Fluidos - Apostilas - Engenharia de Alimentos, Notas de estudo de Análise de Sistemas de Alimentação Assistido por Computador

Baixe Fluidos - Apostilas - Engenharia de Alimentos e outras Notas de estudo em PDF para Análise de Sistemas de Alimentação Assistido por Computador, somente na Docsity! Versão preliminar4 de junho de 2004 Notas de Aula de Física 15. FLUIDOS ...................................................................................................................... 2 DENSIDADE........................................................................................................................ 2 PRESSÃO........................................................................................................................... 2 FLUIDO EM REPOUSO .......................................................................................................... 3 O PRINCÍPIO DE PASCAL ..................................................................................................... 4 O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES ............................................................................................. 4 FLUIDOS IDEAIS EM MOVIMENTO ........................................................................................... 4 LINHAS DE CORRENTE E A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE......................................................... 5 A EQUAÇÃO DE BERNOULLI ................................................................................................. 6 O MEDIDOR DE VENTURI ..................................................................................................... 9 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ..................................................................................... 11 01................................................................................................................................ 11 05................................................................................................................................ 11 07................................................................................................................................ 12 11................................................................................................................................ 14 12................................................................................................................................ 15 15................................................................................................................................ 16 19................................................................................................................................ 17 22................................................................................................................................ 19 26................................................................................................................................ 19 27................................................................................................................................ 20 29................................................................................................................................ 21 31................................................................................................................................ 22 36................................................................................................................................ 22 47................................................................................................................................ 