Geometria Analítica - 04 - Posição entre duas retas (Interseção entre retas)

Geometria Analítica - 04 - Posição entre duas retas (Interseção entre retas)

Profa . Enai Geometria analítica 14/02/2013

Estudo dirigido14/02/2013

Na ultima aula vimos:

Condição de paralelismo de duas retas; Condição de ortogonalidade de duas retas; Condição de coplanaridade de duas retas.

Obs.: Duas retas coplanares podem ser:

a) Paralelas b) Concorrentes

As retas e se encontram em um ponto I.

Profa . Enai Geometria analítica 14/02/2013

Estudo dirigido14/02/2013

As retas e não se encontram, ou seja, não tem ponto em comum.

As retas e não estão no mesmo plano e não tem ponto em comum.

Caso o produto misto não seja zero, as retas e são reversas, ou seja, não estão situadas no mesmo plano.

Roteiro para estudar a posição de duas retas:

I) Verifica-se primeiro as equações das duas retas para saber se as retas são paralelas. I) Caso não sejam paralelas, calcula-se o produto misto. a) Se for igual a zero, as retas são coplanares concorrentes. b) Se for diferente de zero, as retas são reversas.

Profa . Enai Geometria analítica 14/02/2013

Estudo dirigido14/02/2013

Exemplo: 1) Estudar a posição relativa das retas

das retas e

Solução: Primeiro verificamos se as retas são paralelas, para isso, observemos os vetores diretores

Como a equação de está na forma reduzida, seu vetor diretor é . A equação da reta está na forma paramétrica, assim o seu vetor diretor é .

Usando a condição de paralelismo temos:

, ,

Logo, as retas e satisfazem a condição de paralelismo, portanto são paralelas. 2) Estudar a posição relativa das retas

Solução:

A equação da reta está na forma simétrica, o seu vetor diretor é . A equação da reta está na forma paramétrica, o seu vetor diretor é .

As retas não são paralelas, pois

Calculemos o produto misto para saber se são concorrentes ou reversas.

Profa . Enai Geometria analítica 14/02/2013

Estudo dirigido14/02/2013

Considerando os pontos , temos:

Logo, as retas são coplanares concorrentes. INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS.

Duas retas e coplanares e não paralelas são concorrentes, neste caso as retas e se encontram em um ponto I. Nosso objetivo é determinar esse ponto de interseção.

Para isso considere as retas,

Para encontrar o ponto de interseção de duas retas temos que resolver o sistema formado pelas suas equações, a solução do sistema será o ponto em comum das duas retas.

O sistema formado pelas equações de e é:

Na terceira equação do sistema temos t = -x, substituindo nas duas ultimas equações teremos:

Profa . Enai Geometria analítica 14/02/2013

Estudo dirigido14/02/2013

Igualando as duas equações em y, Substituindo x = 1 em y e z, obtemos:

Logo, o ponto de interseção das retas e é

. Exercícios 18 - 25 das pag. 136 e 137 do livro.

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