Derivadas (exercícios resolvidos)

Derivadas (exercícios resolvidos)

(Parte 1 de 3)

2º ciclo – Regime Diurno/Nocturno Disciplina de COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

Ano lectivo de 2007/2008 - 1º Semestre

Derivadas.

1.1) A derivada da função no ponto a segundo o vector v .

1.2) A derivada direccional da função no ponto a e segundo o vector v .

2. Calcule a taxa de variação da função ()225),(yxyxf+=. 2.1) Nos pontos da semi-recta xy=(),0xy< segundo a direcção da mesma.

2.2) Nos pontos da circunferência 222ryx=+ segundo a direcção do seu raio.

3. Determine a derivada direccional de (,)3xfxyye= no ponto (1,2)=a e na direcção que faz com o eixo das abcissas, um ângulo de: 3.1) 60º ; 3.2)150º.

4. Calcule a derivada direccional da função 2(,)531fxyxxy=−−− no ponto (2,1)P≡ segundo a direcção da recta que une este ponto ao ponto )5,5(≡Q.

5. Determine a derivada direccional da função xyxyxf3),(2 −= segundo a direcção da tangente à parábola de equação 2+−=xxy no ponto (1,2)=a.

6. Determine os pontos da parábola 2xy= onde se anula a primeira derivada direccional da função 2),(yxyxf−= segundo a direcção da tangente à parábola nesses pontos.

7. Determine os pontos da circunferência 1822=+yx onde se anula a derivada de xyyxf=),( segundo o vector tangente à circunferência nesses pontos.

8. Calcule as taxas de variação dos seguintes campos escalares nos pontos e segundo as direcções indicadas.

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Derivadas

2/4 APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

9. Construa a expressão geral das derivadas direccionais no ponto )0,0( e verifique se são contínuas as seguintes funções.

0, (,)(0,0)

x y x yf x y x y x y

9.2)
0, (,)(0,0)

xy x yf x y x y x y

10. Construa as expressões gerais das derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções.

0, (,)(0,0)

x y x yf x y x y x y

10.2)
0, (,)(0,0)

x y x y x yf x y x y

2, (,)
2cos()2sen(),

2 2 2 2 xy y xfxy y x y y x y x

1. Considere a função 2:ffD⊆→ definida por

,4xy

x y x yf x y

Calcule, se existir, (2,0)fx ∂

12. Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem das funções.

xy yxyxf − y xyxfarccos),(=.

13. A temperatura duma placa de metal é dada por 22100/Txy=+, calcule a taxa de variação da temperatura na direcção do eixo das abcissas no ponto (1,0).

14. A velocidade de propagação do som v num gás depende da pressão p e da densidade d do gás, /vKpd=, sendo K uma constante. Determine a taxa de variação da velocidade com respeito à pressão e à densidade.

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Derivadas

3/4 APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

15. Calcule a partir da definição as derivadas parciais de 2ª ordem da função 2),(yxyxf=.

16. Calcule, caso existam, as derivadas parciais de 2ª ordem das funções da questão 12. 17. Construa a expressão geral das derivadas parciais de 2ª ordem da função

0, (,)(0,0)

18. Calcule as derivadas parciais de 2ª ordem das seguintes funções no ponto ()0,0:

0, (,)(0,0)

y x y x yf x y x y x y

22arctgarctg, 0 e0(,)
0, 0 ou 0

yxxy xy x yf x y x y

19. Verifique, utilizando o teorema de Schwarz, para que pontos de 2 se tem

20. Verifique se, para 322yxz+= se tem x y y y

=++ satisfaz

21. Verifique que ()2(,)lnarctgyfxyxyx 2 2

2. Considere a função (,)4sin(2)ayfxyebx=. Relacione a e b (constantes) de modo que

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Derivadas

4/4 APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

Derivadas - resumo da teoria

Antes de se passar ao estudo das derivadas de funções reais com variais variáveis, relembre-se o conceito de derivada de uma função real de variável real (f.r.v.r.). De modo geral, quando uma grandeza y está expressa em função de uma outra x, ou seja, ()yfx=, observamos que, para uma dada variação xh∆= de x, ocorre, em correspondência, uma variação yf∆=∆ de y, desde que y não seja uma função constante.

