundamentais, tais como: Princípio da Conservação da Massa; 2ª Lei da Termodinâmica; Princípio da Conservação da Energia. 2 − EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE: Esta equação é baseada na lei de conservação da massa. Vamos considerar um balanço de massa para um fluido circulando em uma região fixa no espaço em um elemento de volume "∆x. ∆y. ∆z". 2.1 − Lei da Conservação da Massa: − = s kgm s m m KgAv =⋅⋅⇒== 23 .tempo massamassa de taxa ρ z (ρvz)/(z+∆z) (ρvy)/(y+∆y) y (ρvx)/x (ρvx)/(x+∆x) (ρvy)/y (ρvz)/z x Taxa de massa que entra no volume de Taxa de massa que sai do volume de controle Taxa de acúmulo de massa no vol. de controle 3.2 − Fluido compressível (ρ ≠ cte) e regime permanente ( 0= ∂ ∂ t ρ ). 0 . ∴⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−∇= ∂ ∂ →v t ρρ 0. =⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛∇ → vρ 4 − OUTROS SISTEMAS DE COORDENADAS: 4.1 − Coordenadas Cilíndricas (r,θ,z): ( ) ( ) ( ) 0..1..1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ zr vz v r vr rrt ρρ θ ρρ θ 4.2 − Coordenadas Esféricas (r,θ,ϕ): ( ) ( ) ( ) 0. sen 1sen.. sen 1..1 22 =∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕθ ρϕθ θρ θθ ρρ v r v r vr rrt r UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE I PROFESSOR: CÉLIO SOUZA Lista de Exercícios de Equação da Continuidade 01 − Faça os cálculos para verificar se equação da velocidade V = (2xy)i + (x − y)j + (z − 2zy)k, satisfaz a equação da continuidade para o escoamento de um fluido incompressível em regime permanente. 02 − Dado o campo de velocidade V = (2x + cosy)i + (senx − 2y)j − 4zk, verifique se o mesmo é compressível ou incompressível. 03 − O escoamento de um fluido bidimensional, vx = 0, é incompressível. O componente "vy" em qualquer ponto é dado por: vy = 4y2 - cos(α)z. Encontre "vz", sabendo-se que para z = 0 ; vz = v0. 04 − Em um duto cilíndrico escoa um fluido com velocidade vz = v0 − t Z . Ocorre neste movimento do fluido a variação de sua massa específica somente com o tempo "t", e onde no instante t = t0, ρ = ρ0 (cte). Calcule a expressão para a massa específica "ρ" do fluido. 05 − O escoamento de um fluido incompressível em coordenadas retangulares é dado pelos componentes de velocidade: vx = x3y e vy = 2yx2, onde "vz" é desconhecido. Encontre "vz", sabendo-se que vz = 0 em z = 0. 06 − Seja vx = vx (x,t), o único componente de um escoamento em plano unidimensional e transiente para o qual a massa especifica varia de acordo com ρ = ρ0[2 − cos(ωt)]. Determine a expressão para "vx", se em x = 0; vx = v0, para qualquer valor de "t". 07 − Um campo de escoamento unidirecional é representado por vz = 1 + z. Sabendo-se que ρ = ρ(z), e sendo ρ = ρ0, quando z = 0, obtenha uma expressão para calcular "ρ". Resolução dos Exercícios 1ª) Solução: ( ) ( ) ( ) y z v y v y x v kzyzjyxixyv zyx 21 ; 1 ; 2 22 −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ ⇒−+−+= →→→→ 02112 )( 0 =−+−⇒= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ yyívelincompress z v y v x v zyx (sim) 2ª) Solução: ( ) ( ) 4 ; 2 ; 2 42sencos2 −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ ⇒−−++= →→→→ x v y v x v kzjyxiyxv xyx 4422 )( 0 −=−+−⇒= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ívelincompress z v y v x v zyx (compressível) 3ª) Solução: 0 2 0 0 ? cos4 vv zvvzyv zxzy =⇒=∴=∴=∴−= α 0 08 0 8 =+∴= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∴= ∂ ∂ dz dv y z v y v x v y y v zzyxy ∫ ∫ =⇒=∴+−=∴−= 0 :.. 8 v 8 0z zvvcontcondCyzdzydv zz yzvvvCCyv z 8 08 000 −=∴=∴+⋅−= 4ª) Solução: 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ =⇒= = ∴= ∂ ∂ + ∂ ∂ ++ ∂ ∂ 00 , 0 1 1 ρρ ρρ θ ρρ θ tt tzvv v z v r vr dr d rt zz zr 0 ( ) 0 0 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∴= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∴= ∂ ∂ + ∂ ∂ z v tz v z v t v zt z z z z ρ ρρρρρρ ∫ ∫=∴=∴=−∂ ∂ ∴−= ∂ ∂ ∴−= t dtd tdt d tttz v t zvv zz ρ ρρρρρ 0 1 0 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE I PROFESSOR: CÉLIO SOUZA EQUAÇÕES DE VARIAÇÃO PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS 1 − EQUAÇÃO GERAL DO MOVIMENTO: Esta equação se fundamenta na 2ª Lei de Newton do movimento, na qual se faz um balanço de forças (taxa de quantidade de movimento) em um elemento de volume de lados "dx, dy, dz". 