Teoria - Dos - Numeros

Teoria - Dos - Numeros

(Parte 9 de 10)

Os demais valores inteiros de x resultarão em iguais valores para o para (a, b). Para x = 1, a = 9.1 = 9 e b = 9.6 = 54; para x = 2, a = 9.2 = 18 e b = 9.5 = 45; a = 9.3 = 27 e b = 9.4 = 36. Resposta, 9 e 54; 18 e 45 ou 27 e 36.

(b) ab = 756 e mdc(a, b) = 6.

Portanto, os números são 6.3 = 18 e 6.7 = 42

Solução: Como acima, 6r.6s = 36rs = 756 rs = 21 r = 7 e s = 3 ou r = 3 e s = 7. Resposta:42.

17 – Os restos das divisões dos inteiros 4933 e 4435 por um inteiro positivo n são respectivamente 37 e 19. Achar o inteiro n.

Solução: Como os restos são 37 e 19, 4933 – 37 = 4896 e 4435 – 19 = 4416 são múltiplos comuns de n. Portanto, n é divisor comum de 4896 e 4416 n é divisor do mdc(4869, 4416). Mdc(4869, 4416) 4896 = 4416x1 + 480 4416 = 480x 9 + 96 480 = 96x5 + 0 mdc(4896, 4416) = 96. N é um divisor de 96, maior que 37 que é o resto da divisão de 4933 por n. Portanto, n = 96 ou n = 48. Resposta: 96 e 48.

Editado por Cesário José Ferreira .

CAPÍTULO 5 - Questões 18 a 32

18 – Demonstrar que se n = abc + 1, então o mdc(n, a) = mdc(n, b) = mdc(n, c) = 1.

Solução: n = abc + 1 n – abc = 1 n(1) + a(-bc) = 1. Como (1) e (-bc) são inteiros, conclui-se que mdc(n,a) = 1. De forma semelhante: n(1) + b(-ac) = 1 n(1) + c(-ab) = 1 mdc(n, a) = mdc(n, b) = mdc(n, c) = 1. Cqd.

19 – Demonstrar que mdc(mdc(a, b), b) = mdc(a, b)

mdc(a, b) pois mdc(b, b) = bCqd.

Solução: A definição do mdc de três números mdc(a,b, c) = mdc(mdc(a, b), c), quaisquer que sejam a, b e c. Fazendo c = b, temos mdc(mdc(a, b), b) = mdc(a, b, b) = mdc(a, mdc(b, b)) = 20 – Demonstrar que o mdc(n + k, k) = 1 se e somente se o mdc(n, k) = 1.

Solução: Se mdc(n + k, k) = 1, então existem os inteiros x e y, tais que (n + k)x+ ky = 1 nx + k(a + b) = 1 (n, k) = 1. Por outro lado, se mdc(n, k) = 1, então existem a e b tais que na + kb = 1. Fazendo a = x e b = x + y, teremos nx + k(x + y) = 1 (n + k)x + ky = 1 mdc(n + k), k) = 1. Cqd.

21 – Demonstrar que, se a | bc e se mdc(a, b) = d, então a | cd.

Solução:-a | bc  existe o inteiro “x” tal que a.x = bc. (1)

Mdc(a, b) = d a/d e b/d são primos entre si. (2) Dividindo os dois membros da igualdade (1) por d, resulta: (ax)/d = (bc)/d

(a/d)x = (b/d).c Como (a/d) e (b/d) são primos, (a/d) | c, de acordo com o teorema de Euclides (se m | np e mdc(m, n) = 1 então m | p). Ora a/d | c (a/d).d | c.d a | cd. Cqd.

2 – Demonstrar que, se a | c, se b | c e se o mdc(a, b) = d então ab | cd.

Solução:- a | c existe k inteiro tal que c = a . k c = (a/d).d.k pois d | a uma vez que mdc(a,b) = d. Portanto, existe o inteiro x = dk, tal que c = (a/d).x (i). Da mesma forma pode-se escrever c = (a/d)y (i). Multiplicando (i) por (i), temos c2 = (a/d)(b/d)xy c2.d2 = (ab)xy (cd)2 = (ab)xy. (ab) | (cd)2. De (ab) | (cd)2, tiramos mdc(ab, (cd)2) = ab existem x e y tais que (ab)x + (cd)2 y = ab (ab) + (cd)[(cd)y] = ab ab é múltiplo do mdc(ab, cd). Como o mdc é menor ou igual a ab, então mdc(ab, cd) = ab ab | cd. Cqd.

