TCC - Vitor Dias do Vale - Teorema de Castigliano

TCC - Vitor Dias do Vale - Teorema de Castigliano

(Parte 2 de 4)

Boley (2008) expõe ainda que outros marcos históricos de princípios energéticos deste tipo forão a comprovação, por Clapeyron, em 1827, do princípio da conservação do trabalho, igualando o trabalho realizado pelas forças externas aplicadas com o trabalho interno realizado pelas tensões; desenvolvimento por Menabrea de seu princípio do menor esforço, e comprovação independente de Cotterill (desconhecido para Castigliano) dos Teoremas de Castigliano.

Robertson (1997) afirma que a seguinte proposição foi a feita por Castigliano em sua primeira dissertação, e que posteriormente passou a ser chamada de Teorema de Castigliano, em sua homenagem:

a derivada parcial da energia de deformação, considerada como uma função das

forças aplicadas que atuam sobre uma estrutura linear elástica, com relação a uma dessas forças, é igual ao deslocamento na direção do ponto de aplicação da força.” (subcitação: B A Boley, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990))

Robertson (1997) afirma ainda que, os resultados de Castigliano adotavam o princípio do menor esforço como sendo um caso especial, e isso o levou a uma disputa com Luigi Frederico Menabrea, disputa na qual Castigliano não se saiu tão bem quanto ele esperava.

Para Boley (2012) está claro que o princípio de Menabrea pode ser considerado como incluso nos teoremas de Castigliano, porém as provas apresentadas por Menabrea na época, não foram satisfatórias para comprovar sua tese e foram de fato repetidamente modificadas por ele devido às várias críticas sofridas. A nova demonstração de Menabrea sobre o seu princípio foi dada por ele em 1875 com base em alguns dos resultados recém-publicados por Castigliano, que, no entanto, foram referidos apenas em nota de rodapé. Castigliano opôs fortemente a essa falta de reconhecimento suficiente em uma carta cheia de indignação juvenil enviada ao presidente da Accademia dei Lincei, hoje conhecida como Accademia Nazionale dei Lincei. Menabrea respondeu nos tons fundamentados e um tanto condescendente, típicos de um estadista mais velho, ressaltando a prioridade de seu trabalho. O matemático e engenheiro Luigi Cremona, atuando como presidente de uma reunião da Academia, deu uma sentença salomônica sobre a polêmica, afirmando que ele acreditava que a denúncia de Castigliano não estava suficientemente fundamentada, afirmando que o teorema em questão seria o resultado da obra de ambos os autores, e que as provas não estavam cem por cento livres de objeções. Deduzindo que não havia objeto para disputa, e concluindo ainda que Castigliano pode ter tido a honra de ter feito um bom trabalho, porém, ninguém seria capaz de tirar de Menabrea o mérito de ter tornado popular e de uso comum um princípio geral, que estaria certamente destinado a receber uma aplicação mais extensa.

Outras contribuições menores de Castigliano foram um “manual do engenheiro”; estudos sobre a teoria da lamina e torção em molas (publicado em um livro, em Viena, 1884.), em arcos de alvenaria, no golpe de aríete, e a invenção de um tipo de extensômetro (Boley, 2012).

Boley (2012) comenta ainda que a principal obra de Castigliano, embora não isento de falhas conceituais, representou um avanço definitivo em relação à de seus antecessores. Para avaliar a importância de sua contribuição, no entanto, é importante notar que, embora haja alguma validade na atribuição de popularização dos métodos de energia à Menabrea, por Cremona, é precisamente neste aspecto que se destaca Castigliano. Ele resolveu um número surpreendente de problemas estruturais importantes por seus métodos, afirmando através de comparações com soluções previamente conhecidas, a superioridade e exatidão de seus métodos, estabelecendo de uma vez por toda a sua conveniência e versatilidade. Como ele afirma no prefácio de sua obra “Théorie de l’équilibre des systèmes élastiques, et ses applications”, este foi realmente um de seus objetivos explícitos, e o sucesso que ele alcançou é notável devido à sua curta carreira (morrendo aos trinta e seis) mesmo com a ausência de fortes laços acadêmicos.

