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Guias e Dicas
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raciocinio logico apostilão, Notas de estudo de Química

matemática lógica

Tipologia: Notas de estudo

2014

Compartilhado em 04/03/2014

adrianne-mendonca-3
adrianne-mendonca-3 🇧🇷

4.3

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Baixe raciocinio logico apostilão e outras Notas de estudo em PDF para Química, somente na Docsity! Wwww.concurseirosocial.com.br pr CONCURSEIRO SOCIAL http://(www.concurseirosocial.com.br * Grupos de estudo e discussão * * Provase apostilas para download * 7 Simulados e comentários 77 > Vídeo-aulas e compartilhamento de arquivos 7 7 Notícias de concursos Venha estudar em grupo, discutir e se atualizar. GRÁTIS! Wwww.concurseirosocial.com.br AULA O: ORIENTAÇÕES INICIAIS Olá, amigos! Venho hoje apresentar-lhes o novo Curso on-line de RACIOCÍNIO LÓGICO! Antes de tratarmos acerca do conteúdo, uma breve palavra sobre a matéria. Do que se trata? Trata-se de uma disciplina bastante nova no cenário dos concursos públicos. Tal como a Informática, o Raciocínio Lógico começou ainda muito timidamente a frequentar os editais lá pelos idos de 1996, só que de forma ainda bastante esporádica. Todavia, de algum tempo para cá, vêm-se multiplicando as provas que passaram a exigir o Raciocínio Lógico em seus programas. São exemplos: Auditor-Fiscal e Técnico da Receita Federal (até 1998), Fiscal do Trabalho, Analista e Técnico de Finanças e Controle, Tribunal de Contas da União (TCU) e Tribunais de Contas Estaduais, Especialista de Políticas Públicas e Gestão Governamental (MPOG), Analista de Planejamento e Orçamento (MPOG), Assistente de Chancelaria (MRE), Auditor de Tributos Estaduais e Municipais, Analista do Serpro, Analista e Técnico do MPU, entre outros. A grande novidade é que até concursos dos Tribunais Regionais (TRF, TRE e TRT) passaram, mais recentemente, a exigir também o Raciocínio Lógico. E o que parecia ainda mais improvável: até para cargos jurídicos, como é o caso do Delegado da Polícia Federal, está-se exigindo a disciplina. Aliás, no caso específico da Polícia Federal, todos os cargos — Delegado, Perito, Escrivão, Agente e Papiloscopista — fazem esta prova! Enfim, a quem pode interessar este curso on-line? A toda e qualquer pessoa que pretende prestar concurso público. Outra coisa que sempre me perguntam: qualquer pessoa pode aprender Raciocínio Lógico? Sem hipocrisia, a resposta é sim. Se não cresse nisso, sequer me atreveria a iniciar este curso. Obviamente que, a princípio, alguns têm mais facilidade em resolver as questões que outros, mas O importante é que, ao passar a conhecer as técnicas de resolução, todos serão capazes de chegar ao resultado! O curso é, portanto, escrito para os alunos que nunca viram a matéria, para que estes possam -— logo, logo — chegar ao nível daqueles que sabem tudo! Para isso, abusaremos da resolução de questões de provas passadas. Não se aprende o Raciocínio Lógico sem se resolver o máximo de exercícios! Estou muito confiante que este curso on-line será um marco na preparação de quem o fizer. E muito contente, pois terei ao meu lado um professor que ainda não é conhecido do grande público concurseiro, senão no Recife, que é o meu grande amigo Weber Campos. Trata- se, a meu ver, de um dos maiores conhecedores do Raciocínio Lógico para concursos do Brasil. Será meu parceiro nesta empreitada, e sua participação somente enriquecerá nossas aulas. O Prof. Weber tem graduação e mestrado em Engenharia de Telecomunicações pelo IME — Instituto Militar de Engenharia, e é uma das pessoas mais inteligentes e brilhantes que conheço. Passemos a falar do curso em si. Dividiremos as aulas por módulos, que correspondem aos diferentes assuntos a serem estudados. O conteúdo destas aulas abrangerá o mais completo dos programas da disciplina, elaborado pela Esaf. Após a apresentação de cada módulo, seguem duas questões de prova que se referem ao respectivo assunto, somente para dar uma noção do que tratará aquele estudo. A programação que seguiremos é a seguinte: Módulo | - Conceitos Iniciais do Raciocíi io Lógico Esse módulo tratará dos primeiros conceitos, imprescindíveis ao entendimento da matéria. Falaremos sobre proposições, valores lógicos, conectivos, tabelas-verdade, tautologia, contradição, equivalência entre proposições, validade dos argumentos, entre vários outros. Trabalharemos este módulo em duas aulas. Questões Modelo: Wwww.concurseirosocial.com.br os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M? Alfa responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações: Beta: “Alfa respondeu que sim”. Gama: “Beta está mentindo”. Delta: “Gama está mentindo”. Épsilon: “Alfa é do tipo M”. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a a) 1. b) 2. a) 4. c) 3. e) 5. Módulo V — Diagramas Lógicos Um assunto bem tranqúilo. Um oásis, depois de verdades e mentiras! Estudo para apenas uma aula. Questões Modelo: 01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo Cé B b) todo Cé À c) algum Aé C d) nada que não seja Cé À e) algum A não é C 02. (AFC-STN 2000 ESAF) Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de canto são, também, professores de dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também, professores de piano, e alguns professores de piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então: a) nenhum professor de violão é professor de canto b) pelo menos um professor de violão é professor de teatro c) pelo menos um professor de canto é professor de teatro d) todos os professores de piano são professores de canto e) todos os professores de piano são professores de violão Módulo VI - Análise Combinatória Estudaremos detalhadamente teorias do Arranjo, Combinação e Permutação, com todas as suas variações, explorando, sobretudo, os tópicos mais comumente cobrados nas provas. Duas aulas. Questões Modelo: 01.(Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, a) 1112 e 1152. b) 1152 e 1100. c) 1152 e 1152. d) 384 e 1112. e)112e 384. Wwww.concurseirosocial.com.br 02.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a a)2 da) 48 b) 4 e) 120 c) 24 Módulo VII — Probabilidade Um assunto que às vezes assusta muita gente! Felizmente, o grau de complexidade das questões de concurso sobre probabilidade não é assim tão profundo! Resolvendo o máximo de exercícios extraídos de provas recentes, certamente nos familiarizaremos com alguns segredos muito importantes! Duas aulas nesse estudo. Questões Modelo: 01.(Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a a) 0,624. b) 0,064. 0) 0,216. d) 0,568. e) 0,784. 02.(Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a a) 0,25. b) 0,35. 0) 0,45. d) 0,15. e) 0,65. Módulo VIII — Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Assuntos vistos por todos nós, no ensino médio (antigo 2º grau). Certamente que muitos já estão esquecidos daqueles dias... (e outros tantos talvez fizeram questão de esquecê-los!), mas na verdade não são questões difíceis! Teremos, obviamente, que relembrar vários conceitos. E o faremos em duas aulas. Questões Modelo: 01.(AFTN/98 ESAF) - Sejam as matrizes 10 3/5 —718 0 0 A= ,B= ,C= 01 4/7 25/4 3/7 —-29/4 e seja xa soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y= (AB) + C, então o valor de x é: a) - 7/8 b) 4/7 co) O a) 1 e) 2 02. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mi, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = x;, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes Wwww.concurseirosocial.com.br A= (aj) e B=(bi). Sabendo-se que a; = i2 e que bi = (i-j)?, então o produto dos elementos Xa1 € X13 É igual a: a) 16 b) 18 o) 26 d) 65 e) 169 Módulo IX — Trigonometria Para quem se lembra, o estudo deste assunto no colégio é feito em um semestre, aproximadamente. Ou até um pouco mais! Gastaremos apenas uma aula, para recordar as relações trigonométricas mais importantes. Felizmente (ou não!) este não é um dos assuntos mais cobrados em prova! Questões Modelo: 01. (Fiscal do Trabalho 98 ESAF) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: (cosx + senx)2 + y senxcosx-1=0 representa uma identidade é: a)2 b) 0 0) -1 d) -2 e) 1 02. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) Sabendo que x = 3 sente y = 4 cost, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por: a) 16y2-9x2= 144 b) 16x2-9y2= 144 c) 16y2+ 9x2= 144 d) 16x2+ 9y2= 144 e)9y2-16x)= 144 Módulo X - Geometria Este tópico está presente em alguns editais, aonde vem escrito Geometria Básica. Veremos noções de geometria plana e espacial de acordo com o que tem sido exigido nos concursos. Também veremos que alguns enunciados podem ser rapidamente resolvidos pelo uso da geometria. Usaremos uma aula em seu estudo. Questões Modelo: 01 .(Oficial de Chancelaria - MRE 2002 ESAF) O ângulo A de um triângulo qualquer ABC mede 76º. Assim, o menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas aos vértices Be C deste triângulo vale: a) 50º b) 52º o) 56º d) 64º e) 128º 02. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Fernando, João Guilherme e Bruno encontram-se perdidos, uns dos outros, no meio da floresta. Cada um está parado em um ponto, gritando o mais alto possível, para que os outros possam localizá-lo. Há um único ponto em que é possível ouvir simultaneamente Fernando e Bruno, um outro único ponto (diferente daquele) em que é possível ouvir simultaneamente Bruno e João Guilherme, e há ainda um outro único ponto (diferente dos outros dois) em que é possível ouvir simultaneamente João Guilherme e Fernando. Bruno encontra-se, em linha reta, a 650 metros do ponto onde se encontra 6 Wwww.concurseirosocial.com.br Com a Matemática Financeira foi assim. Com a Estatística também. Com o Raciocínio Lógico não será diferente. A data prevista para início do curso é 29 de junho, e assim seguirão as nossas aulas, sempre às quartas-feiras, até a provável data de encerramento, que é 15 de dezembro. Que Deus abençoe este novo projeto, e a cada um de vocês. Forte abraço a todos! E até breve! www.concurseirosocial.com.br AULA 1: CONCEITOS INICIAIS Olá, amigos! É uma alegria recebê-los para darmos início a mais este projeto. Dentro de algumas semanas, se Deus quiser, e contando com o esforço e a vontade de cada um, estaremos muito mais preparados para enfrentar o desafio de resolver uma prova de Raciocínio Lógico de concurso. Gostaria, antes de dar início, de ratificar a presença, na feitura destas aulas, do Prof. Weber Campos. E um curso escrito a quatro mãos, e estou certo que todos só têm a ganhar com isso. O prof. Weber é profundo conhecedor da matéria, e isso se fará ver ao longo das semanas que virão. Iniciemos, pois, tratando dos fundamentos da lógica. Fundamen Lógi & Primeiros Conceitos: O conceito mais elementar no estudo da lógica — e portanto o primeiro a ser visto — é o de Proposição. Trata-se, tão somente, de uma sentença — algo que será declarado por meio de palavras ou de símbolos — e cujo conteúdo poderá considerado verdadeiro ou falso. Então, se eu afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estarei diante de uma proposição, cujo valor lógico é verdadeiro. Daí, ficou claro que quando falarmos em valor lógico, estaremos nos referindo a um dos dois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F). E se alguém disser: “Feliz ano novo!”, será que isso é uma proposição verdadeira ou falsa? Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor lógico. Concluímos, pois, que... > sentenças exclamativas: “Caramba!” ; “Feliz aniversário!” > sentenças interrogativas: “como é o seu nome?" ; “o jogo foi de quanto?” > sentenças imperativas: “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”. . não serão estudadas neste curso. Somente aquelas primeiras — sentenças declarativas — que podem ser imediatamente reconhecidas como verdadeiras ou falsas. Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc). São outros exemplos de proposições, as seguintes: p: Pedro é médico. q:5<8 r: Luíza foi ao cinema ontem à noite. Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico (proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja, o valor lógico de p é verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q)=F. Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não! Jamais! E por que não? Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre alguns princípios, muito fáceis de se entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São os seguintes: > Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade); 2 Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da Não- Contradição); > Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do Terceiro Excluído). Proposições podem ser ditas simples ou compostas. Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras proposições. Nada mais fácil de ser entendido. Exemplos: www.concurseirosocial.com.br > Todo homem é mortal. 2 O novo papa é alemão. Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, sentença, estaremos diante de uma proposição composta. Exemplos: formando uma só > João é médico e Pedro é dentista. > Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo. 2 Ou Luís é baiano, ou é paulista. > Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia. > Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar na loteria. Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos — ditos conectivos lógicos — que poderão estar presentes em uma proposição composta. Estudaremos cada um deles a seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas. Veremos que, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso dependerá de duas coisas: 1º) do valor lógico das proposições componentes; e 2º) do tipo de conectivo que as une. & Conectivo “e”: (conjunção) Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” Sim bolicamente, esse conectivo pode ser representado por “n”. são ditas conjunções. Então, se temos a sentença: > “Marcos é médico e Maria é estudante” -.. poderemos representá-la apenas por: pa q onde: p = Marcos é médico e q= Maria é estudante. Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva? Da seguinte forma: uma conjunção só será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também verdadeiras. Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemos concluir que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é médico e que Maria é estudante. Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes seja falsa, e a conjunção será — toda ela — falsa. Obviamente que o resultado falso também ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas. Essas conclusões todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma pequena tabela. Trata-se da tabela-verdade, de fácil construção e de fácil entendimento. Retomemos as nossas premissas: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico e Maria é estudante) será também verdadeira. Teremos: Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q pAq V V V Se for verdade apenas que Marcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos: Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q pAq V F F www.concurseirosocial.com.br Ou, finalmente: Te darei uma bola | Te darei uma bicicleta | Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q pvq E E E Juntando tudo, teremos: mjn|<|</|u mi<|n|<to m|<|<|<|< A promessa inteira só é falsa se as duas partes forem descumpridas! Observem que as duas primeiras colunas da tabela-verdade acima — as colunas do p e do q -— são exatamente iguais às da tabela-verdade da conjunção (p e q). Muda apenas a terceira coluna, que agora representa um “ou”, a disjunção. Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a disjunção "p ou q" corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q, pPUq t Conectivo “ou ... ou...”: (disjunção exclusiva) Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que acabamos que ver, mas com uma pequena diferença. Com paremos as duas sentenças abaixo: “Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta” “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta” A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te darei uma bicicleta) também o seja. Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma bola”, então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que “te darei uma bicicleta”, então teremos que não será dada a bola. Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa. Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, falsas. Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma disjunção exclusiva, pela presença dos dois conectivos “ou”, que determina que uma sentença é necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Daí, o nome completo desta proposição composta é disjunção exclusiva. E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se obedecer à mútua exclusão das sentenças. Falando mais fácil: só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa. O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “uv”. E a tabela-verdade será, pois, a seguinte: www.concurseirosocial.com.br 6 p|q | oupouq vIv E VIE v EV v FF E & Conectivo “Se ... então...”: (condicional) Estamos agora falando de proposições como as que se seguem: > Se Pedro é médico, então Maria é dentista. > Se amanhecer chovendo, então não irei à praia. Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição. Convém, para facilitar nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentença. > Se nasci em Fortaleza, então sou cearense. Cada um de vocês pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelo nome da sua cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado. Por exemplo: > Se nasci em Belém, então sou paraense. > Se nasci em Niterói, então sou fluminense. E assim por diante. Pronto? Agora me responda: qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta? Ora, só há um jeito de essa frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Ou seja, se é verdade que eu nasci em Fortaleza, então necessariamente é verdade que eu sou cearense. Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza, e que é falso que eu sou cearense, então este conjunto estará todo falso. Percebam que o fato de eu ter nascido em Fortaleza é condição suficiente (basta isso!) para que se torne um resultado necessário que eu seja cearense. Mirem nessas palavras: suficiente e necessário. > Uma condição suficiente gera um resultado necessário. Percebam, pois, que se alguém disser que: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica”, então nós podemos reescrever essa sentença, usando o formato da condicional. Teremos: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica” é igual a: “Se Pedro for rico, então Maria é médica” Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que: “Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico”, também poderemos traduzir isso de outra forma: “Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico” é igual a: “Se Pedro for rico, então Maria é médica” O conhecimento de como se faz essa tradução das palavras suficiente e necessário para o formato da proposição condicional já foi bastante exigido em questões de concursos. Não podemos, pois esquecer disso: > Uma condição suficiente gera um resultado necessário. Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposição condicional? Pensaremos aqui pela via de exceção: só será falsa esta estrutura quando a houver a condição suficiente, mas o resultado necessário não se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional será verdadeira. www.concurseirosocial.com.br A sentença condicional “Se p, então q" será representada por uma seta: p? q. Na proposição “Se p, então q”, a proposição p é denominada de antecedente, enquanto a proposição q é dita consequente. Teremos: mijni<|<fo mi<|n|j<jo <|<|n|<ly As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se p, então q": Se A, B. A é condição suficiente para B. B, se À. B é condição necessária para A. Quando A, B. A somente se B. A implica B. Todo A é B. Daí, a proposição condicional: “Se chove, então faz frio” poderá também ser dita das seguintes maneiras: > Se chove, faz frio. > Faz frio, se chove. > Quando chove, faz frio. > Chover implica fazer frio. > Chover é condição suficiente para fazer frio. > Fazer frio é condição necessária para chover. > Chove somente se faz frio. > Toda vez que chove, faz frio. Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição condicional "Se p então q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q): pcq o *% Conectivo “*... se e somente se ...”: (bicondicional) A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo “se e somente se”, separando as duas sentenças simples. Trata-se de uma proposição de fácil entendimento. Se alguém disser: “Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri”. É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais: > “Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre”. Ou ainda, dito de outra forma: > “Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica alegre”. São construções de mesmo sentido! www.concurseirosocial.com.br 10 mijn|<|<jo m/j<|jn|<ja Daí, faremos a próxima coluna, que é a da conjunção (e). Teremos: pla | paq V V V VIF E EV E E [EF E Por fim, construiremos a coluna que é a negativa desta terceira. Ora, já sabemos que com a negativa, o que é verdadeiro vira falso, e o que é falso vira verdadeiro. Logo, teremos: Guardemos, pois, essa última coluna (em destaque). Ela representa o resultado lógico da estrutura -(p A q). Agora, construamos a tabela-verdade da estrutura - p v - q, e comparemos os resultados. No início, teremos: mijn|<|<[o m/j<|n|<jo Faremos agora as duas colunas das duas negativas, de p e de q. Para isso, conforme já sabemos, quem for V virará F, e vice-versa. Teremos: plal-pl-a VIVIEFÍ[F VIF[F[V F|ÍVIÍIVIE ElE[vIv Agora, passemos à coluna final: -p v - q. Aqui nos lembraremos de como funciona uma disjunção. A disjunção é a estrutura do ou. Para ser verdadeira, basta que uma das sentenças também o seja. Daí, teremos: p qi-pil-ql -pv-dg V V F F F V F F V V F V V F V F F V V V Finalmente, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (-p v- q) com aquela que estava guardada da estrutura - (p A q). Teremos: www.concurseirosocial.com.br 1 Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar p e q, negaremos p, negaremos q, e trocaremos e por ou. Já sabendo disso, não perderemos tempo na prova construindo tabela-verdade para saber como se faz a negativa de uma conjunção! Esse exercício que fizemos acima, de comparar as colunas-resultado das duas tabelas, serviu apenas para explicar a origem dessa equivalência lógica. Ou seja, para dizer se uma proposição é, do ponto de vista lógico, equivalente a outra, basta fazer uma comparação entre suas tabelas-verdade concluídas. > Negação de uma Proposição Disjuntiva: -(p ou q) Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte: 1) Negaremos a primeira (- p); 2) Negaremos a segunda (- q); 3) Trocaremos ou por e. Se uma questão de prova disser: “Marque a assertiva que é logicamente equivalente à seguinte frase: Não é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro”. Pensemos: a frase em tela começa com um “não é verdade que...”, ou seja, O que se segue está sendo negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção. Daí, obedecendo aos passos descritos acima, faremos: 1) Nega-se a primeira parte: (- p): “Pedro não é dentista” 2) Nega-se a segunda parte: (- q): “Paulo não é engenheiro” 3) Troca-se ou por e, e o resultado final será o seguinte: > “Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro”. Na linguagem apropriada, concluiremos que: -(pvg)=-pa-q Se formos curiosos, poderemos fazer a comprovação — via tabelas-verdade — desta conclusão acima. Somos curiosos? Claro! Tomemos a primeira parte: -(p v q). Teremos, de início: mjn|<|<fo m|<|n|;<po Depois, construindo a coluna da disjunção (p ou q), teremos: pla | pvq VV V VIE V E |V V ELE E Finalmente, fazendo a negação da coluna da disjunção, teremos: www.concurseirosocial.com.br 12 plq pvq | -(pva) vv V E VIE V E EV V E FF E v Guardemos essa coluna resultado para o final. E passemos à segunda parte da análise: a estrutura -p A - q. Teremos, a princípio, o seguinte: m/jn|<|<jo m/j<|jn|<ta Construindo-se as colunas das negações de p e de q, teremos: pIQ|-pl-q VIvVI|FIF vlre[FIv ElvIvIE Ele fvIyv Finalmente, fazendo a conjunção - p e - q, teremos o seguinte resultado: p|Q |-pi-ql| -pa-q vIviFrIF E virjFIyv E ElvIvI|F E Ele[vi]yv v Concluindo, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (- p A - q) com aquela que estava guardada da estrutura - (p v q). Teremos = “pAa- Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar “p ou q”, negaremos p, negaremos q, e trocaremos ou por e. > Negação de uma Proposição Condicional: -(p 5 q) Esta negativa é a mais cobrada em prova! Já, já, veremos exercícios de concursos bem recentes. Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma: 1º) Mantém-se a primeira parte; e 2º) Nega-se a segunda. Por exemplo, como seria a negativa de “Se chover, então levarei o guarda-chuva”? 1º) Mantendo a primeira parte: “Chove” e 2º) Negando a segunda parte: “eu não levo o guarda-chuva”. Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”. www.concurseirosocial.com.br 15 03. (AFC/ 2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. ) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. ) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. ) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. b c d 04. (MPOG/ 2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. ) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. ) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro ) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. ) André não é artista e Bernardo é engenheiro b c d e 05. (CVM/ 2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico c) nenhum médico é economista d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas 06. (Fiscal Trabalho/ 98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista 07. (Fiscal Trabalho/ 98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 08. (SERPRO/ 96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é: a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista; d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira; ) e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. Não esgotamos ainda o tópico de conceitos iniciais! Ainda há vários deles a serem explanados, o que será feito na próxima aula. Voltaremos também a falar em Tabela-Verdade, e faremos muitos exercícios com elas! Essas aulas iniciais são de fundamental importância, pois muitos destes conceitos nos acompanharão por todo o curso. Por isso, é importante que vocês leiam e releiam tudo o que foi visto aqui hoje. Com calma, sem aperreios! E não esqueçam de tentar fazer as questões do dever de casa. As resoluções serão trazidas na próxima aula. Ficamos hoje por aqui. Forte abraço a todos, e figuem com Deus! www.concurseirosocial.com.br AULA 2: CONCEITOS INICIAIS (Continuação) Olá, amigos! Retornamos hoje para dar sequência aos Fundamentos da Lógica — conceitos iniciais — que demos início na aula passada. Convém sabermos que estas duas primeiras aulas são, por assim dizer, os pilares do curso inteiro. E possível que hoje tenhamos uma aula de muitas páginas, mas faremos o máximo esforço para que tudo seja explicado da forma mais minuciosa possível. Doravante, passaremos a ter o cuidado de numerar todas as tabelas do texto, a fim de facilitar futuras referências a qualquer uma delas. Comecemos com duas erratas da aula um. A primeira delas foi logo na primeira página, quando estávamos apresentando o conceito de proposição, e citamos alguns exemplos, cnhamando- as de proposições