23 – Demonstrar que se mdc(a, b) = 1 e se mdc(a,c) = d,então mdc(a, bc) = d.

Solução: Se mdc(a, b) = 1, os únicos divisores de a que dividem b são -1 e + 1. Como mdc(a, c) = d, todos os divisores de d dividem a e c. Assim, nenhum divisor de d divide b. Temos então dc(a, bc) = conjunto dos divisores de a que dividem bc. Como dos divisores de bc são divisores de b ou de c, somente os divisores de c, não divisores de b, (exceto –1 e 1), podem ser divisores de a . Portanto, existem divisores comuns a “a” e “c” que são os mesmos de “a” e “bc” . Portanto, max(divisores de a e c) = max(divisores de a e bc) mdc(a, bc) = mdc(a, c) = d.

Cqd.

24 – O inteiro ímpar d é um divisor de a + b e de a – b. Demontrar que d também é um divisor do mdc(a, b).

+ y)/2]  d | a
y) é par, (x – y) é par  (x – y)2 é inteiro

Solução:- Como d é divisor de (a + b) e (a – b) então existem os inteiros x e y tais que (a + b) = d.x e (a – b) = d.y. Somando membro a membro as expressões, resulta 2a = d (x + y). Como d é ímpar, (x + y) é par pois o produto d(x + y) é par (igual a 2a). Portanto, a = d[(x Subtraindo as expressões, temos 2b = d(x – y). Como d é ímpar e o produto d(x – Assim, b = d[(x – y)/2] d | b. Como visto, d | a e d | b d | mdc(a, b) ou d é um divisor do mdc(a, b). Cqd.

25 – Os inteiros positivos a, b e c são tais que o mdc(a, b) = 1, a | c e c | b. Demonstrar que a = 1.

Solução: Se a | c e c | b então a | b
Como a | b, resulta mdc(a, b) = a

Como o mdc de dois números é único e mdc(a, b) = 1, temos mdc(a,b) = 1 = a a = 1. Cqd.

26 – O mdc(n, n + k) = 1 para todo inteiro positivo n. Demonstrar que k = 1 ou k = -1.

Solução: Mdc(n, n + k) = 1 existem os inteiros x e y, tais que nx + (n + k)y = 1 n(x – y) + ky = 1 mdc(n, k) =1. Como os divisores comuns de dois números são divisores de seu mdc, temos que os divisores comuns de n e k são – 1 e + 1. Conforme enunciado, n é todo inteiro positivo. Isto permite concluir que k = 1 ou k = - 1. Cqd.

27 – Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a + kb, b) para todo inteiro k.

Solução: Seja d = mdc(a + kb, b). Portanto, existem os inteiros x e y tais que (a + kb)x + by = d ax + b(kx + y) = d d é múltiplo do mdc(a, b) (1). Como d é o mdc(a + kb, b) então d | (a + kb) e d | b (2) que leva a concluir que existem os inteiros r e s tais que (a + kb) = dr (3) e b = ds (4). Substituindo (4) em (3) resulta a + kds = dr a = dr – kds = d(r – ks). (r – ks) é

Portanto, existe o inteiro (r – ks) tal que a = d(r – ks)  d | a (5)

um inteiro pois k, r e s são inteiros. Conforme (2) e (5), d | a e d | b d | mdc(a, b) (6). De (1) d é múltiplo do mdc(a, b) e de (6) d é divisor do mdc(a, b). Somente d é ao mesmo tempo múltiplo de divisor de d. Portando, d = mdc(a, b). Assim, d = mdc(a = kb, b) = mdc(a, b) mdc(a, b) = mdc(a + kb, b). Cqd.

29 – Os inteiros positivos m e n são tais que o mdc(m, n) = d. Mostrar que o mdc(2m – 1, 2n – 1) = 2d – 1.

(2a – 1) = (2b – 1)(2a – b + 2a – 2b + 2a – 3b ++ 2a – kb) + (2a – kb – 1) com k

Solução:- Na divisão de polinômios temos que maior inteiro positivo tal que a – kb > 0. Se b | a então existe k, tal que a – kb = 0 pois a = kb. Neste caso (2a – kb – 1) = 20 – 1 = 0 a divisão é exata. Portanto, a divisão é exata quando b | a. Assim se d = mdc(m, n) , 2m – 1 é divisível por 2d – 1 e 2n –1 é divisível por 2d – 1. Portanto 2d - 1 é um divisor comum de 2m – 1 e 2n – 1. Como d é o maior divisor comum de m e n, 2d – 1 é o maior divisor comum de 2m – 1 e 2n – 1 mdc(2m – 1, 2n – 1) = 2d – 1. Cqd

30 – Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, b, a + b).