18 3 O TEOREMA DE CASTIGLIANO

Na abordagem de Norton (2010), o Tefiguraorema de Castigliano é dado como um método de caráter mais prático do que a maioria dos outros métodos para cálculo de deflexão de vigas, por ser um método energético, ressaltando que o Teorema de Castigliano configurase como um dos mais utilizados para o cálculo de deflexão de vigas sendo, tal método, também capaz de solucionar casos de vigas estaticamente indeterminadas. Norton expõe ainda que, o princípio que norteia o Teorema de Castigliano está no fato de que quando um corpo elástico sofre deslocamento devido à aplicação de uma determinada força, torque ou momento, uma energia é armazenada nesse corpo em forma de tensão. Para pequenos deslocamentos em vários tipos de geometria, a relação entre a força, momento ou toque aplicado e o deslocamento resultante pode possuir um caráter linear conforme o mostrado na figura 2.

Figura 2 – Energia armazenada em uma mola

Fonte: NORTON, 2010

Essa relação também pode ser chamada de razão de mola do sistema (k). A área dentro da curva de deflexão do carregamento corresponde à energia de deformação U armazenada. Quando a relação é linear, tal área corresponde à área do triangulo, que em termos equacionais corresponde a (NORTON, 2010):

onde Pi corresponde ao carregamento aplicado e δi ao deslocamento.

Norton expõe ainda que Castigliano observou que quando um corpo é elasticamente fletido por uma carga qualquer, a deflexão na direção em que o carregamento é aplicado é igual à derivada parcial da energia de deformação com relação à carga. Sendo U a energia de deformação, Q um carregamento qualquer, e δ um certo deslocamento, tem-se que:

Ao expor o Teorema de Castigliano, Rocha (1969) considera uma viga sujeita a várias forças P, que realizam um trabalho de deformação na viga em questão, sendo essa deformação igual à energia interna adquirida pela peça, ou energia de deformação (U). Se um acréscimo infinitesimalmente pequeno for introduzido em uma das forças atuantes na viga (Pi, por exemplo), a energia interna também sofrerá um acréscimo, o qual será equivalente a:

Dando sequência à explicação de Rocha, se o processo inverso for feito, ou seja, se a mesma viga estiver previamente sujeita à força infinitesimalmente pequena dPi e em seguida todas as forças P forem aplicadas, essas cargas realizaram um trabalho de deformação na peça causando um deslocamento δi na direção da força Pi. Sendo assim, o trabalho total realizado após a adição das forças P, será o trabalho previamente existente resultante da força dPi mais o trabalho de deformação das forças P. Dessa forma, o acréscimo da energia interna devido ao acréscimo na força Pi, corresponderá ao trabalho de dPi realizado com a aplicação das forças P.

∂ Pi d Pi=d Pi.δi

O que corresponde ao Primeiro Teorema de Castigliano: “A derivada parcial da energia interna em relação a uma força qualquer aplicada é igual ao deslocamento que se realiza na direção da força considerada”.

Porém, atribuindo-se um deslocamento infinitesimalmente pequeno δi ao sistema carregado com forças P na direção de uma força qualquer, como Pi, o acréscimo de energia interna será:

∂δi d δi=Pi.d δi

O que corresponde ao Segundo Teorema de Castigliano: “A derivada parcial da energia interna em relação a um dos deslocamentos da peça, é igual à força aplicada na direção do deslocamento considerado”.

Rocha (1969) ressalta que a condição de aplicabilidade desses teoremas é que tanto a força P1 quanto o deslocamento δi sejam variáveis independentes, ou seja, ao se fazer um acréscimo em Pi ou δi as outras forças ou deslocamentos não devem se modificar. Sendo também válida a lei da superposição dos eventos.

Uma explicação mais detalhada sobre o Teorema de Castigliano é dada por Popov (1978), ao afirmar que a energia de deformação de um dado corpo pode ser expressa por uma

função quadrática das forças externas P1, P2,..., Pk,..., Pn, M1,, Mp, isto é:

Dando continuidade ao raciocínio de Popov, supondo-se que essa energia corresponda à energia de deformação de um corpo como mostrado na Fig. 3(a), o aumento infinitesimal nessa função (dU), para um aumento infinitesimal em todas as forças aplicadas dPk e dMm, decorre da aplicação da regra da cadeia na diferenciação. Isso resultará em:

dMp(3.7)

∂M p Figura 3 – Sequências possíveis para aplicação de carga em um sistema elástico