23 48................................................................................................................................ 24 “49”.............................................................................................................................. 25 49................................................................................................................................ 26 50................................................................................................................................ 27 53................................................................................................................................ 29 57................................................................................................................................ 30 68................................................................................................................................ 31 “73”.............................................................................................................................. 32 15. Fluidos Fluidos compreendem líquidos e gases. Os líquidos escoam sob a ação da gravidade até preencherem as regiões mais baixas possíveis dos vasos que os contém. Os gases se expandem até ocuparem todo o volume do vaso, qualquer que seja a sua forma. As moléculas em um gás não têm restrição de movimento dentro do recipiente que o contém, e podem se deslocar através de toda essa região do espaço. Já o líquido está restrito a se mover abaixo da sua superfície. Grande parte de suas moléculas não têm energia suficiente para vencer essa barreira imposta pela superfície, daí a contenção entre a sua superfície e as parede do recipiente. Na Mecânica dos Fluidos estudamos o movimento do conjunto de partículas e não o de cada partícula, como na Mecânica Newtoniana. Densidade Define-se densidade ρ de um material como a relação entre a sua massa e o seu volume. De maneira formal, analisamos apenas uma pequena porção do material de massa ∆m e volume ∆V e definimos a sua densidade como: ∆mρ= ∆V e se este material tiver uma distribuição uniforme de massa, a sua densidade será a mesma em todas as suas partes. Nesse caso teremos ρ = m/V . Pressão A pressão mede a relação entre a força aplicada a uma superfície e o tamanho da superfície considerada. Seja ∆F a força que está sendo aplicada em um êm bolo de superfície ∆A . A pressão p que esta força está exercendo no êmbolo é definida como: ∆F p = ∆A À rigor, a pressão é definida para o limite desta razão, no limite quando a área tender à zero. Ou seja: dF p =⇒ dF = p dA dA Escoamento não viscoso Grosseiramente, a viscosidade de um fluido é uma medida da sua resistência ao escoamento. Escoamento irrotacional Em um escoamento não - rotacional, um corpo não girará em torno d um eixo que passe por seu centro de massa. Vamos estudar o escoamento estacionário, incompressível, irrotacional e não - viscoso. Linhas de corrente e a Equação da Continuidade Uma linha de corrente é a trajetória de um elemento de volume do fluido. Enquanto esse elemento de volume se move, ele pode variar a sua velocidade em módulo direção e sentido. O vetor velocidade será sempre tangente á linha de corrente. Uma consequência desta definição é que as linhas de corrente nunca se cruzam, pois caso o fizessem o elemento de volume poderia ter uma das duas velocidades com diferentes direções, simultaneamente. Em um escoamento podemos isolar tubos de corrente, cujos limites são definidos por linhas de corrente. Tal tubo funciona como um Consideremos o tubo de corrente na figura ao lado, onde o fluido se