Hipóteses - Bernoulli

Hipóteses - Bernoulli

Fenômeno dos Transportes - Hidráulica I Prof. Antonio da Hora

• Hidrodinâmica, Generalidades, Teorema de Bernoulli;

• Escoamento a Superfície Livre - Canais;

• Escoamento em Orifícios;

• Vertedores;

• Escoamento em encanamentos e Condutos;

• Condutos forçados;

• Estações elevatórias;

• Transiente Hidráulico;

• Encanamentos equivalentes; Condutos mistos;

Problemas dos reservatórios

• Distribuição em marcha; Vazão variável; Redes hidráulicas;

• Avaliação e Visitas Técnicas

• Vazão ou Descarga

Chama-se vazão ou descarga, numa determinada seção, o volume de líquido que atravessa essa seção na unidade de tempo.

No sistema prático de unidades, a vazão é expressa em m 3 /s.

Freqüentemente, porém, exprime-se a vazão em outras unidades múltiplas ou submúltiplas. Assim, para o cálculo de canalizações, é comum empregarem-se litros por segundo ou ainda m 3 /h.

• Classificação dos Movimentos

Movimento permanente é aquele cujas característica (força, velocidade, pressão) são função exclusiva de ponto e independem do tempo. Com o movimento permanente, a vazão é constante.

As características do movimento vari ado , além de mudarem de ponto para ponto, variam de instante para instante, isto é, são função do tempo.

O movimento permanente é uniforme quando a velocidade média permanece constante ao longo da corrente. Neste caso, as seções transversais da corrente são iguais. No caso contrário, o movimento permanente pode ser acelerado ou retardado.

Movimento permanente é aquele cujas característica (força, velocidade, pressão) são função exclusiva de ponto e independem do tempo. Com o movimento permanente, a vazão é constante.

As características do movimento vari ado , além de mudarem de ponto para ponto, variam de instante para instante, isto é, são função do tempo.

O movimento permanente é uniforme quando a velocidade média permanece constante ao longo da corrente. Neste caso, as seções transversais da corrente são iguais. No caso contrário, o movimento permanente pode ser acelerado ou retardado.

Tipos de Regime Tipos de Regime

• No regime laminar as trajetórias das partículas em movimento são bem definidas e não se cruzam. Já no regime turbulento estas trajetórias se cruzam e o movimento é desordenado. Na prática o escoamento d’água, do ar e de outros fluidos poucos viscosos ocorre sempre em regime turbulento.

É um parâmetro que leva em contra a velocidade de escoamento do fluido, o diâmetro ou profundidade do conduto (dimensão linear típica) e a viscosidade

cinemática do fluidoR e =

v . L / ν νν ν, onde:

v – velocidade do fluido,

L – dimensão linear típica e ν νν ν - viscosidade cinemática.

(ν νν ν - vü, letra grega)

• Qualquer que seja o sistema de unidades, o valor de

R E = será o mesmo. Por exemplo no sistema MKS : v em m/s, L em m e ν νν ν em m

/s, portanto o parâmetro R E é adimensional.

No caso de escoamento em tubos de seção circular, considera-se o diâmetro como dimensão típica . Para seções não circulares, toma-se o número de Reynolds, como:

ν,onde:

R e = 4 RH . v / ν νν

RH – Raio Hidráulico

(razão entre perímetro molhado e a seção molhada)

Entende-se por perímetro molhado, o perímetro da seção molhada do conduto e por seção molhada a área da seção líquida do conduto em escoamento.

Por exemplo: o RH de um conduto circular a meia seção é igual a:

÷ [ .π ππ π.D / 2] = D / 4

Para canais ou condutos livres considera-se a profundidade como a dimensão linear típica. Se o escoamento ocorre com R E > 4000, o movimento em condições normais é turbulento. O escoamento em regime laminar ocorre estável com R E < 2000. Entre os valores de 2000 a 4000 pode ocorrer regime laminar ou turbulento, portanto instável.