Fonte: POPOV, 1987

Nessa expressão os ∂P e os ∂M são usados, por Popov (1978), no lugar da notação diferencial ordinária, para enfatizar a independência linear dessas quantidades. Desse ponto de vista, se apenas a força Pk variasse de uma quantidade dPk, Fig. 3(b), o incremento de energia de deformação seria:

Dessa forma, como o trabalho das reações é zero, a energia total de deformação U'

2 correspondente à aplicação de todas as forças externas e dPk, Fig. 3(c), é:

Analogamente a explicação da equação 3.9, Popov (1978) formula uma nova equação invertendo-se a sequência de aplicação da carga, como se pode constatar nas figuras. 3(a),

forças P1, P2,, Pk , . . . , Mp é afetado pela presença de dPk. Por outro lado, durante a

3(b) e 3(d). Aplicando-se dPk primeiro, provoca-se um deslocamento infinitesimal dδk. Para um corpo linearmente elástico, o correspondente trabalho externo de dPk δk /2, pode ser desprezado porque é de segunda ordem. Além disso, o trabalho externo We realizado pelas aplicação dessas forças, a força dPk realiza trabalho ao se mover de δk, na direção de Pk. Esse trabalho adicional é igual a (dPk)δk. Dessa forma, o trabalho total W'e realizado pelo sistema externo de carregamento, incluindo o trabalho efetuado por dPk, (figura 3(d)), é:

W'e=We+(dPk)δk(3.10)

Essa relação pode ser igualada à equação. 3.9, porque a ordem de aplicação da carga não interfere no resultado final, e o trabalho externo é igual à energia interna de deformação:

)dPk(3.1)

∂ Pk Simplificando, tem-se:

(3.12)

Resultando finalmente no Primeiro Teorema de Castigliano, igual ao exposto por

Rocha (1969). Norton (2010) também afirma que, a relação proposta por Castigliano pode ser aplicada a qualquer carregamento seja ele axial, deflexão, cisalhamento ou torção. Se mais de um desses casos existirem em um mesmo corpo analisado, seus efeitos podem ser sobrepostos

23 usando a equação de Castigliano para cada caso e somando-se os resultados em seguida.

3.1 Teorema de Castigliano pelo Princípio da Energia Potencial Estacionária

Boresi (1993) expõe que também é possível chegar ao Teorema de Castigliano através da utilização do conceito de Coordenadas Generalizadas. E, desde que as seções transversais planas dos membros analisados se mantenham planas, as alterações nas coordenadas generalizadas indicaram translação e rotação da seção transversal do membro.

Para expor o Teorema de Castigliano pelo Princípio da Energia Potencial Estacionária, Boresi (1993) apresenta um sistema com um número finito de graus de liberdade que se

encontra em configuração de equilíbrio (x1, x2,, xn) de forma que um deslocamento virtual é
imposto a tal sistema de forma que sua nova configuração passa a ser (x1 + dx1, x2 + dx2,, xn
+ dxn), onde (dx1, dx2,, dxn) representa o deslocamento virtual. Dessa forma o trabalho

virtual dW correspondente ao deslocamento virtual será dado por:

dW=Q1dx1+Q2dx2+…+Qidxi+…+Qndxn(3.13)
Onde (Q1, Q2,, Qi, ..., Qn), explica Boresi, são os componentes da carga

generalizada, que são funções das coordenadas generalizadas. Sendo Qi definido por uma dada seção transversal da estrutura, Qi será uma carga unidirecional se dxi for uma translação da seção transversal, e Qi será um momento ou torque se dxi for uma rotação da seção transversal.

Para um corpo deformável o trabalho virtual dW, correspondente ao deslocamento virtual de um sistema mecânico, poderá ser separado de acordo com a seguinte soma (BORESI, 2013):

dW=dWe+dWi(3.14)

Onde dWe corresponde ao trabalho virtual gerado pelas forças externas e dWi corresponde ao trabalho virtual gerado pelas forças internas.

Analogamente a expressão para dW na equação 3.13, para um deslocamento virtual

(dx1, dx2,, dxn) obtém-se:
dWe=P1dx1+P2dx2+…+Pndxn(3.15)
Onde (P1, P2,, Pn) são funções das coordenadas generalizadas (x1, x2, ..., xn). Por
analogia com os Qi na equação 3.13, as funções (P1, P2,, Pn) são chamadas de componentes
do carregamento externo generalizado. Se as coordenadas gerais (x1, x2,, xn) representam
deslocamentos e rotações que ocorrem no sistema, as variáveis (P1, P2,, Pn) podem ser

24 chamadas de componentes das forças externas pré-existentes e binários que agem no sistema

(BORESI, 2013).

