Geometria Espacial -Estudo da Esfera

Geometria Espacial -Estudo da Esfera

(Parte 1 de 2)

Exercícios resolvidos de Geometria Espacial – Esfera – C.R.Brasil

Esfera Teoria

Definição

Por definição, uma superfície esférica é o lugar geométrico dos pontos do espaço que estão à mesma distância de certo ponto - o centro.

Uma esfera é o lugar geométrico dos pontos do espaço pertencentes à superfície esférica e ao seu interior.

A esfera surge da revolução de uma semicircunferência. Observe:

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Esse corpo circular possui inúmeras aplicações cotidianas.

Seu volume depende do tamanho do raio, que é à distância do centro da esfera a qualquer ponto da extremidade.

A fórmula matemática utilizada para determinar o volume da esfera é a seguinte:

Localização dos pontos pertencentes a uma Superfície Esférica e a uma Esfera

Superfície Esférica

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Os pontos A e B pertencem à Superfície Esférica de centro C e raio igual ao comprimento do segmento de reta [CA].

Os pontos E e G pertencem ao exterior da Superfície Esférica de centro C e raio igual ao comprimento do segmento de reta [CA]. O ponto D pertence ao interior da Superfície Esférica.

Os pontos A, B, C, D e F são pontos pertencentes à esfera de centro C e raio [CA]. Os pontos E e G pertencem ao exterior da esfera.

Exemplos

Em situações do dia a dia existem muitos os exemplos de superfícies esféricas e esferas que podes encontrar.

Bola de futebol Bola de Basquetebol

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Bolas de Bilhar e Snooker

Área da esfera A área de uma superfície esférica de raio r é igual a:

Volume da e Seu volume depende do tamanho do raio, que é à distância do centro da esfera a qualquer ponto da extremidade.

O volume de uma esfera de raio “r” é igual a:

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Exercícios resolvidos

01. Uma laranja tem a forma esférica. Assim sendo, qual é, aproximadamente, a área da casca de uma laranja com 8 cm de diâmetro? Adote: π = 3,14.

Solução:

Se o diâmetro da laranja vale 8 cm, então, seu raio vale 4 cm.

A área da esfera (S) é dada por:

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02. Duas esferas metálicas de raios r e 2r são fundidas e moldadas em forma de um cilindro de altura 3r. Qual é o raio R do cilindro?

Solução:

Volume da esfera metálica de raio r:

olu e da esfera et lica de raio r Somar os volumes das esferas

Volume do cilindro será igual ao volume das esferas. olu e do cilindro = π.r².h, onde altura igual a 3r. Vamos determinar o raio R do cilindro.

π. R².3r = 1 .π.r³ R² = 12. r³ / 3r R² = 4r² R = 2r

Temos que o raio do cilindro é 2r.

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03. Uma fábrica de bombons deseja produzir 20 0 unidades no formato de uma esfera de raio 1 cm. Determine o volume de cada bombom e a quantidade de chocolate necessária para produzir esse número de bombons.

Volume de cada bombom:

A quantidade de chocolate necessária para a produção das 20.0 unidades é de:

Sabemos que 1 cm³ = 1 ml, então 83.600 cm³ corresponde a 83.600 ml de chocolate ou 83,6 quilos.

Portanto, a fábrica irá gastar 83,6 quilos de chocolate, e o volume de cada bombom será de 4,18 cm³.

04. A esfera da figura está inscrita em um cilindro. Se o volume da esfera

(a) 8 π c ³(b) 1 π c ³ (c) 16 π cm³ (d) 3 π c ³ (e) 64 π c ³

Qual é o volume do cilindro?

Solução:

Igualamos a fórmula do volume de uma esfera, com o valor dado, isso permitirá saber o raio da esfera, que é o raio da circunferência do

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cilindroAlém disso, duas vezes o raio é a altura do cilindro,

7 vejamos:

05. A área de uma superfície esférica é “S”. Calcule o raio “R” da esfera em função de “S” e dê o valor de “R” quando S = 36 π cm².

Solução:

06. O diâmetro de uma esfera é igual ao raio de outra esfera. Qual é a razão entre as áreas das superfícies esféricas?

Solução:

𝜋 𝑟3𝑟3 𝒓 𝟐

Volume do cilindro:

Quando S = 36 π cm²

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07. A figura abaixo representa um hemisfério. Qual é a área da superfície desse hemisfério? Dados: Diâmetro = 20 m e π= 3,14.

