Resumo sobre Gradiente, Divergente e Rotacional

Resumo sobre Gradiente, Divergente e Rotacional

Física Matemática – Physics ACT

escalar ao longo de um vetor

A derivada direcional é um valor escalar que representa a derivada de um campo

O gradiente pode ser usado para determinar a direção de máximo crescimento ou decrescimento de um fluxo em um campo escalar, pois nos mostra a alteração no valor de uma quantidade por unidade de tempo.

Gradiente em outras coordenadas: Coordenadas cilíndricas:

Coordenadas esféricas:

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O divergente mede a magnitude de uma fonte ou um sorvedouro de um campo vetorial em um determinado ponto. Assim ele pode ser considerado um escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores do campo num determinado ponto.

O divergente de um vetor % multiplicado por função escalar é dado por:

Efetuando as derivadas temos

Onde

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Divergente em outras coordenadas: Coordenadas cilíndricas:

Coordenadas esféricas:

É um operador que calcula por uma superfície infinitesimal o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam do vetor normal a superfície. O rotacional de um campo vetorial é também um campo vetorial.

Existe uma relação entre rotacional e aspectos rotacionais do movimento. Imagine um campo vetorial % que representa o campo de velocidade de um fluido e consideramos uma partícula situada no ponto , , . As partículas situadas numa vizinhança deste ponto, tendem a rotacionar ao redor do eixo formado pelo vetor 5% ; o comprimento deste vetor é a velocidade com que as partículas se movem ao redor deste eixo. Se 5% 0, o fluido é chamado de irrotacional, ou seja, está livre de rotações na vizinhança do ponto , , *.

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Rotacional em outras coordenadas: Coordenadas cilíndricas:

Coordenadas esféricas:

Ou seja

Laplaciano em outras coordenadas: Coordenadas cilíndricas:

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Coordenadas esféricas:

A demonstração é um pouco longa, porém nada trabalhosa. EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES:

A equação de Navier-Stokes descreve o escoamento de um fluido newtoniano. Permite encontrar os campos de velocidade e de pressão em um escoamento.

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* Campos conservativos escalar definida em R. Nesse caso, a função é chamada função potencial de % na região R e a imagem de um ponto de R pela é o potencial neste ponto.

Um campo vetorial % é conservativo se, e somente se, ele pode ser escrito como o gradiente de um campo escalar, ou seja:

Onde é o potencial desse campo % E para qualquer campo conservativo o rotacional é igual a zero.

Porém nem todo campo irrotacional é conservativo. Para um campo conservativo temos também que:

H φdx 0 Dessa forma temos definido um campo conservativo.

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