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Guias e Dicas
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Volume de um sólido por integração, Notas de estudo de Engenharia Física

Encontre o volume de um sólido através da integração

Tipologia: Notas de estudo

2013

Compartilhado em 26/09/2013

manuel-silveira-netto-4
manuel-silveira-netto-4 🇧🇷

4.7

(15)

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Baixe Volume de um sólido por integração e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Física, somente na Docsity! 5.4 Volume de um sólido Nesta seção damos o volume de um sólido em várias formas, utilizando sistema cartesiano, coordenadas polares, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas, volume de um sólido de revolução, etc.. 5.4.1 Coordenadas cartesianas Nesta subseção apresentamos volume de um sólido cujas equações são dadas em coordenadas cartesianas. Estes cálculos são feitos em duas partes. Primeira, utilizando a integração dupla e a segunda, utilizando a integração tripla. 5.4.1.1 A integração dupla Seja R uma região do plano xy representada por R = Seja g(x,y) uma função contínua de duas variáveis tal que g(x,y) ³ 0 para todo (x,y) na região R. O volume V do sólido compreendido entre o gráfico de z = g(x,y) e acima de R é dado por V = . ou V = . Utilizando os comandos do Mathematica a fórmula dada acima é representada por "Integrate[1,{x,a,b},{y,f1(x),f2(x)}]", isto é, V = = Integrate[1,{x,a,b},{y,f1(x),f2(x)}]. Veja a seguir alguns exemplos para o cálculo de volume em coordenadas cartesianas utilizando a integração dupla: Exemplo 5.12 a) Encontrar o volume do sólido limitado pela superfície g(x,y) = e os planos x = 4 e y = 3 e os três planos coordenados; b) Encontrar o volume do espaço limitado pelas superfícies x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 1. Resolução a) É dado que g(x,y) = e as variações de x e y são 0 £ x £ 4 e 0 £ y £ 3, respectivamente. Colocando estes valores na integral que dá o volume, obtemos . Utilizando o comando "Integrate", obtemos In[ ]:= Integrate[2- 1/3 x^2 + 1/6 y^2,{x,0,4},{y,0,3}] Out[ ]= Logo, concluímos que o volume do espaço desejado é dado por V = u.v.. b) É dado que x + y + z = 1, daí achamos o valor da função g(x,y), isto é, z = g(x,y) = 1 - x - y. Como é dado que z = 0, daí concluímos que x + y = 1, isto é, y = 1 - x. Quando y = 0 em x + y = 1 achamos o valor máximo de x, isto é, x = 1. Resumindo temos as seguintes variações: 0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1 - x, e g(x,y) = 1 - x - y. Substituindo estes valores na integral que dá o volume obtemos V = . Damos o seguinte comando para calcular o valor da integral: In[ ]:= Integrate[1- x- y,{x,0,1},{y,0,1- x}] Out[ ]= Logo, concluímos que o volume desejado é dado por V = u.v.. 5.4.1.2 Cálculo de volume utilizando a integração tripla Seja T uma região qualquer no plano xyz. Projetamos a região T sobre o plano xy e obtemos a região plana R limitada por R = Se a região T é limitada por z1 = g1(x,y) e z2 = g2(x,y), então o volume da região T é dado por V = , ou Out[ ]= -Graphics- As variações de y são obtidas novamente utilizando o comando "Solve": In[ ]:= Solve[x^2+y^2==1,y] Out[ ]= {{y->Sqrt[1- x2]},{y->- Sqrt[1- x2]}} Assim, achamos as variações de y, isto