move da esquerda para a direita. O tubo tem seção transversal A1e A2 nas posições indicadas e velocidades respectivas v1 e v2 . Observemos durante um intervalo de tempo ∆t o fluido que cruza a área A1 . A massa de fluido que atravessa essa superfície neste intervalo é dado por ∆m1 = ρ1 ∆V1 = ρ1 A1 ( v1 ∆t ) Como não existe fonte ou sorvedouro de massa entre A1 e A2 , essa mesma massa de fluido atravessará a superfície A2 e será dado, nesse caso, por: ∆m2 = ρ2 ∆V2 = ρ2 A2 ( v2 ∆t ) onde concluímos que: ρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2 ou seja: ρ A v = constante ao longo de um tubo de corrente. Algumas vezes a equação anterior é chamada de equação de continuidade para escoamento de fluidos. Cap 15 A2 , v2cano, porque nenhuma partícula escapa através de suas paredes - pois justamente essas paredes definem as linhas de corrente. Como as linhas de corrente não se cruzam, elas se aproximam uma das outras à medida que o tubo de corrente diminui a sua seção transversal. Desse modo o adensamento de linhas de corrente significa o aumento da velocidade de escoamento. A equação de Bernoulli A equação de Bernoulli relaciona variação de pressão, variação de altura e variação de velocidade em um fluido incompressível num escoamento estacionário. Ela é obtida como uma consequência da conservação da energia. Considere um tubo de largura variável por onde entra um fluido à esquerda e sai àdireita, como mostra a figura à seguir. À esquerda, o tubo tem seção transversal de área A1 e à direita ele tem uma seção transversal de área A2 . À esquerda, parte inferior do tubo está a uma certa altura y1 de um certo referencial e a parte superior do tubo à direita está a uma altura y2 desse mesmo referencial. Vamos considerar o movimento deste fluido que num dado instante ocupa o volume entre os planos 1 e 2 na figura à seguir, e depois de um intervalo de tempo ∆t ele passa a ocupar o volume entre os planos 1´ e 2´ . 2 2´ z O volume entre os planos 1 e 1´ é ∆V1 e o volume entre os planos 2 e 2´ é ∆V2 , onde temos que: ∆V1 = (v1 ∆t) . A1 ∆V2 = (v2 ∆t) . A2 Considere um intervalo de tempo ∆t pequeno, tal que através da superfície A1 passe uma massa ∆m1 e através da superfície A2 passa uma massa ∆m2 . Essas massas podem ser escritas como: ∆m1 = ρ1 ∆V1 = ρ1 [ (v1 ∆t ) A1 ] e de modo semelhante: ∆m2 = ρ2 ∆V2 = ρ2 [ (v2 ∆t ) A2 ] Como a massa que entra pela esquerda deve ser igual à massa que sai à direita, temos que ∆m1 = ∆m2 e como o fluido é considerado incompressível, a densidade à esquerda ρ1 é igual à densidade ρ2 à direita, logo ρ1 = ρ2 Desse modo: ∆m = ∆m1 = ∆m2 ρ = ρ1 = ρ2 ou seja: v1 A1 = v2 A2 O trabalho W realizado pelas forças externas sobre o elemento de massa ∆m é igual à variação da energia cinética dessa massa quando vai da esquerda para a direita. Uma das forças externas a esse elemento de massa é a gravidade e a outra força é uma consequência da diferença de pressão externa aplicada nas superfícies A1 e A2 . W =WG + WP = ∆K WG = trabalho realizado pela força da gravidade. WP = trabalho ralizado como uma consequência da diferença de pressão externa. 