xayx ya log

Quadro – resumo

Sempre que existem logaritmos envolvidos, temos:

Definição de Logaritmos

logaritmooéy 0ae0abaseasendoa 0xedologaritmanosendox

Consequências da definição:

n=alogna x=axloga

Propriedades operatórias dos logaritmos

1ª: Logaritmo do Produto:

Sendo 0 xe 0 y com 0 a e 1 a temos:

ylogxlogyxlog a

Observação: O produtório dos logaritmos pode ser também estendido a vários fatores.

Sendo 0 xe 0 y com 0 a e 1 a temos:

ylogxlog y

3ª) Logaritmo da Potência:

Sendo 0 xe 0 y com 0 a e 1 a temos:

xlogyxlogaya Consequência da 3ª propriedade:

xlog y xlogxlog a y

Mudança de Base

Sendo o logaritmo de um número 0 xem uma base 0 a e 1 a pode – se transforma – lo em outra base de acordo com a relação:

alog xlog xlog b ba

Consequências da mudança de base: São consequências imediatas da propriedade da mudança de base:

alog 1 xlog x a

1alogxlogxa Cologaritmo xlogxcolog a Equações Logarítmicas

Francisco S. de Aguiar

a) 625log5b) 243log3

1. Determine o valor de cada logaritmo: 1

1d) 27log3
e) 01,0log10f) 4log8
g) 243log27h) 410

c) 4log4 100log

1j) 22log8

i) 343log7

2. Calcule o valor de S em cada caso:

a) 8log7log2535Nb) 5log59N
c) 5log233Nd) 5log235N

3. Determine o valor de N em cada caso: e) 5log1273 N

4. Determine o valor de a em cada caso:

c) 38logad) 14loga

g) 3log2

5. Calcule o valor de S nos seguintes casos:

6. Calcule o valor de S:

7. Calcule pela definição os seguintes logaritmos:

a) 2log2b) 49log37

10log

5log3f) 327

d) 32log8 b e) 45 9log g) 27log3 log3 4 i)

Solução do item (i):

8. Determine o valor do número a para que exista cada um dos logaritmos:

a) a2logb) 3log3a
c) 5logad) 5log12a
e) 9log24af) 5log12a
a

3 log x x x x

9. (FGV – SP) O valor da expressão:

a) 4

289 c)

169 e) nda

10. (U. E. Ponta Grossa – PR) Sendo Ra , com a >1, é correto afirmar que:

16. Quando5logaA e 52logaB ,então B=2A

Dê como resposta a soma das alternativas corretas. ( )

1. Calcule o valor das somas:

100 log

10 log

c) 128log343log625log275 13. Obtenha em cada caso o valor real de x:

b) 5log3693xc) 3

determinar 15log9(Aqui, log 2 e log 3 indicam respectivamente os logaritmos de 2 e 3 na base 10).

a) 33106,115log9b) 23248,115log9
c) 17214,115log9d) 40023,115log9

15. (Concurso PMAM – 2008) Sabendo que log Na , que log Nb e que log Nc , determinar o valor Nabclog.

a) 30 log Nabc b)

30 log Nabc c) 10

logNabcd)

1 log Nabc

Solução:

1 Nlog Logo, clogblogalog 1 abclog

1 Nlog

. alog

1 blog: temoslogo e

1,alogblog que de artifício o usando Assim,

5 clog

1 Nlog

3 blog

1 Nlog

2 alog

1 Nlog abc

N abc b a

NNc

NNb NNa

Francisco S. de Aguiar

16. (Concurso PMAM – 2003) Sabendo que log a = 2 e log b = 6 determine balog.

a) 36b) 4 c) 12 d) 8 e) 3

17. (Concurso PMAM – 2003) Sabendo que log 2 = 0,30103 determinar log 25. (Logaritmos na base 10).

a) 1,19992b) 1,22616 c) 1,39794
d) 1,12253e) 1,53001

18. (PUC – BA) Indica – se por log x o logaritmo de um número x na base 10. Se log 2 = a, o valor de log 25 é:

Solução:

a) 4 a b)

c) a4 d)a1e) a22

19. (FUNESP – SP) Se

dcA a log 3

Ab)

c d c A

c) c A

dcAe)
a) 1,146b) 1,447 c) 1,690
d) 2,107e) 1,107

21. (VUNESP – SP) Seja 1,0, aaRa. Se e,são números reais estritamente positivos cujo produto é a , então o valor de x para que alog

+ alog

+ alog xlog1 γβαa

a) ab) 2a c) a d) 2a e) a2

2. Sejam x e y números reais tais que

5log2log 1loglog yx yx , onde “log” indica o logaritmo na base 10. Nessas condições é correto afirmar que:

yx R= 7

04)5210 yx 23. Obtenha os valores de x e y de modo que

2loglog yx yx .

