Conservação do Momento Linear

Conservação do Momento Linear

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6 – Conservação do Momento Linear

6.1 – Centro de massa

Até agora os objetos têm sido tratados como se fossem partículas, isto é, os objetos possuem massa, mas não têm dimensões. No movimento de translação de um corpo, um de seus pontos, à medida que o tempo passa, sofre o mesmo deslocamento de qualquer outro, de tal maneira que o movimento de uma partícula representa o movimento de todo o corpo. Mas, mesmo quando o corpo roda ou vibra, enquanto se desloca, há um ponto no corpo, denominado de centro de massa, que se desloca da mesma maneira que se deslocaria uma única partícula, sujeita ao mesmo sistema de forças externas.

Sejam duas partículas que interagem entre si através de forças de contato (por exemplo, colisão entre dois discos). As equações de movimento correspondentes são dadas por:

F dt

F dt são os momentos lineares (quantidades de movimento) das partículas 1 e 2, e )2(1F

força sobre a partícula 1 devida à partícula 2 (analogamente para )1(2F ).

Somando membro a membro as equações (1), obtém-se

é, por definição, o momento linear total do sistema de duas partículas.

constituem um par ação-reação, elas são iguais e opostas (o que equivale neste caso à 3a lei de Newton), então da equação (2) tem-se que

ou seja, o momento linear total se conserva.

Forças internas ao sistema que obedecem ao princípio da ação e reação, como )2(1F e )1(2F no exemplo acima (forças de contato numa colisão), são chamadas de forças internas newtonianas.

Seja, agora, o caso mais geral, em que, além das forças internas ao sistema, também atuam sobre as partículas forças externas (que poderiam ser forças gravitacionais, atrito, campos elétricos e magnéticos externos, etc.). Se extF1 é a força total que atua sobre a partícula 1 e extF2 é a força externa total sobre a partícula 2, as equações (1) são substituídas por ext

F dt

F dt

Somando membro a membro, obtém-se:

( ) extext Fp

Como só estão sendo consideradas forças internas newtonianas, ,0)1(2)2(1=+F

de modo que fica

,extFdt onde extext ext F 21

+= é a resultante das forças externas que atuam sobre o sistema.

A equação (6) mostra que, para que valha a conservação do momento linear do sistema de duas partículas, não é necessário que ele seja um sistema isolado, ou seja, que não atuem forças externas. A condição necessária e suficiente para que o momento linear total de um sistema de duas partículas se conserve é que a resultante das forças externas aplicadas ao sistema se anule, ou seja, que

Isto equivale a ,21 extext F

−= de modo que as forças externas, se não nulas, devem formar um binário (ou conjugado), ou seja, um par de forças de mesma magnitude, porém antiparalelas. A equação (6) é também a equação de movimento de uma partícula única de momento linear P sujeita a uma força .extF Neste sentido, portanto, pode-se tratar o sistema de duas partículas, como um todo, como se fosse uma só partícula, de momento linear igual ao momento linear total do sistema, sobre o qual atua a resultante das forças externas. É natural então perguntar também se é possível associar uma posição bem definida a essa “partícula representativa do sistema como um todo”. Isto realmente ocorre, e esta posição é o que se chama o centro de massa do sistema.

Seja um sistema de duas partículas de mesma massa ,m nas posições 1r e 2r em relação a um referencial inercial. Tem-se então2121

r dt dmppP dt rdmp

Como se quer representar o movimento do sistema como um todo por uma única partícula, essa partícula deve ter massa igual à massa total do sistema: mM 2= (9) Das equações (6), (8) e (9) tem-se

extFdt RdM com

indicando que R é o vetor de posição do ponto médio do segmento que liga a partícula 1 com a partícula

2. Logo, para um sistema de duas partículas de mesma massa, de posições instantâneas ()tr1 e (),2tr sob a ação de forças internas (newtonianas) e de forças externas quaisquer, o ponto médio do segmento que une as posições das duas partículas se move de acordo com a equação (10), como uma partícula única de massa igual à massa total do sistema, sobre a qual agiria uma força igual à resultante das forças externas.

É importante notar que as partículas podem ter um movimento arbitrário em relação ao centro de massa (CM), que é denominado movimento interno do sistema: podem estar girando em torno dele, aproximando-se ou afastando-se (mantendo-se, naturalmente, sempre eqüidistantes do ,CM neste caso de massas iguais), sem alterar em nada o fato de que o CM se move sob a ação unicamente da força externa total.

Seja agora um sistema de duas partículas de massas quaisquer, 1m e .2m Em lugar das equações (8) e (9), tem-se

RdMrmrm

dtddt rdmdt rdmP com 2

m rmrmR + sendo o vetor de posição do CM do sistema. Se ,kzjyixRCMCMCM++= as coordenadas do CM são dadas por:

m xmxmxCM +

=,

m ymymyCM +

=

m zmzmzCM +

No caso mais simples do sistema de duas partículas 1m e 2m a distâncias 1x e ,2x respectivamente, de uma origem .O O centro de massa (CM) do sistema é definido como um ponto à distância CMx da origem, dada por:

m xmxmxCM +

Este ponto tem a seguinte propriedade: o produto de sua distância à origem pela massa total do sistema

),(21mmM+= é igual à soma dos produtos de cada uma das massas pela sua respectiva distância à origem; isto é,

Se tivermos n partículas, ,,...,,21nmmm ao longo de uma linha reta, por definição, o centro de massa destas partículas, em relação a uma origem, é:

n CM m xm m xmxmxm x

onde nxxx,...,,21 são as distâncias das massas à origem em relação à qual cmx foi medido.