Dando sequência a explicação de Boresi, admitindo-se agora um deslocamento virtual que conduz um sistema completamente por um caminho fechado. Ao final de tal caminho,

será observado que os deslocamentos dx1 = dx2 == dxn = 0. E por isso, pela equação 3.15,

We = 0. Para a análise em questão são considerados apenas sistemas submetidos ao comportamento elástico. Sendo assim, o trabalho virtual dWi resultante das forças internas será igual ao negativo da variação virtual na energia de deformação elástica dU, ou seja:

dWi=−dU(3.16)
Onde U = U(x1, x2,, xn) corresponde a energia de deformação total do sistema. Desde

que o sistema se desloque por um caminho fechado, ele retornará ao seu estado inicial e, sendo assim, dU = 0. Consequentemente pela equação 3.16, dWi = 0. E, analogamente o trabalho virtual total dW (equação 3.14) também será igualado a zero caso percorra um caminho fechado. A condição para dW = 0 para deslocamentos virtuais que conduzem um corpo por um caminho fechado, indica que o sistema é conservativo. A condição dW = 0 é conhecida como Princípio da Energia Potencia Estacionária (BORESI, 2013).

Boresi explica ainda que, para um sistema conservativo (estrutura elástica carregada por uma força externa conservativa), a variação virtual na energia de deformação dU da

estrutura sob um deslocamento virtual (dx1, dx2,, dxn) será dada por:

Dessa forma, a devida substituição das equações 3.13, 3.15 e 3.17 na equação 3.14 resultará em:

(3.18)

Para qualquer sistema com finitos graus de liberdade, se os componentes Qi da força generalizada forem igualados a zero, então o sistema está em equilíbrio. Portanto, pela equação 3.18, um sistema elástico com n graus de liberdade estará em equilíbrio se:

,i=1,2,…,n(3.19)

A relação dada pela equação acima corresponde ao Segundo Teorema de Castigliano

(Equação 3.5). Para uma treliça a energia de deformação será obtida pela soma das energias de deformação de todos os seus membros.

3.2 Problemas estaticamente indeterminados

Shigley (2005) define um problema estaticamente indeterminado como um sistema no qual as leis da mecânica estática não são suficientes para que todas as forças ou momentos atuantes desconhecidos sejam determinados, sendo necessário para solucioná-los escreveremse as equações apropriadas de equilíbrio estático mais as equações adicionais que estejam relacionadas à deformação da peça em análise. Ao total, o número de equações deve ser igual ao número de incógnitas.

Norton (2010) afirma que o método de Castigliano também fornece uma forma conveniente de resolver tais problemas estaticamente indeterminados, pois reações em apoios redundantes atuando em uma viga, por exemplo, podem ser encontradas igualando-se a deflexão no apoio redundante a zero e calculando à força em seguida, ou seja, igualando-se a equação 3.4 a zero, que resultará na equação 3.20. Dessa forma o Teorema de Castigliano passa a ser a equação relacionada ao deslocamento da peça, porém com deslocamento igual à zero.

=0(3.20)

Boresi (1993) exemplifica melhor essa operação ao expor as seguintes situações expostas na figura 4, onde a viga pinada pela extremidade no ponto B, caso da figura 4(a), possui quatro reações internas desconhecidas (atuantes em um mesmo plano), que são VA que impede que a barra deslize verticalmente, NA que impede que a viga se mova ao longo de seu próprio eixo vertical, MA que impede que a viga rotacione em torno do ponto A e RB que representa a reação ao apoio em B, como pode der observado na figura 4(b). Porém, apenas três equações da estática podem ser aplicadas, que são o somatório das forças verticais, o somatório das forças horizontais e o somatório dos momentos. O apoio em B pode ser considerado como um apoio redundante, pois caso ele seja retirado a viga torna-se um problema estaticamente determinável, com a quantidade de incógnitas iguais ao numero de equações. E o fato de o apoio em B impedir a flexão da viga, possibilita a elaboração de uma equação adicional, quando associado ao Teorema de Castigliano para flexão, para o cálculo da reação RB.

(Parte 2 de 4)

Comentários