2 CC W G = ∫ F G ⋅ dl 1 2 CC W P = ∫ F P ⋅ dl 1 CC F G ⋅ dl = (− ˆj ∆mg)⋅ (jˆ dy )= −∆m g dy y 2 W = ∫ 2 (− ∆m g dy )= −∆mgy = −∆mg (y − y 1 ) G 2 y 1 1 Num intervalo de tempo ∆t , uma elemento de massa ∆m deixou a parte inferior do tubo e passou para a parte superior. Logo, o sistema armazenou energia potencial gravitacional WG = -∆m g ( y2 - y1 ) Por outro lado: CC de onde podemos concluir que: 1 p +ρ gy +ρ v 2 = cons tante 2 que é a equação de Bernoulli. O medidor de Venturi O medidor de Venturi é um aparelho usado para medir a velocidade de escoamento de um fluido de densidade ρF em um cano. O medidor é conectado entre duas seções do cano como mostrado na figura à seguir. A área A da seção transversal da entrada e da saída são iguais a área da seção transversal do cano. Entre a entrada e a saída, o fluido passa por uma região estreita de área a . Um manômetro que contém um líquido de densidade ρL conecta a parte mais larga à parte mais estreita, onde a velocidade do fluido tem um valor V , que é maior que a velocidade v na entrada do medidor. Cano C C ; A1 ; A1v1 v1 Cano ρL Vamos usar a equação de Bernoulli para analisar a variação das grandezas envolvidas. 1 p +ρgy +ρ v 2 = cons tante 2 Aplicando essa equação para esse cano, nas regiões 1 e 2 , encontramos que: 22 p + 1 ρ v +ρ g(y − h)= p + 1 ρ v +ρ g(y − h) 1 F 1 F 12 F 2 F 2 22 onde estamos tomando como referencial da energia potencial gravitacional o ponto mais alto do líquido dentro do manômetro, e desse modo podemos usar a Equação de bernoulli apenas para o fluido do cano. Esta equação pode tomar a forma: 11 p +ρ v 2 +ρ gy = p +ρ v 2 +ρ gy 1 F 1 F 12 F 2 F 2 22 (ρ gy )( +ρ gy ) 1 ρ v − 1 ρ v p +− p = 22 1 F 12 F 2 F 2 F 1 22 No interior do manômetro, as pressões se equacionam do seguinte modo: 1 ρF C v 2 ; A2 2 y2 y1 3 h 4 Prof. Romero Tavares da Silva Mas logo: IV + I AR V V = I F V V = VF = VI + VAR 1 ⇒+= I AR F I V V ρ ρ I AR V V = F I ρ ρ 1 − I AR V V = 0,08 Solução de alguns problemas Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição Encontre o aumento de pressão de um fluido em uma seringa quando uma enfermeira aplica uma força de 42N ao êmbolo da seringa, de raio 1,1cm . F = 42N p0 r = 1,1cm = 0,011m ∆p = F = F 2 = 110.487,7N/m 2 A π r p0 +∆p 1N/m 2 = 1 Pascal1atm = 1,013x10 5 Pa logo ∆p = 1,08atm Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição Um peixe controla a sua profundidade na água através do ajuste do conteúdo de ar de um osso poroso ou em um saco de ar para que a sua densidade fique igual à da água. Suponha que, com as bolsas de ar vazias, um peixe tenha a densidade de 1,08g/cm 3 . Se ele quiser reduzir a sua densidade à da água, que fração do volume do seu corpo deverá ser ocupada por ar dentro dos sacos? (Estes sacos são chamados bexigas natatórias. ρI = 1,08g/cm 3 ρF = 1g/cm 3 A densidade do peixe varia de ρI até ρF : M ρ= P I V I M + MM PAR P ρ= ≅ F VV FF Na definição de ρF levamos em consideração que a massa de ar é muito menor que a massa do peixe. A razão entre os volumes tem a forma: M P V ρρ FF I == VM ρ I PF ρ I Em 1654, Otto von Guericke, burgomestre de Magdeburg e inventor da bomba de ar, deu uma demonstração diante da Dieta Imperial em que dois grupos de oito cavalos não foram capazes de separar dois hemisférios de latão unidos, dentro dos quais se fez vácuo. a) Pressupondo que os dois hemisférios tenham paredes finas, de forma que R , na figura à seguir, possa ser considerado o raio interno e externo, mostre que a força F necessária para separar os hemisférios é F = πR 2 ∆p onde ∆p é a diferença entre as pressões interna e externa na esfera. A atmosfera exerce uma pressão (e consequentemente um força) em todos C os pontos dos dois hemisférios, mas F apenas a componente z dessa força 0 "empurra" um hemisfério contra o outro. As componentes x e y dessa força são nulas. Isso pode ser percebido se observar mos que para cada elemento de força C dF existe atuando um outro elemento C dF ′ simétrico em relação ao eixo z . C As componentes x e y de dF ′ anu larão as componentes equivalentes de C dF . No entanto, somar-se-ão as com ponentes z dessas forças elementares simétricas. C dF é um vetor radial, ou seja: C dF =−rˆ dF