Integral dupla

Integral dupla

Complementos de Análise Matemática I Cálculo Integral em IRn

2.2 Integrais Duplos

Anteriormente estudaram-se os integrais da forma quer para funções definidas e limitadas em intervalos limitados quer para funções não limitadas em intervalos ilimitados. Em seguida generalizou-se o conceito de integral introduzindo os integrais de linha. Agora estudaremos integrais em que, em vez de intervalos unidimensionais teremos um conjunto bidimensional R, chamado região de integração, e a função integranda é um campo escalar definido e limitado em R. O integral resultante diz-se integral duplo e representa-se por

ou por

Vamos considerar dois tipos de regiões em :

  • Rxou Tipo I ou regular segundo o eixo dos yy

y

a b x

Como mostra o gráfico uma região do Tipo I é definida por

,

onde e são funções contínuas com .

  • Ry ou Tipo II ou regular segundo o eixo dos xx

y

d

c

x

Como mostra o gráfico uma região do Tipo II é definida por

,

onde e são funções contínuas em com .

É óbvio que o domínio pode ser simultaneamente do Tipo I e do Tipo II (ex.: regiões limitadas por circunferências, elipses, ...), e nesse caso podemos escolher entre qual dos tipos queremos considerar. Noutras situações, a região terá de ser decomposta numa reunião de regiões de um ou de outro tipo.

      1. Definição e propriedades

Consideremos a partir de agora uma função f de duas variáveis tal que esteja definida numa região R do plano . Definiremos o integral duplo como se segue, introduzindo desde já algumas notações:

  • R denotará uma região que pode ser subdividida em um número finito de regiões e e está contida numa região rectangular , como na figura abaixo,

x

Partição interior de R

  • Se W é dividida em m rectângulos como na figura, então a colecção de todas as sub-regiões fechadas rectangulares que estão completamente contidas em R constituem uma partição interior P de R. Se representarmos essas regiões por , essa partição interior de R denota-se por ;

  • O comprimento da maior diagonal de todas as regiões é a norma da partição;

  • O símbolo representa a área de cada região .

Se para cada escolhermos um ponto arbitrário em então podemos definir as somas de Riemann como se segue:

Definição 2.2.1.1: Seja f uma função de duas variáveis definida numa região R, e seja uma partição interior de R. Uma soma de Riemann de f para P é qualquer soma da forma

em que é um ponto de e é a área de .

Se considerarmos o limite destas somas quando , e se f é contínua em R, as somas de Riemann tendem para um nº real L, independente da escolha dos pontos nas sub-regiões , e se este L existir é o integral duplo . Podemos assim definir integral duplo de f da seguinte forma:

Definição 2.2.1.2: Seja f uma função de duas variáveis definida numa região R. O integral duplo de f sobre R, notado por é

,

desde que o limite exista.

Definição 2.2.1.3: Se o integral duplo de f sobre R existe, então dizemos que f é integrável sobre R.

Teorema 2.2.1.1: Se f é contínua em R, então f é integrável sobre R.

Interpretação Geométrica

Sejam S o gráfico de f, f contínua e , e o sólido situado abaixo de S e sobre . Se é um ponto na sub-região duma partição interior de , então é a distância do plano ao ponto em S. O produto é o volume do prisma de base rectangular de área . A soma dos volumes de todos os prismas é uma aproximação do volume de de . Como esta aproximação melhora ao tender para zero, definimos como o limite de somas dos números . Obtemos assim a definição:

Definição 2.2.1.4: Seja uma função contínua de duas variáveis tal que . O volume V do sólido compreendido entre o gráfico de e acima de é .

Nota: Se , o integral duplo de sobre é o simétrico do volume do sólido situado acima do gráfico de e soba região .

Sejam e funções de duas variáveis definidas e limitadas em R.

  • Propriedade de linearidade

,

  • Propriedade da aditividade

se

Teorema 2.2.1.2 (Teorema da Comparação): Se para todo em R, tem-se .

Em particular, se para cada em R, então .

      1. Cálculo de Integrais Duplos

1ºCaso

Seja f uma função contínua definida numa região rectangular fechada . Mostra-se que o integral duplo pode se calculado por meio de um integral iterado do tipo

.

Primeiro efectuamos uma integração parcial em relação a y, considerando x como constante. Substituindo y pelos limites de integração c e d da forma usual, obtemos uma expressão de x, que é integrada de a a b.

Pode-se também usar o seguinte integral iterado

.

Neste caso, primeiro efectuamos uma integração parcial em relação a x, considerando y como constante. Substituindo x pelos limites de integração a e b , integramos a expressão resultante em y de c a d.

Se f é contínua, então os dois integrais iterados são iguais. Neste caso, dizemos que a ordem de integração é irrelevante.

Notações:

  • =

  • =

Exemplo 1: Calcular os integrais duplos por integração iterada admitindo a existência de cada integral:

a) , onde R =

b) , onde R =

2ºCaso

  • Regiões Tipo I

Teorema 2.2.2.1: Seja R uma região do tipo I, compreendida entre os gráficos e . Admitindo-se que f está definida e limitada em R e que f é contínua no seu interior, então o integral duplo existe e pode ser calculado mediante integração unidimensional iterada,

Demonstração:…

  • Regiões Tipo II

Teorema 2.2.2.2: Seja R uma região do tipo II, compreendida entre os gráficos e . Admitindo-se que f está definida e limitada em R e que f é contínua no seu interior, então o integral duplo existe e pode ser calculado mediante integração unidimensional iterada,

.

Observação:

  1. No caso de regiões simultaneamente tipo I e tipo II, a ordem de integração é irrelevante e podemos escrever:

Em alguns casos um destes integrais pode ser mais fácil de calcular do que o outro; por isso é vantajoso examiná-los antes de calcular o integral duplo.

  1. Para regiões mais complicadas, dividimos R em sub-regiões e e aplicamos o teorema anterior.

Exemplo 2:

  1. Esboce o desenho da região de integração e calcule o seguinte integral duplo:

, sendo R a região triangular cujos vértices são , e .

  1. Seja R a região do plano – xy delimitada pelos gráficos de e . Determine

.

      1. Aplicação dos Integrais Duplos a Áreas e Volumes

  • Áreas

Seja R uma região do tipo I definida por . Aplicando o teorema para o cálculo de integrais duplos de regiões do tipo I, com para todo em R, obtemos

Área da região R

Assim concluímos que os integrais duplos podem ser utilizados no cálculo de áreas, sendo

.

Observação: Análogo para regiões do tipo II.

Exemplo 3:Calcule a área da região S definida por

.

  • Volumes

Se e g são contínuas em R com , então o integral duplo representa o volume do sólido compreendido entre os gráficos das funções e g.

Exemplo 4: Calcule o volume do sólido limitado por .

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Engenharia Informática (4º Ano – 2º ciclo)

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