Considerando a recta r que passa nos pontos 0(,())xfx e 0(,())xxfxx+∆+∆, portanto, secante à curva ()yfx=, o declive desta recta é dado por f x x f x f x x f x m x x x x que pode ser encarado como uma medida da «taxa média de variação» de f, por unidade de comprimento, entre os pontos 0x e 0xx+∆. Conforme x∆ se aproxima de zero, o ponto

0(,())xxfxx+∆+∆ aproxima-se do ponto 0(,())xfx, e a recta continua secante ao gráfico, sendo determinada por dois pontos cada vez mais próximos. Na posição limite, quando 0x∆→ , esta recta passa a ser tangente, tr, ao gráfico da função no ponto 0(,())xfx. O declive desta recta tangente é dado por f x x f x m

A derivada de uma função de equação ()yfx= é uma função de x, que por definição é dada pela expressão dx dx x∆ →

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Derivadas

5/4 APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

A derivada é, portanto, um operador matemático que transforma uma função noutra função. Num determinado ponto dá a taxa de variação pontual ou instantânea da função nesse ponto, geometricamente corresponde ao declive da recta tangente ao gráfico da função ()yfx= nesse ponto e trigonometricamente corresponde à tangente que essa recta faz com o eixo das abcissas (ou seja ()tgfxα′=, onde α é o ângulo que a recta tangente forma com o eixo horizontal, medido no sentido anti-horário).

Obs.: Em particular, quando ()yft= descreve a posição de um objecto no instante t quando este se move numa linha recta, então ()ft′ descreve a velocidade (instantânea) do objecto no instante t.

No estudo das funções de várias variáveis é muitas vezes importante conhecer o modo como se comporta uma dada função ()yf=x quando a variável x sofre uma variação ao longo de um determinado percurso em vez de tomar valores arbitrários no seu domínio. Pode, ainda, ser importante verificar o efeito da variação de uma variável, mantendo as outras constantes.

Convém observar que, enquanto no caso das f.r.v.r. os «acréscimos» possíveis tem todos a mesma direcção, a do eixo das abcissas, para funções reais com várias variáveis pode considerar-se acréscimos em infinitas direcções. Será natural esperar que, em geral, a «taxa de variação» de

()yf=x dependa da direcção considerada (assim, por exemplo, se (,)fxy designar a temperatura no ponto (,)xy, situado no chão de uma oficina com um forno em funcionamento e uma porta aberta para o exterior, é de esperar que a temperatura aumente rapidamente nas direcções que conduzam ao forno e diminua nas que levam à saída).

Dada uma função,

:nffD⊆→ e seja intfD∈a. Suponhamos que se pretende, estudar a taxa de variação (o comportamento) de ()fx a partir de a quando o ponto x varia ao longo de uma determinada direcção.

um vector de n . Chama-se derivada de f, no ponto a, segundo o vector v , e escreve-se f v f λ λ λ→ desde que este limite exista.

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Derivadas

6/4 APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

Particularizando para 2n=:

e (,)intfabD∈, então

Obs.: Em vez de (,)ab=a poderia ter-se considerado, por exemplo, 0(,)xy=a.

Definição: Sejam um vector unitário de n . Chama-se derivada direccional de f, no ponto a, na direcção de u a

()uf′ a, e representa a taxa de variação da função f, no ponto a, na direcção de u .

Dado um vector u de n , diz-se que o vector é unitário se 2 2

11nu u u= + + =

. Caso um vector não seja unitário, para o tornar, deve dividir-se cada uma das suas componentes pela sua norma. Isto com

1 2 1v v v= + ≠ , obtém-se um vector unitário

1 1 2 2n
=,, nnv
11nu u u= + + =

Assim, se a direcção segundo a qual se pretende calcular uma derivada direccional for indicada através de um vector não unitário v , é preciso normalizar este vector de modo a obter um vector unitário v u v

Na definição de derivada direccional considera-se que a varia ao longo de uma determinada direcção orientada com velocidade de grandeza 1u= . Isto resulta do facto de que, para se poder comparar o comportamento de ()fx quando x varia ao longo de duas direcções diferentes, é necessário supor que aquela variação se faz com a mesma rapidez, que então se convenciona ser igual a 1.

