Cap 16-18 (lista de exercicios)

Cap 16-18 (lista de exercicios)

(Parte 1 de 21)

Oscilações

Se o vento faz um edifício oscilar ligeiramente o movimento pode passar despercebido, mas se as oscilações se repetem mais de 10 vezes por segundo tornam-se desagradáveis e podem causar tonturas e náuseas nos ocupantes. Uma razão para isso é que quando uma pessoa está de pé a cabeça tende a balançar mais que os pés, ativando os sensores de movimento do ouvido interno. Vários dispositivos são usados para reduzir a oscilação dos edifícios. Por exemplo, a grande peça (de

5,4 x lOS kg) mostrada nesta fotografia está pendurada no 920- andar de um dos edifícios mais altos do mundo.

Como é possível atenuar as oscilações inofensivas, mas desagradáveis, que o vento produzem um edifício muito alto?

A resposta estâ neste capítulo.

15-2 I Movimento Harmônico Simples2 _

15-1 O QUE É FíSICA?

Nosso mundo está repleto de oscilações., nas quais os objetos se movem repetidamente de um lado para outro. Muitas são simplesmente curiosas ou desagradáveis. mas outras podem ser economicamente importantes ou perigosas. Eis alguns exemplos: Quando um taco rebate uma bola de beisebol, o taco pode sofrer uma oscilação suficiente para machucar a mão do batedor ou mesmo se partir cm dois. Quando o vento fustiga uma linha de transmissão de energia elétrica, a linha às vezes oscila ("galopa", no jargão dos engenheiros elétricos) com tanta intensidade que pode se romper, interrompendo o fornecimento de energia elétrica a toda uma região. Nos aviões., a turbulência do ar que passa pelas asas faz com que elas oscilem, causando fadiga no metal, o que pode fazer com que as asas se quebrem. Quando um trem faz uma curva, as rodas oscilam horizontalmente quando são forçadas a mudar de dire- ção, produzindo um som peculiar. Quando acontece um terremoto nas vizinhanças de uma cidade os edi[ícios so- frem oscilações tão intensas que podem desmoronar. Quando uma flecha é lançada de um arco as penas da extremidade conseguem passar pelo arco sem se chocar com ele porque a flecha oscila. Quando se deixa cair uma moeda em um prato metálico a moeda oscila de uma forma tão característica que é possível saber o valor da moeda pelo som produzido. Quando um caubói de rodeio monta um touro seu corpo oscila em várias direções enquanto o touro gira e corcoveia (ao menos, é o que o caubói procura fazer). ~ O estudo e o controle de oscilações são dois objetivos importantes da física e da engenharia. Neste capítulo vamos discutir um tipo básico de oscilação, conhecido como movimento harmônico simples.

15-2 I Movimento Harmônico Simples

A Fig. 15-la mostra uma seqüência de --instantâneos" de um sistema oscilatório sim- ples, uma partícula que se move repetidamente para um lado e para outro da origem de um eixo x. Nesta seção vamos nos limitar a descrever o movimento. Mais adiante discutiremos como esse tipo de movimento pode ser produzido.

Uma propriedade importante do movimento oscilatório é a sua frcqüência, o número de oscilações completas por segundo. O símbolo de freqüência é f e a unidade de freqüência no $1 é o hertz (Hz),definido como

1= TITI2

1=31'/4. 1= T

1 hertz = 1 Hz = 1 oscilação por segundo = I çl. (15-1 )

-<o ,

J>-v ----4<l--<)

I y---e , ,

-<o

('1

em torno da origcm dc um eixox,enlre +xe-x",. Oscomprimcl1tos

FIG. 15·1 (a) Urna scqüência de "instanlâneos" (tirados cm inten'alos de tempo iguais) mostrando a posiçâo de urna partícula enquanto oscila dos vetores são proporcionais à velocidade escalar da partícula. A velocidade escalar é máxima quando a partíeulasc enconlra na origem e é nula quando ela está em ±X",. Se o tempo t é escolhido como sendo zero quando a partícula está em +x",.a partícula retorna para +x",em t T, onde T é o penodo do movimento. Em seguida, o movimellto é repetido. (b) Um gráfico de xem função do tempo para o movimento do item (a).

~ Capftulo 1S I Oscilações

OeslOC"'''lIlellto no innanle / -1 F •• ~ x(t) = xmcos(Wl+lÍ')

AmPC~C!

Frnjüi:nCla ConsUlllte de angular fase ou ângulo de f.t$e

FIG. , 5-2 Nomes das grandezas da Eq. 15-3,que descreve o movimento harmônico simples.