Solução: De acordo com o exercício nº 27, mdc(a, b) = mdc(a + kb, b), para todo inteiro k. Como mdc(a + kb, b) = mdc(b, a + kb) temos mdc(a, b) = mdc(b, a + kb). Fazendo k = 1, temos: mdc(a, b) = mdc(b, a + b) Temos então: Mdc(a, b) = mdc(a, b, b) pois mdc(a, b, b) = mdc(a, mdc(b, b)) Portanto, mdc(a, b) = mdc(a, b, b) = mdc(mdc(a,b), b) (definição do mdc de três ou mais números) = mdc(mdc(a, a + b), b) ) de acordo com o mostrado acima = mdc(a, a + b, b) (definição do mdc de três ou mais números) = mdc( a, b, a + b). Cqd.

31 – Demonstrar que mdc(a, b) = mdc(a, b, ax + by), quaisquer que seja os inteiros x e y.

Solução:

Seja k, o inteiro tal que ax + by = k. Isto implica em k é múltiplo do mdc(a, b). Seja d = mdc(a, b). Temos então k = ds, s inteiro, pois k é múltiplo de d. Temos então: Mdc(a, b, dr) = mdc(mdc(a, b), dc)) = mdc(d, dr) = d pois dr é múltiplo de d. Portanto, d = mdc(a, b) = mdc(a, b, ax + by). CQd 32 – O mdc(a, b) = p, sendo p um primo. Achar os possíveis valores do

(a) mdc(a2, b)

de a e b = p.b1.b2.b3...bn, onde p, b1, b2, b3,bn são os fatores primos de b.

Solução: Sejam a = p.a1.a2.a3 ...an, onde p, a1, a2, a3, ... an são os fatores primos

Assim, a2 = p.p.a1.a2.a2.a3a3...an.an que a2 e b são divisíveis ao mesmo tempo apenas por p

(b) mdc(a3, b) = p, mesma conclusão acima.

(c) mdc(a2, b3) = p2. Pois aparecem 2 fatores iguais a p em a2 e 3 fatores iguais a p em b3.

Editado por Cesário José Ferreira .

CAPÍTULO 5 - Questões 3 a 4

3 – Sabendo que o mdc(a, p2) = p e que o mdc(b, p3) = p2, onde p é um primo, calcular o mdc (ab, p4) e o mdc(a + b, p4).

Solução:

(i) Mdc(ab, p4)

De acordo com o exercicio anterior: De mdc(a, p2) = p, p primo, conclui-se que em a existe um p como fator primo e os demais diferentes de p. De mdc(b, p3) = p2, p primo, conclui-se que em b existe dois fatores iguais a p e os demais diferentes de p. Portanto: em ab irão figurar 1 + 2 = 3 fatores iguais a p e os demais diferentes de p. Concluindo: mdc(ab, p4) = p3.

(i)Mdc(a + b, p4) Seja a’ o produto dos fatores primos de a, excluído o p. Temos: a’ = kp + r (o < r < p), e b’ o produto dos fatores primos de b, excluído exluido um dos fatores iguais a p. Portanto, b’ = kp pois b tem dois fatores iguais a p. Somando membro a membro a’ + b’ = p(k + k’) + r a’ + b’ não é múltiplo de p. Assim temos: a + b = pa’ + pb’ = p(a’ + b’) sendo a’ + b’ não múltiplo de p. Portanto, a + b tem apenas um p como fator comum. Disto se conclui que mdc(a + b, p4 ) = p.

Resposta: (i) p3 (i) p. 34 – Demonstrar que se o mdc(a, b) = d então o mdc(a2, b2) = d2.

Solução: Seja d = d1.d2.d3...dn, onde cada di é um fator primo de d. Como d = mdc(a,b), os fatores primos de d são fatores de a e b e estes são os únicos fatores comuns.

Façamos então: a = d1.d2.d3...dn.a1.a2.a3an, e b = d1.d2.d3...dn.b1.b2.b3...bn
Em consequência temos: a2 = d1.d2.d3...dn.a1.a2.a3an. d1.d2.d3...dn.a1.a2.a3 ...an

onde ai e bi são os fatores primos de a e b além dos di. e

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