As suas componentes cartesianas são: 1 ρF C v 2 ; A2 2 y2 y1 3 h 4 Prof. Romero Tavares da Silva Mas logo: IV + I AR V V = I F V V = VF = VI + VAR 1 ⇒+= I AR F I V V ρ ρ I AR V V = F I ρ ρ 1 − I AR V V = 0,08 Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição dFX = - dF senθ cosϕ dFY = - dF senθ senϕ dFZ = - dF cosθ A força líquida F é a diferença entre as forças internas e externas: F= F0 - F1 = πR 2 (p0 - p1) = πR 2 ∆p b) Fazendo R = 30cm e a pressão interna igual a 0,10atm , encontre a força que os cavalos teriam de exercer para separar os hemisférios. R = 30cm = 0,30m p0 = 1atm = 1,013x10 5 Pascal p1 = 0,1atm = 1,013x10 4 Pascal ∆p= p0 - p1 = 0,9atm = 91.170Pa F = 25.777,7 Newtons Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição Uma piscina tem as dimensões 24m x 9m x 2,5m . a) Quando ela está cheia de água, qual é força (devido somente à água) sobre o fundo, nas extremidades e nos lados? H = 2,5m L = 9m C = 24m A pressão no fundo da piscina é dada por: H C P = ρ g H Logo, a força total no fundo será: L F = P A = (ρ g H) (L C) h =0 F = ρ g V F = (10 3 kg/m 3 )(10m/s 2 )(2,5 . 9 . 24 m 3 ) h = HF = 5,4 x 10 6 N L A pressão a uma profundidade genérica h é dada por: P = ρ g h A força lateral em uma superfície dA ao longo desta profundidade e associada a essa pressão tem a forma: dFL = P dA = P (L dh) = ρ g L h dh e portanto, a força lateral é dada por: H ρ g LH 2 F = ∫ ρ g Lhdh = L 2 0 FL = 2,8 x 10 5 N Como temos duas superfícies laterais iguais: 2 FL = 5,6 x 10 5 N A força ao longo do comprimento é dada por: H ρ g CH 2 F = ∫ ρ g Chdh = C 2 0 FC = 7,4 x 10 5 N Como temos duas superfícies laterais iguais: 2 FC = 1,4 x 10 6 N b) Se você estiver preocupado com o fato das paredes e pisos de concreto se quebrarem, seria apropriado levar em conta a pressão atmosférica? Porque? Sim, por causa do princípio de Pascal. A pressão que a atmosfera exerce na superfície se transmite para todos os pontos da água, inclusive os lados e o fundo. Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição a) Encontre o peso total da água em cima de um submarino nuclear, a uma profundidade de 200m , supondo que o seu casco (corte da seção transversal) tenha a área de 3000m 2 . Submarino A = 3000m 2 h = 200m ρS = 1,03g/cm 3 = densidade da água do mar p = ρS g h F = p A = ρS g h A F = (1,03x10 3 kg/m 3 )(10m/s 2 )(200m)(3000m 2 ) F = 6,16 x 10 9 N A = Seção transversal do submarino h1 A + h2A = 2 h A ou seja: h 1 + h 2 h = 2 A energia potencial gravitacional final do conjunto será: UF = U(h) + U(h) = 2 U(h) ou seja: 2 2 ⎡ρAgh 2 ⎤ρAg h + h ⎞ h + h ⎞ 1 2 12 U F = 22 ⎟⎥=ρAg⎜⎟ ⎢⎥ = 2 ⎦ 2 2 ⎠ 2 ⎠ ⎣ ρA g 2 2 2 2 ∆ U = U − U = [ ( h + h + 2 h h ) − 2 ( h + h )] FI 1212 12 4 ρAg 22 ∆U = {− h − h + 2hh 2 } 12 1 4 ρ A g ∆ U = − 4 ( h 2 − h 1 ) 2 Mas ρ A g ) 2 W = − ∆ U = ( h − h 4 2 1 Capí tulo 15 - Halli day, Res nick e Walk er - 6 a . ediç ão A água se encontra a uma profundidade D abaixo da face vertical de um dique, com ilustra a figura à seguir. a) Encontre a força horizontal resultante exercida no dique pela pressão manométrica da água. Vamos considerar a força elementar dA exerci sobre o dique por uma lâmina de líquido represado. Essa lâmina está a uma profundidade h e nessa profundidade existe uma pres onde W é a largura do dique e dh é a espessura da lâmina. são p exercida pelo líquido . Desse D modo: dF = p dA = p W dh Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição Um pistom de área menor a é usado em uma prensa hidráulica para exercer uma pequena força f num líquido confinado. Um tubo o conecta com um outro pistom maior de área A . a) Que força F o pistom maior sustentará? C Usando o