Material de Leitura - teoria-tema 3-2011

Material de Leitura - teoria-tema 3-2011

3.1 Introduc~ao2
3.1.1 De nic~ao matricial2
3.2 Metodo de Eliminac~ao de Gauss3
3.3 Metodo de Jacobi-Richardson4
3.3.1 Criterios de convergencia6
3.4 Metodo de Gauss-Seidel7

Sistemas de equa c~oes lineares. M etodos Iterativos

Os sistemas lineares de equa c~oes aparecem em muitos - quase todos - problemas de modelagem computacional em engenharia e ciencias. Neste tema estudaremos m etodos iterativos que nos permitiram encontrar uma solu c~ao aproximada de um sistema de equa c~oes.

3.1.1 De ni c~ao matricial

Jos e A. Nhavoto, MSc 29 de Agosto de 2011 Se considerarmos

ent~ao podemos simplesmente escrever Ax = b:

Exemplo

Resolu c~ao: Trata-se de um sistema de 3 equa c~oes e 3 inc ognitas. Seguindo a l ogica

donde:

e ciente e utilizado na solu c~aoo de um sistema linear geral da forma

Jos e A. Nhavoto, MSc 29 de Agosto de 2011

A ideia central deste m etodo consiste na elimina c~ao sistem atica das inc ognitas transformando o sistema geral em um sistema do tipo triangular o qual j a sabemos como resolver.

Exemplo

usando o m etodo de Elimina c~ao de Gauss. Resolu c~ao:

Passo 2 Vamos agora eliminar a inc ognita x2 na linha ‘3 fazendo a seguinte opera~ao:

Temos agora um sistema triangular que pode ser resolvido com o algoritmo da retro-

3.3 M etodo de Jacobi-Richardson

Neste m etodo cada coordenada do vector correspondente a nova aproxima c~ao e calculada a partir da respectiva equa c~ao do sistema, utilizando-se as demais coordenadas do vector

Jos e A. Nhavoto, MSc 29 de Agosto de 2011 aproxima c~ao da itera c~ao anterior:

Exemplo

Determine a solu c~ao do sistema

Substituindo, no sistema anterior, os valores x(0)

Jos e A. Nhavoto, MSc 29 de Agosto de 2011 abaixo:

3.3.1 Crit erios de convergencia O m etodo de Jacobi-Ricchardson converge se:

max i

max j

Observa c~ao: O processo iterativo para quando

onde e um n umero positivo previamente estabelecido. Exemplo

Resolu c~ao: Dividindo cada equa c~ao pelo correspondente elemento da diagonal principalobtemos:

Jos e A. Nhavoto, MSc 29 de Agosto de 2011

Daqui temos:

max i portanto temos o crit erio de convergencia satisfeito. Neste caso o crit erio das colunas, max

3.4 M etodo de Gauss-Seidel

Neste m etodo cada coordenada do vector correspondente a nova aproxima c~ao e calculada a partir da respectiva equa c~ao do sistema, utilizando-se as demais coordenadas do vector aproxima c~ao da itera c~ao anterior:

Exemplo

Jos e A. Nhavoto, MSc 29 de Agosto de 2011 com chute inicial x(0) =

Substituindo, no sistema anterior, os valores x(0) abaixo:

3.4.1 Crit erios de convergencia

Matriz diagonalmente dominante Dizemos que uma matriz An n e diagonalmente dominante se jaiij > n∑

Exemplo 8

Jos e A. Nhavoto, MSc 29 de Agosto de 2011

A matriz A =

Proposi c~ao 3.1. Considere o sistema linear Ax = b. Se A e diagonalmente dominante ent~ao a sequencia de itera c~oes para o m etodo de Gauss-Seidel converge para a solu c~ao do sistema.

Crit erio de Sassenfeld O m etodo de Gauss-Seidel converge se:

onde os i s~ao calculados por recorrencia atrav es de:

Crit erio das linhas O m etodo de Gauss-Siedel converge se o crit erio das linhas for satisfeito, isto e, se:

max i

Exemplo

Resolu c~ao: Dividindo cada equa c~ao pelo correspondente elemento da diagonal principalobtemos:

Jos e A. Nhavoto, MSc 29 de Agosto de 2011

Temos:

max i

Portanto, por esse crit erio n~ao podemos garantir convergencia. Mas aplicando o crit erio de Sassenfeld, temos:

Logo temos o crit erio de convergencia satisfeito. Efetuando-se as itera c~oes de nidas por:

Dado um sistema linear Ax = b pode acontecer que o m etodo de Jacobi-Richardson aplicado a ele resulte convergente enquanto que o de Gauss-Seidel resulta divergente e vice-versa.

A convergencia para os m etodos: Jacobi-Richardson e Gauss-Seidel n~ao depende do valor inicial x(0).

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