Uma grandeza relacionada à freqüência é o período T do movimento. que é o tempo necessário para completar uma oscilação completa (ou um ciclo):

(15-2)

Todo movimento que se repete a intervalos regulares chamado de movimento periódico ou movimento harmônico. No momento estamos interessados em um movimento que se repete de um modo particular, o que está representado na Fig. 15-la. Nesse tipo de movimento o deslocamento x da partícula cm relação à origem é dado por uma função do tempo da fonna

X(l) = x",COS(WC + q,) (deslocamento). (15-3) onde X",. w e q, são constantes. Esse movimento é chamado de movimento harmônico simples (MHS), uma expressão que significa que o movimento periódico é uma função senoidal do tempo. O gráfico da Eq. 15-3. na qual a função senoidal é uma função co-seno, aparece na Fig. 1S-lh. (Esse gráfico pode ser obtido fazendo a Fig. IS-Ia girar 9{)0 no sentido anli-horário e passando uma curva pelas várias posiçõcs sucessivas da partícula.) As grandezas que determinam a forma do gráfico são mostradas na Fig. 15-2 com os respectivos nomes. Vamos agora definir essas grandezas.

A grandeza x"., denominada amplitude do movimento, é uma constante positiva cujo valor depende do modo como o movimento foi produzido. O índice m indica o valor máximo. já que a amplitude representa o deslocamento máximo da partícula em um dos sentidos. A função co-scno da Eq. 15-3 varia entre os limites:!: 1; assim, o deslocamentox(l) varia entre os limites :!:x",.

A grandeza dependente do tempo (WI + q,) da Eq. 15-3 é chamada de fase do movimento, e a constante q,é chamada de constante de fase (ou ângulo de rase). O valor de q, depende do deslocamento e da velocidade da partfcula no instante I = O.

Nos gráficos de X(/) da Fig. 15-3a a constante de fase q,é zero.

Para interpretar a constante w, denominada freqüência angular do movimento, nOlamos primeiramente que o deslocamenlox(/) deve ser igual a x(! + T) para qualquer valor de !. Para simplificar esta análise, vamos fazer q, = O na Eq. 15-3. Nesse caso. podemos escrever x'" cos WI = x'" cos ú(t + 1). (15-4)

A função co-seno se repete pela primeira vez quando seu argumento (a fase) aumenta de 21Trad; assim, a Eq. 15-4 nos dá w(f + T) = wI + 21T

",'-'C = '"L-.:...

S 'o ,

<'! -'o r

FIG.15-3 Nos três cusos a curva azul é obtida da Eq. 15-3 com , (') q,= O. (a) A curva vermelha difere da curva azul apenas pelo fato de que a amplitude x;" da curva vermelhaé maior (os deslocamentos da curva vermelha para cima e para baixo são maiores).(b) A curva vermelha difere da curva azul apenas pelo fato de que o período da curva vermelha é r = Trz (a curva vermelha está comprimida horizontalmente). (c) A curva vermelha difere da curva azul apenas pelo fato de que,para a curva vermelha. q,=-1rl4 rad em vez de zero (o valor negativo de cp desloca a curva para a direita).

• ~ 'o o -'o

(r)

Assim, de acordo com a Eq. 15-2. a freqüência angular é

2" T (15-5)

A unidade de freqüência angular no SI é o radiano por segundo. (Por coerência, 4> deve ser expresso em radianos.) A Fig. 15-3 mostra comparações entre as funções x(r) de movimentos harmónicos simples de diferentes amplitudes, períodos Ce, portanto, freqüências e freqüências angulares) ou constantes de fase.

~1 Uma partícula em oscilação harmônica simples de período T (como a da Fig.

IS-I) está em -x", no instante t = O. A partícula está em -x""em +x"" em O, entre -x", e O ou entre Oe +x'" no instante (a) I = 2.00T,(b) t = 3,50T e (c) r = 5,25T!

A Velocidade do MHS

Derivando a Eq. 15-3, obtemos uma expressão para a velocidade de uma partícula em movimento harmónico simples:

'(1)= <Ix(I) =..'!.[xm '0.("'1+</»] dr dr ou ver) = -WX'" sen(wt + tb) (velocidade). (15-6)

A Fig. 15-4a é um gráfico da Eq.15-3 com 4> = O,A Fig. 15-4b mostra a Eq.15-6, também com 4> = O. Analogamente à amplitude x'" da Eq. 15-3. a grandeza positiva WX", da Eq. 15-6 é chamada de amplitude da velocidade V",. Como se pode ver na Fig. 15-4b, a velocidade da partícula em oscilação varia entre ::!:v", = ::!:wx"" Note também na figura que a curva de ver) está deslocada (para a esquerda) de um quarto de período em relação à curva de x(t); quando o módulo do deslocamento é má-

ximo [isto é, quando x(t) = x",], o módulo da velocidade é mínimo [isto é, ver) = OJ. Quando o módulo do deslocamento é mínimo (isto é, zero), o módulo da velocidade é máximo (isto é, Vm = wx",).

A Aceleração do MHS

(Parte 1 de 21)

Comentários