princípio de Pascal, a força aplicada f produz no líquido uma varia- f C F ção de pressão dada por: a A fF A ⎞ ∆p == ⇒ F = ⎟f a A a Se o pistom da menor se mover de d , o pistom maior mover-se-á de D , mas os volumes associados a esses movimentos serão os mesmos. Ou seja: a ⎞ V = ad = AD ⇒ D = d A O trabalho Wf executado pela força f será: a ⎞⎛A ⎞ W f = fd =⎜F ⎟⎜D ⎟= FD = W F A ⎠ a e portanto as duas forças fazem o mesmo trabalho. b) Se o pistom pequeno tem um diâmetro de l = 3,8cm e o grande de L = 53cm , que peso no pistom pequeno sustentará 2 toneladas no pistom maior? L ⎞ 2 2 A 2 ⎠ L ⎞ F = f = f 2 = f ⎜ a l ⎞ l ⎠ 2 Como F = M g e f = m g , temos que: l 2 ⎛ m = M ⎜ = 10,28kg L Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição 26 Um objeto cúbico de dimensão L = 0,6m de lado e massa M = 450kg é suspenso por um fio em um tanque aberto com líquido de densidade ρ = 1030kg/m 3 . a) Encontre a força total para baixo, exercida pelo líquido e pela atmosfera sobre o objeto. Cap 15 www.fisica.ufpb.br/~romero 19 L = 0,6m M = 450kg ρ = 1030kg/m 3 p0 = 1atm = 1,013x10 5 Pascal L/2A força total FS exercida pelo líquido na parte superior do objeto é: L L ⎞ F = pA = p +ρg ⎟L 2 SS 0 2 FS = 37.580,4N b) Encontre a força total para cima, na base do objeto. C C T 3L F S F I = p I A = p 0 +ρg ⎟L 2 2 FI = 39.805,2N c) Encontre a tensão no fio. C F I T = P + FS - FI L ⎞ 3L ⎞ 2 23 T = Mg + p 0 +ρg ⎟L p 0 +ρg ⎟L = Mg −ρ Lg 2 ⎠ 2 T = 450.10 -39.805,2 + 37.580,4 = 4500 -2.224,8 T = 2.275,2N d) Calcule o empuxo sobre o objeto, usando o Princípio de Arquimedes. E = (ρ V) g = ρ L 3 g = (1030kg/m 3 ) (0,6m) 3 (10m/s 2 ) E = 2.224,8N e) Qual a relação existente entre todas essas quantidades? VE ⎞ M E g = ⎜ρ L g 2 logo: 14 3 M =ρ πR ⇒ M = 1,22kg ELE E 23 b) Calcule a densidade do material de que ele é feita. MM M EE E ρ== = V V E −V I 3 E 4 π(R − R 3 ) 3 EI ρE = 1342,18kg/m 3 Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 4 a . edição Uma lata tem volume de 1200cm 3 e massa de 130g . Quantos gramas de balas de chumbo ela poderia carregar sem que afundasse na água? A densidade do chumbo é 11,4g/cm 3 . V = 1200cm 3 ML = 130g ρPb = 11,4g/cm 3 ρA = 1g/cm 3 (densidade da água) A lata tem um volume interno V e está flutuando. Que massa MPb de chumbo pode ser colocada em seu interior? O peso total da lata mais balas de chumbo tem de ser igual ao empuxo exercido pela água na lata. Ou seja: (MPb + ML) g = E Usando o Princípio de Arquimedes, o empuxo será igual ao volume do fluido deslocado, logo: E = (ρA V) g ⇒ (MPb + ML) g = (ρA V)g ou seja: MPb = ρA V - ML = 1200g - 130g MPb = 1070g Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição Três crianças, cada uma pesando 356N , constroem uma jangada amarrando troncos de diâmetro 0,30m e comprimento 1,80m . Quantos troncos serão necessários para que a jangada as sustente? Considere a densidade da madeira como sendo 800kg/m 3 . P = 356N ρM = 800kg/m 3 d = 0,30m ρA = 1000kg/m 3 L = 1,80m Seja VT o volume de cada tronco. Desse modo: d ⎞ 2 3 V T = L = 0,12m 2 Como a jangada será construída com N troncos, o volume V da jangada será: V = N VT Para que a jangada flutue com carga máxima, vamos considerar que ela ficará completamente submersa. Neste caso, o empuxo será: E = (ρA V) g E a jangada suportará o seu próprio peso mais o peso das crianças: (ρA V) g = (ρM V) g +3P ou seja: ρ M 3P 3P V = V +⇒ V = ρρ gg(ρ −ρ M ) AA A Mas 3P V = NV T ⇒ N = Vg(ρ −ρ M ) IA N = 4,45 Será necessário um número de toras maior que quatro. Supondo que a jangada será construída com um número inteiro de toras, serão necessários cinco troncos para a construção da jangada. Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição Um tanque de grande área é cheio de água a uma profundidade de 0,30m . Um buraco de área A = 6,5cm 2 no fundo do tanque permite que a água escoe. a) A que taxa a água flui pelo buraco? D = 0,30m A = 6,5cm 2 = 6,5x10 -4 m 2 Vamos usar a Equação de Bernoulli: 1 p +ρ gy +ρ v 2 = cons tante 2 nos pontos 1 na superfície da água dentro do tanque e o ponto 2 no buraco no fundo do tanque: O fluxo de ar em torno da asa de um avião tem qualitativamente a forma desenhada ao lado. Devido ao seu formato, existe um adensamento das linhas de corrente acima da asa, e portanto a velocidade nesta região é maior que a velocidade abaixo da asa. Usando a equação de Bernoulli, iremos calcular quais as consequências deste desenho peculiar de uma asa no que diz respeito à força de sustentação de um avião: 1 p +ρ gy +ρ v 2 = cons tante 2 Aplicando essa equação para em ponto na parte superior da asa e para um outro ponto na sua parte inferior: 11 p +ρ gy +ρ v 2 = p +ρ gy +ρ v 2 C CCB BB 22 ou seja: 22 ∆p = p − p = 1 ρ(v − v )+ ρg(y − y B ) BC CBC 2 Como a diferença de energia potencial gravitacional é desprezível frente a outras diferenças de energia presentes na equação, podemos escrever que: L 11 22 2 ∆p = =ρ(v C − v B )⇒ L =ρA(v C − v B 2 ) A 22 Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 4 a . edição “49” Coloca-se um béquer de vidro, parcialmente cheio de água, em uma pia, conforme a figura à seguir. Ele tem massa de 390g e um volume interno de 500cm 3 . Come-ça-se, então, a encher a pia com água e verifica-se por experiência que, se o béquer estiver com água até menos da metade, flutuará; mas se a água nele estiver acima da metade, permanecerá no fundo da pia até a água alcançar as suas bordas. Qual a densidade do material de que é feito o béquer? MB = 390g = 0,39kg VI = 500cm 3 = 0,0005m 3 Vamos considerar o caso limite, onde o nível da água da pia atingiu a borda do béquer, que tem metade do volume interno ocupado com água. O peso do conjunto água + béquer será: P = (MA + MB) g = (ρA VI /2 + MB) g O empuxo será E = (ρA VE) g onde VE é o volume externo do béquer. Além disso, a densidade do béquer será dada por: M B ρ B = V E −V I No caso limite, o empuxo E será igual ao peso P , e portanto teremos: (ρA VE) g = (ρA VI /2 + MB) g V I M B +ρ A M B V I 2 V E = =+ ρ A ρ A 2 Mas M B M B ρ= ⇒ V =+ V B EI V −V ρ EI B ou seja: MVM BI B V = += +V E ρ A 2 ρ B I ou ainda: MMV M BBI B =+ ⇒ρ B = = 2,79g/cm 3 A ρB 2 MB VI − ρ A 2 Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição Se a velocidade de escoamento, passando debaixo de uma asa, é 110m/s , que velocidade de escoamento na parte de cima criará uma diferença de pressão de 900Pa entre as superfícies de cima e de baixo? Considere a densidade do ar 22 S2 dt Mas, neste problema, se observa que a vazão de massa é a mesma nos dois furos, logo: dm 1 dm 2 = ⇒ρ Av =ρ Av 11 S1 22 S2 dt dt Quando consideramos que v é a velocidade com que o líquido flui através do orifício de área a , podemos usar a equação da continuidade para concluir que: ρAv S =ρav Se usarmos esse resultado para cada um dos tanques, encontramos que: ⎧ρ Av =ρ av 11 S1 111 ⎪ ⎪ ρ Av =ρ av 22 S2 222 usando a igualdade da vazão das massas, temos: ρ1 a1 v1 = ρ2 a2 v2 (1) Aplicando a equação de Bernoulli para o tanque 1 , considerando a superfície e um ponto do orifício, temos que: 11 p +ρ v 2 +ρ gh = p +ρ v 2 S11 S11 111 22 e levando em conta que a pressão pS1 na superfície é a mesma pressão p1 em um ponto do orifício, temos que: v 2 = v 2 + 2gh 1 S1 Como a lâmina do líquido é muito grande, ou seja A >> a , a velocidade vS1 que o nível do líquido diminui é