24. Resolva o sistema de equações

25. Sejam Ryex tal que yx . Calcule o valor de yyx , calcule o valor de x – y. 27. Resolva os sistemas:

2loglog 1010 yx

1loglog 2

28. Resolva os sistemas a seguir:

21 loglog y xy

yyx yxyx

byx ayx

42 loglog loglog

29. Resolva as equações:

30. Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é dado abaixo

(cba,,são reais positivos)?

a) cba222logloglog b) cbalog3loglog2

d) cbalog 3

1 log2log e) bcalog 2

3 log

1 log f) cba222loglog 6

1 log g) cbalog2log3log 4

Solução do item (g):

31. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (a,b e c são reais positivos).

log5b) 
3log

ab2 e) 2 log c cb a log bab aba bcb aba

32. (U.F.PE) Assinale a alternativa que nos fornece a base a tal que: 3 a) 27

ab)
c) 3ad)

e) Um tal a não existe, pois o logaritmo de um número é sempre positivo.

loglog log log2log3 log log2 log3 log log2log3loglog2log3log log2log3loglog2log3log 4 cb a cb a c cbacba cbacba

Francisco S. de Aguiar

3. (PUC – SP) São x + y = 20 e x – y = 5, então 2 10 logyx é igual a:

a) 100b) 2 c)25 d) 12,5 e)15

34. (UFAM – PSC – 2004) Dados p e q e m, n inteiros positivos. Então a afirmação incorreta é:

r qprpq ln ln2lnln 2

b) ppln 2

d) p

e) mn p m plnln

6402log...logloglog

Então x é igual a:

a) 81b) 27 c) 9 d) 3 e) 243

36. Resolva as equações:

37. Sendo x > 0 e y > 0, prove que se for verdadeira a sentença yxyxlogloglog , então 1 yx .

38. Resolva as equações:

a) 1 b) log2 c)

2log

x d) 2 log2 log1 log2 e) log6 log5 2log5 log4 log3 log2

39. Resolva as equações:

40. Resolva as equações:

41.(Ufop-MG) Se pba log e ba log é igual a:

a) qpb) qp2c) qp2
d) qp2e) qp2

42. (PUC – MG) Na expressão

1 log

1 log

2 log

1 log

a = 4 e b = 2, o valor de E é:

a) 2b) 32 c) 36 d) 6 e)

43. Dados log 2 = 0,30, log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70, quanto vale:

a) log 20b) log 0,0020 c) log 30 0
d) log 0,3e) log 500 f) log 0,00005
g) log 18h) log 45 i) log 72
j) log 0,006l) log 14,4 m) log 0,08
n) log 7,5o) log 250 p) 1,25
a) log 14b) log 50 c) log 0,28
d) log 70e) log 0,28 f) log 25

45. Dados log 2 = 0,30, log 3 = 0,47 e log 5 = 0,70, calcule, com aproximação de duas casa decimais e usando mudança de base, os logaritmos:

a) 3log2c) 9log8
b) 3log5d) 5log100

46. (ACAFE – SC) Sabendo que log a = 48, o valor da expressão 4 53 log a

a) 48b) 47 c) 84 d) 94 e) 24

47. Calcule o produto:

a)1b)3 c) 5 d) 10 e) 1000

43 40005 x, então o xlogé igual a:

a) 2,997b) 3,398 c) 3,633
d) 4,398e) 5,097

51. (S. CASA – SP) Usando a tabela abaixo, o valor de 75log é:

a) 1, 1417b) 1,3011 c) 1,5564
d) 1,6818e) 1,8752

Francisco S. de Aguiar

a) 5

1 c)

d) 2e) 3

53. Construir o esboço do gráfico das seguintes funções:

a) xy3log b) xy4log c) xy3 1log

d) xy10 1log

54. Esboçar o gráfico cartesiano das seguintes funções:

5. Dê o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:

a) x3log b) x10 1log

56. Determine o domínio e o conjunto imagem das funções:

57. (IME – RJ) Calcule o logaritmo de 625 na base 355.

a) 2 d) 1

3,0log z, o valor de z log é:

a) 0,15 b) – 0,15 c) 0,25d) – 0,25 e) 0,6

60. (UFRJ) Seja a altura de um som, medida em decibéis. Essa altura está relacionada com a intensidade do som, I, pela expressão abaixo, na qual a intensidade padrão, I0, é igual a 10 log10 I