Repare-se que

Mais geralmente, tem-se para qualquer escalar, não nulo, k,

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Derivadas

7/4 APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

Particularizando para 2n=:

Dado um vector v de 2 , 1122vveve=+

, sendo

1 2 1v v v= + ≠ , obtém-se um vector unitário

A derivada direccional de 2:ffD⊆→ , no ponto (,)intfabD∈, na direcção de v , é dada por f a u b u f a bf f a b f a b f a b vλ

Por outro lado, a representação gráfica do vector 12(,)u= , ilustra que a direcção do vector u é especificada pelo ângulo α que este faz com o eixo das abcissas ou pelo ângulo β que este faz com o eixo das ordenadas. Como se sabe,

1cos sen u apesar de cosα ou cosβ só por si não determinarem a direcção do vector, juntos determinam completamente essa direcção. Sendo, u um vector unitário, 1u =

, donde, 1cosuα= e 2senuα=, ou seja, (cos,sen)uαα= e, claro, que 2 2cos sen 1u α α= + = . Assim, quando se pretende calcular uma derivada direccional num ponto 2∈ a segundo um vector u , pode-se considerar em que α e βsão os ângulos directores, e cosα, cosβ são designados por cosenos directores do vector.

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Derivadas

8/4 APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

Pelo que foi dito, a derivada direccional em (,)intfabD∈, pode também ser dada por,

Para se interpretar geometricamente o conceito de derivada direccional, teremos de nos restringir a campos escalares definidos em 2 , isto é, do tipo (,)zfxy=, cujo o gráfico é uma superfície em

3 . Supondo que a superfície S é a representação gráfica de (,)zfxy=, sejam P e R dois pontos de S imagens por f, respectivamente, de a e uλ+ a. Seja QPuλ=+ , logo QPλ−=, visto que u é unitário. Tem-se ()()RQfaafaλ−=+−.

Seja γ a curva sobre S imagem por f da recta que contém u . Quando 0λ→ a taxa de variação de f, ou seja, a derivada direccional é representada por tgα, em que α é o ângulo que a recta tangente à curva γ no ponto P faz com o plano xOy.

Assim, a derivada direccional da função f no ponto a segundo o vector u diz qual a variação no valor da função quando x se afasta infinitamente do ponto a, na direcção do vector u . Ou seja, geometricamente, a derivada ()uf′ a dá o declive da recta tangente à superfície no ponto (,())faa

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Derivadas

9/4 APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

Recordemos que para f.r.v.r. a existência de derivada finita num ponto garante a continuidade da função nesse ponto. Em funções com mais do que uma variável a existência de derivada direccional finita num ponto, segundo qualquer direcção, não garante a continuidade do campo escalar nesse ponto. Veremos mais adiante que uma condição suficiente de continuidade é a diferenciabilidade.

As derivadas direccionais são, como se viu, derivadas segundo vectores unitários. No caso particular destes vectores serem vectores da base canónica de n , isto é, se

(0,...,0,1,0,...,0)iu e= = , onde 1 aparece na i-ésima posição correspondendo à variável ix, sendo i i n i n e i n i n i f e f f x x x f x x xf f x x x f x x x f x x x x ou seja, a derivada direccional segundo o vector iue= é a derivada parcial de f em ordem a ix (as derivadas parciais são um caso particular das derivadas direccionais, calculadas na base canónica).

Note-se que aqui, com excepção da variável ix todas as outras componentes de x se mantém constantes. Pelo que foi dito, para um ponto qualquer n∈ a i f x contudo esta derivada pode não existir.

Uma derivada parcial representa a taxa de variação de uma função, que depende de várias variáveis independentes, quando todas as variáveis excepto uma são mantidas constantes. Assim, para o cálculo destas podem aplicar-se as regras usuais de derivação para funções de uma variável, tratando-se todas as variáveis independentes, excepto uma, como constantes.