muito menos que a velocidade v1 desse líquido es capando pelo orifício, logo: v 1 = Toda essa argumentação anterior é válida para o tanque 2 , e portanto: v 2 = Usando as equações (2) e (3) na equação (1) , encontramos que: ρ av ρ a 12212 1 = ∴= ρ av ρ a 2gh ρ 21122 2 2 2gh (2) 2gh (3) 2gh ρ ⇒= 2 b) Qual é a razão entre as vazões dos dois tanques? R = A v = vazão Logo: R av 1 1 11 == R av 2 2 22 Seja dV o elemento de volume que flui através do orifício, em um intervalo de tempo dt . temos então que: dV = (v dt) A Considerando que a velocidade com que o a água fluirá será constante, tendo em vista o volume do dique em comparação com o tamanho do orifício, temos que: V = v t A Vamos relacionar um ponto da superfície da água do dique (3) com um ponto na saída do tubo horizontal (2) . 12 12 p +ρ gy +ρ v = p +ρ gy +ρ v 3 332 22 22 Considerando que a área transversal do tubo é muito menor que a lâmina d’água do dique, usando a equação da continuidade, podemos aproximar que a velocidade que o nível da água do dique vai baixar com uma velocidade muito menor que a velocidade do fluxo d’água no tubo. Desse modo, temos que v3 ≈ 0 1 2 p 3 +ρ gy 3 = p 2 +ρ gy 2 +ρ v 2 2 Considerando que p3 = p2 = p0 12 ρv =ρg(y − y )= ρgh ⇒ v = 232 2 2 O volume que fluirá será dado por: V = tA Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição Um tubo de Pitot, como esquematizado na figura à seguir, é usado para determinar a velocidade de um avião em relação ao ar. Consiste em um tubo externo com um número de pequenos furos B (são mostrados quatro na figura); o tubo é conectado a um dos braços de um outro tubo em U , cujo segundo braço está conectado a um buraco, A , na parte frontal do aparelho, que se alinha com a direção de vôo do avião. Em A , o ar fica parado, logo vA = 0 . Em B , entretanto, a velocidade do ar presumidamente se iguala à velocidade do avião relativa ao ar. Use a equação de Bernoulli para mostrar que 2gh 2gh = 147,17m 3 onde v é a velocidade do avião em relação ao ar e ρ é a densidade do líquido dentro do tubo em U . Considerando a diferença de pressão entre os dois níveis do líquido dentro do tubo em U , temos que: p2 = p1 + ρ g h p2 Mas, usando a equação de Bernoulli, encontramos que: 1 ∆p =ρ AR v 2 =ρgh ∴ v = 2 ρ AR Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 6 a . edição - Suplemento Um sifão é um aparelho usado para remover líquido de um recipiente. Seu funcionamento é mostrado na figura à seguir. O tubo ABC necessita estar inicialmente cheio, mas uma vez que isso tenha sido feito, o líquido fluirá através do tubo até que o nível do líquido no recipiente esteja abaixo da abertura A . O líquido tem densidade ρ e viscosidade desprezível. a) Com que velocidade o líquido sai do tubo em C ? B A equação de Bernoulli tem a forma: 1 h 1 p + ρ g y + ρ v 2 = c o n s t a n t e 2 D d U s a n d o e 2ρgh Ap AR+ 2 1 ρ v 2 = Bp Se pA⎪ ≈ 1p ⎪ ⇒ p ∆ = p B − p A = 2 p − 1 p pB ⎪ ≈ 2p ⎪ ou seja: Capítulo 15 - Halliday, Resnick e Walker - 4 a . edição “73” As janelas de um prédio de escritórios tem dimensões de 4m x 5m . Em um dia tempestuoso, o ar passa pela janela do 53 0 andar , paralelo à janela, a uma velocidade de 30m/s . Calcule a força resultante aplicada na janela. A densidade do ar é 1,23kg/m 3 . Cap 15 v2 = 30m/s = 108km/h Iremos usar a equação de Bernoulli, equacionando um ponto dentro e outro fora do escritório: 1 p +ρ gy +ρ v 2 = cons tante 2 Dentro ou seja: 11 p +ρ gy +ρ v 2 = p +ρ gy +ρ v 2 2 1 1 112 22 22 Como os pontos estão no mesmo nível y1 = y2 , e como o ar dentro do escritório está parado v1 = 0 , temos que: 1 ∆p = p − p =ρ v 2 12 2 2 Mas 1 F =A ∆p = 2 ρAv 2 2 = 11.070Newtons