Equação de Schrodinger

Equação de Schrodinger

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Equação de Schrödinger

USP Universidade de São Paulo

EESC Escola de Engenharia de São Carlos SEL0428 – Propriedades Elétricas e Ópticas dos Materiais

São Carlos – Maio/2013

Grupo 4: 8006543 – Douglas Pereira Henrique 8006373 – Eduardo de Chagas Siqueira 8006140 – Gustavo Kooiti Silva Takahashi 8070719 – Marcelo Oliveira Abrão

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A Teoria de Einstein

•Em 1905, Albert Einstein contesta a teoria clássica da onda eletromagnética e propõe que a luz se comporta como um conjunto de partículas quânticas.

•As partículas descritas por Einstein foram chamadas de fótons e, diferentemente do que foi dito por Planck, Einstein propôs que a Energia de uma Onda Eletromagnética se dá pela emissão dos fótons de acordo com a Equação:

(1) Figura 1 – Albert Einstein

•Em 1924, Louis de Broglie, apresenta sua tese de doutorado, em que defende a existência de ondas de matéria.

•Partindo da suposição de que, se existe radiação com comportamento de partículas, também poderiam existir partículas com comportamento ondulatório. Portanto, de Broglie afirmou que a equação de Einstein ( ) não vale só para os fótons, mas também para qualquer tipo de partícula.

•Então, de Broglie deduziu a seguinte equação:

(2) que relaciona o momento linear de um corpo ou partícula com um comprimento de onda.

A Dualidade onda-partícula

Figura 2 – Loius De Broglie

Já que um corpo tem um comportamento ondulatório, que equação devemos utilizar para descrever este corpo?

•Na Física clássica, temos a equação de onda mecânica:

•que descreve o movimento ondulatório de partículas em sistemas macroscópicos com eficácia, contudo, no mundo microscópico, esta equação, assim como a de Maxwell para ondas eletromagnéticas não são aplicáveis.

•Em 1925, Erwin Schrödinger, um físico austríaco, apresenta a equação que resolve o problema acima.

•De Broglie havia proposto uma função de onda para resolver sistemas quânticos, porém ela só funcionava para partículas livres, sem a influência de energia potencial. Na presença de um campo potencial, o momento se alteraria tão rápido que a função deixaria de ser válida.

A equação de Schrödinger A equação de Schrödinger

Erwin Schrödinger

•Erwin Schrödinger (Viena, 12 de Agosto de 1887 —Viena, 4 de Janeiro de 1961) foi um físico teórico austríaco doutorado pela universidade de Viena;

•O austríaco lecionou em várias universidades europeias, mas foi em Zurique que elaborou suas mais imporatantes teorias;

•Schrödinger foi um marco na história da física, ganhando o prêmio Nobel em 1933 devido à sua contribuição ao desenvolvimento da física quântica.

A equação

• é uma função de onda;

•Segundo Eisberg, a teoria de Schrödinger especifica quais as leis do movimento ondulatório que as partículas de qualquer sistema, seja ele microscópico ou até mesmo macroscópicos, devem obedecer;

•A teoria de Schrödinger é uma extensão do postulado de de Broglie, há uma relação íntima entre esta e a teoria de Newton para o movimento de partículas em sistemas macroscópicos, sendo esta última um caso particular da teoria de Schrödinger.

Deduzindo a equação

Nota: A dedução da equação aqui utilizada é diferente da utilizada por Schrödinger, visto que esta pode ser considerada incompreensível para quem não está habituado com física quântica, contudo, o método aqui utilizado é tão satisfatório quanto o utilizado pelo físico, visto que as influências utilizadas nos dois são as mesmas.

1. Argumentos plausíveis para se chegar à equação de Schrödinger:

•O primeiro problema encontrado na dedução da equação de Schrödinger é encontrar um ponto de partida para esta, não podemos utilizar as equações de Newton, nem mesmo as de Maxwell, visto que nossa tipo de onda estudada é quântico.

•Já que estamos trabalhando com a mecânica quântica, podemos esperar algum auxílio dos postulados de de Broglie e Einstein, vistos anteriormente:

e

Com estas duas equações, utilizaremos quatro hipóteses como argumentação que se relacionam com as propriedades desejadas da equação de onda da mecânicas quântica:

1.Ela deve ser consistente com os postulados de de Broglie e Einstein (1) e (2);

2.Ela deve ser consistente com a equação que relaciona a energia total de uma partícula de massa e sua energia cinética e sua energia potencial

5.Ela deve ser linear em . Isto é, se e são duas soluções diferentes da equação para uma dada energia potencial , então qualquer combinação linear arbitrária destas soluções também é uma solução;

•.A exigência de linearidade garante que podemos somar ou subtrair a equação de várias ondas, garantindo a interferência de ondas;

4. A energia potencial é em geral uma função de , e possivelmente até de . No entanto, no caso de uma partícula livre,

No caso da partícula livre, temos que:

Implicando que deverá ser constante e, portanto, constante. Reescrevendo a equação (3) em função de (1) e (2), obtêm se:

Ou,

Toma se por hipótese a função de onda e suas derivadas e . Por observação, pode se supor que os termos das derivadas com a equação (4) possuem alguma relação, sendo então:

No entanto, substituindo em (5) obtemos equação não linear.

Supondo então um novo e suas derivadas

e , realizando a substituição em (5):

E para que isso funcione, os coeficientes que seguem seno e cosseno devem ser iguais a .

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