controle

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O sistema da Figura 2.16 apresenta 3 controladores: o controlador Gc(s), o controlador Gy, na malha de realimentacao e o controlador Gr na entrada. O controlador Gc(s) e o controlador que sera objeto de estudo neste texto. O controlador tambem pode ser colocado na malha de realimentacao, mas nao consideraremos este caso. Finalmente a funcao de transferencia Dr tem em geral a funcao de converter a referencia, velocidade, por exemplo, em um sinal eletrico. Da mesma forma, a funcao de trasferencia do medidor transforma um sinal, velocidade em rpm por exemplo, em um sinal eletrico a ser comparado no somador.

Uma observacao importante e que o sinal a(t), que sai do somador nao e o sinal de erro. O sinal de erro e obtido neste diagrama generico atraves de um segundo somador que compara a referencia com a saıda do sistema. Este somador nao representa a fısica do modelo mas simplesmente e uma representacao de uma operacao matematica para obter o erro.

Usando a algebra de blocos e supondo Gr 6= 0 e ainda desconsiderando-se o ruıdo, obtem-se o diagrama da Figura 2.17.

Figura 2.17: Diagrama de blocos simplificado do sistema de controle

Vamos considerar a seguir que Gy = 1 e Gr = 1, ou seja, nao consideramos a existencia de controlador na malha de realimentacao e do pre-filtro. Vamos considerar ainda que a perturbacao age diretamente na saıda do sistema. Como observado anteriormente, a entrada de perturbacao depende da fısica do problema. Na Figura 2.17 esta entrada antecede a planta. Usando algebra de blocos, pode-se transferir esta entrada de modo que ela atua diretamente na saıda. Note que uma perturbacao equivalente, dada por D′ = G(s)D(s), pode ser definida. Manteremos a mesma notacao D(s) para a perturbacao levada a saıda do sistema, embora a perturbacao transferida seja diferente. Com isto, o sistema e representado pelo diagrama de blocos da Figura 2.18, onde nao representamos o somador que fornece o erro. E importante salientar que isto nao significa perda de generalidade. Poderıamos ter redefinido G(s) e H(s) na Figura 2.17 para ainda obter a Figura 2.18.

Um caso especial e o caso onde a realimentacao e unitaria. A realimentacao unitaria e obtida ou por manipulacao do diagrama de blocos ou considerando que em geral a variavel de interesse, que e a variavel acessıvel, e a saıda do medidor. Assim, em um processo onde a saıda e uma vazao em litros por segundo,

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Figura 2.18: Sistema com perturbacao levada a saıda a variavel de interesse e a saıda do medidor, em volts correspondentes a uma determinada vazao. Pode-se entao, sem perda de generalidade, considerar em muitos casos o sistema tendo realimentacao unitaria, como mostrado na Figura 2.19. Neste caso observa-se que o sinal de saıda do somador e o sinal do erro.

Figura 2.19: Sistema com realimentacao unitaria e perturbacao levada a saıda

24 Capıtulo 2: Modelagem e representacao de sistemas de controle

Exercıcios 1. Para o diagrama de blocos da Figura 2.20 determine:

a. as funcoes de transferencia Y (s)

R(s) , por reducao do diagrama de blocos.

b. o diagrama de fluxo de sinal. c. as mesmas funcoes de transferencia usando a regra de Mason.

Figura 2.20: Diagrama de blocos do Exercıcio 1

2. Para o sistema mostrado na Figura 2.21 a. construa o diagrama de blocos.

b. determine a funcao de transferencia I2(s)

Ig(s) por reducao do diagrama de blocos.

c. construa o diagrama de fluxo de sinal.

d. determine a funcao de transferencia I2(s)

Ig(s) , usando a regra de Mason.

Ig R1 L C R2

Figura 2.21: Figura para o Exemplo 2

3. Seja o sistema que consiste de um tubo de comprimento L, onde escoa um fluido com velocidade constante v. A temperatura na entrada do tubo e u(t). A temperatura do fluido na saıda e y(t).

Nao existem perdas termicas ao longo do tubo. Determine a funcao de transferencia Y (s)

U(s) . Defina a constante de tempo T , Lv. O que se conclui de um sistema que apresenta retardo puro? Qual o termo que representa este retardo na funcao de transferencia?