08. Um plano secciona uma esfera a 4 cm do centro 0, determinando uma secção plana de raio 3 cm. Calcule o volume dessa esfera e a área de superfície.

𝟐

Sejam d1 e r2 o diâmetro da esfera 1 e o raio da esfera 2, respectivamente: ESFERA 1

d1 = r2  2 r1 = r2 𝒓𝟏

Razão entre as áreas:

Sejam S1 e S2 as áreas das esferas 1 e 2, respectivamente. Logo:

𝑆2
𝑆

Solução:

A área do hemisfério equivale à metade da área de uma esfera de raio r= 10 m:

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Solução:

09. Na figura a seguir, o raio da esfera mede 10 cm, e a distância do centro desta ao plano β é igual a 8 cm. Calcule a área da secção plana determinada pela intersecção do plano b com a esfera.

Solução:

10- Duas esferas maciças, cujos raios medem 4 cm e 8 cm, são fundidas para moldar uma única esfera. Calcule a medida do raio dessa nova esfera.

Solução:

4 cm 3 cm

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo da figura ao lado, temos:

Assim, a área de secção, determinada pela intersecção do plano e a esfera, é igual a:

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1- Uma esfera tem raio de medida 13 cm. A intersecção dessa esfera com um plano é um círculo cujo diâmetro mede 10 cm. A distância desse plano ao centro da esfera é:

12. Uma esfera de centro O e raio 15 cm é seccionada por um plano a 12 cm de O. Calcule: a) a área da secção plana, b) a área da superfície esférica, c) o volume da esfera.

𝜋𝑅3𝜋

O volume da nova esfera é igual à soma dos volumes das outras duas. Sendo R a medida do raio da nova esfera, temos:

13 cm d 5 cm a) 6 cm b) 9 cm c) 1 cm d) 10 cm e) 12 cm

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Solução:

13. Um círculo máximo de uma esfera separa-a em dois sólidos chamados de hemisférios ou semiesfera. Calcule o volume e a área de um hemisfério de raio 3 cm.

14. Uma fundição transformou uma esfera maciça de ferro em oito esferas maciças de raio 5 cm. Qual é a medida do raio da esfera original? r 15 cm 12 cm

𝑆 𝜋𝑟 𝑆 𝜋𝑆 𝟖𝟏𝝅 𝒄𝒎

a) A área da secção plana é dada por:

5 b) A área da superfície esférica é dada por: c) O volume da esfera é dado por:

Solução: (1) Cálculo do Volume da semiesfera:

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15. Um ourives banhou em ouro 40 peças esféricas de 5 m de raio. O custo de cada milímetro quadrado desse banho foi R$ 0,05. Qual foi o custo total (Adote: π=3,14)

Solução:

16. Ao cair em uma cavidade em forma de cone circular reto de altura 16 cm e raio da base 12 cm, uma esfera estacionou com seu centro a 2 cm do vértice do cone, conforme mostra a figura.

𝑅3

Solução: Sendo R a medida em cm, do raio da esfera original, temos:

𝑆 𝜋 𝑟 𝑆5 𝑺 𝟑𝟏𝟒 𝒎𝒎

A área de cada superfície esférica é:

A área total banhada em ouro é:

2 cm

GEOMETRIA ESPACIAL – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – ESFERA Celso do Rosário Brasil a) A figura abaixo representa uma secção meridiana desse cone, em que a geratriz AB tangencia a esfera no ponto T. Prove que os triângulos ABC e AOT são semelhantes.

b) Calcule o volume da esfera.

12 cm

2 cm A

12 cm C B

Solução: a) Note que o raio da esfera é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência. Assim: O ângulo C é congruente ao ângulo T (I)

O ângulo A é comum aos triângulos ATO e ACB. Assim: Os ângulos OAT ≅ CAB (I)

As condições de (I) e (I) caracterizam o caso ângulo-ângulo de semelhança de triângulos, portanto: ∆ ~ ∆ b) Sendo R a medida, em cm, do raio da esfera, temos, pela semelhança de triângulos demonstrada no item “a” e pelo Teorema de Pitágoras:

O Volume da esfera é dado por:

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17. Enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 20 cm e raio de base r = 2 cm com determinado número de esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. Quanto vale o volume interior ao cilindro e exterior às esferas?