p, q e r. Pois bem, a premissa q tinha o texto: “5 < 8”. Acharam? Logo em seguida, dissemos que o valor lógico dessa proposição era falso (VL(q)=F)! Erramos! Obviamente que é verdadeiro que 5<8. Corrigiremos, trocando o sinal de 'menor que” pelo “maior que (>). E aí, sim, terá valor lógico falso a proposição “5 > 8”. A segunda correção diz respeito à última tabela que apresentamos na página 12, no momento em que estávamos comparando as tabelas-verdade que resultam das estruturas -(pvq) e-pa-q. Na ocasião, concluímos que: TABELA 01 Ora, os resultados destas duas estruturas são, sim, iguais! Só que, na verdade, seus resultados são, corrigindo as tabelas acima, os seguintes: TABELA 02 Correções feitas, passemos a uma breve revisão (breve mesmo!) do que vimos até aqui, e do que temos obrigação de saber até agora: REVISÃO DA AULA PASSADA: & Proposição: é toda sentença a qual poderá ser atribuído um valor lógico (verdadeiro ou falso); haverá proposições simples ou compostas. % As proposições compostas podem assumir diversos formatos, ou seja, diversas estruturas, dependendo do conectivo lógico que esteja unindo as suas proposições componentes. Assim, haverá proposições compostas chamadas conjunções (E), junções (OU), disjunções exclusivas (OU...OU...), condicionais (SE...ENTÃO...), e bicondicionais (...SE E SOMENTE SE...). & Para entendermos mais facilmente o funcionamento dos três primeiros tipos de proposições compostas (conjunção, disjunção e disjunção exclusiva), podemos fazer uma analogia com a promessa de um pai para um filho. Lembram-se? “Te darei uma bola e te darei uma bicicleta”, “te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”, “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”. www.concurseirosocial.com.br 2 & Conjunção é aquela proposição composta que assume o formato “proposição p E proposição q”. Uma conjunção somente será verdadeira se ambas as sentenças componentes também forem verdadeiras. A tabela-verdade de uma conjunção será, portanto, a seguinte: plaTpaq vv V TABELA 03 vir E Ev E ELF E Recordando: a promessa do pai só terá sido cumprida se as duas partes dela forem observadas! & Disjunção é a proposição composta que assume o formato “proposição p OU proposição q". Para que uma disjunção seja verdadeira, basta que uma das sentenças componentes também o seja. A tabela-verdade de uma disjunção será, portanto, a seguinte: plaTpvq vv V TABELA 04 vir U Ev V ELF E Recordando: basta o pai cumprir uma das partes da promessa e toda ela já terá sido cumprida! & Disjunção Exclusiva é a proposição que tem o formato “OU proposição p OU proposição q". Na disjunção exclusiva, o cumprimento de uma parte da promessa exclui o cumprimento da outra parte. A tabela-verdade de uma disjunção exclusiva será, portanto, a seguinte: plaTpvq vv V TABELA 05 vir E Ev E ELF V Recordando: a promessa do pai só é válida se ele der apenas um presente! & Condicional é a proposição composta que tem o formato “SE proposição p, ENTÃO proposição q”. Para o melhor entendimento deste tipo de estrutura, somente para efeitos didáticos, lembraremos da seguinte proposição: “Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”. A estrutura condicional é de tal forma que “uma condição suficiente gera um resultado necessário”. Ora, o fato de alguém ter nascido em Fortaleza já é condição suficiente para o resultado necessário: ser cearense. Pensando desta forma, a única maneira de tal estrutura se tornar FALSA seria no caso em que existe a condição suficiente, mas o resultado (que deveria ser necessário!) não se verifica! Ou seja, só é falsa a condicional se a primeira proposição (condição suficiente) for VERDADEIRA e a segunda proposição (resultado necessário) for FALSA. A tabela-verdade de uma condicional será, portanto, a seguinte: p2q TABELA 06 min|j<|<to mj<|jn|<ta <|<|n|<ly www.concurseirosocial.com.br Assim, para negar a seguinte sentença: “Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão” Faremos: “A baleia é uma mamífero E o papa não é alemão” Essencialmente, foi este o conteúdo de nossa primeira aula. Passemos a analisar algumas questões do dever de casa que ficou para vocês fazerem. RESOLUÇÃO DO DEVER DE CASA Resolveremos ainda hoje as oito questões que ficaram pendentes! Na sequência, faremos algumas delas. As demais, em páginas mais adiante. Comecemos com a questão 2: 02. (Fiscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. Sol.: Ora, aqui percebemos que há uma proposição simples no enunciado, e que precisa ser analisada. Qual é essa proposição? A seguinte: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta” Se observarmos bem, veremos que esta sentença contém duas negações. Vejamos em destaque: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta” Também é fato que nosso cérebro trabalha mais facilmente com afirmações que com negações. Tiremos a prova! Vamos trocar essas expressões negativas da frase acima por afirmações correspondentes. Podemos, então, trocar “não é verdade” por “é mentira”. Todos concordam? É a mesma coisa? Claro! Trocaremos também “não dormem a sesta” por “ficam acordados”. Pode ser? Teremos: “É mentira que todos os aldeões daquela aldeia ficam acordados” Agora interpretemos a frase acima: ora, se é mentira que todos os aldeões ficam acordados, significa que pelo menos um deles dorme! Concordam? E a resposta da questão, opção C! Daqui, extrairemos uma lição: a palavra-chave da frase em questão é TODOS. É esta palavra que está sendo negada! E, conforme vimos, a negação de TODOS é PELO MENOS UM (= ALGUM). Podemos até criar a seguinte tabela: p TABELA 10 TODO Aé B ALGUM A não é B ALGUM A é B NENHUM A é B www.concurseirosocial.com.br 6 Questão semelhante já havia sido cobrada também pela Esaf. A frase em análise então era a seguinte: “Não é verdade que todas as pessoas daquela família não são magras”. Como interpretar essa frase? Do mesmo jeito: primeiramente, troquemos as partes negativas por afirmações correspondentes. Teríamos o seguinte: “É mentira que todas as pessoas daquela família são gordas”. Ora, se é mentira que todas são gordas, então é porque pelo menos uma delas é magra! Só isso e mais nada. Adiante! 03. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. Sol.: Esta é bem simples! Trata-se da negação (“não é verdade que...) de uma conjunção (E). Ora, sabemos que na hora de negar uma conjunção, teremos: -(pnaq)=-pv-q Daí, negando a primeira parte, teremos: Pedro não é pobre. Negando a segunda parte: Alberto não é alto. Finalmente, trocando o E por um OU, concluiremos que: Não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto é igual a: Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. 5 Resposta (letra A)! Deixemos a questão 4 para daqui a pouco. 05. (CVM/ 2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico c) nenhum médico é economista d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas Sol.: Esta questão agora se tornou muito fácil, após termos feito a questão dois. Aprendemos, inclusive com uma tabela apropriada, que a palavra TODOS é negada por PELO MENOS UM (=ALGUM). Daí, se o enunciado diz que é FALSA a sentença “Todos os economistas são médicos”, o que ela quer na verdade é que façamos a NEGAÇÃO desta frase! Ora, se é mentira que todos os economistas são médicos, é fácil concluirmos que pelo menos um economista não é médico! E nossa resposta — opção A! Pulemos a sexta, por enquanto! 07. (Fiscal Trabalho/ 98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva Sol.: Esta também não traz grande dificuldade! O que a questão pede é a negação de uma condicional. Ora, já aprendemos como se faz isso: mantém-se a primeira parte E nega-se a segunda! Daí, concluiremos o seguinte: www.concurseirosocial.com.br "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é igual a: “está chovendo E eu não levo o guarda-chuva” 5 Resposta (letra E)! Ao longo desta aula, resolveremos as questões que ficaram faltando! & TABELAS-VERDADE: Trataremos agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-VERDADE. Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de proposições compostas. Na aula passada, vimos que uma Tabela- Verdade que contém duas proposições apresentará exatamente um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição composta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso? Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabela-verdade será dado por: Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 Nº de proposicões Ou seja: se estivermos trabalhando com duas proposições p e q, então a tabela-verdade terá 4 linhas, já que 22=4 E se estivermos trabalhando com uma proposição composta que tenha três componentes p, q e r? Quantas linhas terá essa tabela-verdade? Terá 8 linhas, uma vez que 2º=8. E assim por diante. > TABELAS-VERDADES PARA p Eq: Trabalhando com duas proposições componentes, a estrutura inicial da tabela-verdade será sempre aquela que já aprendemos na aula passada. Qual seja: TABELA 11 mjn|<|<fo mi|<|n|<to E a próxima coluna (ou próximas colunas) da tabela-verdade dependerá dos conectivos que estarão presentes na proposição composta. Já sabemos construir, pelo menos, cinco tabelas-verdade de proposições compostas! Claro! A tabela-verdade da conjunção, da disjunção, da disjunção exclusiva, da condicional e da bicondicional. Com este conhecimento prévio, já estamos aptos a construir as tabelas-verdade de qualquer outra proposição condicional formada por duas proposições componentes (p e q). Designaremos tal proposição composta da seguinte forma: P(p, q). Suponhamos, pois, que estamos diante da seguinte proposição composta: P(p, q)="(pv-aq) ...e desejamos construir a sua tabela-verdade. Como seria? O início da tabela é, conforme sabemos, sempre o mesmo. Teremos: www.concurseirosocial.com.br 10 > 5º Passo) Uma vez trabalhados os dois parênteses, faremos, por fim, a disjunção que os une. Teremos: TABELA 21 Se quiséssemos, poderíamos ter feito tudo em uma única tabela maior, da seguinte forma: TABELA 22 Pronto! Concluímos mais um problema. Já estamos craques em construir tabelas-verdades para proposições de duas sentenças. Mas, e se estivermos trabalhando com três proposições simples (p, q e r)? Como é que se faz essa tabela-verdade? > TABELAS-VERDADE PARA TRÊS PROPOSICOES (p, q Er): A primeira coisa a saber é o número de linhas que terá esta tabela-verdade. Conforme já aprendemos, este cálculo será dado por Nº linhas = 2 Nº de proposições Daí teremos que haverá oito linhas (2º=8) numa tabela-verdade para três proposições simples. Vimos que, para duas proposições, a tabela-verdade se inicia sempre do mesmo jeito. O mesmo ocorrerá para uma de três proposições. Terá sempre o mesmo início. E será o seguinte: TABELA 23 A coluna da proposição p será construída da seguinte forma: quatro V alternando com quatro F; a coluna da proposição q tem outra alternância: dois V com dois F; por fim, a coluna da proposição r alternará sempre um V com um F. Teremos, portanto, sempre a mesma estrutura inicial: TABELA 24 mjn|jn|jn|<|<|<|<fo mjn|<|<|jmnjm|<|<po m|<|n|<|n|j<|n|<|= Saber construir esta tabela acima é obrigação nossa! Ela corresponde, como já foi dito, à estrutura inicial de uma tabela-verdade para três proposições simples! www.concurseirosocial.com.br 1 Suponhamos que alguém (uma questão de prova, por exemplo!) nos peça que construamos a tabela-verdade da proposição composta seguinte: P(pan=(pa-g) 5(qv-r) A leitura dessa proposição é a seguinte: Se p e não q, então q ou não r. Vamos fazer esse exercício? Começaremos sempre com a estrutura inicial para três proposições. Teremos: TABELA 25 mjn|jn/n|<|<|<|<fo mjn|<|<|njm|j<|<to m|<|n|<|n|j<|n|<|= Daí, já sabemos que existe uma ordem de precedência a ser observada, de modo que trabalharemos logo os parênteses da proposição acima. Começando pelo primeiro deles, faremos os seguintes passos: > 1º Passo) Negação de q: P q ri-gq vVIvIvIF vIvI[FIF VIE[VIyv TABELA 26 VIE/ FIV FE|[VIVIF F|VIÍIFIF EJE[VvIV Ele[FI[yv > 2º Passo) A conjunção do primeiro parênteses: (Só recordando: somente se as duas partes forem verdadeiras é que a conjunção (e) também o será!) p q r |-q| pa-q V V V E F V V F E F V F V V V TABELA 27 VIF|FI/V V ElvVIVIE E E[VIFI[EF E EJE[vI|V E EJF[FI|v E > 3º Passo) Trabalhando agora com o segundo parênteses, faremos a negação de r: p q r =r V V V F V V E V V F V F TABELA 28 VIF/FI|V F V V F F V E V E[EÍJVIF Ele [Ev www.concurseirosocial.com.br 12 > 4º Passo) A disjunção do segundo parênteses: Só recordando: basta que uma parte seja verdadeira, e a disjunção (ou) também o será! p q TABELA 29 n|n|<|<|n|n|<|<la m|n|n|n|<|<|<)< m|<|n|<|n|<|n)<|= <|n|<|n|<|n|<|n|+ <|n|<|<|<|m|<|<|< + > 5º Passo) Finalmente, já tendo trabalhado os dois parênteses separadamente, agora vamos fazer a condicional que os une: Só recordando: a condicional só será falsa se tivermos VERDADEIRO na primeira parte e FALSO na segunda! 2 +“ < 2 + TABELA 30 A= F F V v F F F F <|n|<|<|<|n)<|<|< <|<|<|<|<|n|<|<ly Novamente, se assim o quiséssemos, poderíamos ter feito todo o trabalho em uma só tabela, como se segue: TABELA 31 2 +“ qve=r (pa-q) 9(qv-r) v mjnijn|n|i<|<|<|<(io mjn|;<|<|n/jn|j<|<ia mj<|n|<|n|<|n|<|= 2 <|<jmjn|<|<||Ta o m/n/n|n)<)<|n|n/> a <|jn|i<|ni<|/n|j<|m <|n|<|<|<|n|<|< <|<|<|<|<|n|< Pronto! Concluímos mais uma etapa! Já estamos aptos a construir qualquer tabela-verdade para proposições compostas de duas ou de três proposições componentes! Chegou o momento de passarmos a conhecer três outros conceitos: Tautologia, Contradição e Contingência. & TAUTOLOGIA: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem. Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia. Só isso! Exemplo: A proposição (p n q) > (Pp v q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: www.concurseirosocial.com.br 15 Pronto! Matamos a charada! Como a última linha desta tabela-verdade só apresenta o valor lógico Verdadeiro, estamos inequivocamente diante de uma Tautologia. A alternativa correta é a letra B. Passemos a mais uma questão. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo Sol: Para simplificar e facilitar esta resolução, assumiremos as seguintes proposições simples: 3> p: João é alto. > q: Guilherme é gordo. Daí, utilizando estas definições feitas acima para as proposições p e q, as alternativas da questão poderão ser reescritas simbolicamente como: a)p>(pvq) (=se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo) bp>(pAq) (=se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo) o (pvq) >q (=se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo) d)(pvg)>(pAqg) (=se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo) eJ(pv-p) >q (=se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo) O que resta ser feito agora é testar as alternativas, procurando por aquela que seja uma Tautologia. Para isso, construiremos a tabela-verdade de cada opção de resposta. Teste da alternativa “a”: p>(p vg) p q (p va) p>(pva) v V V v TABELA 38 v F v w F v v V F F F V Pronto! Mal começamos, e já chegamos à resposta! Observemos que a última coluna da tabela-verdade acima só apresentou valores lógicos verdadeiros! Com isso, concluímos: a proposição da opção A —- Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo — é uma Tautologia! Daí: Resposta: Letra A! Só para efeitos de treino, vamos testar também a alternativa B: Teste da alternativa B: p5> (png) p 9º (png) P>(pag) v v v v TABELA 39 V F F v F v F F F F F v www.concurseirosocial.com.br 16 Como podemos observar na última coluna da tabela-verdade acima, o valor lógico da proposição p > (p A q) pode ser verdadeiro ou falso. Isto nos leva a concluir, portanto, que esta proposição não é uma tautologia, nem uma contradição, mas, sim, a chamada contingência. Antes de seguirmos adiante, façamos uma solução alternativa para a questão acima: Observem que em todas as alternativas aparece o conectivo “>”, ou seja, todas as proposições são condicionais. Na tabela verdade do conectivo “—»” só temos o valor lógico falso quando na proposição condicional o antecedente for verdade e o consequente for falso. Sabendo que uma tautologia sempre tem valor lógico verdade, então dentre as proposições condicionais apresentadas nas alternativas, aquela em que nunca ocorrer o antecedente verdade e o consequente falso será uma tautologia. - Análise do item 'a': p>(pvg) Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, também o consequente será verdade, e assim a proposição nunca será falsa, logo esta proposição é uma tautologia. A questão terminou, mas vamos analisar os restantes. - Análise do item 'b': p>(pag) Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, o consequente será verdade se q for verdade, e falso se q for falso. Assim, a proposição pode assumir os valores lógicos de verdade e falso. Não é uma tautologia. - Análise do item 'c: (pvqg)5q O antecedente desta proposição sendo verdade, o valor lógico de q pode ser verdade ou falso, e daí o consequente que é dado por q também pode ser verdade ou falso, logo concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia. - Análise doitem'd: (pvq)>(pAg) O antecedente desta proposição sendo verdade, os valores de p e q podem ser verdade ou falso, e portanto o consequente também pode ser verdade ou falso, logo concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia. - Análise do item “e”: (pv-p)>q Observem que o antecedente é sempre verdade independente do valor lógico de p, já o consequente pode assumir o valor lógico de verdade ou falso. Portanto, concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia. Passaremos agora a tratar de um tema da maior relevância no Raciocínio Lógico, e que, inclusive, já foi exaustivamente exigido em questões de provas recentes de concursos. Estamos nos referindo à Equivalência Lógica. Ou seja, vamos aprender a identificar quando duas proposições compostas são equivalentes uma à outra. Vamos lá! & PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES: Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos. Uma consequência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la. A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada simbolicamente como: p <q, ou simplesmente por p= q. Começaremos com a descrição de algumas equivalências lógicas básicas, as quais convém conhecermos bem, a fim de as utilizarmos nas soluções de diversas questões. www.concurseirosocial.com.br 17 > Equivalências Básicas: 31º)pep=p Exemplo: André é inocente e inocente = André é inocente >2º)poup=p