Para um grande número de partículas coplanares, o centro de massa estará em CMx e ,CMy dados por:

iiCM

ymM y xmM x 1 em que )(imMΣ= é a massa total do sistema. Para um grande número de pontos materiais, não necessariamente situados num plano, mas distribuídas no espaço, as coordenadas ,CMx ,CMy ,CMz do centro de massas do mesmo são definidas pelas relações:

iiCM iiCM iiCM zmM z ymM y xmM x

A posição do centro de massa é independente do sistema de coordenadas usado para localizá-lo.

O centro de massa de um sistema de pontos materiais depende somente das massas dos referidos pontos e das posições relativas destas.

Um corpo rígido pode ser imaginado como um sistema de pontos materiais agrupados muito juntos. Portanto, ele possui, também, centro de massa. As coordenadas do centro de massa são dadas por:

zdmM z ydmM y xdmM x

6.2 – Movimento do Centro de Massa

Seja um conjunto de pontos materiais, cujas massas sejam nmmm,...,,21 e cuja massa total seja .M Então, diferenciando a equação (18) em relação ao tempo, obtém-se:

nxnxx n CM vmvmvm dt dx m dt dxmdt dxm dt dx M na qual xv1 é o componente x da velocidade do primeiro ponto material, etc., e dt dxCM é o componente x da velocidade do centro de massa. Equações semelhantes podem ser obtidas para os componentes y e z do movimento. Diferenciando a equação (2) em relação ao tempo, obtém-se:

nxnxx n CM amamam dt xdm dt xdmdt xdmdt xdM na qual xa1 é o componente x da aceleração da primeira partícula, etc., e 22dt xdCM é o componente x da aceleração do centro de massa. Sendo xF1 o componente segundo o eixo dos x da força resultante atuante sobre a primeira partícula, então, pela 2a lei de Newton, ,111xxamF=

,222xxamF= etc. A Equação (23) pode ser escrita da seguinte maneira:

em que xa é o componente x da aceleração do centro de massa. Equações semelhantes podem ser consideradas para os componentes y e .z As três equações escalares podem ser resumidas numa única equação vetorial:

21 nFFFaM

Portanto, a massa total do conjunto de pontos materiais, multiplicada pela aceleração do seu centro de massa é igual à soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o conjunto.

Entre todas estas forças existirão forças internas exercidas pelos próprios pontos materiais entre si. Entretanto, pela 3a lei de Newton, estas forças não contribuem para a soma na Equação (25). Por isso, as forças internas podem ser retiradas do problema. A soma no segundo membro da Equação (25) representa apenas a soma das forças externas que atuam sobre os pontos materiais. Logo, a Equação (25) pode ser escrita como:

Isto assegura que o centro de massa do sistema de pontos materiais desloca-se como se toda a massa do sistema estivesse aí concentrada e que todas as forças externas estivessem aplicadas no mesmo.

Portanto, ao invés de considerar os corpos como pontos materiais como foi feito até aqui, pode-se considerá-los como conjuntos de pontos materiais. O movimento de translação do corpo pode ser obtido considerando toda a sua massa concentrada no seu centro de massa e todas as forças externas aplicadas naquele ponto. O movimento do centro de massa representa o movimento de translação de todo o corpo. Este, na verdade, é o procedimento implícito em todos os diagramas de forças e resolução de problemas.

6.3 – Momento Linear

A quantidade de movimento (ou momento linear) de um ponto material é o vetor p definido como o produto de sua massa m pela sua velocidade :v

Newton, em seu famoso Principia, expressou a 2a lei do movimento em termos do momento linear: A taxa de variação do momento linear é proporcional à força resultante e na mesma direção desta:

.dt pdF

Quando a massa de um corpo é constante, a 2a lei pode ser colocada sob a forma ,amF = usada até agora. Entretanto, para o caso de um corpo cuja massa varia com o tempo, a forma amF = não será mais a equação do movimento. Considerando uma mudança na massa com o tempo, a 2a lei afirma que:

.amdt

Se, ao invés de um ponto material único, tem-se um sistema de n pontos materiais de massas

21 nmmmM +++=

,,...,,21nmmm de tal modo que a massa total seja dada por Então, o sistema todo terá um momento linear total dado por:

21 npppP 

Diferenciando esta equação em relação ao tempo, obtém-se:

21 nFFF

O segundo membro da equação (31) pode ser substituído pela soma das forças externas, de modo que:

Seja o movimento de um sistema de pontos materiais. Qualquer que seja o movimento interno de um corpo ou sistema de pontos materiais, o movimento do centro de massa pode ser obtido supondo-se toda a massa concentrada naquele ponto e todas as forças externas atuando no mesmo. Da equação (26) tem-se que:

de modo que:

dtd dt

O momento linear total de um sistema de pontos materiais é igual ao produto da massa total do sistema pela velocidade do seu centro de massa.

