Introdução à Álgebra Linear - Reginaldo j. Santos

Introdução à Álgebra Linear - Reginaldo j. Santos

(Parte 1 de 3)

Reginaldo J. Santos

Departamento de Matematica-ICEx

Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi

Introducao a Algebra Linear Copyright c© 2010 by Reginaldo de Jesus Santos (100808)

E proibida a reproducao desta publicacao, ou parte dela, por qualquer meio, sem a previa autorizacao, por escrito, do autor.

Editor, Coordenador de Revisao, Supervisor de Producao, Capa e Ilustracoes: Reginaldo J. Santos

Santos, Reginaldo J.

S237i Introducao a Algebra Linear / Reginaldo J. Santos - Belo Horizonte: Imprensa Universitaria da UFMG, 2010.

Conteudo

Prefacio vii

1.1 Matrizes1
1.1.1 Operac oes com Matrizes3
1.1.2 Propriedades da Algebra Matricial9
1.1.3 Aplicacao: Cadeias de Markov14
Apendice I: Notacao de Somatorio28
1.2 Sistemas de Equac oes Lineares30
1.2.1 Metodo de Gauss-Jordan34
1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas4
1.2.3 Sistemas Lineares Homogeneos47
1.2.4 Matrizes Elementares (opcional)52

1 Matrizes e Sistemas Lineares 1

2.1 Matriz Inversa70

2 Inversao de Matrizes e Determinantes 70 i

2.1.1 Propriedades da Inversa72
2.1.2 Matrizes Elementares e Inversao (opcional)75
2.1.3 Metodo para Inversao de Matrizes78
2.1.4 Aplicacao: Interpolacao Polinomial90
2.1.5 Aplicac ao: Criptografia93
2.2 Determinantes100
2.2.1 Propriedades do Determinante105
2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional)119
2.2.3 Matriz Adjunta e Inversao (opcional)121
Apendice I: Demonstracao do Teorema 2.1135
2.3 Matrizes Particionadas em Blocos (opcional)139
2.3.1 Operac oes Matriciais em Blocos139
2.3.2 Inversa de Matrizes em Blocos142
2.3.3 Determinante de Matrizes em Blocos143

iv Conteudo

3.1 Vetores no Plano e no Espaco150
3.1.1 Soma de Vetores e Multiplicacao por Escalar152
3.1.2 Norma e Produto Escalar165
3.2 Equac oes de Retas e Planos187
3.2.1 Equac ao do Plano187
3.2.2 Equac oes da Reta193
3.3 Os Espacos Rn207
3.3.1 Combinac ao Linear211
3.3.2 Independencia Linear214
4.1 Base e Dimensao228
Apendice I: Outros Resultados245
4.2 Espaco Linha e Espaco Coluna258
4.2.1 Posto e Nulidade260

4 Subespacos 228 Introducao a Algebra Linear Julho 2010

4.2.2 Aplicacao a Sistemas Lineares262
4.2.3 A Imagem de uma Matriz266
4.3 Espacos Vetoriais Abstratos (opcional)273

Conteudo v

5.1 Produto Escalar em Rn290
5.1.1 Produto Interno290
5.1.2 Bases Ortogonais e Ortonormais300
5.2 Subespacos Ortogonais307
5.2.1 Subespacos Fundamentais311
5.2.2 Problema de Quadrados Mınimos312
5.3 Mudanca de Coordenadas324
5.3.1 Rotac ao328
5.3.2 Translac ao329
5.3.3 Aplicacao: Computacao Grafica - Projecao Ortografica331

5 Ortogonalidade 290

6.1 Definicao, Exemplos e Propriedades346
6.1.1 Definic ao e Exemplos346
6.1.2 Propriedades352
6.2 A Imagem e o Nucleo361
6.2.1 Injetividade e Sobrejetividade365
6.3 Composicao de Transformac oes Lineares373
6.3.1 Matriz de uma Transformacao Linear373
6.3.2 Invertibilidade379
6.3.3 Semelhanca386

