Matematica Financeira

Matematica Financeira

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Matemática Financeira Aula 01

Os direitos desta obra foram cedidos à Universidade Nove de Julho

Este material é parte integrante da disciplina oferecida pela UNINOVE. O acesso às atividades, conteúdos multimídia e interativo, encontros virtuais, fóruns de discussão e a comunicação com o professor devem ser feitos diretamente no ambiente virtual de aprendizagem UNINOVE.

Uso consciente do papel. Cause boa impressão, imprima menos.

AULA 1

Apresentar o contexto em que se realizam as operações que usam a Matemática Financeira como instrumento de decisão.

Um cliente entra em uma concessionária de venda de carros de passeio. Ele se dirige ao vendedor e pergunta quanto custa à vista o modelo desejado. O vendedor o informa que o modelo custa, à vista, R$ 21.0,0. Ele adianta, inclusive, que o carro pode ser financiado em até 48 vezes, dando uma entrada de 10%; com prestações de R$ 854,7.

O cliente quis informações adicionais: o que estava incluso nesse preço. O vendedor o informa que a taxa de juros da financeira é de 2,5% ao mês, o imposto sobre operações financeiras passa de 3% ao ano, e há ainda a taxa de cadastro e seguro.

O cliente multiplicou o valor da prestação pela quantia dessas taxas e verificou que no final pagaria R$41.028,96.

Saindo da concessionária, o cliente foi a um banco pesquisar quanto teria em 48 meses aplicando R$ 854,7 ao mês. O gerente do banco lhe informou que a aplicação daquela quantia, mensalmente, em um título de renda fixa, renderia 14% livre de impostos. Ou seja, ele acumularia um capital de R$ 54.583,68.

O cliente percebeu que, com essa quantia, compraria 2,5 carros à vista, isso sem considerar que poderia pedir desconto.

Mas como o vendedor da concessionária chegou àquele valor a prazo? A taxa de juros se baseava em capitalização simples ou em capitalização composta? O que é taxa nominal de juros? O que é taxa efetiva de juros? O que é taxa equivalente de juros? E, no banco, como o gerente chegou à taxa líquida de aplicação? Que impostos incidem sobre essa aplicação? A taxa de juros é feita com capitalização simples ou capitalização composta?

Todas essas questões serão respondidas nas aulas deste curso.

O que estuda a matemática financeira? Acesse o site: <http://w.advfn.com.br> e veja um ambiente de negociação de bolsa de valores.

1. Conceito de Matemática Financeira

O estudo da Matemática Financeira está ligado à análise do valor do dinheiro no tempo.

O dinheiro é a representação simplificada de valor dos bens. No nosso sistema monetário, o dinheiro é simbolizado por moeda ou papel-moeda, desde que apresente as seguintes características:

1.1. Seja aceito como intermediação de trocas

Essa característica é fundamental para a utilização do dinheiro nas transações econômicas, pois exige agilidade temporal e o mínimo de esforço. Para chegar a essa condição, o dinheiro passou por várias etapas. Na Grécia, por exemplo, o boi era a moeda de troca nas transações, das quais advém a expressão “pecuniária” (do grego pekus). Assim, um boi podia ser trocado por vários carneiros, que, por sua vez, poderiam ser trocados por outros bens. A mercadoria boi era aceita como intermediação de troca. Ele possuía valor temporal, mas apresentava uma grande dificuldade para o transporte.

1.2. Seja depositário de medida de valor

A moeda, ou o papel-moeda, por si só, não contém valor, mas é depositária de uma medida de valor, por meio de padronização. Assim, com R$ 10,0 do meu salário, que é fruto do trabalho, a moeda, ou o papel-moeda, representa o valor da mercadoria trabalho, que posso trocar por outros bens com valor igual ou fracionário.

1.3. Seja aceito como reserva de valor

A moeda, ou o papel-moeda, representa a riqueza acumulada. Assim, se possuímos um bem imóvel e o vendemos, a moeda, ou o papel-moeda, que recebo pela venda representa a riqueza que acumulei. Mas, para que essa moeda, ou papel-moeda, represente uma reserva de valor, precisa ser aceita, ou seja, ter liquidez.

