Baixe Conjunto dos Números Reais e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Profª. Suely Trevisam Araújo Conjunto dos Números Reais Objetivos Conceituar o conjunto de números reais, indicando suas propriedades e operações válidas. Definir potenciação e radiciação, suas propriedades e operações válidas. Tópicos 1. Conjuntos de números reais 2. Potenciação 3. Radiciação 4. Simplificação de radicais 5. Operações com radicais 1. Conjuntos de números reais OBJETIVO Definir o conjunto de números reais, indicando suas propriedades e operações válidas. Da união do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais surge um importante conjunto: o dos números reais (R). Portanto, Q {irracionais} = R Podemos também representar o conjunto dos números reais pela reta numerada. Cada número real corresponde a um ponto da reta. Quando aparece R*, lêse conjunto dos números reais sem o zero. Logo, R* = R {0}. Representamos o conjunto dos números reais não negativos por R + e o conjunto dos números reais não positivos por R . Operações em R Em R valem as operações e as propriedades estudadas em Q. Dentre as propriedades da multiplicação estudadas em Q, convém lembrar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração. a . ( b + c) = a . b + a . c (b + c) . a = a . b + a . c Exemplos: 1º) 3 . (2 + x) = 3 . 2 + 3 . x = 6 + 3x 2º) (x 4) . 5 = x . 5 4 . 5 = 5x 20 1.1 Glossário Números racionais Conjunto de todos os números que podem ser escritos na forma , com a e b inteiros, sendo b 0. Números I rracionais Os números em que a representação decimal não é exata nem periódica são chamados de números irracionais. Existem números irracionais que podem ser representados com radical e outros que recebem símbolos especiais. Exemplos: 5,020020002..., 0,12131415..., , , , ... É importante lembrar que nem todos os números que vêm sob radical são números irracionais. Números negativos dentro de um radical de índice par não são números irracionais. Exemplos: a) conjunto dos números irracionais b) conjunto dos números irracionais Esses tipos de números são chamados complexos. 1.2 Saiba Mais Curiosidades matemáticas A origem da álgebra De 786 a 809, no reinado do Califa Harun alRaschid (o mesmo das Mil e uma noites), os muçulmanos promoveram um grande desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos. Em 809, com a morte de alRaschid, seu filho alMamum assumiu o trono e governou até 833. Al Mamum criou em Bagdá um centro de ensino e contratou os mais brilhantes sábios muçulmanos da época. Entre eles, estava Mohamed Ibn Musa alKhowarizmi, grande matemático, que escreveu um livro chamado aljabr, que significa restauração e referese à mudança de termos de um lado para outro de uma equação. Provavelmente, o termo álgebra se originou do título desse livro. A passagem para uma álgebra completamente simbólica foi obra de René Descartes, grande matemático e filósofo francês, que introduziu algumas inovações para aperfeiçoar a disciplina. Fonte: http:/ / www.matematica21e.cjb.net 2. Potenciação OBJETIVO Definir potência e potenciação, suas propriedades e operações válidas. Dáse o nome de potência a um produto de fatores iguais. Exemplo: 4 . 4 . 4 indicase por 4 3 . De forma geral, indicase a potência por a n c) Potência de uma raiz d) Raiz de um radical 3.1 Saiba Mais Desafios matemáticos 1. Oito bolinhas de gude têm o mesmo tamanho, a mesma cor e a mesma forma. Sete delas têm o mesmo peso e a restante é a mais pesada. Usando uma balança com dois pratos, como você encontrará a bolinha mais pesada efetuando somente duas pesagens? Resposta: Pegamse seis bolinhas e põemse três em cada prato da balança. Se o peso for igual, isso significa que uma das duas bolinhas que faltam é a mais pesada, bastando então fazer a segunda pesagem (uma em cada prato). Caso haja uma diferença na primeira pesagem, pegamse as três bolas do prato mais pesado e escolhemse duas à sorte: a) se o peso for