1.1 − Segunda Lei de Newton: = + + t F t vmFamF movimento de quantidade . . =∴=∴= 1.1.1 − Forças de Inércia (Fi): dxdydzdm dV dmadmFd i . . ρρ =∴=∴= →→ (1) (2) ( )zyxvv dt vda ,, →→ → → =∴= # Aplicando-se a regra da cadeia, temos: t t t v t z z v t y y v t x x v dt vda ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ == → → t v z vv y vv x vva zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = → Forças de Inércia Forças de Pressão Forças Viscosas Forças de Campo # Da definição de derivada substantiva, observa-se que: ( ) Dt vDaAv t A Dt AD → →→ →→ =⇒∇+ ∂ ∂ = . (3) # Substituindo-se (2) e (3) em (1), teremos: ( ) Dt vD dxdydz dFdv Dt vDdxdydzdF ii →→ =⇒÷= . .. ρρ (A) 1.1.2 − Força de Pressão (Fp): (em todas as direções) z Pz+dz.dAz Py.dAy Px.dAx Px+dx.dAx Py+dy.dAy Pz.dAz x y ( ) ( ) ( ) zyxP dzzzz dyyyy dxxxx z y x p dFdFdFdF dxdyPPdF dxdzPPdF dydzPPdF dxdydA dxdzdA dydzdA dAPdF ++=⇒ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= −= −= ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = = = + + + . . . . # Consideremos a série de Taylor truncada no 2º termo: 0 0 .... !3!2 3 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +=+ dxx Pdx x Pdx x PPP xxxxdxx # Então teremos para cada caso: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ ∂ ∂ −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −−= ⋅ ∂ ∂ −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −−= ⋅ ∂ ∂ −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −−= dxdydz z Pdxdydz z PPPdF dxdydz y P dxdzdy y P PPdF dxdydz x Pdydzdx x PPPdF zz zzz yy yyy xx xxx . . . ( )dvdxdydz z P y P x PdFdFdFdF zyxzyxP ÷⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −=++= . P dxdydz dFp −∇= (B) 1.1.3 − Forças Viscosas (Fv): (tensões sobre o elemento de volume) z τzz τzx τzy τxz τyz τxx τxy x τyx y τyy # τxx, τyy e τzz → são tensores normais; # Os demais são tangenciais. # Substituindo-se a lei de Newton na equação geral, temos: →→ → +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∇∇+−∇= gvP Dt vD ρµρ .. ; como "µ" é constante, então: →→ → +∇+−∇= gvP Dt vD ρµρ 2 (II) Obs: A equação (II) é a equação de Navier-Stokes. Esta equação será utilizada no curso de Fenômenos I (ver tabela). # Escrevendo-se a equação de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas na direção "x": x xxxxx z x y x x x g z v y v x v x P z vv y vv x vv t v ρµρ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2.2 − Efeitos viscosos nulos: ( 0. =∇τ → fluido ideal) 0 → → +∇−−∇= gP Dt vD ρτρ . ∴ → → +−∇= gP Dt vD ρρ (III) Obs: A equação (III) é chamada de Equação de Euler, que para regime permanente e fluido incompressível e em uma só direção obtemos a equação de Bernoulli. 2.3 − Fluido em repouso: (M.R.U. → v = cte) Se v = cte então 0. e 0 =∇= → τ Dt vD . Logo a equação geral fica: → =∇ gP ρ (IV) # Escrevendo-se a equação (IV) em uma só direção obtemos a equação da estática dos fluidos "P = ρ.g.h". 2.4 − Efeito de pressão e gravidade desprezíveis:( 0g e 0 ==∇ → ρP ) → → ∇= v Dt vD 2µρ ou → → ∇= v Dt vD 2υ UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE I PROF: CÉLIO SOUZA EQUAÇÃO DE VARIAÇÃO PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE NOS DISTINTOS SISTEMAS DE COORDENADAS: Coordenadas retangulares (x, y, z): ( ) ( ) ( ) 0=+++ zyx vzvyvxt ρ∂ ∂ρ ∂ ∂ρ ∂ ∂ ∂ ∂ρ Coordenadas cilíndricas (r, θ, z): ( ) ( ) ( ) 011 =+++ zr vz v r rv rrt ρ ∂ ∂ρ ∂θ ∂ρ ∂ ∂ ∂ ∂ρ θ Coordenadas esféricas (r, θ, φ): ( ) ( ) ( ) 0 sen 1sen sen 11 2 2 =+++ Φvr v r vr rrt r ρ ∂φ ∂ θ θρ ∂θ ∂ θ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ρ θ EQUACÃO DO MOVIMENTO EM COORDENADAS RETANGULARES (x, y, z): Em função dos gradientes de velocidade para um fluido Newtoniano de "ρ" e "µ" constantes: Componente "x": x xxxx z x y x x x g z v y v x v x P z v v y v v x v v t v ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++ 2 2 2 2 2 2 Componente "y": y yyyy z y y y x y g z v y v x v y P z v v y v v x v v t v ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++ 2 2 2 2 2 2 Componente "z": z zzzz z z y z x z g z v y v x v z P z vv y vv x vv t v ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++ 2 2 2 2 2 2 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO EM COORDENADAS CILÍNDRICAS (r, θ, z): Em função dos gradientes de velocidade para um fluido Newtoniano de "ρ" e "µ" constantes: Componente "r": ( ) rrrr r z rr r r g z vv r v r rv rrr r P z v v r vv r v r v v t v ρ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ θ θθ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ −=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−++ 2 2 22 2 2 2 211 4 − Demonstre que a velocidade média de um fluido Newtoniano e incompressível em um duto circular de raio "R", a partir do perfil de velocidade dado por: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⋅ + ⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆= ++ n n n n n z Rn n KL PV 11 1 r 12 é como abaixo: 13 . 2 . 