6 Transformacoes Lineares (opcional) 346

7.1 Diagonalizac ao de Matrizes392
7.1.1 Motivac ao392
7.1.2 Autovalores e Autovetores394

7 Diagonalizacao 392 Julho 2010 Reginaldo J. Santos

7.1.3 Diagonalizac ao402
7.1.4 Diagonalizacao de Operadores (opcional)413
7.1.5 Forma Canonica de Jordan (opcional)414
7.2 Diagonalizacao de Matrizes Simetricas428
7.2.1 Motivac ao428
7.2.2 Matrizes Ortogonais430
Apendice IV: Autovalores Complexos440
7.3 Aplicacao na Identificacao de Conicas446

vi Conteudo

Respostas dos Exercıcios 460 Bibliografia 613 Indice Alfabetico 616

Introducao a Algebra Linear Julho 2010

Prefacio

Este texto cobre o material para um curso de um semestre de Introducao a Algebra Linear ou de Algebra Linear Matricial. O texto pode, mas nao e necessario, ser acompanhado um programa como o MATLABr ∗, SciLab ou o Maxima.

O conteudo e dividido em sete capıtulos. O Capıtulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares. Aqui todas as propriedades da algebra matricial sao demonstradas. A resolucao de sistemas lineares e feita usando somente o metodo de Gauss-Jordan (transformando a matriz ate que ela esteja na forma escalonada reduzida). Este metodo requer mais trabalho do que o metodo de Gauss (transformando a matriz, apenas, ate que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que tambem e usado no estudo da inversao de matrizes no Capıtulo 2. Neste Capıtulo e tambem estudado o determinante, que e definido usando cofatores. As demonstracoes dos resultados deste capıtulo podem ser, a criterio do leitor, feitas somente para matrizes 3 × 3.

O Capıtulo 3 trata de vetores no plano, no espaco e no Rn. Os vetores sao definidos inicialmente de forma geometrica, assim como a soma e a multiplicacao por escalar. Sao provadas algumas propriedades geometricamente. Depois sao introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural sem a necessidade da definicao

∗MATLABr e marca registrada de The Mathworks, Inc.

vii viii Conteudo de base. O produto escalar e definido tambem geometricamente. Sao estudados tambem retas e planos no espaco. Depois, o conceito de vetor e generalizado para o Rn. O conceito de dependencia e independencia linear e introduzido de forma algebrica, acompanhado da interpretacao geometrica para os casos de R2 e R3.

No Capıtulo 4 sao tratados os conceitos de subespacos e de base de subespacos. Sao estudados os espacos linha e coluna de uma matriz e o seu posto. Ao final do capıtulo os Espacos Vetoriais Abstratos sao definidos. No Capıtulo 5 sao abordados o produto escalar e bases ortonormais. Alem de subespacos ortogonais e quadrados mınimos.

Transformacoes Lineares de Rn em Rm sao estudadas no Capıtulo 6. O Capıtulo 7 traz um estudo da diagonalizacao de matrizes em geral e a diagonalizacao de matrizes simetricas atraves de uma matriz ortogonal. E feita uma aplicacao ao estudo das secoes conicas.

Os exercıcios estao agrupados em tres classes. Os “Exercıcios Numericos”, que contem exercıcios que sao resolvidos fazendo calculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um computador ou de uma maquina de calcular. Os “Exercıcios Teoricos”, que contem exercıcios que requerem demonstracoes. Alguns sao simples, outros sao mais complexos. Os mais difıceis complementam a teoria e geralmente sao acompanhados de sugestoes. Os “Exercıcios usando o MATLABr”, que contem exercıcios para serem resolvidos usando o MATLABr ou outro software. Os comandos necessarios a resolucao destes exercıcios sao tambem fornecidos juntamente com uma explicacao rapida do uso. Os exercıcios numericos sao imprescindıveis, enquanto a resolucao dos outros, depende do nıvel e dos objetivos pretendidos para o curso.

O MATLABr e um software destinado a fazer calculos com matrizes (MATLABr = MATrix LABoratory). Os comandos do MATLABr sao muito proximos da forma como escrevemos expressoes algebricas, tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados as rotinas pre-definidas, pacotes para calculos especıficos. Um pacote chamado gaal com funcoes que sao direcionadas para o estudo de Geometria Analıtica e Algebra Linear pode ser obtido na web na pagina do autor, assim como um texto com uma introducao ao MATLABr e instrucoes de como instalar o pacote gaal. O MATLABr nao e um software gratuito, embora antes a versao estudante vinha gratis ao se comprar o guia do usuario. Atualmente o SciLab e uma alternativa gratuita, mas que nao faz calculo simbolico. O Maxima e um programa de computacao algebrica gratuito. Ambos podem ser usados como ferramenta auxiliar na aprendizagem de Algebra Linear. Na pagina do autor na web podem ser encontrados pacotes de funcoes para estes programas alem de links para as paginas do SciLab e do Maxima

Introducao a Algebra Linear Julho 2010

Prefacio ix e varias paginas interativas que podem auxiliar na aprendizagem.