Exemplo: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema 353º)peq=qerp Exemplo: o cavalo é forte e veloz = o cavalo é veloz e forte 354º)pouq=qoup Exemplo: o carro é branco ou azul = o carro é azul ou branco 35*)poeq=qeop Exemplo: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo >6*)peoq=(p3a)e(a Pp) Exemplo: Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo, e se vivo então amo Para facilitar a nossa memorização, colocaremos essas equivalências na tabela seguinte: pe p =P poup =P TABELA 40 peq = qep pou q = qoup Poq = q9Pp poq = (poge(ga>p) > Equivalências da Condicional: As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância. Inclusive, serão utilizadas para resolver algumas questões do dever de casa que ficaram pendentes. Estas equivalências podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparação entre as tabelas-verdade. Ficam como exercício para casa estas demonstrações. São as seguintes as equivalências da condicional: 51º) Se p, então q = Se não q, então não p. Exemplo: Se chove então me molho = Se não me molho então não chove >2º) Sep,então q= Não pouq. Exemplo: Se estudo então passo no concurso = Não estudo ou passo no concurso www.concurseirosocial.com.br 20 Tivemos sorte de encontrar a resposta logo na primeira tentativa! Todavia, se não houvesse essa sentença entre as opções de resposta, teríamos que tentar a segunda equivalência da condicional, a qual resulta em uma disjunção. Teríamos, pois que: p 5 q=-pouq. Daí: Se Pedro é economista, então Luísa é solteira = Pedro não é economista ou Luísa é solteira. Seria a segunda resposta possível. Pronto! Terminamos de resolver as questões que haviam ficado do dever de casa, mas ainda não terminamos a aula de hoje! Demos sequência ao estudo das equivalências! Adiante! > Equivalências com o símbolo da negação: Este tipo de equivalência já foi estudado por nós na primeira aula. Trata-se, tão somente, das negações das proposições compostas! Como tais equivalências já foram inclusive revisadas nesta aula de hoje, nos limitaremos apenas a reproduzi-las novamente. Teremos: -(pe q) = -pou-q TABELA 43 c(poua) = pera -(p>q) = pe-q "(po ag) = [(pe-q)ou(-peq)] Talvez alguma dúvida surja em relação à última linha da tabela acima. Porém, basta nos lembrarmos do que foi aprendido também na última linha da tabela 38 (página 16): 3 (poqg=(pIge(g>p) (Obs.: é por isso que a bicondicional tem esse nome: porque equivale a duas condicionais!) Daí, para negar a bicondicional acima, teremos na verdade que negar a sua conjunção equivalente. E para negar uma conjunção, já sabemos, negam-se as duas partes e troca-se o E por um OU. Fica também como tarefa para casa a demonstração desta negação da bicondicional. Ok? > Outras equivalências: Algumas outras equivalências que podem ser relevantes são as seguintes: 1º)pe(pouqg)=p Exemplo: Paulo é dentista, e Paulo é dentista ou Pedro é médico = Paulo é dentista 2*)pou(peq)=p Exemplo: Paulo é dentista, ou Paulo é dentista e Pedro é médico = Paulo é dentista Por meio das tabelas-verdade, estas equivalências também podem ser facilmente demonstradas. Para auxiliar nossa memorização, criaremos a tabela seguinte: pe(poug) pou(peq) TABELA 44 > Equivalência entre “nenhum” e “todo”: Aqui temos uma equivalência entre dois termos muito frequentes em questões de prova. É uma equivalência simples, e de fácil compreensão. Vejamos: www.concurseirosocial.com.br 21 1º) Nenhum A é B= Todo A é não B Exemplo: Nenhum médico é louco = Todo médico é não louco (= Todo médico não é louco) 2º) Todo A é B= Nenhum A é não B Exemplo: Toda arte é bela = Nenhuma arte é não bela (= Nenhuma arte não é bela) Colocando essas equivalências numa tabela, teremos: Todo A é não B Nenhum A é não B Nenhum A é B TABELA 45 Todo A é B & LEIS ASSOCIATIVAS, DISTRI BUTIVAS E DA DUPLA NEGAÇÃO: Na sequência, algumas leis que podem eventualmente nos ser úteis na análise de alguma questão. São de fácil entendimento, de modo que nos limitaremos a apresentá-las. > Leis associativas: pe(ges) pou(gous) (peg)es (pouq)ous TABELA 46 > Leis distributivas: pe(gous) = (peg)ou(pes) TABELA 47 pou(ges) = (pouqg) e(pous) > Lei da dupla negação: TABELA 48 -(-p) =P Daí, concluiremos ainda que: S não é não P = SéP TABELA 49 Todo S não é não P = TodoS é P Algum S não é não P = AlgumSéP Nenhum S não é não P = Nenhum SéP Exemplos: 1) A bola de futebol não é não esférica = A bola de futebol é esférica 2) Todo número inteiro não é não racional = Todo número inteiro é racional 3) Algum número racional não é não natural = Algum número racional é natural 4) Nenhum número negativo não é não natural = Nenhum número negativo é natural www.concurseirosocial.com.br 22 Bem! Acreditamos que por hoje já houve uma dose suficiente de informações! A princípio, planejávamos uma aula ainda maior, mas decidimos ficar por aqui, e deixar que vocês tenham condições de ler com calma o conteúdo visto até este momento, e de fixar bem o que aprenderam. E não há jeito melhor no mundo de fixar o aprendizado do que resolvendo questões, não é mesmo? Por isso, trazemos na sequência o Dever de Casa, para vocês se divertirem durante esta semana! Não deixem passar a oportunidade de tentar resolvê-las! Mesmo que surjam algumas dificuldades, não desanimem! Há muito mais mérito em tentar e não conseguir, do que em ficar esperando a resolução pronta na aula seguinte! Lembrem-se disso. E chega de lero-lero. Figuem todos com Deus! Um grande abraço nosso! E estudem! DEVER DE CASA (Agente da Polícia Federal —- 2004 — CESPE) Texto para os itens de 01 a 08 Considere que as letras P, Q, Re T representem proposições e que os símbolos +, An, ve > sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 01.Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (+ P) v (+ Q) também é verdadeira. 02.Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R > (- T) é falsa. 03.Se as proposições Pe Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (Pn R) > (= Q) é verdadeira. Considere as sentenças abaixo. i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus fumam. Considere também que P, Q, Re T representem as sentenças listadas na tabela a seguir. P Fumar deve ser proibido. Q | Fumar deve ser encorajado. — R | Fumar não faz bem à saúde. T Muitos europeus fumam. Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. 04.A sentença | pode ser corretamente representada por PA (+ T). 05.A sentença II pode ser corretamente representada por (+ P) n (= R). 06.A sentença Ill pode ser corretamente representada por R > P. 07.A sentença IV pode ser corretamente representada por (Rn (+ T)) > P. www.concurseirosocial.com.br AULA TRÊS: Lógica de Argumentação Olá, amigos! Nosso assunto de hoje — Lógica de Argumentação — é um tópico constantemente presente nos programas de diversos editais de concursos! Antes disso, vejamos algumas correções que têm que ser feitas referentes à aula passada. Tais correções foram reclamadas por vocês próprios, no fórum, pelo que agradecemos e nos desculpamos! São as seguintes: > Logo na página 2, nos equivocamos ao construir a Tabela 05, referente à disjunção exclusiva. A tabela correta, como já sabíamos, é a seguinte: plaTpvq vv E TABELA 05 vir U Ev V ELF E > No finalzinho da página 15, na Tabela 39, trocamos dois valores lógicos da terceira coluna: assim, na segunda linha, onde há um V, leia-se F; e na terceira linha, o inverso: onde há um F, leia-se V. A Tabela 39 correta é a seguinte: p q (pag) p>(pAq) v v v v TABELA 39 V F F F F v F v F F F v > Na página 18, ao resolver as questões 1 e 4, em dois momentos fizemos referência à Tabela 39, quando o correto seria mencionar a Tabela 41 (que trata das equivalências da condicional)! > Finalmente, na página 20, após a Tabela 43, onde se lê “Tabela 38 pág. 16”, leia-se “Tabela 40, página 17”. Até agora, foi o que encontramos! Novamente nos desculpamos com vocês. Na sequência, a resolução das questões do dever de casa passado. DEVER DE CASA (Agente da Polícia Federal —- 2004 — CESPE) Texto para os itens de 01 a 08 Considere que as letras P, Q, Re T representem proposições e que os símbolos +, A, ve > sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 01.Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (+ P) v (+ Q) também é verdadeira. Sol.: Para este tipo de questão, um artifício útil é o de substituir a letra que representa a proposição pelo seu respectivo valor lógico. Neste caso, vemos que o enunciado definiu que as proposições (Pe Q) são ambas verdadeiras! Daí, em lugar de Pe de Q, usaremos o valor lógico V. www.concurseirosocial.com.br Teremos: (CP) v(-Q) = (VW) v(-v) Ora, a negação (-) do Verdadeiro é o Falso (- V=F) e vice-versa (- F=V). Daí, teremos: = FvF Estamos diante de uma disjunção (OU), a qual já conhecemos bem: basta que uma das partes seja verdadeira, que a disjunção será verdadeira. Mas, se as duas partes forem falsas, como neste caso, então, a disjunção é FALSA. Teremos, finalmente, que: FvF=F> Resposta! 5 Oitem está errado! 02.Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R > (- T) é falsa. Sol.: Usaremos o mesmo artifício da questão acima. Teremos: R5(-T) F3(-v) F3F Redundamos numa condicional. Conforme sabemos, a condicional só é falsa quando a primeira parte é verdadeira e a segunda é falsa. Lembrados? Daí, como não é o caso, teremos: F5F=Vo> Resposta! 