1 1 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆= + n nR KL PV n n n z Em seguida encontre a relação MAXz,z V/V . Dado: ∫∫ ∫∫= R R z z V V 0 2 0 0 2 0 rdrd drdr θ θ π π 5 − Mostre que o perfil de velocidade para fluxo laminar tangencial de um fluido incompressível escoando no espaço compreendido entre dois cilindros verticais coaxiais, quando o cilindro inferior gira com velocidade angular "Ω", é dado por: ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ − ⋅Ω = r Rr K KV 22 2 2 1θ Resolução dos Exercícios 1ª) Solução: a) Perfil de velocidade: 0 0 0 0 0 0 0 z zzzz z z y z x z g z V y V x V z P z VV y VV x VV t V ρµρ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 µ βρ µ βρβρµ cos cos cos0 2 2 2 2 g dx dV dx dg dx Vdg x V zzz −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛∴−=∴+ ∂ ∂ = ∫ ∫ +⋅−=∴⋅−=⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 cos cos Cxg dx dVdxg dx dVd zz µ βρ µ βρ # 1ª cond. de cont.: 0 0ou 0 0 0ou 0 1 , =⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ==⇒= ==⇒= C dx dVxem dx dVVVxem z xz z máxzz τ ∫ ∫ +⋅−=∴−= 22 cos cos CxgVxdxgdV zz µ βρ µ βρ # 2ª cond. de cont.: { 0 =⇒= zVxem δ µ δβρδ µ βρ 2 cos cos0 2 22 2 ⋅=∴+⋅−= gCCg ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−⋅=⇒⋅+⋅−= 2 222 1 2 cos 2 cos 2 cos δ δ µ βρδ µ βρ µ βρ xgVgxgV zz b) Perfil de tensão: xg dx dVxg dx dV dx dV zzz yx ⋅−=∴⋅−=∴−= µ βρ µ βρµτ cos 2 cos2 xgxg yxyx ⋅=⇒⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅−⋅−= βρτ µ βρµτ cos cos c) Velocidade máxima: { max, 0 zz VVxem =⇒= 2 , 2 cos δ µ βρ ⋅= gV máxz d) Velocidade média: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∴⋅⋅ ⋅ =∴ ⋅ = δ δ δ δ 0 0 0 0 0 : temos,"" dosubstituin 1 zzzw w z z VdxVw w V dxdy dxdyV V ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅⋅−+⋅⋅−= ∫∫ dx gdxxgV z 2 0 2 0 2 cos 2 cos1 δ µ βρ µ βρ δ δδ ( ) 2 cos 32 cos1 0 2 0 3 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= δ δ µ βδρ µ βρ δ xgxgV z ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−⋅=∴⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+⋅−= 3 333 32 cos1 2 cos 32 cos1 δδ µ βρ δµ βδρδ µ βρ δ gVggV zz 2 3 3 cos 3 2 2 cos1 δ µ βρδ µ βρ δ ⋅=⇒⋅⋅= gVgV zz # Relação entre :" " e "" max, zz VV 2 3 3 cos 2 cos max, 2 2 max, =⇒ ⋅ ⋅ = z z z z V V g g V V δ µ βρ δ µ βρ e) Vazão volumétrica (Q) 32 3 cos 3 cos δ µ βρδδ µ βρ wgQwgQAVQ z ⋅=⇒⋅⋅=∴⋅= f) Vazão mássica por unidade de largura ( •mQ ) 3 2 3 3 cos 3 cos δ µ βρρδ µ βρρ ⋅=⇒⋅⋅= ⋅ = •• gQ w wg w QQ mm e) Vazão volumétrica (Q): 422 8 8 R L P QRR L P QAVQ AbAbz π µ π µ ⋅ ∆ =⇒⋅⋅ ∆ =∴⋅= 3ª) Solução: 0 0 0 0 0 0 0 z zzzz z zz r z g z VV rr Vr rrz P z VVV r V r VV t V ρ θ µ θ ρ θ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 11 ⎩ ⎨ ⎧ →=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dinâmica pressão própria a é absoluta pressão a gravidade da termoo temosnão como caso, neste 1 dz dP dr dVr dr d r zµ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛=−∴⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= ∫∫ dr dVr dr d r LPPdz dr dVr dr d r dP z L z P P 1 1 12 0 2 1 µµ ∫∫ ∆ −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛∴ ∆ −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ rdr L P dr dVrd L P dr dVr dr d r zz µµ 1 ( ) r Cr L P dr dVCr L P dr dVr zrz 11 2 2 2 +⋅ ∆ −=⎯→⎯+⋅ ∆ −= ÷ µµ 21 2 1 ln2 2 CrCr L PV r drCrdr L PdV zz ++⋅ ∆ −=⇒+ ∆ −= ∫ ∫∫ µµ (1) # 1ª cond. de cont.: bCb L PCCbCb L PVbrPara z ln4 ln 4 0 0 1 2 221 2 −⋅ ∆ =⇒++⋅ ⎩ ⎨ ⎧ ∆ −=∴=∴= µµ # 2ª cond. de cont. (2) bCb L PaCa L PVarPara z ln4 ln 4 0 0 1 2 1 2 −⋅ ∆ ++⋅ ⎩ ⎨ ⎧ ∆ −=∴=∴= µµ ( ){ ( ) ( ) ( )baL baPCba L PbaC ln 1 4 4 lnln 22 1 22 1 ⋅ −∆ =⇒− ∆ =− µµ (3) # Substituindo (3) em (2), teremos: ( ) ( ) bbabaL Pb L PC ln ln 1 44 222 2 ⋅⋅− ∆ −⋅ ∆ = µµ (4) # Substituindo (4) e (3) em (1), teremos: ( ) ( ) )/ln( ln 44 ln )/ln( 1 44 222222 ba bba L Pb L Pr ba ba L Pr L PVz ⋅− ∆ −⋅ ∆ +⋅⋅− ∆ +⋅ ∆ −= µµµµ ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅−−+⋅−+− ∆ = )/ln( ln )/ln( ln 4 222222 ba rbab ba rbar L PVz µ ( ) ( ) [ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −⋅ − +− ∆ = br ba barb L PVz lnln)/ln(4 22 22 µ ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ − +− ∆ = )/ln( )/ln(4 22 22 br ba barb L PVz µ 4ª) Solução: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅−⋅⋅ + ⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆=∴ ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ++R R z R z R R z z drrrdrR n n KL P R V R rdrV rdrd rdrdV V n n n nn 0 0 22 0 2 0 0 2 0 0 121 1 12 2 2 2 2 π π θ θ π π onde: cte n n KL P R n == + ⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ φ 12 2 1 2 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅=∴ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅= ++++ n n n n n n n n R n nRRV n nrrRV z RR z 131131 132 132 2 00 2 φφ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + −⋅ + ⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆=∴ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + −= ++ + 132 1 12 2 132 13 1 13 13 2 n nR n n KL P R VR n nRV n nn n nn n zz φ ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + −+ ⋅⋅ + ⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆= − + 132 213 12 2 2 13 1 n nnRR n n KL PV n nn z 132 13 1. 