No fim de cada capıtulo temos um “Teste do Capıtulo”, onde o aluno pode avaliar os seus conhecimentos. Os Exercıcios Numericos e os Exercıcios usando o MATLABr estao resolvidos apos o ultimo capıtulo utilizando o MATLABr. Desta forma o leitor que nao estiver interessado em usar o software pode obter apenas as respostas dos exercıcios, enquanto aquele que tiver algum interesse, pode ficar sabendo como os exercıcios poderiam ser resolvidos fazendo uso do MATLABr e do pacote gaal.

Gostaria de agradecer aos professores que colaboraram apresentando correcoes, crıticas e sugestoes, entre eles Helder C. Rodrigues e Francisco Satuf, Joana Darc A. S. da Cruz e Lucia Brasil.

Sugestao de Cronograma para 60 Horas

Julho 2010 Reginaldo J. Santos x Prefacio Sugestao de Cronograma para 90 Horas

Historico

Julho 2010 Algumas correcoes. O texto foi totalmente reformatado. Julho 2009 Algumas correcoes. Varias figuras foram refeitas. Marco 2008 Foi acrescentada a subsecao opcional ’Forma Canonica de Jordan’. Foram corrigidos alguns erros.

Julho 2007 Foi acrescentado o Exemplo 2.16 na secao de Determinantes. Foram acrescentados um exercıcio na secao de Determinantes, um na de Produto Escalar em Rn, quatro na de Diagonalizacao e um na de Diagonalizacao de Matrizes Simetricas. Foram corrigidos alguns erros.

Marco 2007 A Secao 1.1 de Matrizes e a Secao 2.2 de Determinantes foram reescritas. Na secao 1.2 o Teorema 1.4 voltou a ser que toda matriz e equivalente por linhas a uma unica matriz na forma escalonada reduzida. As secoes 4.1, 5.1 e 5.3 foram reescritas e acrescentada uma aplicacao a computacao grafica. Foi acrescentada a sub-secao opcional ’Diagonalizacao de Operadores’ a secao 7.1. Foram acrescentados dois exercıcios na secao de Matrizes, um na de Inversao de Matrizes, um na de Base e Dimensao, tres na de Mudanca de Coordenadas. Foram corrigidos alguns erros.

Introducao a Algebra Linear Julho 2010

Prefacio xi

Maio 2004 Foram acrescentadas aplicacoes a criptografia (Exemplo na pagina 93) e a cadeias de Markov

(Exemplos 1.9 na pagina 14, 1.16 na pagina 49 e 7.8 na pagina 409). Foi acrescentado um exercıcio na secao 1.1. Foi incluıda a demonstracao de que toda matriz e equivalente por linhas a uma unica matriz escalonada reduzida. Este resultado era o Teorema 1.4 na pagina 26 que passou para o Apendice I da secao 5.2. O Teorema 1.4 agora contem as propriedades da relacao “ser equivalente por linhas” com a demonstracao. O que antes era Exemplo 1.14 passou para o lugar do Exemplo 1.10. O Exemplo 2.5 foi modificado. A secao ’Base e Dimensao’ foi reescrita. Foi acrescentada a Proposicao 4.9 na pagina 248 que e util na obtencao de uma base para um subespaco. O Teorema 4.3 do Apendice I passou para o texto obrigatorio da secao 4.3 e e agora o Teorema 4.2 na pagina 235. Foram acrescentados alguns exemplos e alguns exercıcios a secao 4.3. Os exemplos 7.4 na pagina 400 e 7.5 na pagina 406 foram modificados. A secao ’Diagonalizacao de Matrizes’ ganhou mais um exercıcio teorico.

Julho 2003 Varias correcoes incluindo respostas de exercıcios. A secao ’Base e Dimensao’ foi reescrita. Foi acrescentada uma secao de Espacos Vetoriais Abstratos no Capıtulo 4. A secao ’Diagonalizacao de Matrizes’ ganhou mais dois exercıcios teoricos. A secao ’Diagonalizacao de Matrizes Simetricas’ ganhou um apendice sobre ’Autovalores Complexos’.