1.4. Seja instrumento de poder

É nesse aspecto que a moeda se torna um instrumento importante, que utiliza os fundamentos da Matemática, a fim de efetuar operações nas tomadas de decisões, como comprar, vender, investir, aplicar, tomar emprestado; ou seja, consumir ou poupar.

2. Mercados em que são utilizados os instrumentos da Matemática Financeira para fins de tomada de decisão

A partir da década de 1950, a área de finanças deixou de ser uma subárea da Contabilidade quando o economista Harry Markowitz publicou um trabalho fundamental para a área: a Teoria das Carteiras. A partir desse estudo, outros teóricos elevaram as finanças como um suporte fundamental para as decisões das empresas. Nos mercados em que há agentes com excesso e com escassez de poupança, surge o papel dos bancos como intermediários financeiros, atuando em quatro grandes mercados, que, para o seu desempenho, utilizam a Matemática Financeira.

2.1. Mercado de crédito

É nesse segmento que atuam as instituições financeiras, que intermedeiam o encontro entre os agentes poupadores (com excesso de dinheiro) e os agentes com escassez de poupança (com falta de dinheiro). O lucro dessas instituições financeiras, nessa intermediação, é chamado de spread, conforme figura a seguir.

Compram produtos financeirosVendem produtos financeiros
Recebem jurosPagam juros

Figura 1. Intermediação financeira.

Spread bancário = juros recebidos dos agentes deficitários de poupança – juros pagos aos agentes superavitários em poupança.

É nesse nicho que a Matemática Financeira tem grande aplicabilidade. Veja os produtos que as instituições financeiras oferecem aos poupadores:

2.1.1. Certificado de depósito bancário (CDB)

Utiliza conceitos de juros compostos e juros simples. Os juros compostos são para o cálculo montante, e os juros simples para o cálculo dos impostos: imposto de renda (IR) e imposto sobre operações financeiras (IOF).

2.1.2. Letras financeiras

Esse é um produto recente, oferecido pelas instituições financeiras, até então proibidas de emitir esses papéis, mas, depois da crise de 2008, foram autorizadas pelo Banco Central do Brasil.

Instituições financeiras

Agentes poupadores

Agentes com escassez de poupança

2.1.3. Letras de câmbio, letras de crédito imobiliário

Para os agentes deficitários de poupança, as instituições financeiras oferecem os seguintes produtos:

2.1.4. Conta garantida

É o cheque especial das empresas. Trata-se de uma linha de crédito colocada à disposição delas. Para o cálculo dos juros sobre a conta garantida, utiliza-se o conceito de juros simples, prazo médio e taxa média, instrumentos da Matemática Financeira.

É um dos mais importantes instrumentos de captação de recursos de curto prazo das empresas. Nesse tipo de operação, utiliza-se o conceito de juros simples e uma técnica especial de Matemática Financeira denominada de desconto bancário.

2.1.6. Crédito direto ao consumidor (CDC)

É uma linha de crédito concedida por uma financeira para o consumidor adquirir bens e serviços.

2.2. Mercado de capitais

O mercado de capitais é o mais importante instrumento de captação de recursos pelas empresas de um país. É um mercado alternativo ao mercado de crédito bancário. No mercado de capitais, as empresas captam recursos de longo prazo para os seus investimentos, e os agentes poupadores adquirem os títulos emitidos pelas companhias abertas como aplicação de recursos alternativos ao mercado de créditos bancários. É na Bolsa de Valores, também chamada de mercado secundário, que se compram e vendem os títulos dessas corporações.

Acesse o site <http://w.bmfbovespa.com.br> e veja o que ocorre nesse ambiente.

Nesse mercado são negociados os seguintes títulos:

É a menor parcela de capital de uma sociedade anônima. É um título de renda variável, isto é, não há garantia de ganhos pré-determinado, como ocorre no mercado de renda fixa. Ela é negociada no mercado primário, quando é emitida pela companhia, e no mercado secundário (Bolsa de Valores), no qual são negociadas livremente.