é . As variações de z já são dadas, isto é, 0 £ z £ x+y+1. Resumindo, temos as seguintes variações de x, y e z no sólido T: T = O volume do sólido é dada pela integral V = . Utilizando o comando "Integrate" temos o resultado desejado: In[ ]:= Integrate[1,{x,- 1,1},{y,- Sqrt[1- x^2], Sqrt[1- x^2]},{z,0,x+y+1}] Out[ ]= Pi Logo, concluímos que o volume do sólido é dado por V = p u.v.. 5.4.2 Coordenadas polares e cilíndricas Nesta subseção apresentamos o cálculo de volume de um sólido cujas equações são dadas em coordenadas polares ou cilíndricas. 5.4.2.1 Coordenadas polares A fórmula para o cálculo de volume de um espaço representado em cordenadas polares é dada por V = , onde 0 £ r £ a, 0 £ q £ 2p . A fórmula acima é a mesma utilizada no cálculo de volume em coordenadas cartesianas por integração dupla, com x = r cos q , y = r sen q e dx dy = r dr dq . Utilizando os comandos do Mathematica a fórmula dada acima é representada por "Integrate[g(r,theta), {r,0,a},{theta,0,2 Pi}]", isto é, V = = Integrate[g(r,theta),{r,0,a},{theta,0,2 Pi}]. A seguir apresentamos alguns exemplos de cálculo de volume em coordenadas polares utilizando integração dupla. Exemplo 5.14 a) Utilizar as coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pela esfera x2 + y2 + z2 = a2; b) Utilizar as coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pelas superfícies z = 0, x2 + y2 = 1, x + y + z = 3. Resolução a) Pela equação da esfera dada, temos z = . Utilizando as coordenadas polares, isto é, x = r cos q e y = r cos q , e considerando somente o valor positivo de z, obtemos z = g(x,y) = g(r,q ) = . As variações de r e q são dadas por 0 £ r £ a, 0 £ q £ 2p . Substituindo estes valores na fórmula de volume, obtemos V = 2 , onde multiplicamos por 2, pois consideramos somente o valor positivo de z. Utilizando o comando "Integrate", temos In[ ]:= 2 Integrate[r Sqrt[a^2- r^2],{r,0,a},{theta,0,2 Pi}] Out[ ]= Como a > 0, concluímos que o volume da esfera de raio a é dado por V = u.v.. b) É dado que x + y + z = 3, daí substituindo x = r cos q e y = r sen q , achamos o valor de z: z = g(r,q ) = 3 - r cos q - r sen q . A equação x2 + y2 = 1 nos dá as variações de r e q : 0 £ r £ 1, 0 £ q £ 2p . Substituindo estes valores na fórmula de volume, obtemos V = , Utilizando o comando "Integrate", temos In[ ]:= Integrate[r (3-r Cos[theta]-r Sin[theta]),{r,0,1},{theta,0,2 Pi}] Out[ ]= 3 Pi Logo, concluímos que o volume do sólido é dado por V = 3p u.v.. 5.4.2.2 Coordenadas cilíndricas As mudanças de variáveis de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas são dadas por x = r cos q , y = r cos q e z = z, com z = g(r,q ), r ³ 0, 0 £ q £ 2p . Ao invés de usar o elemento de volume dV(xyz) = dz dy dx, podemos usar o elemento dado por dV(rq z) = r dr dq dz. Assim, temos a seguinte fórmula de cálculo de volume: V = . Utilizando os comando do Mathematica a fórmula dada acima é representada por "Abs[Integrate[r,{r,0,a}, {theta,0,2 Pi},{z,g1(r,theta),g2(r,theta )}]], isto é, ● V = = Abs[Integrate[r,{r,0,a},{theta,0,2 Pi}, {z,g1(r,theta),g2(r,theta)}]] Utilizamos o comando "Abs" antes do comando "Integrate" para ter valor absoluto do resultado, pois o volume sempre é um valor positivo. A seguir damos alguns exemplos de cálculo de volume em coordenadas cilíndricas utilizando