Linhas e Tubos Correntes

• Com a finalidade de melhor analisar o movimento dos fluidos, define-se: Linhas de corrente como linhas orientadas segundo a velocidade do líquido não interceptando nenhuma das suas partículas. Em cada ponto de uma linha de corrente, passa em cada instante t, uma partícula de fluido, animada com uma velocidade v. As linhas de corrente são as curvas que no instante t considerado, mantêm-se tangentes em todos os pontos à velocidade v.

• Admitindo-se que o campo das velocidades v seja contínuo, pode-se considerar um tubo de corrente como delimitado por linhas de corrente. Um tubo de corrente de dimensões infinitesimais é chamado de filete de corrente.

Linhas e Tubos Correntes

Filetes de corrente ds 2

Equação da Continuidade

• Considerando-se o trecho de um tubo de corrente, conforme indicado na figura, com as seções ds 1 e ds2 e velocidades respectivas V 1 e V2 , a quantidade de líquido de peso específico y qu e passa pela primeira seção, na unidade de tempo, será:

• dW

= y 1 V1 ds

• Uma corrente de dimensões finitas seria integrada por um grande número de tubos de corrente, de modo que

1 é a velocidade média na seção.

• Para a outra seção teríamos:

= y 2.S 2.V

Tratando-se de mov i mento per manente , a quantidade de líquido entrando na S 1 iguala-se à que sai por S2 ,

E, ainda, praticamente, se o líquido for considerado incompressível ( y

= y

De modo geral,

Q = S1.V1 = S2.V2 = S.V = constante,

V = velocidade média na seção (m/s);

S = área da seção de escoamento (m2) ==>(A)

Essa equação é de grande importância em todos os problemas da Hidrodinâmica.

• EXERCÍCIO 1 : Verificou-se que a velocidade econômica para uma extensa linha de recalque é 1,05 m/s. A vazão necessária a ser fornecida pelas bombas é de 450 m 3 /hora. Determinar o diâmetro da linha.

No mercado encontram-se os seguintes diâmetros comerciais:

350 m, ==> S = 0,0962 m 2 ;

400 m, ==> S = 0,1257 m 2 ;

450 m, ==> S = 0,1590 m 2 .

Adotando-se 400 m (16”), a velocidade resultará em:

É o diâmetro que mais se aproxima da condição econômica. Se fosse adotado o diâmetro imediatamente inferior (350 m), a velocidade se elevaria para 1,30 m/s, aumentando a potência das bombas e, consequentemente o consumo de eletricidade.

Exercício 2: Em edifício de 12 pavimentos, a vazão máxima provável, devida ao uso de diversos aparelhos, em uma coluna de distribuição de 60 m de diâmetro, é de 7,5 litros/s.

Determinar a velocidade de escoamento.

Essa velocidade é admissível pelas normas para o diâmetro de 75mm

(V máx = 2,5 m/s) ver normas ABNT.

Teorema de Bernoulli para Líquidos Perfeitos

A Figura acima mostra parte de um tubo de corrente, no qual escoa um líquido de peso específico y . Nas duas partes indicadas, de áreas e A2 , atuam as pressões p1 e p2

, sendo as velocidades, respectivamente, V 1 e V2 .

As partículas, inicialmente em A 1 , num pequeno intervalo de tempo, passam a A’ 1

Serão investigadas apenas as forças que produzem trabalho, deixando-se de considerar aquelas que atuam normalmente à superfície lateral do tubo.

De acordo com o teorema das forças vivas, “ variação da força viva em um sistema iguala o trabalho total de todas as forças que agem sobre o sistema ”.