Observe a tabela a seguir. Nela os valores de I foram aferidos a distâncias idênticas das respectivas fontes de som:

FONTE DO SOM I (W/m2 )

Amplificador de som 1,0

Sabendo que há risco de danos ao ouvido médio a partir de 90 dB, o número de fontes da tabela cuja intensidade de emissão de sons está na faixa de risco é de:

a) 1b) 2 c) 3 d) 4

61. (FUVEST – SP) O valor da expressão

a) – 7b) – 1 c) 1 d) 2 e) 7

62. (UECE) Se 1x e 2xsão raízes da equação

c) 3d) 5

63. Resolva as inequações: a) 01log5 x

64. (EEM – SP) Qual é o conjunto solução

65. Resolva, em R, as seguintes inequações:

6. (Vunesp – SP) O corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 2 horas. Às 22h e 30 min o médico da polícia chegou e imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era 32,60 . Uma hora mais tarde, tomou a temperatura outra vez e encontrou

31,50 ; a temperatura do ambiente foi mantida constante a 16,50 . Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva seja

36,50 e suponha que a lei matemática que descreve o resfriamento do corpo é dada por

2 em que t é o tempo em horas,

D0 é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente no instante t = 0, D(t) é a diferença de temperatura do cadáver com o ambiente num instante t qualquer e é uma constante positiva. Os dados obtidos pelo médico forma colocados na tabela seguinte:

Temperatura do corpo

Temperatura do quarto

Diferença de temperatura

Considerando os valores aproximados 3,25log2 e 6,13log2 , determine:

a) a constante ;

b) a hora em que a pessoa morreu.

Francisco S. de Aguiar

67. (Ufscar – SP) A altura média de uma certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o modelo matemático

1log5,13 tth, com h(t) em metros e tem anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando o tronco atingiu 3, 5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de:

a) 9b) 8 c) 5 d) 4 e) 2
a)

Solução do exercício 6:

0,05αAssim temostparaDtD t b)

Logo, a pessoa morreu aproximadamente 3 horas antes de t = 0, isto é, aproximadamente ás 22h 30min – 3h = 19h 30min.

68. Determine para quais valores reais de x é verdadeira a sentença:

69. (Faap – SP) Resolva a equação:

2log2log2log

a) log 8b) log 12 c) log 72
d) 2loge) 108log f) 5log
g) log 0,0001h) 200log i) 3000log
60logl) 42,1log m) 5,0

71. (U.E. Londrina – PR) Quaisquer que sejam os números reais positivos a, b, c d, x e y, a expressão:

dxaydccbb a 2222loglogloglog

Pode ser reduzida a:

2logc) 1
d) 0e) 

72. (UFCE – CE) Se a 875log7, então 245log35 é igual a:

t DtD t a b)

a e)

73. Dados log 2 = 0,30; log 3 0,48; log 5 = 0,70 e log e = 0,43, resolva as equações:

a) 2x = 5 b) ex c) 5x = e d) ex – 6 = 0 e) 3x = 10 f) ex

75. (Ufop – MG) Resolva a equação 8331 x sabendo que log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771.

76. (IME – 2011) O valor de y real na equação maior que 1 é:

a) 70b) 35 c) 1 d)

Solução:

Aplicando logaritmo na base x os membros da equação e lembrando algumas propriedades de logaritmos temos:

7. (ITA – SP - 1999) Seja Ra com 1 a. Se ab2log , então o valor de log8log1 log4loglog é igual a:

Solução: Se Ra , 1 a e ab2log , temos:

b) acbcbalogloglog log 1log log

1logloglog4loglog 2 log log log8log1 log4loglog b b

7log5loglog 5log7loglog7log5log5log7log 5log7loglog7log5log7log5log log5loglog7log7log5log log7log7loglog5log5log log7log7loglog5log5log

7log5log y y y y y y y x x x x x

7log5log y y

Francisco S. de Aguiar

79. (FGV – 2010) Dados os números reais x e y, admita que y xyx . Se loglog yx é

igual a:

logb)
logc)
loge)

80. Resolvas as equações: a) 65log8log5log x

k) 81loglog9log x

81. (FGV – SP) Adotando – se os valores 30,02log e 47,03log , a raiz da equação

a) 2,15b) 2,28 c) 41 d) 2,54 e) 2,67

605 x vale, aproximadamente:

82. (PUC - MG) A soma das raízes da equação 32log5322 x é:

a) 1b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Solução:

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