50 item 2 está errado! 03.Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (PAR) —>(-0Q) é verdadeira. Sol.: Mais uma vez, a resolução seguirá o mesmo caminho já utilizado acima. Teremos: (PAR) 2(- 0) (VAF) 3(-v) Trabalhemos o primeiro parênteses, observando que se trata de uma conjunção. Como já é do conhecimento de todos, somente se as duas partes forem verdadeiras é que a conjunção o também o será! Não é o nosso caso. Assim, teremos: F3(-v) Ora, sabemos que - V=F. Daí: F3F E agora? O que dizer desta condicional? Teremos: F5F=V> Resposta! 5 Oitem 3 está correto! Considere as sentenças abaixo. i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus fumam. Considere também que P, Q, Re T representem as sentenças listadas na tabela a seguir. www.concurseirosocial.com.br 3 P Fumar deve ser proibido. Q | Fumar deve ser encorajado. — R | Fumar não faz bem à saúde. T Muitos europeus fumam. Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. 04.A sentença | pode ser corretamente representada por PA (+ 7). Sol.: Façamos o caminho inverso: partindo da simbologia, construiremos a frase. Ora, Pa(-T)=PenãoT = Fumar deve ser proibido e não é verdade que muitos europeus fumam. Conclusão: o item 4 está errado! A representação correta para a sentença | é PAT. 05.A sentença II pode ser corretamente representada por (+ P) n (= R). Sol.: Tomemos a representação simbólica e façamos sua tradução. Teremos: (-P)A(-R) = não Pe não R = Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. Conclusão: o item 5 está correto! 06.A sentença Ill pode ser corretamente representada por R > P. Sol.: Temos que R5P = Se R,então P. Daí: = Se fumar não faz bem à saúde, então fumar deve ser proibido. Conclusão: o item 6 está correto! 07.A sentença IV pode ser corretamente representada por (Rn (+ T)) > P. Sol.: Temos que (RA (= T)) 5 P = Se Re não T,então P = Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. Conclusão: o item 7 está correto! 08.A sentença V pode ser corretamente representada por T > ((+ Rn (+ P)). Sol.: Temos que: T5((-R) A (-P)) = Se T, então não Re não P = Se muitos europeus fumam, então é falso que fumar não faz bem à saúde e é falso que fumar deve ser proibido. Percebam que a sentença V inverte a ordem da condicional acima. Ora, sabemos que p 5 q não é equivalente a q 5 p. Daí, o item 8 está errado! A representação correta para a sentença V é ((-R) A(-P)) 5T. www.concurseirosocial.com.br 6 Agora, passemos à segunda parte: (P5- Q)5-P. Teremos: Plql-alp>-qgl-p |(p>-q)>p vIvIF E E TABELA 04 VI FIV v E E F V F V V V F F V V V V Conclusão: o item 14 está correto! (Analista Petrobrás 2004 CESPE) Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS: Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados no território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia. Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente à assertiva acima. Sol.: Para simplificar e facilitar a resolução dos dois itens seguintes, definiremos as seguintes proposições simples p e q: p: o governo brasileiro instituiu o monopólio da exploração de petróleo. e q: a PETROBRAS atingiu a produção de 100 mil barris/dia. Assim, teríamos que a assertiva desta questão ficaria simbolizada apenas como: p > q Analisemos o item 15. 15. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano. Traduzindo essa sentença para a linguagem simbólica, tomando por base as proposições p e q definidas acima, encontraremos o seguinte: -q >-p Ora, já aprendemos que uma forma de fazer a equivalência da condicional é invertendo as posições e negando as duas partes. Daí, resta-nos ratificar que: p5q = - q5- p. Conclusão: o item 15 está correto! 16. Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados, então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia. A tradução da sentença acima para a linguagem simbólica nos faz chegar a: -p > - q Daí, sabemos que não há equivalência lógica entre essa construção e a condicional (p 59). Conclusão: o item 16 está errado! (Papiloscopista 2004 CESPE) Sejam Pe Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (FP). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P > Q, que será F quando Pfor Ve Qfor F, ou V, nos outros casos; a disjunção de Pe Q, denotada por Pv Q, que será F somente quando Pe Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de Pe Q, denotada por P* Q, que será V somente quando Pe Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por -P, que será Fse Pfor Ve será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. www.concurseirosocial.com.br A partir das informações do texto acima, julgue os itens subsequentes. 17. As tabelas de valorações das proposições P5Q e Q>-P são iguais. Sol.: Sequer necessitaríamos construir as respectivas tabelas-verdades, uma vez que já sabemos que não há equivalência lógica entre essas duas condicionais! Na verdade, a única condicional que seria equivalente a pq seria a seguinte: - q5- p. Todavia, caso queiramos realmente comparar as tabelas-verdade, e começando com a condicional, teremos: pla | (pa) vv V TABELA 05 VIE E Ev V ELF V Já a tabela-verdade da segunda construção (q>- p) será a seguinte: pla |-pig?-p vIvIF E TABELA 06 ViIFLE 1 Elvivi yv Elelv]yv Como queríamos demonstrar, não há equivalência lógica entre as duas construções analisadas. Conclusão: o item 17 está errado! 18. As proposições (PvQ)5S e (P5S) v(Q5S) possuem tabelas de valorações iguais. Sol.: Faremos o mesmo procedimento: construiremos as duas tabelas-verdade. Para a sentença (pvg)>s, teremos: plals|pvals | (pvas vivIyv V V v vivIF V E E viFI|yv V V v TABELA 07 VIFIF V F F Elv Iv V V v FEÍVIE V E E EJE[Vv E V v EJFIÍF E E v Para a segunda sentença: (ps) v (q)s), teremos: P q s pos |9g3s| (ps) v (gs) V V V V V V V V F F F E V F V V V V TABELA 08 VI FI|F F V V F V V V V V F V F V F V F F V V V V F F F V V V Com parando os dois resultados acima, concluímos que o item 18 é errado! www.concurseirosocial.com.br 19. (Gestor Fazendário MG/ 2005/ Esaf) Considere a afirmação P: P:“A ou B” Onde Ae B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: “Carlos é dentista” B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. Sol.: Essa questão é muitíssimo recente. Temos aí uma proposição composta no formato de uma disjunção: A ou B. Ora, logo em seguida o enunciado disse que esta disjunção é falsa! Ora, dizer que uma sentença qualquer é falsa é o mesmo que colocar as palavras “não é verdade que...” antes dela. Em suma: a questão quer que façamos a negação da disjunção. E isso! Como negar uma disjunção é algo que já sabemos fazer: 1º) Nega-se a primeira parte; 2º) Nega-se a segunda parte; 3º) Troca-se o ou por um e. Teremos: -(AouB)=-Ae-B Vamos por partes! Negando A, teremos: - A = Carlos não é dentista. Agora chegou a hora de fazermos a negação de B. Só temos que observar que a proposição B é uma condicional. Como se nega uma condicional? Já sabemos: 1º) Repete-se a primeira parte; e 2º) Nega-se a segunda parte. Teremos: - B= Ênio é economista e Juca não é arquiteto. Finalmente, concluímos que: -(A ou B) -he-B Carlos não é dentista e Ênio é economista e Juca não é arquiteto. > Resposta! = Opção B. 20. (Técnico MPU/ 2004-2/ Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que: a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo. c) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo. d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio é sociólogo. Sol.: Uma questão interessante! Vamos simplificar nossa vida, definindo as seguintes proposições simples. Teremos: > P= Pedro é pintor > C= Carlos é cantor 3 M = Mário é médico 3 S= Sílvio é sociólogo www.concurseirosocial.com.br 1 Para não termos que construir a tabela-verdade para cada alternativa (procurando por uma proposição equivalente a - A e B e -C), utilizaremos o seguinte artifício: A proposição - Ae Be -C utiliza somente o conectivo “e” . Então, para que esta sentença inteira tenha valor lógico verdade, é necessário que estas três partes que a compõem sejam todas verdadeiras. Daí, concluiremos que: >se-AévV, então A é F. SBév. 3>se-CéV,entãoCér. Ou seja, teremos: Aér BéV Cér Daí, a alternativa que for equivalente a - A e Be -C deverá necessariamente apresentar valor lógico V ao substituímos A por F, Bpor Ve Cpor F. Fazendo esse teste para cada opção de resposta, teremos: a)B5A e -B5-C >5>(VoPBe(-Vo-P » valor lógico é F b)ASB e B5C > (F5V) e (VoF) » valor lógico é F CJAS9B e -B5-C í>(F5V)e(-Vo-P » valor lógico é V d)-B5A e B5C >(-VoP) e (VoF) » valor lógico é F eJ-A3-B e C5-B 5(-F5-V) e(F5-V) » valor lógico é F A única alternativa que possui valor lógico V é a alternativa correta! Conclusão: nossa resposta é a opção C. É isso! Esperamos que todos tenham se esforçado para resolver essas questões! Mais importante que conseguir é tentar! E a melhor coisa do mundo é errar em casa, pois aprendemos com o erro e não o repetimos na prova! Na sequência, passaremos a falar em Lógica da Argumentação, que é nosso assunto de hoje. Adiante! % Argumento: Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em uma outra proposição final, que será consequência das primeiras! Dito de outra forma, argumento é a relação que associa um conjunto de proposições p:, pa, - Pn, chamadas