4. Para o sistema da Figura 2.2 a. Determine as funcoes de transferencia Y (s)

para i = 14 e

b. Determine Y (s) usando o princıpio da superposicao.

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Figura 2.2: Diagrama de blocos do Exercıcio 4 c. Construa o diagrama de fluxo de sinal e determine as mesmas funcoes de transferencia usando a regra de Mason.

26 Capıtulo 2: Modelagem e representacao de sistemas de controle 26 Capıtulo 2: Modelagem e representacao de sistemas de controle

CAPITULO 3

Resposta de sistemas de controle

Este capıtulo tem como objetivo estudar a resposta no tempo e na frequencia de sistemas dinamicos e em particular o uso dos resultados na determinacao da resposta de sistemas de controle. Estudaremos a resposta no tempo e a resposta no domınio da frequencia. Mostraremos ainda a relacao entre as duas respostas. Um sistema dinamico invariante no tempo pode ser representado por uma equacao diferencial ordinaria ou por sua funcao de transferencia. Neste capıtulo o interesse maior e na determinacao da resposta a partir do uso da funcao de transferencia.

3.2 Sistemas de primeira e segunda ordem

A resposta de sistemas dinamicos, a partir da funcao de transferencia, e determinada pelos polos e zeros daquela funcao e pelo sinal de entrada do sistema. Embora sistemas de controle possam ter ordem elevada, muitos sistemas reais apresentam dominancia de primeira ou segunda ordem. Ou seja, embora a funcao de transferencia que representa o sistema tenha ordem elevada, pode-se usar um modelo de primeira ou segunda ordem para representa-lo. Mesmo representando o sistema com o modelo completo, pode-se sempre considerar a resposta como constituıda de uma soma de respostas de sistemas de primeira e segunda ordem ao mesmo sinal de entrada. Para isto basta fazer a decomposicao da funcao de transferencia em fracoes parciais. Portanto o estudo da resposta de sistemas de primeira e segunda ordem e essencial para especificar a resposta de sistemas de ordem mais elevada. Os sinais de entrada podem ter qualquer forma, mas novamente, pode-se considerar alguns sinais padrao como indicando o comportamento do sistema de controle.

Tanto a resposta no tempo como a resposta em frequencia sao de interesse para o estabelecimento de figuras de merito para a analise e o projeto de sistemas de controle. Na sequencia serao estudadas as respostas de sistemas de primeira e segunda ordem a alguns sinais padrao, inicialmente no domınio do tempo e depois no domınio da frequencia.

3.3 Resposta no tempo

A resposta no tempo esta associada a posicao dos polos e zeros da funcao de transferencia que representa o sistema. A resposta no tempo fornece algumas figuras de merito importantes para a analise e projeto.

28 Capıtulo 3: Resposta de sistemas de controle

O tempo de resposta ou acomodacao e uma destas figuras.

Definicao 5 O tempo de resposta ou tempo de acomodacao a x% e o tempo para a resposta do sistema entrar e permanecer em uma faixa de x% em torno do valor final da resposta.

Os valores usuais de x sao 5, 2 e 1. Denotaremos estes tempos de resposta por tr5% , tr2% e tr1% respectivamente.

3.3.1 Sistemas de primeira ordem Um sistema de primeira ordem, sem zero, tem uma funcao de transferencia

Supondo que a entrada U(s) e um degrau de valor E, ou seja U(s) = E s entao a resposta Y (s) e dada por

ou, determinado a anti-transformada de Laplace, com condicoes iniciais nulas, a resposta no tempo e dada por

A resposta e uma exponencial, tendendo assintoticamente ao valor K E. O polo da funcao de transferencia e dado por p = −1τ. Observa-se que o polo da funcao de transferencia de G(s) determina a forma da resposta, que pode ser expressa em funcao de ept.

O tempo de resposta a 5% pode ser calculado por 0.95K E = K E(1 − e−tr5% τ ) ou

O tempo de resposta a 2% pode ser calculado por 0.98K E = K E(1 − e−tr2% τ ) ou

O tempo de resposta a 1% pode ser calculado por 0.99K E = K E(1 − e−tr1% τ ) ou

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