Julho 2002 Criado a partir do texto ’Geometria Analıtica e Algebra Linear’ para ser usado numa disciplina de Introducao a Algebra Linear ou Algebra Matricial.

Julho 2010 Reginaldo J. Santos xii Prefacio Introducao a Algebra Linear Julho 2010

Capıtulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares

Uma matriz A, m × n (m por n), e uma tabela de mn numeros dispostos em m linhas e n colunas

a11 a12a1n
a21 a22a2n
am1 am2amn
ai1 ai2ain ]

A i-esima linha de A e [ ,

para i = 1,,m e a j-esima coluna de A e

2 Matrizes e Sistemas Lineares

para j = 1,,n. Usamos tambem a notacao A = (aij)m×n. Dizemos que aij ou [A]ij

e o elemento ou a entrada de posicao i, j da matriz A.

a11, a22,, ann formam a diagonal (principal) de A.

Se m = n, dizemos que A e uma matriz quadrada de ordem n e os elementos

Exemplo 1.1. Considere as seguintes matrizes:

As matrizes A e B sao 2 × 2. A matriz C e 2 × 3, D e 1 × 3, E e 3 × 1 e F e 1 × 1. De acordo com a notacao que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das

Uma matriz que so possui uma linha e chamada matriz linha, e uma matriz que so possui uma coluna e chamada matriz coluna, No Exemplo 1.1 a matriz D e uma matriz linha e a matriz E e uma matriz coluna. Matrizes linha e matrizes coluna sao chamadas de vetores. O motivo ficara claro na Secao 3.3 na pagina 207.

Introducao a Algebra Linear Julho 2010

Dizemos que duas matrizes sao iguais se elas tem o mesmo tamanho e os elementos

n = q e aij = bij para i = 1,, m e j = 1, . . . , n.

correspondentes sao iguais, ou seja, A = (aij)m×n e B = (bij)p×q sao iguais se m = p,

Vamos definir operacoes matriciais analogas as operacoes com numeros e provar propriedades que sao validas para essas operacoes. Veremos, mais tarde, que um sistema de equacoes lineares pode ser escrito em termos de uma unica equacao matricial.

Vamos, agora, introduzir as operacoes matriciais.

1.1.1 Operacoes com Matrizes

Definicao 1.1. A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A = (aij)m×n e B = (bij)m×n e definida como sendo a matriz m × n obtida somando-se os elementos correspondentes de A e B, ou seja,

para i = 1,,m e j = 1,. . .,n. Escrevemos tambem [A + B]ij = aij + bij.

cij = aij + bij , Julho 2010 Reginaldo J. Santos

4 Matrizes e Sistemas Lineares

Exemplo 1.2. Considere as matrizes:

Se chamamos de C a soma das duas matrizes A e B, entao

Definicao 1.2. A multiplicacao de uma matriz A = (aij)m×n por um escalar (numero) α e definida pela matriz m×n obtida multiplicando-se cada elemento da matriz A pelo escalar α, ou seja,

para i = 1,,m e j = 1,. . .,n. Escrevemos tambem [αA]ij = α aij. Dizemos que a matriz B e um multiplo

bij = α aij , escalar da matriz A.

Introducao a Algebra Linear Julho 2010

pelo escalar −3 e dado por

Definicao 1.3. O produto de duas matrizes, tais que o numero de colunas da primeira matriz e igual ao numero de linhas da segunda, A = (aij)m×p e B = (bij)p×n e definido pela matriz m × n obtida da seguinte forma:

cij = ai1b1j + ai2b2j ++ aipbpj, (1.1)
para i = 1,, m e j = 1, . . . , n. Escrevemos tambem [AB]ij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj.

A equacao (1.1) esta dizendo que o elemento i, j do produto e igual a soma dos produtos dos elementos da i-esima linha de A pelos elementos correspondentes da jesima coluna de B.

Julho 2010 Reginaldo J. Santos

6 Matrizes e Sistemas Lineares

c11c1n
cij
cm1cmn
a11 a12a1p
ai1 ai2aip
am1 am2amp
[AB]ij = ai1b1j + ai2b2j ++ aipbpj = p

A equacao (1.1) pode ser escrita de forma compacta usando a notacao de somatorio. ∑ k=1 aikbkj e dizemos “somatorio de k variando de 1 a p de aikbkj”. O sımbolo p ∑ significa que estamos fazendo uma soma em que o ındice k esta variando de k = 1 ate k = p. Algumas propriedades da notacao de somatorio estao explicadas no Apendice I na pagina 28.