Sendo 1(,...,)nvvv= um vector qualquer de n , então, existindo todas as derivadas envolvidas n n v e i i i i i f f v v este resultado, caso possa ser aplicado, permite o cálculo das derivadas direccionais, evitando a utilização da definição.

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Derivadas

10/4 APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

Particularizando para 2n=:

Caso 1(1,0)ue== , vector da base canónica de

2 , define-se derivada parcial de (,)fxy em xλ λ λ→

Calculada em 2∈ a, representa a taxa de variação de f em a, segundo a direcção do eixo x.

Caso 2(0,1)ue== , o outro vector da base canónica de

2 , define-se derivada parcial de (,)fxy em ordem a y (0,1)0 yλ λ λ→

Calculada em 2∈ a, representa a taxa de variação de f em a , segundo a direcção do eixo y.

Assim, a função derivada.(,)xfxy′ pode ser calculada tratando y como uma constante e derivando a função em ordem a x. A derivada de (,)fxy em ordem a y, (,)yfxy′, calcula-se de modo análogo considerando x constante. Estas derivadas podem não existir para determinados pontos.

Para se interpretar geometricamente o conceito de derivada parcial para funções com duas variáveis independentes, (,)zfxy=, considere-se, em primeiro lugar, a secção da superfície (,)zfxy= obtida pelo plano vertical yb=.

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Derivadas

1/4 APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

Neste plano, a curva (,)zfxb=, resultante da intersecção entre a superfície e o plano yb=, que se representa por 1γ, tem uma tangente com inclinação (,)xfab′em (,)ab, ou seja, a recta tangente, 1r, a esta curva no ponto (,)ab faz um ângulo α com o eixo das abcissas, sendo tg ( , )xf a bα ′=

(representa um declive, em que ponto e direcção?).

A derivada parcial, (,)xfab′, representa a taxa de variação da função, no ponto (,)ab quando o x varia uma unidade, mantendo y constante (yb=).

Considere-se, agora, a secção da superfície (,)zfxy= obtida pelo plano xa=.

A derivada parcial, (,)yfab′, representa a taxa de variação da função, no ponto (,)ab quando o y varia uma unidade, mantendo x constante (xa=).

Neste plano, a curva (,)zfay=, resultante da intersecção entre a superfície e o plano xa=, que se representa por 2γ, tem uma tangente com inclinação (,)yfab′em (,)ab, ou seja, a recta tangente, 2r, a esta curva no ponto (,)ab faz um ângulo β com o eixo das ordenadas, sendo tg(,)yfabβ′=.

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Derivadas

12/4 APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

Derivadas de ordem superior.

Se as funções (,)xfxy′ e (,)yfxy′ admitirem derivadas em ordem às suas variáveis, definem-se as derivadas parciais de 2ª ordem. As derivadas quadradas x λ λ λ→ y λ λ λ→

As derivadas rectangulares x y λ λ λ→ yx f x y f x yff x y x y y x λ λ λ→

Obs.: Certos autores usam a notação (,)xyfxy′′ com o significado contrário ao que é aqui adoptado.

De modo análogo, podem definir-se as derivadas parciais de ordem superior às de segunda ordem. Uma função com n variáveis tem kn derivadas de ordem k.

Definição: Diz-se que uma função pertence à classe 0()kCk∈ , num conjunto aberto fAD⊆ sse f admitir derivadas contínuas até à ordem k (inclusive) nos pontos de A. Escreve-se ()kfCA∈.

As derivadas

(,)xyfxy′′ e (,)yxfxy′′, para um determinado 0(,)xy=a, nem sempre são iguais e podem até não existir. É por vezes útil conhecer condições que garantam a igualdade das derivadas rectangulares.

Teorema (de Schwarz): Seja

(,)xyfxy′′ numa vizinhança de a e se (,)xyfxy′′ for contínua em a. Então existe ()yxf′′a e

Em particular, se 2()fCA∈, então ()()xyyxff′′′′=a, A∀∈a. Este resultado pode generalizar-se: se

:nffD⊆→ , e ()kffCD∈ sendo fD aberto, então é indiferente a ordem de derivação, até à ordem k (inclusive).

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Derivadas

(Parte 1 de 3)

Comentários