12 1 1 1 1 + ⋅⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆=⇒⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + ⋅⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆= ++ n nR KL PV n n n nR KL PV n nn n nn zz 5ª) Solução: R Ω KR 0 0 0 0 0 0 0 Componente "θ": ( ) θρ ∂ θ∂ ∂θ ∂ ∂θ θ∂ θ∂ ∂ ∂ ∂µ ∂θ ∂ ∂ θ∂θ ∂θ θ∂θ ∂ θ∂ ∂ θ∂ρ g z vrv r v r rv rrr P rz v zvr vrvv r v r v rvt v + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +++⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++ 2 2 2 2 2 2 2 11 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) rdrCrVdCrV dr d r rV dr d rdr d ⋅=∴=⋅∴=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ 11 1 01 θθθ # Integrando-se, teremos: ( ) r CrCVCrCrV r 212 21 2 2 +⋅=⎯→⎯+⋅= ÷ θθ (1) # Aplicando as condições de contorno abaixo, teremos: : teremoscont., de cond. as se-dosubstituin , 0 ⎩ ⎨ ⎧ Ω=∴= =∴= KRVKRrem VRrem θ θ ( ) ( ) ( )1 e 1 2 2 2 22 2 1 − Ω −= − ⋅Ω⋅ = K KRC K KC # Substituindo-se "C1" e "C2" em (1), teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) rK KRr K KV rK KRr K KV ⋅− Ω −⋅ − ⋅Ω =∴ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ − Ω −+⋅ − ⋅Ω⋅ = 11 1 121 2 2 2 2 2 2 2 2 2 θθ ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ − ⋅Ω = r Rr K KV 22 2 2 1θ específico, do mecanismo de transferência por convecção (natural ou forçada), etc. 3ª Obs: Caso "h" seja constante ao longo da superfície "A", então a equação de Newton pode ser escrita da seguinte forma: ( ) fSfSC TTTTAhq 〉∴−= para .. 3.2 − Radiação: A energia radiante pode ser refletida (α), transmitida (β) ou absorvida (γ), onde α + β + γ = 1 Ex: Negro de fumo (γ ≅ 0,97; α ≅ 0,03; β ≅ 0); Placa de alumínio (γ ≅ 0,1; α ≅ 0,9; β ≅ 0). Obs.1: O corpo negro é o corpo que absorve toda a energia radiante que atinge sua superfície (γ = 1) e a taxa de calor é dada por: 4.. SR TAq σ= (Lei de Stefan-Boltzmann) Obs.2: Quando dois corpos negros trocam radiação a taxa de calor é dada por: ( )44 21 .. SSR TTAq −=σ Obs.3: Caso o corpo não seja um corpo negro (γ < 1) a taxa de calor é dada por: ( )44 21 ... SSR TTAq −= σε onde: qR → taxa de troca de calor por radiação térmica (Watt); σ → constante de Stefan-Boltzmann (5,67.10−8W/m2K4); ε → emissividade do meio (adimensional, variando de 0 a 1); A → área superficial (m2); TS → temperatura da superfície (absoluta, "K" ou "R"). 3.3 − Condução e Condutividade Térmica: y P.S. PLACA SÓLIDA P.I. x y T0 P.S. P.I. x y T0 P.S. T = T (y,t) P.I. x y T0 P.S. T = T(y) P.I. x # De acordo com o experimento acima, podemos concluir que: FLUXO DE CALOR α GRADIENTE DE TEMPERATURA NA DIREÇÃO (Y) dy dTK A q −= (Lei de Fourrier da Condução) Obs: O sinal negativo é devido ao fluxo térmico estar no sentido contrário ao gradiente de temperatura. Considerar que haja um sorvedouro de calor na placa superior, mantendo-a fria t = 0 → a placa superior está na mesma temperatura da placa inferior "T0" t = pequeno → a placa superior aumenta sua temperatura havendo um regime transiente T = T(y,t) t = ∞ → haverá formação final do perfil de temperatura, ou seja, T = T(y) sendo: q → taxa de calor por condução [Kcal/h; Btu/h; Joule/s (W)]; A → área (m2; ft2); K → condutividade térmica (Kcal/h.m.ºC; Btu/h.ft.ºF); dy dT → gradiente unidirecional de temperatura (ºC/m). 1ª Obs: A condutividade térmica é a capacidade que o material apresenta em conduzir calor. É função do estado molecular e, portanto, depende da temperatura K → ∞ (condutores) → materiais metálicos; K → 0 (isolantes) → isopor, cortiça. 2ª Obs: Quando as condutividades térmicas relacionadas a eixos direcionais são as mesmas, o meio é dito "ISOTRÓPICO", ou seja, quando "K" independe da direção do fluxo. Caso contrário, o meio é dito "ANISOTRÓPICO". z Kz Ky y Kx x # Introduziremos à Lei de Fourrier da Condução a massa específica (ρ) e o calor específico (CP), onde: ρ = (Kg/m3) e CP = (Kcal/Kg.ºC). ( )cteCe C TC dy dK A q dy dTK A q p P P =∴⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=∴−= caso . .. ρ ρ ρ α ρρ ρ =⋅−= PC. K mas,, . .. dy dT C CK A q P P Kx = Ky = Kz = K → meio Isotrópico (materiais homogêneos) Kx ≠ Ky ≠ Kz → meio Anisotrópico (Substâncias amorfas como madeira) 4.3 − Cilindro Oco: T2 r2 ( )12 1 2 r r 2 r rlnq 2 r drq ..2. 