Exemplo 1.4. Considere as matrizes:

Se chamamos de C o produto das duas matrizes A e B, entao

Introducao a Algebra Linear Julho 2010

Observacao. No exemplo anterior o produto BA nao esta definido (por que?). Entretanto, mesmo quando ele esta definido, BA pode nao ser igual a AB, ou seja, o produto de matrizes nao e comutativo, como mostra o exemplo seguinte.

Exemplo 1.5. Sejam A =

Vamos ver no proximo exemplo como as matrizes podem ser usadas para descrever quantitativamente um processo de producao.

Exemplo 1.6. Uma industria produz tres produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X sao utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. Usando matrizes podemos determinar quantos gramas dos insumos A e B sao necessarios na producao de x kg do produto X, y kg do produto Y e z kg do produto Z.

X Y Z gramas de A/kg gramas de B/kg

kg de X produzidos kg de Y produzidos kg de Z produzidos

Julho 2010 Reginaldo J. Santos

8 Matrizes e Sistemas Lineares

] gramas de A usados

gramas de B usados

Definicao 1.4. A transposta de uma matriz A = (aij)m×n e definida pela matriz n × m

B = At obtida trocando-se as linhas com as colunas, ou seja,

para i = 1,, n e j = 1, . . . , m. Escrevemos tambem [At]ij = aji.

bij = aji ,

Exemplo 1.7. As transpostas das matrizes

A seguir, mostraremos as propriedades que sao validas para a algebra matricial. Varias propriedades sao semelhantes aquelas que sao validas para os numeros reais, mas deve-se tomar cuidado com as diferencas. Uma propriedade importante que e valida para os numeros reais, mas nao e valida para as matrizes e a comutatividade do produto, como foi mostrado no Exemplo 1.5. Por ser compacta, usaremos a notacao de somatorio na demonstracao de varias propriedades. Algumas propriedades desta notacao estao explicadas no Apendice I na pagina 28.

Introducao a Algebra Linear Julho 2010

1.1 Matrizes 9 1.1.2 Propriedades da Algebra Matricial

Teorema 1.1. Sejam A, B e C matrizes com tamanhos apropriados, α e β escalares. Sao validas as seguintes propriedades para as operacoes matriciais:

(c) (elemento neutro) A matriz 0, m × n, definida por [0]ij = 0, para i = 1,, m, j = 1, . . . , n e tal que

para toda matriz A, m × n. A matriz 0 e chamada matriz nula m × n.

(d) (elemento simetrico) Para cada matriz A, existe uma unica matriz −A, definida por [−A]ij = −aij tal que A+(−A) = 0.

(e) (associatividade) α(βA) = (αβ)A; (f) (distributividade) (α + β)A = αA + βA; (g) (distributividade) α(A + B) = αA + αB; (h) (associatividade) A(BC) = (AB)C; (i) (elemento neutro) Para cada inteiro positivo p a matriz, p × p,

1 00
0 10
0 01

Julho 2010 Reginaldo J. Santos

10 Matrizes e Sistemas Lineares chamada matriz identidade e tal que A In = ImA = A, para toda matriz A = (aij)m×n.

Introducao a Algebra Linear Julho 2010

Demonstracao. Para provar as igualdades acima, devemos mostrar que os elementos da matriz do lado esquerdo sao iguais aos elementos correspondentes da matriz do lado direito. Serao usadas varias propriedades dos numeros sem cita-las explicitamente.

(c) Seja X uma matriz m × n tal que para qualquer matriz A, m × n. Comparando os elementos correspondentes, temos que aij + xij = aij ,

ou seja, xij = 0, para i = 1, m e j = 1 . . . , n. Portanto, a unica matriz que

satisfaz (1.2) e a matriz em que todos os seus elementos sao iguais a zero. De- notamos a matriz X por 0.

(d) Dada uma matriz A, m × n, seja X uma matriz m × n, tal que

A + X = 0. (1.3) Comparando os elementos correspondentes, temos que

ou seja, xij = −aij, para i = 1, m e j = 1 . . . , n. Portanto, a unica matriz que

aij + xij = 0, satisfaz (1.3) e a matriz em que todos os seus elementos sao iguais aos simetricos dos elementos de A. Denotamos a matriz X por −A.

Julho 2010 Reginaldo J. Santos

12 Matrizes e Sistemas Lineares

(Parte 1 de 3)

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