igual, a bolinha mais pesada é a terceira; b) se o peso for diferente, ao prato mais pesado corresponde a bolinha mais pesada. Fonte: http:/ / www.matematicaemevidencia.hpg.ig.com.br/ indexpage80.html 2. Você decidiu ir para a cama às 8 horas da noite, na sextafeira. Após dar corda no relógio, você acertou o despertador para as 9 horas da manhã seguinte. Quantas horas você dormiu? Resposta: 1 hora apenas, pois, relógio de corda não sabe distinguir 9h de 21h. Fonte: http:/ / www.matematicaemevidencia.hpg.ig.com.br/ indexpage3.html 4. Simplificação de radicais OBJETIVO Explicar como se efetua a simplificação de radicais. Quando o radicando possui um fator de expoente múltiplo do índice, esse fator pode ser colocado fora do radical (propriedade A dos radicais). Exemplos: 1º) 2º) Vale destacar: para percorrer o caminho inverso, isto é, para introduzir o fator no radical basta elevar ao expoente doíndice e multiplicar o produto pelo radicando. Exemplos: 1º) 2º) 3º) Radicais semelhantes Dois ou mais radicais que têm o mesmo índice e o mesmo radicando chamamse radicais semelhantes. Exemplos: 1º) e 2º) , e Exemplos de radicais não semelhantes: 1º) e (índices diferentes) 2º) e (radicandos diferentes) Observação: tomemos os radicais e . Extraindose um fator do radical (simplificando o), temos: Logo, os radicais e são semelhantes. Outro exemplo: Simplificando e , temos: e Logo, podese concluir que e são semelhantes. Redução de radicais ao menor índice comum Regra: a) Determinase o m.m.c. dos índices dos radicais dados. O m.m.c. encontrado é o índice comum. b) Dividese o m.m.c. pelo índice de cada um dos radicais dados e multiplicase o resultado pelo expoente do radicando do radical correspondente. O resultado é o novo expoente do radicando. Parece complicado? Tenha certeza de que não é. Acompanhe a regra através dos exemplos abaixo: 1º) ; ; a) calcule o m.m.c. dos índices (3, 6, 2) = 6 b) O m.m.c. 6 será dividido pelos índices 3, 6 e 2; isto é 6 : 3 = 2; 6 : 6 = 1; 6 : 2 = 3; logo, ; ; = ; ; 2º) ; m.m.c. (3, 5) = 15 15 : 3 = 5; 15 : 5 = 3; logo, ; = ; 4.1 Saiba Mais Matemática com Humor Uma correção exemplar A) EXERCÍCIO: 6 + 7 = ? B) RESPOSTA DO ALUNO: 6 + 7 = 18 C) ANÁLISE: A grafia do número seis está absolutamente correta. O mesmo se pode concluir quanto ao número sete. O sinal operacional + indicanos, corretamente, que se trata de uma adição. Quanto ao resultado, verificase que o primeiro algarismo (1) está corretamente escrito – corresponde ao primeiro algarismo da soma pedida. O segundo algarismo pode muito bem ser entendido como um três escrito simetricamente – reparese na simetria, considerandose um eixo vertical! Assim, o aluno enriqueceu o exercício recorrendo a outros conhecimentos... A sua intenção era, portanto, boa. D) AVALIAÇÃO: Do conjunto de considerações tecidas nesta análise, podemos concluir que: A atitude do aluno foi positiva: ele tentou! Os procedimentos estão corretamente encadeados: os elementos estão dispostos na ordem precisa. Nos conceitos, o aluno só se enganou (?) num dos seis elementos que formam o exercício, o que é perfeitamente negligenciável. Na verdade, o aluno acrescentou uma maisvalia ao exercício ao trazer para a proposta de resolução outros conceitos estudados – as simetrias –, realçando as conexões matemáticas que sempre coexistem em qualquer exercício... Em conseqüência, podemos atribuirlhe um "EXCELENTE" e afirmar que o aluno "PROGRIDE ADEQUADAMENTE"!!! Fonte: http:/ / www.reniza.com/matematica/ humor/ avaliacao.htm 5. Operações com radicais OBJETIVO Explicar como se efetuam as operações com radicais: adição, subtração, multiplicação e divisão. A ) Adição e Subtração Só podemos adicionar ou subtrair radicais semelhantes, ou seja, as unidades devem ser obrigatoriamente iguais. Regra Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, basta adicionar ou subtrair, algebricamente, os fatores externos de cada radical, conservando o radical: