Praticando matemática, 6 / Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos

Praticando matemática, 6 / Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos

(Parte 1 de 5)

Coleção PRATICANDO MATEMÁTICA

6ÁLVARO ANDRINI MARIA JOSÉ VASCONCELLOS

EDIÇÃO RENOVADA Matemática

Licenciado em Matemática. Pós-graduado em Álgebra Linear e Equações Diferenciais. Foi professor efetivo de Matemática da rede estadual durante trinta anos. Autor de diversos livros didáticos.

Licenciada em Matemática. Coordenadora e professora de Matemática em escola da rede particular. Coautora de coleção de Matemática para o Ensino Médio.

MANUAL DO PROFESSOR 3a edição, São Paulo, 2012

© Editora do Brasil S.A., 2012 Todos os direitos reservados

Direção executiva Maria Lúcia Kerr Cavalcante Queiroz

Direção editorial Cibele Mendes Curto Santos

Supervisão editorial Felipe Ramos Poletti

Supervisão de arte e editoração Adelaide Carolina Cerutti Supervisão de direitos autorais Marilisa Bertolone Mendes

Supervisão de controle de processos editoriais Marta Dias Portero

Supervisão de revisão Dora Helena Feres Consultoria de iconografia Tempo Composto Col. de Dados Ltda.

Edição Valéria Elvira Prete e Cibeli Chibante Bueno

Assistência editorial Andréia Manfrim Alves e Marjorie Mayumi Haneda Hirata

Auxiliar editorial Rodrigo Pessota e Thalita Picerni

Coordenação de revisão Otacilio Palareti

Copidesque Equipe EBSA Revisão Ricardo Liberal e Nelson Camargo

Pesquisa iconográfica Elena Ribeiro de Souza Coordenação de arte Maria Aparecida Alves Assistência de arte Regiane Santana

Design gráfico Ricardo Borges

Capa Hailton Santos Imagem de capa Orla/Shutterstock com pesquisa iconográfica de Léo Burgos

Ilustrações Departamento de Arte e Editoração (DAE), Hélio Senatore, José Luis Juhas, Lápis Mágico e Luis Moura

Produção cartográfica Selma Caparroz e Sonia Vaz Coordenação de editoração eletrônica Abdonildo José de Lima Santos

Editoração eletrônica Equipe EBSA

Licenciamentos de textos Renata Garbellini e Jennifer Xavier Controle de processos editoriais Leila P. Jungstedt, Carlos Nunes e Flávia Iossi

3 edição / 1 impressão, 2013 Impresso no parque gráfico da Editora FTD

Rua Conselheiro Nébias, 887 – São Paulo/SP – CEP 01203-001 Fone: (1) 3226-021 – Fax: (1) 3222-5583 w.editoradobrasil.com.br

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Andrini, Álvaro

Praticando matemática, 6 / Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. – 3. ed. renovada. – São Paulo: Editora do Brasil, 2012. – (Coleção praticando matemática)

Suplementado pelo manual do professor. Bibliografia ISBN 978-85-10-05154-5 (aluno) ISBN 978-85-10-05155-2 (professor)

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Vasconcellos, Maria José. I. Título. II. Série.

12-02961 CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática: Ensino fundamental 372.7

Você já deve ter perguntado a si mesmo, ou a seu professor:

“Para que eu devo estudar Matemática?” Há três respostas possíveis:

1. A Matemática permite que você conheça melhor a realidade. 2. A Matemática pode ajudar você a organizar raciocínios. 3. A Matemática pode ajudar você a fazer descobertas.

Este livro e as orientações de seu professor constituem um ponto de partida. O caminho para o conhecimento é você quem faz.

Os autores

“Não há ramo da Matemática, por abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.” Lobachevsky

Agradecemos ao professor Eduardo Wagner pelos comentários e sugestões que contribuírampara a melhoria deste trabalho.e sugestões que contribuíram para a melhoria deste trabalho.