2 1 2 1 TTLKdTLK dr dTrLkq T T −−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅∴−=∴−= ∫∫ πππ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 21 12 12 12 12 12 21 ln .2.2 ln 2 rr TT rr LrLrKq rr rr rr TTLKq − − ⋅ − ⋅=∴⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − × − ⋅= πππ ( ) ( ) ( ) 12 21 12 12 ln rr TT AA AAKq − − ⋅ − ⋅= ∴ r TAKq ml ∆ ∆ ⋅⋅= , 4.4 − Cilindro Oco Composto: r4 em: r = r1 ⇒ T = T1 ; r = r2 ⇒ T = T2 ; r = r3 ⇒ T = T3 ; r = r4 ⇒ T = T4 r1,T1 * Reg. Permanente * A = 2πrL ≠ cte * q = cte * dr dTK.Aq −= r1 * Reg. Permanente * A = 2πrL ≠ cte * q = cte * dr dTK.Aq −= C mlC B mlB A mlA r TAKq r TAKq r TAKq ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ ∆ ⋅⋅=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ ∆ ⋅⋅=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ ∆ ⋅⋅= , ; , ; , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∆ =−=∆ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∆ =−=∆ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∆ =−=∆ Cml C Bml B Aml A AK rqTTT AK rqTTT AK rqTTT , , , 43 32 21 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∆ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∆ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∆ =− CmlBmlAml AK r AK r AK rqTT ,,,41 T ml CmlBmlAml R AK r AK r AK r AK r TTq = ⋅ ∆ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∆ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∆ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∆ − = , sendo , ,,, 41 ∑ − = ∆ = 1 1 n i TR Tq 4.5 − Esfera Oca: r2 r1 * Reg. Permanente * A = 4πr2 ≠ cte * q = cte * dr dTK.Aq −= ( )122 2 4.1 4. .4. 2 1 2 1 2 1 TTK r qdTK r drq dr dTrKq r r T T r r −−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −∴−=∴−= ∫∫ πππ ( ) ( )21 21 12 21 21 4 411 TTk rr rrqTTK rr q −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − ∴−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ππ 21 2 2 2 12121 .4.4.4 .4 rrrrAAA,r TrrKq mg ππππ =⋅=⋅=⇒∆ ∆ = r TAKq mg ∆ ∆ ⋅⋅= , 4.6 − Esfera Oca Composta:(exercício) Deduza a equação para uma esfera oca, composta de três materiais diferentes. Resp.: ∑ − = ∆ = 1 1 n i TR Tq ; 41 ; ,. TTT AK rR mg T −=∆ ∆ = 5 − BALANÇO DE ENERGIA: T1 INT. EXT. T6 q q T5 y x ∆xA ∆xB ∆xC T2 (F) T3 (G) T4 (H) * Reg. Permanente * A = cte * q = cte * dx dTK.Aq −= 3 − Um tubo de parede de aço (KAço = 19W/mºC) com dois centímetros de diâmetro interno e quatro centímetros de diâmetro externo, é coberto com uma camada de isolamento de amianto (KA = 0,2W/mºC). A temperatura da parede interna do tubo é mantida a 120ºC e a superfície externa do isolante a 35ºC. Calcule a perda de calor por metro de comprimento. 0,02 0,04 0,10 4 − Através de um fio de 1mm de diâmetro e 10cm de comprimento passa uma corrente elétrica. O fio está imerso em água à pressão atmosférica. A corrente é aumentada até a água entrar em ebulição. Para esta situação o coeficiente convectivo é igual a 5.000W/m2ºC e a temperatura da água é 100ºC. Qual a potência elétrica que deve ser fornecida ao fio para que sua superfície seja mantida a 114ºC? Qual a temperatura no fio na metade do seu raio, sabendo-se que Kfio = 31W/mºC. 5 − Demonstrar que para qualquer distância "X" da superfície de uma parede plana a temperatura é dada por: aaK T a TX 1 Q.X21 0 2 1 −⋅ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += sendo a condutividade térmica uma função da temperatura, obedecendo a relação K = K0(1 + aT), onde "Q" é o fluxo de calor (W/m2) e "T1" a temperatura da superfície da parede (ºC); "a" é uma constante. Dado: dX dTKQ −= * ∑ ∆ = TR Tq * RT = Raço + RA * Amiantoml Açoml T AK r AK rR ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∆ + +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∆ = , , Resolução dos Exercícios 1ª) Solução: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ ∆ = ++ ∆ = =⇒== AK xR RRR Tq mAxuralxalturaA ; 5,4 5,1 3arg 321 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ++ − =⇒ = ⋅ = ⋅ ∆ = = ⋅ = ⋅ ∆ = = ⋅ = ⋅ ∆ = 0385,0176,10966,0 38115q 0385,0 5,473,1 3,0 AK x R 176,1 5,417,0 9,0 AK x R 0966,0 5,438,1 6,0 AK x R W Cº 3 3 3 W Cº 2 2 2 W Cº 1 1 1 Watt733,58q = 2ª) Solução: R'2 R1 R' R3 R'2 R2 ( ) ( )⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⋅ = ⋅ ∆ = = ⋅ = ⋅ ∆ = ⇒++= W C Ar W C AK xR AK xR RRRR º' º 2 ' 2' 2 ' 2 '' 22 2254,7 5,14,20346,0 9,0' 7647,11 5,13,017,0 9,0 1111 W CR R º 2 2 243,3 2254,7 1 7647,11 21 =⇒+= W 794,22q 0385,0243,30966,0 77 RRR 38115q 321 =⇒ ++ = ++ − = 3ª) Solução: ( ) ( ){ 212 , 2 0,1 ln 1 2 mDLDrLAmL AA A A Alm πππ ===∴=∴ − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = − = = − = − = )(2057,0 ln 04,01,0 ln )(0906,0 ln 02,004,0 ln 2 04,0 1,0 23 , 2 02,0 04,0 12 , 2 3 1 2 m DD A m DD A D DAmiantolm D DAçolm ππ ππ AmiantoAço W Cº Amianto W Cº3 Aço RR 35120q )(73,0 2057,02,0 02,005,0R )(10x81,5 0906,019 01,002,0R + − =⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⋅ − = = ⋅ − = − ( )mW3 52,115q 73,010x81,5 35120q =⇒ + − = − 4ª) Solução: Cm W S hCTCT º2000.5 ; º100 ; º114 === ∞ ( ) ( ) 2410142,3 1,0001,0 2 mxALDrLA −=⇒⋅⋅=== πππ a) ( ) ( ) WqxqTTAhq CCSC 99,21 10011410142,3000.5 4 =⇒−⋅⋅=⇒−⋅⋅= −∞ b) qqq ConvecçãoCondução == ( ) ( ) ( ) CTTTTLKq R RR RCond º78,114 ln 1141,031299,21 ln 2 1121. 