2.2.2. Debênture

É um título de longo prazo emitido pelas sociedades anônimas. Trata-se de renda fixa, ou seja, a companhia paga juros prefixados e, no final do contrato, devolve o principal.

2.3. Mercado monetário

O mercado monetário é utilizado pelas autoridades monetárias do país (Tesouro Nacional, Banco Central do Brasil) para o controle da moeda em circulação no país. É um mercado instrumental de política econômica. Por meio desse mercado, o governo controla a quantidade de moedas existentes em circulação. Quando há excesso de moeda no mercado, o Banco Central faz leilões de venda de títulos públicos para evitar que a inflação saia do controle da meta estipulada por ele. Quando há escassez de moeda no mercado, o Banco Central faz leilões de compra de títulos públicos.

Os principais títulos utilizados pelo Banco Central do Brasil, de emissão do Tesouro Nacional, são:

• Letras Financeiras do Tesouro Nacional (LFTN) (títulos de longo prazo) • Letras do Tesouro Nacional (LTN) (títulos de curto prazo)

• Notas do Tesouro Nacional (títulos de longo prazo com juros periódicos)

Acesse <http://w.tesouro.fazenda.gov.br/tesouro_direto> e conheça os principais títulos e características destes.

2.4. Mercado de câmbio

O mercado de câmbio trata da troca de moeda entre os países. Atualmente, a moeda padrão de trocas internacionais é o dólar americano. O Brasil tem um forte componente de exportação de commodities e importação de bens de capital.

Conclusão

É provável que você tenha sido confrontado com uma série de termos desconhecidos, apesar de eles fazerem parte do nosso cotidiano no mundo das finanças. Você foi apresentado aos principais tipos de mercados em que atuam os agentes financeiros; a uma série de produtos do sistema financeiro, tanto de captação quanto de aplicação de recursos; ao conceito fundamental das finanças, que é o estudo do valor do dinheiro no tempo; e ao conceito econômico e financeiro de moedas. Enfim, você percebeu por que deve estudar Matemática Financeira. Em um mundo cada vez mais globalizado e em que as relações financeiras se tornam complexas, a educação financeira é uma ferramenta fundamental, com a qual você mesmo decide se compra um bem a prazo ou investe seus recursos, ou ainda se compra esses bens e serviços à vista. Enfim, queremos que você se torne o seu próprio consultor financeiro ao estudar esta disciplina.

Termos importantes vistos nesta aula:

• Valor – dinheiro – moeda • Agentes poupadores – agentes deficitários

• Banco – spread – mercado de crédito – mercado de capitais

• Mercado monetário – mercado de câmbio.

• Títulos públicos – títulos privados

COELHO, Sílvio T. Matemática Financeira e análise de investimento. São Paulo:

Cia. Editora Nacional, 1979. FERREIRA, Roberto G. Matemática Financeira aplicada. 7. ed. São Paulo: Editora

Atlas, 2010. FORTUNA, Eduardo. Mercado Financeiro: produtos e serviços. 18. ed. Rio de

Janeiro: Qualitymark, 2011.

Matemática Financeira Aula 02

Os direitos desta obra foram cedidos à Universidade Nove de Julho

Este material é parte integrante da disciplina oferecida pela UNINOVE. O acesso às atividades, conteúdos multimídia e interativo, encontros virtuais, fóruns de discussão e a comunicação com o professor devem ser feitos diretamente no ambiente virtual de aprendizagem UNINOVE.

Uso consciente do papel. Cause boa impressão, imprima menos.

AULA 2

Entender o significado de porcentagem. Identificar o uso da porcentagem por meio de fórmula e as principais aplicações da porcentagem em Matemática Financeira.

Cotidianamente, você se depara com o seguinte símbolo: %. Esse símbolo indica, em Matemática Financeira, uma operação de porcentagem. Ele serve, quando escrito, para simplificar a linguagem. Por exemplo, na expressão: “atualmente, cinco por cento das mulheres ocupam cargos de presidentes em grandes corporações”, o termo em destaque, em linguagem de matemática financeira, se escreve: 5%.

1. Introdução ao estudo da taxa de porcentagem

A porcentagem é elemento essencial no estudo da Matemática Financeira. Assim como a moeda é um elemento de padronização das transações econômicas, a porcentagem é o elemento de padronização do cálculo da rentabilidade das operações de aplicações e captações de recursos. Veja o exemplo de vários investidores que fizeram aplicações de R$ 10,0, R$ 1.0,0, R$ 10.0,0, R$ 10.0,0 e R$ 1.0.0,0 em um Certificado de Depósito Bancário (CDB), respectivamente, que teve taxa de rendimento líquido de 16% ao ano. O rendimento de R$10,0 é R$16,0; o rendimento de R$1.0,0 é R$160,0; o rendimento de R$10.0,0 é R$1.60,0; o rendimento de R$10.0,0 é R$16.0,0; e o rendimento de R$1.0.0,0 é R$160.0,0.

Torna-se mais simples o gerente do banco informar a taxa de rentabilidade para o cliente do que fazer o cálculo dos rendimentos para cada cliente. Daí a importância de conhecermos essa essencial ferramenta que está no nosso cotidiano.

Diariamente nos deparamos com as seguintes informações: entrada de 20%; desconto para compra à vista de 10%; aumento de salário de 4,5%; aumento da inflação anual de 5,6%.

A seguir vamos estudar os principais elementos da porcentagem.

1.1. Definição da taxa de porcentagem

Porcentagem é a base de padronização de informações numéricas, em Matemática Financeira, e é calculada numa escala que varia de 0 (zero) a 100 (cem).

A porcentagem usa o modelo matemático das razões e proporções.

Modelo matemático: procurado total100

Valor i

Valor =

Vamos resolver a seguinte situação para entendermos a aplicação do conceito de porcentagem e taxa de porcentagem:

Foi realizado um investimento de R$50,0. Ao resgatá-lo, havia sido creditado juros de R$80,0. Qual foi a taxa percentual de rentabilidade do investimento?

Juro taxa i i Capital base

1.2. Forma da razão centesimal da porcentagem

Sabe-se que a porcentagem usa a escala de 0 (zero) a 100 (cem) para padronizar as informações. Assim, quando se afirma que a Bolsa de Valores “subiu” 10% no mês, isso quer dizer que, em uma escala de 0 a 100, a Bolsa de Valores está na escala 10. Dessa forma, a representação centesimal desse evento é:

Forma percentual Forma centesimal

=Forma unitária ou coeficiente

Devemos conhecer essas transformações. Muitas vezes temos que transformar taxas percentuais em formas unitárias, principalmente quando a levamos para fórmulas matemáticas.

Exemplo. O produto Interno Bruto do Brasil cresceu 7,5% em 2010. Pede-se para indicar: (a) a taxa percentual; (b) a razão centesimal; (c) o coeficiente da razão centesimal, ou forma unitária.

(a) Taxa percentual: 7,50%(b) Razão centesimal: 7,50100

(c) Coeficiente da razão centesimal 0,075

É importante a transformação da taxa percentual em coeficiente da razão percentual, tendo em vista que, no uso de fórmula para a solução de questões financeiras, deve-se usar o coeficiente de razão percentual. Essa regra não vale para o uso da HP-12C, pois aciona-se diretamente a taxa percentual na calculadora.

1.3. O que é porcentagem?

Quando se aplica uma taxa percentual sobre um valor, o resultado denomina-se de porcentagem. Veja o seguinte exemplo: certa marca de geladeira tem preço de R$1.0,0. Mas, se for comprada à vista, obtém-se um desconto de 5%. Qual o valor do desconto?

Resolução: de desconto(i)= da geladeira100 desconto taxa valor

Não se deve confundir taxa percentual com porcentagem. Porcentagem é o resultado da taxa de porcentagem aplicada sobre um valor; no caso do exemplo citado, a taxa percentual é 5%, e a porcentagem resultante (desconto) é R$50,0.

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