6.4 – Conservação do Momento Linear

No capítulo anterior, foi mostrado que a energia mecânica total de um sistema é ou não conservada, dependendo do caráter conservativo ou não das forças que atuam. Conquanto seja verdade que, se a definição de energia for ampliada para abranger formas não mecânicas, então a energia total será sempre conservada, é também pertinente perguntar se há qualquer quantidade puramente mecânica que seja conservada independentemente da natureza conservativa ou não do sistema.

Acontece que, como será visto uma propriedade chamada momento linear (ou quantidade de movimento) pode ser definida para qualquer sistema, a qual é conservada em todas as instâncias, sendo o sistema conservativo ou não, contanto que tal sistema seja isolado ou que a resultante das forças externas seja nula.

Se a resultante das forças externas que atuam em um sistema for nula, então da 2a Lei de Newton:

.0 constP dt Pddt

A equação (36) mostra que se a resultante das forças externas que atuam em um sistema é nula, o vetor momento linear do sistema permanece constante. Este resultado simples, mas realmente geral, é chamado princípio de conservação do momento linear. Os momentos lineares individuais das partículas que compõem o sistema podem sofrer variações, mas a sua soma permanece constante, se não há resultante para as forças externas.

As partículas podem interagir entre si, mas estas interações não irão modificar o momento linear do sistema, pois as forças de interação mútua entre duas partículas constituem um par ação-reação, não contribuindo para mudar o momento linear total do sistema de partículas. Do princípio de conservação do momento linear tem-se que um sistema não pode deslocar o seu CM sob a ação puramente de força internas. Além disso, o resultado obtido na Equação (36) leva a uma generalização da lei da inércia: se a resultante das forças externas que atuam sobre um sistema se anula, o CM do sistema permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme.

6.5 – Sistemas de Massa Variável

Os resultados obtidos até aqui parecem implicar que o deslocamento de um corpo só é possível se existirem forças externas capazes de impulsioná-lo. Assim, somos capazes de caminhar porque empurramos o solo para trás e o atrito com o solo nos impele para frente. Entretanto, existe outro método de propulsão de grande importância prática, exemplificado pelo recuo de um canhão: mesmo na ausência de atrito com o solo, o canhão se deslocaria para trás ao disparar a bala. Isto é possível porque a massa inicial (canhão + bala) diminui após o disparo, se for considerado só o deslocamento do canhão (o CM do sistema canhão + bala permanece em repouso). Assim, se a massa de um corpo é variável, ele pode ser impulsionado sob a ação puramente de forças internas.

Supondo que num instante t (figura acima) um astronauta estivesse flutuando no espaço, longe de qualquer campo gravitacional (0=extF ). Ele estaria se deslocando com movimento retilíneo uniforme com velocidade v em relação a um referencial inercial. O astronauta segura um revólver, e no instante t dispara uma bala de massa .mδ Se a massa do astronauta + revólver (vazio) é ,m a massa inicial do sistema é .)( mmtm δ+= (37)

Seja ev − a velocidade com que a bala escapa em relação ao revólver. A velocidade 2v da bala em relação ao referencial inercial é dada por

Num instante t∆+ após o disparo, a massa do astronauta + revólver é mttm =∆+ )( (39)

Como 0=extF por hipótese, o momento linear total do sistema, ,P se conserva. Assim:

de forma que a conservação do momento linear implica:

o que dá

.evm

A variação de massa do sistema cuja velocidade variou de v ∆ é ,)()( mmtmttm δ−=∆=−∆+ (45) ou seja, é negativa (o sistema do astronauta perdeu a massa da bala). A equação (4) pode então ser rescrita como:

.evm

Se agora o astronauta substituir o revólver por uma pistola de jato, que ejete material (água ou gás) continuamente, a massa do astronauta (nela compreendida a da pistola) varia continuamente com o tempo, e pode-se chamar de )(tm a massa no instante .t Supondo que a velocidade de ejeção ev − em relação à pistola é uma característica da mesma, permanecendo constante, a equação (46), que se aplica à variação de velocidade v ∆ do astronauta durante um intervalo de tempo ,t∆ permite chegar à equação de movimento do astronauta:

Passando ao limite em que ,0→∆t obtém-se

,rele vdt dmvdt dmam dt vdm onde erelvv −= é a velocidade relativa do jato de material em relação à pistola.

Se dtdm (0<) é constante durante certo período e ev também é constante, de modo que o segundo membro da equação (48) equivale (no sentido de amF =) a uma força constante exercida sobre o astronauta. Esta “força” chama-se o empuxo devido à ejeção de massa.

Entretanto, como )(tmm= é variável na equação (48), o segundo membro não corresponde à taxa de variação temporal do momento do astronauta. Com efeito, como )()()(tvtmtp = é a expressão do momento, tem-se que:

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