1. Um pouco da história dos números7
2. Criando símbolos e regras10
e os algarismos indo-arábicos14
sistema de numeração decimal16
da humanidade20

Unidade 1 Sistema de numeração decimal 3. O sistema de numeração decimal 4. Leitura e escrita de números no 5. Matemática – uma grande criação

de contagem25
2. A reta numérica e os números naturais28

Unidade 2 Números naturais 1. Os números naturais e os processos

1. As ideias da adição e da subtração35
e nas subtrações40
3. Estimando por arredondamento42

Unidade 3 Adição e subtração de números naturais 2. O cálculo mental nas adições

1. As ideias da multiplicação49
2. A divisão54
3. Expressões numéricas58
4. Propriedade distributiva da multiplicação62
5. Vamos resolver mais problemas?64
6. Medindo o tempo67

Unidade 4 Multiplicação e divisão de números naturais

1. Potenciação75
2. Quadrados, cubos e potenciações7
3. O expoente 0 e o expoente 178
4. Raiz quadrada80

Unidade 5 Potenciação e raiz quadrada de números naturais

um número85
número natural87
economizando cálculos89
4. Números primos93
5. Quando os múltiplos se encontram97
6. Divisores comuns e o mdc100

Unidade 6 Múltiplos e divisores 1. Sequência dos múltiplos de 2. Fatores ou divisores de um 3. Critérios de divisibilidade –

1. Para que servem os gráficos?107
2. Vamos fazer uma pesquisa estatística?113

Unidade 7 Dados, tabelas e gráficos de barras

Fernando F avoretto

as formas criadas pelo ser humano117
2. Formas planas e não planas119
3. Investigando os blocos retangulares124
4. Perspectivas e vistas127

Unidade 8 Observando formas 1. As formas da natureza e

1. Falando um pouco sobre ângulos135
2. Ângulos – elementos e representação136
3. Medidas de ângulos138
4. Utilizando o transferidor141
5. Retas perpendiculares e retas paralelas143
6. Os esquadros145

Unidade 9 Ângulos

1. Polígonos151
2Triângulos .......................................... 154
3. Quadriláteros155
4. Polígonos regulares158
5Perímetro ........................................... 160
6. Circunferências162
7. Simetria nos polígonos e no círculo165

Unidade 10 Polígonos e circunferências

1. Inteiro e parte do inteiro171
2. Frações de uma quantidade174
3. Números mistos e frações impróprias176
4. Frações equivalentes179
5. Comparação de frações182
6. Operações com frações185
7. Inversa de uma fração190
de frações193

Unidade 1 Frações 8. Potenciação e raiz quadrada

Unidade 12

1. A notação decimal199
de medidas204
de fração206
4. Comparando números decimais206
números decimais208
6. Multiplicando por 10, 100, 1 0210
7. Multiplicação de números decimais212
com quociente decimal215
9. Divisão de números decimais216

Números decimais 2. Números decimais e o registro 3. Números decimais na forma 5. Adição e subtração de 8. Divisão de números naturais

Unidade 13

1. O que é porcentagem?225
2. Calculando porcentagens228
3. A forma decimal das porcentagens232

Porcentagens

Unidade 14

1. O que é medir?237
métrico decimal239
3. Medindo superfícies244
4. A área do retângulo245
5. Volumes250
6. Quando usamos cada unidade?253
7. Medidas de massa255

Medidas 2. Comprimentos no sistema

de sites para o aluno267
Referências bibliográficas270

Sugestões de leitura e

atividades271
Respostas dos exercícios277

Moldes e malha para as SUMÁRIOSUMÁRIO

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 7

A quantidade!

Hoje, podemos responder à pergunta acima com facilidade, mas nem sempre foi assim. A humanidade levou centenas de milhares de anos para construir a ideia de número.