a integração tripla. Exemplo 5.15 a) Calcular o volume da esfera de raio "a" utilizando coordenadas cilíndricas; b) Calcular o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 9 e os planos z =1, x + z = 5. Resolução a) A equação de esfera de raio a é dada por x2 + y2 + z2 = a2. Substituindo os valores de x, y e z em coordenadas cilíndricas, obtemos z2 = a2 - r2, daí calculamos as variações de z como sendo e em torno do eixo x, é dado por A fórmula para o cálculo de volume de um sólido de revolução em torno do eixo y utilizando Mathematica é dada por " Pi Integrate[g[y]^2, {y,c,d}]", isto é, = Pi Integrate[g[y]^2,{y,c,d}] e em torno do eixo x, é dado por "2 Pi Integrate[y g[y],{y,c,d}]" = 2 Pi Integrate[y g[y],{y,c,d}]. A seguir damos alguns exemplos de cálculo de volume de um sólido de revolução: Exemplo 5.17 a) Encontrar o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos x, da região limitada pela curva y = x2 + x - 3, o eixo x e as retas x = - 3 e x = 3; b) Encontrar o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região entre o gráfico da função y = sen x e o eixo x, de 0 a 2p . c) Encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região entre o gráfico da função y = x3, - 1 £ x £ 1 ● i) em torno do eixo x; ● ii) em torno do eixo y. Resolução Para gerar o sólido de revolução carregamos o pacote desejado utilizando o seguinte comando: In[ ]:= Needs["Graphics`SurfaceOfRevolution`"] Podemos obter também a mesma figura tridimensional de um sólido de revolução da função y = f(x), a £ x £ b, em torno do eixo x utilizando o comando "ParametricPlot3D" da seguinte forma: In[ ]:= ParametricPlot3D[{x,f[x] Cos[theta], f[x] Sin[theta]}, {x,a,b},{theta,0,2 Pi}] Quando a revolução é em torno do eixo y da função y = f(x), a £ x £ b, o comando utilizado é o seguinte: In[ ]:= ParametricPlot3D[{x Cos[theta],x Sin[theta], f[x]},{x,a,b},{theta,0,2 Pi}] A seguir resolvemos os exemplos dados construindo os sólidos e calculando as integrais necessárias. a) In[ ]:= Plot[x^2+x-3,{x,-3,3}] Out[ ]= -Graphics- In[ ]:= SurfaceOfRevolution[x^2+x-3,{x,-3,3}, Axis->{1,0,0}] ou In[ ]:= f[x_]:= x^2+x-3 ParametricPlot3D[{x,f[x] Cos[t],f[x] Sin[t]}, {x,-3,3},{t,0,2 Pi}] Out[ ]= -Graphics3D- In[ ]:= Pi Integrate[(x^2+x- 3)^2,{x,- 3,3}] Out[ ]= Logo, concluímos que o volume desejado é V = u.v.. b) In[ ]:= Plot[Sin[x],{x,0,2 Pi}] Out[ ]= -Graphics- In[ ]:= SurfaceOfRevolution[Sin[x],{x,0,2Pi}, Axis->{1,0,0}] ou In[ ]:= Clear[f] f[x_]:= Sin[x] ParametricPlot3D[{x,f[x] Cos[t],f[x] Sin[t]}, {x,0,2 Pi},{t,0,2 Pi}] Out[ ]= -Graphics3D- In[ ]:= Pi Integrate[(Sin[x])^2,{x,0,2 Pi}] Out[ ]= Pi2 Logo, o volume desejado é V = p 2 u.v.. c) In[ ]:= Plot[x^3,{x,- 1,1},PlotRange->{- 1,1}] ● Na utilização do comando "ParametricPlot3D" não necessitamos de nenhum pacote. ● Podemos traçar os sólidos de revolução em torno dos dois ou três eixos ao mesmo tempo. Veja a seguir alguns exemplos dessas combinações: - Exemplo anterior, item a), com rotação em torno dos eixos x e z: In[ ]:= SurfaceOfRevolution[x^2+x- 3,{x,- 3,3}, Axis->{1,0,1}] Out[ ]= -Graphics3D- - Exemplo anterior, item a), com rotação em torno dos eixos x, y e z: In[ ]:= SurfaceOfRevolution[x^2+x- 3,{x,- 3,3}, Axis->{1,1,1}] Out[ ]= -Graphics3D-
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