2 1 2 =∴ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅⋅⋅⋅=∴ − ⋅= ππ Substituindo, então, todos os elementos acima no Balanço de Energia, teremos: ( ) ( ) ( )[ ]+∆∆−+∆∆−+∆∆− ∆+∆+∆+ x.y.Q/Q/z.x.Q/Q/z.y.Q/Q/ zzzyyyxxx zy.x.. t T..Czy.x..''q' P ∆∆∆∂ ∂ =∆∆∆+ ρ # Invertendo-se a primeira parcela do primeiro membro da equação acima e dividindo-se tudo pelo volume (∆x∆y∆z), teremos: t T.C.''q' z Q/Q/ y Q/Q/ x Q/Q/ P zzzyyyxxx ∂ ∂ =+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∆ − +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − − ∆+∆+∆+ ρ # A medida que ∆x, ∆y e ∆z → 0, o termo entre colchetes, por definição, torna-se a derivada do fluxo de calor com relação a "x", "y" e "z", respectivamente, então a equação acima fica: t T..C''q' z Q y Q x Q P zyx ∂ ∂ =+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ρ (1) # Os componentes do fluxo de calor, de acordo com a Lei de Fourrier, são: z TKQ ; y TKQ ; x TKQ zyx ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= # Substituindo as três equações acima em (1), teremos: t T..C''q' z TK zy TK yx TK x P ∂ ∂ =+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ (2) Obs: A equação (2) é aplicável para transferência de calor em regime transiente, com geração interna de calor e condutividade térmica do meio variável, portanto, uma equação geral para condução em sólidos. 3 − CASOS PARTICULARES: 3.1 − Condutividade Térmica Constante: K)( ; t T.P.C''q'2Z T2 2Y T2 2X T2K ÷ ∂ ∂ =+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ =+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ α ρρ 1 K P.C ; t T. K P.C''' K q 2Z T2 2Y T2 2X T2 t T.1 K ''q'T2 ∂ ∂ =+∇ α ; onde (∇ 2T) é o laplaciano da temperatura 3.1.1 − Sem geração interna de calor: t T.1T2 ∂ ∂ =∇ α ; Equação de Fourrier da Condução onde (q''' = 0) 3.1.2 − Condução de calor em regime estacionário: 0 K ''q'T2 =+∇ ; Equação de Poisson onde ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ 0 t T 3.1.3 − Condução de calor em regime estacionário sem geração interna de calor: 0T2 =∇ ; Equação de La Place, onde ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ == ∂ ∂ 0''' e 0 q t T Obs: A aplicação da Equação de La Place na condução de calor através de uma parede plana, permite a demonstração do perfil linear de temperatura através da parede. 4 − PRINCIPAIS FONTES DE ENERGIA INTERNA: Fissão nuclear, como no caso dos elementos combustíveis nos reatores nucleares; Desintegração de elementos radioativos; Conversão de energia química em calor; Degradação da energia mecânica (dissipação viscosa); Passagem de corrente elétrica através de sólidos (efeito Joule). 5 − LAPLACIANO DA TEMPERATURA EM COORDENADAS: 5.1 − Cilíndricas (r,θ,z): T22Z T2 2 T2 2r 1 r Tr rr 1 ∇= ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ θ 5.2 − Esféricas (r,θ,ϕ): T22 T2 2sen2r 1Tsen sen2r 1 r T2r r2r 1 ∇=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕθθ θ θθ K Lq K LqTC 22 02 ''' 2 ''' ++= (3) ( )∞∞= −⋅=⋅−⇒=⇒= TTAhdx dTAKq qL xporém, em Lxconvcond 0.. . ( )∞∞ −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−−⇒−−= = TTh K Lq K LqKde K Lq K Lq dx dT Lx 0 '''''' )"1" ( '''''' ( ) ∞ ∞ ∞∞ +=∴−= Th LqTTThLq '''2 '''2 00 (4) # substituindo (4) em (3); e (3) e "C1" em (2), teremos: ) x é máx. emT(T K Lq K Lq h Lq K xLq K xqT x 0"" ''' 2 ''''''2''' 2 ''' 222 )( =∴++++ ⋅ −−= ∞ ∞ ∞ ∞ ++= T K Lq h LqTmáx 2 '''3'''2 2 . 3ª) Solução: 1 2 2 0'''1 Cr K G dr dTrr K G dr dTr dr d K q dr dTr dr d r +−=∴−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛∴=+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 :.. 1 =⇒=⇒= Cdr dTrcontcond 02 2 )( :.. 4 2 TTRrcontcondCr K GTr K G dr dT r =⇒=∴+−=∴−= convcond q qR mas em rTRK GCCR K GT =⇒=∴+=∴+−= .0 2 22 2 0 4 4 ( ) R K G dr dT mas TTh dr dTK RrffRr 2 0 −=∴−=− == ( ) "" ; 2 2 200 Cdo em substituinTR h GTTThR K GK f f ff +=∴−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−− f f rf f T h GR R r K GRT, entãoTR K GR h GC ++ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−=++= 2 1 4 : 42 22 )( 2 2 f f máxmáx. Th GR K GRTT T mas em r ++=∴=⇒= 24 0 2 . 