É isso mesmo! Antigamente, a Matemática não existia na forma que conhecemos hoje. Na maior parte da história da humanidade, as pessoas não sabiam contar!

E como elas aprenderam? Provavelmente a partir de suas necessidades práticas. Quando as antigas civilizações começaram a criar animais e a plantar, contar passou a ser importante para que pudessem controlar o que possuíam.

Você sabe o que cinco pessoas, cinco flores e cinco pedras têm em comum?

Sistema de numeração decimal

1. Um pouco da história dos números

UNIDADE 1UNIDADE

Lápis Mágico

Veja uma situação que pode ter acontecido em um tempo bem distante

Aprendendo a contar

De manhã, a pastora separava uma pedrinha para cada ovelha que levava para pastar. Essas pedrinhas eram guardadas em um saquinho.

À tarde, a pastora comparava a quantidade de ovelhas que voltava do pasto com a quantidade de pedrinhas do saquinho. Se não sobrassem pedrinhas após a passagem do rebanho, ela sabia que todas as ovelhas haviam voltado.

para contar, medir, ordenar, identificarVale sem-

Desde a utilização das pedrinhas, muito tempo se passou. Várias civilizações contribuíram criando métodos de contagem e símbolos para representar quantidades. Hoje, usamos os números pre a pena lembrar quanto a humanidade trabalhou para chegar até aqui!

Número e numeral

Numeral é a forma usada para expressar um número. O numeral pode ser um símbolo gráfico, uma palavra ou um gesto.

Sim, pois ele estabeleceu uma correspondência um a um; ou seja, cada carteira corresponde a um aluno.

Faça esta atividade com um colega. Em certa classe, o número de carteiras é igual ao número de alunos. Um dia, ao chegar na sala, o professor observou duas carteiras vazias e comentou que dois alunos haviam faltado. O comentário dele tem relação com o processo de contagem usado pela pastora dos quadrinhos acima? Justifiquem a resposta.

Para representar um mesmo número, podemos usar numerais diferentes. Veja alguns numerais que representam o número cinco:

cinco five V 5

Na linguagem comum, costumamos usar a palavra número no lugar da palavra numeral.

Valéria V az

Hélio Senatore

Para cada ovelha que sai para pastar, coloco uma pedra no saquinho.

Para cada ovelha que volta, no final do dia, retiro uma pedra do saquinho.

Olga Sapegina/Dreamstime .com

Lápis Mágico

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 9

Exercícios

3 Carlos gosta de brincar com palitos de fósforo usados. Para representar a quantidade de palitos que reunia em cada caixinha, ele inventou o seguinte código:

Para escrever um número, bastava somar os valores de cada símbolo. Veja os exemplos:

Agora é a sua vez! Escreva em seu caderno o número representado em cada situação.

a) 24 b) 18 c) 26 d) 19 e) 35 f) 28 g) 29

4 Se vale 32 e vale 45, quanto vale ? 27

1 Observe as ilustrações e responda.

anotação do clienteanotação do garçom a) Em qual situação há menos jogadores do que bolas? I I b) Em qual situação há mais jogadores do que bolas? I I I c) Em qual situação os jogadores são tantos quantas são as bolas? I d) Para responder a essas perguntas precisa saber contar? Não.

Resposta pessoal. Espera-se que o aluno responda que é a anotação do garçom, porque os tracinhos foram agrupados de 5 em 5.

Foi fazendo a correspondência um a um que durante muitos anos o ser humano pré- -histórico pôde praticar a contagem, antes mesmo de estabelecer o que é número.

Em qual dessas anotações é mais fácil ler o resultado? Por quê?

2 A quantidade de latas de refrigerante consumidas durante uma festa, num restaurante, foi registrada de dois modos:

Hélio Senatore

Ilustr ações: DAE

2. Criando símbolos e regras

Outra dificuldade que as pessoas provavelmente encontravam, há milhares de anos, era trabalhar com grandes quantidades. Afinal, registrar essas quantidades empilhando pedras ou fazendo marcas na madeira era difícil e pouco prático.