Solução:

r= 2 cm

𝜋

Primeiro, vamos calcular o volume de cada esfera (Note que o raio do cilindro é igual ao raio de cada esfera). Assim:

Como as esferas são tangentes entre si, o diâmetro de cada uma vale 2.2 = 4 cm, logo, cabem 5 esferas (altura do cilindro = 20 cm) dentro do cilindro. Portanto, o volume total ocupado pelas esferas vale:

V= Sb.h V=𝜋 2𝑽 𝟖𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟑

Vamos calcular o volume do cilindro: Logo, o volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale:

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18. Calcule o volume de uma cunha esférica de raio 3 cm cujo ângulo diedro mede 40°.

Solução:

A razão entre o volume de uma esfera e a medida do ângulo diedro de uma volta completa (360° ou 2π rad) é igual à razão entre o volume de uma cunha qualquer dessa esfera e a medida de seu ângulo diedro. Assim, o volume V da cunha em questão pode ser calculado através de uma regra de três simples:

Ângulo (em graus)Volume (em cm³)

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19. Calcule a área de um fuso esférico de raio 10 m cujo ângulo diedro mede

20. No jogo de bola disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura a seguir. Qual é a distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão?

Solução:

A razão entre a área da superfície de uma esfera e a medida do ângulo diedro de uma volta completa (360° ou 2π rad) é igual à razão entre a área de um fuso qualquer dessa superfície e a medida de seu ângulo diedro. Assim, a área “S” do fuso esférico em questão pode ser calculada pela regra de três simples:

5𝜋
Ângulo (rad)Área (m²)

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21. De uma melancia com o formato de uma esfera de raio 15 cm retirou-se um pedaço em forma de cunha esférica com ângulo diedro de 30°.

a) Calcule o volume desse pedaço, b) Calcule a área do fuso esférico referente a esse pedaço, c) Calcule a área desse pedaço.

Solução: Podemos representar a situação acima apresentada da seguinte maneira:

Observe que a distância “x” entre os pontos A e B é igual à distância entre os pontos C e O’. Logo, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo OCO’. Assim:

x²+4² = 12² x² = 144-16 x²= 128 x=𝒙 𝟖 𝟐

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2. Os raios de duas esferas concêntricas medem, 15 cm e 9 cm. Calcule a área feita na esfera maior por um plano tangente à outra esfera.

° 75

a) Ângulo (em graus)Volume (cm³)

Solução:

30°----------------------------------------V
b) Ângulo (em graus)Área (cm²)

c) A área total (S) da superfície da cunha é a soma da área do fuso com as áreas de dois semicírculos de raio 15 cm, isto é:

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23. Supondo que a circunferência máxima do globo terrestre tenha 40.0 km de comprimento, qual é a área de cada fuso horário, em km²? s M

O r

Solução:

Observação: Toda secção plana de uma esfera é um CÍRCULO. Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera. Sendo “r” o raio da esfera, “d” a distância do centro da esfera ao plano secante e “s” o raio da secção, temos: d² + s² = r².

Na figura acima, temos: r=15 o raio da esfera maior; d=9 o raio da esfera menor e s o raio da secção, logo:

A área da secção é a área do círculo de raio 12. S= πs² S=π.144 S= 144π cm².

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24. Um círculo máximo de uma esfera separa-a em dois sólidos chamados de hemisférios ou semiesferas. Calcule o volume e a área de um hemisfério de raio R= 3 cm.

𝟑𝟔𝟎°−−−−−−𝟒𝝅𝑹𝟐
5 𝜋
58

Solução: Sendo R a medida, em km, do raio da Terra, temos:

Cada ângulo diedro de cada fuso mede: °

A área do fuso é dada por:

3 cm

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25. Um reservatório de forma esférica (figura abaixo) tem 9 m de raio. Para encher totalmente esse reservatório são necessárias 20 horas. Nessas condições, o reservatório recebe água na razão de quantos m³/h (aproximadamente)? Dado: π=3,14.

Solução: (1) O volume do hemisfério é dado por:

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26. Um reservatório tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro (figura abaixo). Qual será o volume, em litros, de água que enche completamente esse reservatório? Adote: π= 3,14.