4ª) Solução: ( ) 0''' . cos''' 0 =+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛∴= K q dx dT dx dxaqq TP TP −L +L 1 00 ).( sen ).( cos C a xa K q dx dTxa K q dx dT dx d +−=∴−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ( )xa aK q dx dTC dx dTx . sen (A) # mas da Eq. de Fourier da condução temos: 5ª) Solução: 10cm 1m δ 2cm a) 1 ''' ''' 0''' Cx K q dx dT K q dx dT dx d K q dx dT dx d +−=∴−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛∴=+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 )(1 2 ''' ''' 0 0 0 Cx K qTx K q dx dTC dx dTx x +⋅−=∴⋅−=∴=∴=⇒= y x y x K xq K qTT K qTCTTx PxPP 2 ''' 2 ''' 2 ''' 22 )( 2 2 −+=∴+=∴=⇒= δδδ PMáxMáxxPx TK qTTTxx K qTT +=∴=⇒=∴ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−=− 2 ''' 0 1 2 ''' 2 ..)( 2 )( δ δ δ b) LA A L Eq R E LA Eq LA iEq Vol P q m Wq elét ⋅⋅ ⋅ =∴⋅ ⋅ =∴ ⋅ ⋅ =∴=∴= ρ 2 . 3 ''' ''' ''' . ''' ''' 36 25 2 2 2 1006,3''' )1(107,4 )12(''' ''' mWxq x q L Eq =∴ ⋅ =∴ ⋅ = ρ CTCxT MáxMáx º64,790 º76052 )01,0(1006,3 . 26 . =∴+⋅ ⋅ = BA ρρρ += AAA CM .=ρ VmAA =ρ ρρ AAw = BA CCC += AAA MC ρ= VnC AA = CCx AA = 1=+ BA xx 1=+ BA ww CM .=ρ 3 − DEFINIÇÕES DE VELOCIDADES: 3.1 − Velocidade média de massa (v): ∑ ∑ = == n i i n i ii v v 1 1 . ρ ρ [ ] ⎩ ⎨ ⎧ − smscm LT ; :unidade :dimensão 1 # onde "ρ.v" é o fluxo de massa que atravessa uma seção unitária, perpendicular à mistura com velocidade média "v". 3.2 − Velocidade média molar (v*): ∑ ∑ = == n i i n i ii C vC v 1 1* . Obs: Em sistemas de fluxo, geralmente temos interesse na velocidade de uma determinada espécie "i" em relação a "v" ou "v*", que, com respeito a um eixo de coordenadas estacionárias, temos as velocidades de difusão. 3.3 − Velocidade de difusão da espécie "i" (vi) em relação a "v": ( )vvi − 3.4 − Velocidade de difusão da espécie "i" (vi) em relação a "v*": ( )*vvi − 3.5 − Resumo de velocidades para uma mistura binária (A e B): Velocidade da espécie "A" em relação a eixos fixos. Av Velocidade de difusão da espécie "A" em relação a "v". vvA − Velocidade de difusão da espécie "A" em relação a "v*". *vvA − Velocidade média de massa. BA BBAA A vvv ρρ ρρ + + = .. Velocidade média molar. BA BBAA A CC vCvCv + + = .. 4 − DEFINIÇÕES DE DENSIDADE DE FLUXO: 4.1 − Densidade de fluxo relativa a eixos fixos ou estacionários: a) Para massa: iii v.ρη = [ ] ⎩ ⎨ ⎧ −− scmg TML .:unidade :dimensão 2 12 b) Para moles: iii vCN .= [ ] ⎩ ⎨ ⎧ −− scmgmol TLM molar .:unidade :dimensão 2 12 4.2 − Densidade de fluxo relativa à velocidade média de massa: a) Para massa: ( )vvj iii −= ρ b) Para moles: ( )vvCJ iii −= 4.3 − Densidade de fluxo relativa à velocidade média molar: a) Para massa: ( )** vvj iii −= ρ b) Para moles: ( )** vvCJ iii −= 4.4 − Resumo de densidades de fluxo para sistemas binários: GRANDEZA Com relação a eixos fixos Com relação a "v" Com relação a "v*" Velocidade da espécie A v ( )vvA − ( )*vvA − Densidade de fluxo de massa AAA v.ρη = ( )vvj AAA −= ρ ( )** vvj AAA −= ρ Densidade de fluxo molar AAA vCN .= ( )vvCJ AAA −= ( )** vvCJ AAA −= Obs: Ao longo de "z" "xA" decresce e "xB" cresce, sendo (xA + xB = 1). 0 ( ) ( ) dz dxDCxNNNx dz dxDCN AABAABAAAABA zzzz .1 . −=−∴++−= # Condições de contorno: ⎩ ⎨ ⎧ =→= =→= δδ AA AA xxz xxz 00 ⇒ ∫∫ − −= δδ A A z x x A A ABA x dxDCdzN 0 1 . 0 ( )[ ] ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − =⋅∴−−−=⋅ 01 1ln.. 1ln. 0 A A ABA x xAABA x xDCNxDCN z A Az δδδ δ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅= 01 1ln. A AAB A x xDCN z δ δ (I) # A equação (I) é utilizada para o cálculo do fluxo molar de um gás parado. 4 − CONTRADIFUSÃO EQUIMOLAR: A difusão posta desta maneira indica que para cada mol da espécie "A" que difunde em um determinado sentido e direção, um mol de "B" se move na mesma direção, porém em sentido contrário de modo que: zz BA NN −= xA = xA0 xA = xAδ δ zAN zBN Gás A Gás B ( ) ( ) zzzzzz AAA A ABABAA A ABA NNxdz dxDCNNNx dz dxDCN −+−=∴++−= . . ∫∫ −=∴−= δδ A A zz x x AABA A ABA dxDCdzNdz dxDCN 0 . . 0 ( )0. AAABA xxDCN z −−=⋅ δδ ⇒ ( )δδ AA AB A xx DCN Z −⋅= 0 . (II) # A equação (II) é utilizada para o cálculo do fluxo molar de um gás em contadifusão equimolar. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA CENTRO TECNOLÓGICO DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE I LISTA DE EXERCÍCIO -TRANSPORTE DE MASSA - TEORIA - 1O SEM/2005 1- Usando as definições de concentração, mostre que para um sistema binário: a) dwA = MA MB d XA (XA MA + XB MB)2 b) WA(VA - V) + WB (VB - V*) = (V - V*) c) JA* - JB* = 0 d) XA = WA / M A. (WA + WB) MA MB) 2- Calcular o fluxo de difusão do açúcar através de um filme de 0,1 cm de espessura, onde as concentrações são 14% e 6%, respectivamente, em cada lado do filme. Assuma a difusividade do açúcar através do café nas dadas condições de 0,7 x 10-5 (cm2/seg) e a densidade da solução a 10% de 1,013 (g/cm3). RESP: NA = 6,31 x 10-6 (g/cm2.seg) 3- Oxigênio esta se difundindo através do monoxido de carbono estacionário. A pressão total e 1 atm e a temperatura t =0OC. A pressão parcial do oxigênio em dois planos separados 0,2 cm e respectivamente 100 e 50 mm de Hg. A difusividade do oxigênio em monoxido de carbono e 0,185 cm2/s ( a 0oC ). Calcule o fluxo molar de oxigênio. RESP: NA = 3,01x 10-3 gmol / cm2.seg. 4- Em uma mistura gasosa de oxigênio e nitrogênio a 1 atm. e 250c, as concentrações molares do oxigênio em 2 planos separados em 2 mm são 10% e 20% respectivamente. Calcular o fluxo de difusão do oxigênio para o caso em que o nitrogênio não esta difundido e quando houver interdifusao. RESP: NA = 5 x 10-3 gmol / cm2.seg NA = 4 x 10-3 gmol / cm2 seg 5- Calcule o tempo necessário para que uma porção de 0,5 lbm de co2 se difunda através de 3 in de espessura, se a área perpendicular a direção do fluxo de massa for igual a 50 ft2 . Considere o co2 de um lado da camada igual a 0,0008 lbmol/ft2 e nula do outro lado, a uma pressão de 1 atm e a uma temperatura de 70oC. DADO:DAB = 0,15 (cm2/s) RESP: 6,1 min. 6- Determine o fluxo de difusão do vapor d'água num poço de 20m de profundidade para o ar existente no topo, a 25oC e 1 atm. Nessas condições a difusividade do vapor d'água no ar e 0,256cm2/s e a pressão de vapor d'água e 23,756 mmHg. Justifique sua resposta para as condições feitas na resolução do problema. DADO: 82,06 atm cm3/gmol k RESP: 1,65 x 10-10 gmoles/cm2 s. 2 # Se o fluido for incompressível, "ρ" é constante; então: 2211 vAvA = (1) 2.1 − Definições de vazões: a) Vazão volumétrica (Q) → é o produto da velocidade pela área ou quociente entre o volume pelo tempo. v.AQ = ou t VQ = Q = [L3T−1] b) Vazão mássica (Qm) → é o quociente entre a massa pelo tempo ou o produto entre a vazão volumétrica e a massa específica. t mQm = ou ρ.QQm = Q = [MT−1] # Então a equação (1) pode também ser escrita da seguinte forma: 21 QQ = 3 − EQUAÇÃO DE BERNOULLI "FLUIDOS IDEAIS" (µ = 0) A equação de Bernoulli é um caso particular da equação de Euler para regime permanente e unidirecional. A própria equação de Euler é um caso particular da equação geral do movimento (equação de Cauchy). Então, para uma tubulação, escrevemos a equação de Euler em coordenadas cilíndricas. 0 0 0 z z z zz r z g. z P z vvv r v r vv t v ρ θ ρ θ − ∂ ∂ −=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 3 z z z g.z P z vv. ρρ − ∂ ∂ −= ∂ ∂ # Como está em uma só direção a derivada passa a ser total: 0g. dz dP dz dvv. zzz =++ ρρ (x dz) 0dzg.dPdvv. zzz =++ ρρ (÷ρg = γ) 0dzdPdvv g 1 zz =++ γ (integrando-se de "1" a "2") ( ) 0zzPP 2g vv 12 21 2 1 2 2 =−+ − + − γ ⇒ 2 2 2 2 1 1 2 1 zP 2g vzP 2g v ++=++ γγ 4 − VALIDADE PARA O TEOREMA DE BERNOULLI: Fluido ideal; Regime permanente; Sujeito somente ao campo gravitacional; Fluido incompressível; Variações isotérmicas. 5 − INTERPRETAÇÃO FÍSICA DE CADA TERMO: 5.1 − Para "z": "z" representa a energia potencial por unidade de peso da partícula, também chamado de cota geométrica. w E Z w.ZE 11 =∴= ∴ z = [L] 5.2 − Para "P/γ": "P/γ" representa a energia de pressão por unidade de peso da partícula, também chamado de cota piezométrica. P.VE P.A.LE entoF.deslocamE 222 =∴=∴= 4 w EP wP.E wV 22 =∴=∴= γγγ ∴ P/γ = [L] 5.3 − Para v2/2g: "v2/2g" representa a energia cinética por unidade de peso da partícula, também chamada de cota cinética. 2g vw.E g wm m.g w 2 mvE 2 3 2 3 =∴=∴=∴= w E 2g v 3 2 = ∴ v2/2g = [L] # Então: C w E w E w E 321 =++ 5.4 − Conclusão: "E/w" ou "C" é a energia mecânica total da partícula por unidade de peso. Essa energia mecânica permanece constante ao longo de uma tubulação, podendo apenas ocorrer transformação de uma modalidade de energia em outra; jamais em forma de calor, visto que µ = 0. 6 − MEDIDORES DE VAZÃO: Os medidores de vazão podem ser de leitura direta (Rotâmetro) ou leitura indireta (Tubo de Pitot, Medidor Venturi e Placa de Orifício). Os medidores de vazão de leitura indireta geralmente são associados a um balanço hidrostático em um tubo "U". 6.1− Pressões: A pressão pode ser medida em relação a qualquer referência arbitrária, adota-se usualmente para tal o zero absoluto ou vácuo absoluto. a) Pressão Absoluta → É medida com referência ao zero absoluto. atmefabs PPP += b) Pressão Efetiva ou Manométrica → É medida em relação à pressão atmosférica local. O instrumento utilizado para medir pressões