Daí veio a ideia de agrupar, para visualizar melhor as quantidades, criando símbolos especiais para esses agrupamentos e regras para registrar quantidades com esses símbolos. Surgiam, então, os primeiros sistemas de numeração.

O sistema de numeração egípcio

Os antigos egípcios contavam formando grupos de 10 elementos. Observe, na tabela, que cada símbolo representa 10 vezes o que o símbolo anterior representa:

Nesse sistema, um mesmo símbolo poderia ser repetido até 9 vezes. Cada agrupamento de 10 era trocado por um novo símbolo. No sistema egípcio, a posição ocupada pelo símbolo não altera seu valor. Veja o exemplo:

Símbolo

Valor um dez cem mil dezmil cemmil um milhão

Lápis Mágico

Ilustr ações: Ilustr a Cartoon

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 1

Representação do número 9 no sistema egípcio:

Veja a adição 86 47 no sistema egípcio: ◆A repetição de símbolos faz os registros ficarem longos!

◆Fazer operações no sistema egípcio é trabalhoso!

◆Pintura representando a colheita de linho no antigo Egito. A civilização egípcia contribuiu bastante para o conhecimento matemático.

Deir el-Medina,

T ebas

5 Com base nas informações do texto sobre o sistema de numeração egípcio, responda em seu caderno.

a) Quantos símbolos eram usados? 7 símbolos b) Quantas vezes era permitido repeti-los? c) Havia símbolo para o zero? Não.

d) A posição em que os símbolos eram colocados para representar um número influía no valor desse número? Não.

e) O valor do número era dado pela soma dos valores dos símbolos usados? Sim.

f ) Os números eram representados de forma resumida (poucos símbolos)? Não.

g) Isso facilitava os cálculos (somar, subtrair etc.)?

Até 9 vezes.

Não.

6 Copie e complete a tabela.

7 O Nilo é um dos maiores rios do mundo. Ele tem 6 741 quilômetros de extensão e corta o Egito de norte a sul. Como os egípcios representavam esse número antigamente?

Exercícios

Ilustr ações: Ilustr a Cartoon

No sistema romano encontramos:

VI V I, ou seja, 8 é representado com 5 3.

No entanto, para representar o 9, em vez de VIIII, escreve-se IX.

IX9
XL40

Da mesma forma: 50 – 10 X antes do L

XC90

100 – 10 X antes do C

◆Os romanos usaram a subtração para não repetir o mesmo símbolo mais de três vezes seguidas.

Durante mais de 1 0 anos, o sistema de numeração romano foi utilizado na Europa. Por volta do século XIII, com a expansão do comércio e das navegações, os símbolos romanos foram substituídos pelos algarismos indo-arábicos.

Hoje, a numeração romana ainda é utilizada em algumas situações, como nos mostradores de alguns relógios, na escrita dos números dos séculos, na numeração de capítulos de livros e de leis, na designação de reis e papas de mesmo nome etc.

O sistema de numeração romano

Os antigos romanos também possuíam um sistema de numeração formado por sete símbolos: I V X L C D M

Observe os exemplos de números escritos em nosso sistema e no sistema romano:

Observe o quadro anterior para descobrir as principais regras do sistema romano de numeração. Responda às questões a seguir em seu caderno.

1. Os símbolos romanos podem ser repetidos no máximo quantas vezes seguidas? Três. 2. Todos os símbolos romanos podem ser repetidos? Não. 3. Quais os símbolos que podem ser repetidos? I, X, C e M 4. Quais os símbolos que não podem ser repetidos? V, L e D 5. O que acontece com o símbolo do número IV quando colocamos um traço horizontal sobre ele? 6. A introdução do traço horizontal permitia aos romanos escrever todos os números, menos um deles. Qual é este número? O zero.

Fica multiplicado por 1 0.