Assim, considerando-se a variação da energia cinética(1/2 MV

2 MV

1 MV

Sendo o líquido incompressível, y

A2dS 2 =yV ol e a soma dos trabalhos das forças externas ( empuxo e gravidade - não há atrito por se tratar de líquido perfeito) será:

Identifica ndo,

() ( ) VolZZVolPPVVol

De modo que simplificando, p g2V

É o conhecido e importantíssimo teorema de Bernoulli, que pode ser enuncia do:

“Ao longo de qualquer linha de corrente é constante a soma das alturas cinéticas(V 2

/2g), pia zomé trica (p/ y ) e geométrica(Z)”

O teorema de Bernoulli não é senão o princípio da conservação da ener gia .

V 2 /2g = energia cinética (força viva para o peso unitário); p/y = energia de pressão ou piezométrica;

Z = energia de posição ou potencial.

tetanconsZ p

VZ p

Exercício 1: A água escoa pelo tubo indicado na figura, cuja seção varia do ponto 1 para o ponto 2, de 100cm

2 para 50 cm2

. Em 1, a pressão é de 0,5 kg/cm2 e a elevação 100,00m, ao passo que , no ponto 2 a pressão é de 3,38 kg/cm2 na elevação 70,00m. Calcular a vazão em l/s.

VZ p

Como a seção no ponto 1 tem uma área duas vezes maior que a do ponto 2, com a mesma vazão, a velocidade no ponto 2 será duas vezes maior também. De acordo com a equação da continuidade temos:

Su bs tituindo,

Exercício 2: De uma pequena barragem, parte uma canalização de 250mm de diâmetro, com poucos metros de extensão, havendo depois uma redução para 125mm; do tubo de 125mm, a água passa para a atmosfera sob a forma de jato. A vazão foi medida, encontrando-se 105 l/s. Calcular a pressão na seçãop inicial da tubulação de 250mm (10”); a altura de água H na barragem; a potência bruta do jato.

VZ p

da mesma forma, calcula-se a altura de água,

Vp H

Determina-se então, a potência bruta do jato, sabendo-se que a potência em cv (ou HP, diferença desprezível) pode ser expressa por:

P man y = peso específico do líquido (água = 1000 kg/m3 );

Q = vazão em m 3 /s;

Hman = altura manométrica em metros;

= rendimento global (igual a 1) η

Exercício 3 : Em um canal de concreto ( figura a seguir), a profundidade é de 1,20 metros e as águas escoam com uma velocidade média de 2,40 m/s, até um certo ponto, onde, devido a uma queda, a velocidade se eleva a 12,0 m/s, reduzindo a profundidade a 0,60 metros. Desprezando-se as possíveis perdas por atrito, determinar a diferença de nível entre as duas partes da canal.

VZ p

Extensão do teorema de Bernoulli aos casos Práticos

Na dedução do teorema de Bernoulli foram feitas vérias hipóteses :

a o escoamento do líquido se faz sem atrito: não foi considerada a influência da viscosidade; b o movimento é permanente; c o escoamento se dá ao longo de um tubo de corrente (de dimensões infinitesimais); d o líquido é incompressível.

A experiência não confirma rigorosamente o teorema de Bernoulli, isto porque os fluidos reais (naturais) se afastam do modelo perfeito. A viscosidade e o atrito externo são os principais responsáveis pela diferença; em conseqüência das forças de atrito, o escoamento ocorre com uma perda de energia: perda de carga (a energia se dissipa sob forma de ca lo r).

Por isso se introduz na equação de Bernoulli um termo corretivo h f (perda de carga).

VZ p

Além da correção acima, uma outra deve ser mencionada: a dedução foi feita para um tubo de corrente considerando-se determinada velocidade para cada seção. Na prática, porém, o que se verifica é a variação de velocidade de ponto para ponto numa mesma seção. Nessas condições, o que se tem não é uma velocidade única, mas sim uma distribuição de velocidades. Daí uma correção para o termo V 2 /2g:

VZ p

VZ p

= coeficiente de correção (coeficiente de Coriolis)

V 1 = velocidade média na seção igual a Q/S 1

Na pratica este coeficiente esta próximo de 1 por isso é omitido em muitos casos.

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