5
5𝑚

Solução: (1) Volume do reservatório:

(2) Vazão no reservatório:

8 m 8 m

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27. Quantos mililitros cabem, aproximadamente, na vasilha abaixo? Adote π=23,14.

𝑉 𝑆𝑏 ℎ 𝑉 𝜋𝑟 ℎ 𝑉 𝜋𝑽 𝟓𝟏𝟐𝝅 𝒎
5 𝜋𝜋
5

Solução: (1) Volume do cilindro:

(2) Volume do hemisfério:

(3) Volume do reservatório:

5 cm 8 cm

14 cm

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Solução:

A vasilha é formada por dois sólidos: 5 cm

8 cm CILINDRO

ESFERA 14 cm

𝑉 𝜋𝑟2ℎ 𝑉 𝜋 5 2 𝑉 𝜋5 𝑽 𝟓𝟎𝝅 𝒄𝒎
𝜋
5
7

(1) Cálculo do volume do cilindro no qual r= 2,5 cm e h = 8 cm; (2) Cálculo do volume da esfera de raio r= 7 cm:

(3) Cálculo do volume da vasilha:

Como 1 cm³ = 1 ml, o volume da vasilha é de, aproximadamente, 1593 ml.

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29. Uma esfera, cuja área da superfície mede 192π cm², circunscreve um cubo. Calcule o volume desse cubo.

28. Uma esfera está inscrita em um cubo cujo volume é igual a 64 dm³. Calcule o volume da esfera.

Solução: Observando a figura ao lado, notamos que a medida da aresta “a” do cubo é o dobro da medida do raio “R”, assim:

a = 2R

V= 64 dm³ 𝑎𝑎 3

(1) O volume do cubo vale:

(2) Como a=2R a

𝜋

(3) Cálculo do Volume da esfera de raio R=2 dm:

𝐷 𝑎𝑅 𝑎 𝑹

Solução: Observe na figura ao lado que a diagonal D do cubo equivale ao dobro do raio R da esfera:

D = 2R Não esqueça que a diagonal do cubo vale:

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30. Uma esfera está inscrita em um cilindro cuja altura mede 10 cm. Calcule o volume compreendido entre o cilindro e a esfera.

𝑆𝜋 𝜋𝑅 𝜋 𝑅
𝑅𝑹 𝟒 𝟑𝒄𝒎

(1) De acordo com o enunciado da questão a área da esfera vale:

, temos:

𝑉 𝑎 𝑉𝑽 𝟓𝟏𝟐 𝒄𝒎

(3) Assim, o volume do cubo vale:

r r

Solução:

Note que na figura ao lado “R” é o raio da esfera, r é o raio da base do cilindro. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo destacado em vermelho, temos:

(2R)² = (2r)² + (H)².

Além disso, Como a superfície intersecta as bases do cilindro nos seus centros, e o círculo máximo da esfera é congruente às bases do cilindro, então as medidas do raio e da altura do cilindro são iguais, respectivamente, a R e 2R, ou seja o cilindro é equilátero.

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31. Em uma esfera, está inscrito um cilindro reto cuja altura mede 20 cm e cujo raio da base mede 8 cm. Calcule a área da superfície dessa esfera.

Como: H = 10 H = 2r 10=2r r = 5 cm (O raio da base do cilindro e o raio da esfera vale 5 cm).

O volume compreendido entre o cilindro e a esfera é dado por:

𝑅 22 2
𝑆 𝜋2
𝑆 𝜋

Solução:

De acordo com a figura ao lado, devemos ter:

𝑅25 𝑅2 5
𝑅2𝑅 𝑹 𝟐 𝟒𝟏 𝒄𝒎

Cálculo da área da superfície da esfera:

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32. Uma esfera foi inscrita em um cubo, conforme a figura abaixo. Calcule o volume dessa esfera e determine a razão entre as áreas da superfície cúbica e da superfície esférica. Considere: π=3,14 r a= 2 cm

𝜋
𝑆 𝑎2 𝑆2 𝑺 𝟐𝟒 𝒄𝒎𝟐

Solução: Da figura, temos: a = 2r, e a aresta do cubo igual a 2 cm, então r= 1 cm.

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