Ok een/Dreamstime

.com

I antes do X

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 13

Exercícios

9 Descubra o segredo da sequência e continue-a.

a) V X XV
b) I VI IX

10 Em seu caderno, copie e complete a tabela:

26 XXVI 73 LXXIII 505 DV 802 DCCCII 1034 MXXXIV 1 409MCDIX

8 Sabemos que os antigos romanos utilizavam a subtração para não repetir o mesmo símbolo mais de três vezes seguidas.

a) Usando esse raciocínio, escreva como se representa 900 no sistema romano. CM b) O número CM tem o mesmo valor que MC? Não.

c) Observando o item anterior, podemos concluir que no sistema romano a posição do símbolo é importante? Sim.

d) Em que ano foi construída esta casa? 1911

12 Descubra o menor número que se pode escrever com os símbolos I , V , X e L .

13 Para escrever os séculos, por exemplo, usamos os símbolos romanos. Veja a tabela e responda às questões a seguir em seu caderno.

Ano Século 1 a 100I 101 a 200II 201 a 300III 301 a 400IV e assim por diante… a) Em que século nasceu Vítor? Século X.

Nasci em 1992, em São Paulo.

1 Estou lendo o capítulo 49 de um livro. Como podemos representar esse número no sistema romano? XLIX b) Copie a tabela em seu caderno e escreva o século referente às seguintes invenções:

Invenção Ano Século telescópio 1609 XVII bicicleta 1842 XIX c) Em que século Pedro Álvares Cabral chegou ao Brasil? Século XV.

d) Em que ano começou e em que ano terminará o século XXI? 2001 a 2100 e) E o século X? 2901 a 3000

14 O que você descobre neste quadrado?

Em qualquer linha, coluna ou diagonal, a soma é sempre 15.

Rubens Chaves/Pulsar Imagens Hélio Senatore

Sem um símbolo para indicar a ausência de agrupamentos em determinada posição, fica difícil diferenciar registros feitos com os mesmos algarismos, como: 23, 203, 2 003, 230 etc.

3. O sistema de numeração decimal e os algarismos indo-arábicos

Muitas civilizações antigas criaram seus próprios sistemas de numeração. Um deles, criado na

Índia, deu origem ao sistema de numeração que hoje usamos. Depois de aperfeiçoado, esse sistema apresentou características que o tornaram mais prático que os outros.

Vamos resumir essas características: • As quantidades de 1 a 9 têm símbolos diferentes para representá-las.

10 unidades 1 dezena 10 dezenas 1 centena 10 centenas 1 unidade de milhar 10 unidades de milhar 1 dezena de milhar 10 dezenas de milhar 1 centena de milhar 10 centenas de milhar 1 unidade de milhão, e assim por diante.

• Possui um símbolo (o zero) para representar no número a ausência de unidades, dezenas, centenas etc.

• Com somente dez símbolos (os algarismos) é possível registrar todos os números, pois o mesmo algarismo assume valor diferente de acordo com sua posição na escrita do número.

5 5 57 0 4 6
valor 500valor 7 0 valor 40 valor 6

valor 50 valor 5

15 648 = 10 0 + 5 0 + 600 + 40 + 8

1 dezena de milhar 5 unidades de milhar 6 centenas 4 dezenas 8 unidades o zero nesta posição indica que não há centenas

Cada posição à esquerda vale 10 vezes a posição imediatamente à direita. Sistemas de numeração em que a posição do algarismo altera seu valor são chamados sistemas posicionais.

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 15

Exercícios

15 (Saresp) Numa farmácia, um medicamento foi embalado em caixas onde cabem 1 0, 100, 10 e 1 unidades. O total de caixas utilizadas aparece na figura a seguir.

Quantas unidades desse medicamento foram embaladas? 2 364 unidades

16 Numa gincana ficou acertado que: ✔ cada ponto valeria um cartão branco;

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