premissas do argumento, a uma proposição c, chamada de conclusão do argumento. No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser também usados os correspondentes hipótese e tese, respectivamente. Vejamos alguns exemplos de argumentos: Exemplo 1) p1: Todos os cearenses são humoristas. pz: Todos os humoristas gostam de música. c: Todos os cearenses gostam de música. www.concurseirosocial.com.br 12 Exemplo 2) p1: Todos os cientistas são loucos. pz: Martiniano é louco. c: Martiniano é um cientista. O tipo de argumento ilustrado nos exemplos acima é chamado silogismo. Ou seja, silogismo é aquele argumento formado por duas premissas e a conclusão. Estaremos, em nosso estudo dos argumentos lógicos, interessados em verificar se eles são válidos ou inválidos! É isso o que interessa. Então, passemos a seguir a entender o que significa um argumento válido e um argumento inválido. & Argumento Válido: Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas. Veremos em alguns exemplos adiante que as premissas e a própria conclusão poderão ser visivelmente falsas (e até absurdas!), e o argumento, ainda assim, será considerado válido. Isto pode ocorrer porque, na Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou a falsidade das premissas que compõem o argumento, mas tão somente a validade deste. Exemplo: O silogismo... py: Todos os homens são pássaros. p2: Nenhum pássaro é animal. c: Portanto, nenhum homem é animal. está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um argumento válido, muito embora a veracidade das premissas e da conclusão sejam totalmente questionáveis. Repetindo: o que vale é a construção, e não o seu conteúdo! Ficou claro? Se a construção está perfeita, então o argumento é válido, independentemente do conteúdo das premissas ou da conclusão! Num raciocínio dedutivo (lógico), não é possível estabelecer a verdade de sua conclusão se as premissas não forem consideradas todas verdadeiras. Determinar a verdade ou falsidade das premissas é tarefa que incumbe à ciência, em geral, pois as premissas podem referir-se a qualquer tema, como Astronomia, Energia Nuclear, Medicina, Química, Direito etc., assuntos que talvez desconheçamos por completo! E ainda assim, teremos total condição de averiguar a validade do argumento! Agora a questão mais importante: como saber que um determinado argumento é mesmo válido? Uma forma simples e eficaz de comprovar a validade de um argumento é utilizando-se de diagramas de conjuntos. Trata-se de um método muito útil e que será usado com frequência em questões que pedem a verificação da validade de um argumento qualquer. Vejamos como funciona, usando esse exemplo acima. Quando se afirma, na premissa p,, que “todos os homens são pássaros”, poderemos representar essa frase da seguinte maneira: Conjunto dos pássaros Conjunto dos homens www.concurseirosocial.com.br 13 Observem que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão incluídos, ou seja, pertencem ao conjunto maior (dos pássaros). E será sempre essa a representação gráfica da frase “Todo A é B”. Dois círculos, um dentro do outro, estando o círculo menor a representar o grupo de quem se segue à palavra todo. Ficou claro? Pois bem! Façamos a representação gráfica da segunda premissa. Temos, agora, a seguinte frase: “Nenhum pássaro é animal”. Observemos que a palavra- chave desta sentença é nenhum. E a idéia que ela exprime é de uma total dissociação entre os dois conjuntos. Vejamos como fica sua representação gráfica: Conjunto dos Conjunto dos Pássaros Animais Será sempre assim a representação gráfica de uma sentença “Nenhum A é B”. dois conjuntos separados, sem nenhum ponto em comum. Tomemos agora as representações gráficas das duas premissas vistas acima e as analisemos em conjunto. Teremos: Pássaros Agora, comparemos a conclusão do nosso argumento — Nenhum homem é animal — com o desenho das premissas acima. E aí? Será que podemos dizer que esta conclusão é uma consequência necessária das premissas? Claro que sim! Observemos que o conjunto dos homens está totalmente separado (total dissociação!) do conjunto dos animais. Resultado: este é um argumento válido! Ficou entendido? Agora, vejamos o conceito de argumento inválido. & Argumento Inválido: Dizemos que um argumento é inválido — também denominado ileg o, mal construído, falacioso ou sofisma — quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. Entenderemos melhor com um exemplo. www.concurseirosocial.com.br 16 Conta irregular Prest. Cidade qualquer Conta com ato antieconômico Prest. Cidade qualquer Daí, verificamos que há duas posições em que a tal prestação de contas desta cidade qualquer poderia estar. Ora, por ser irregular, terá necessariamente que estar dentro do círculo maior (azul). Uma vez dentro do círculo azul (conta irregular), surgem duas novas possibilidades: ou estará dentro do círculo vermelho (conta com ato antieconômico), ou fora dele. Em outras palavras: a prestação de contas desta cidade qualquer, embora irregular, pode ter apresentado uma conta com ato antieconômico, ou não! Analisemos agora a conclusão do argumento: “a prestação de contas da prefeitura dessa cidade apresentou ato antieconômico”. Será que esta é uma conclusão necessária, ou seja, obrigatória, em vista do que foi definido pelas premissas? A resposta, como vimos acima, é negativa! Concluímos, pois, que se trata de um argumento inválido, e este item está errado! Vimos que a utilização de diagramas de conjuntos pode ajudar-nos a descobrir se um argumento é válido. Ocorre que, em alguns exercícios, será mais conveniente utilizarmos outros procedimentos. Aprenderemos a seguir alguns diferentes métodos que nos possibilitarão afirmar se um argumento é válido ou não! 1º MÉTODO) Utilizando diagramas de conjuntos: Esta forma é indicada quando nas premissas do argumento aparecem as palavras todo, algum e nenhum, ou os seus sinônimos: cada, existe um etc. Consiste na representação das premissas por diagramas de conjuntos, e posterior verificação da verdade da conclusão. Já fizemos acima alguns exercícios com uso deste método! 2º MÉTODO) Utilizando a tabela-verdade: Esta forma é mais indicada quando não se puder resolver pelo primeiro método, o que ocorre quando nas premissas não aparecem as palavras todo, algum e nenhum, mas sim, os conectivos “ou”, “e”, “> e'o”. Baseia-se na construção da tabela-verdade, destacando-se uma coluna para cada premissa e outra para a conclusão. Após a construção da tabela-verdade, verificam-se quais são as suas linhas em que os valores lógicos das premissas têm valor V. Se em todas essas linhas (com premissas verdadeiras), os valores lógicos da coluna da conclusão forem também Verdadeiros, então o argumento é válido! Porém, se ao menos uma daquelas linhas (que contêm premissas verdadeiras) houver na coluna da conclusão um valor F, então o argumento é inválido. Este método tem a desvantagem de ser mais trabalhoso, principalmente quando envolve várias proposições simples. Passemos a um exemplo com aplicação deste método. www.concurseirosocial.com.br 17 Exemplo: Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido: (png) >r =r -pv-q Sol.: Como interpretar este argumento sem frases? A primeira coisa a saber é que o que há acima da linha são as premissas, enquanto que abaixo dela encontra-se a conclusão! Neste caso, temos duas premissas e a conclusão (um silogismo). As premissas e a conclusão deste argumento poderiam ser frases que foram traduzidas para linguagem simbólica. 1º passo) Construir as tabelas-verdade para as duas premissas e para a conclusão. Teríamos, portanto, três tabelas a construir. Para economizarmos espaço, ganharmos tempo e facilitarmos a execução do 2º passo, faremos somente uma tabela-verdade, em que as premissas e a conclusão corresponderão a colunas nesta tabela, como pode ser visto abaixo. Observemos que as premissas e a conclusão são obtidas pelos seguintes procedimentos: - A 1º premissa (5º coluna da tabela) é obtida pela condicional entre a 4º e a 3º colunas. - A2º premissa (6º coluna) é obtida pela negação da 3º coluna. - A conclusão (9º coluna) é obtida pela disjunção entre a 7º ea 8º colunas. TABELA 09 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9 1º Premissa | 2º Premissa Conclusão Pp q r (pn a) -p|-q (pag) Sr = -pv-q 1º V V V V V F F F E Bevo vv F v F V F F F 3º V F V F V F F V v 42 V FF F V V F v v 5º F V V F V F V F v 6º F V F F V V V F v 7 FF v F V F v v v 8º F F F F V V V V v 2º passo) Agora, vamos verificar quais são as linhas da tabela em que os valores lógicos das premissas são todos V. Daí, observamos que a 4º, 6º e 8º linhas apresentam todas as duas premissas com valor lógico V. Prosseguindo, temos que verificar qual é o valor lógico da conclusão para estas mesmas 4º, 6º e 8º linhas. Em todas elas a conclusão é também V. Portanto, o argumento é válido. 3º MÉTODO) Utilizando as operações lógicas com os conectivos e considerando as premissas verdadeiras. Por este método, fácil e rapidamente demonstraremos a validade de um argumento. Porém, só devemos utilizá-lo na im possibilidade do primeiro método. Iniciaremos aqui considerando as premissas como verdades. Daí, por meio das operações lógicas com os conectivos, descobriremos o valor lógico da conclusão, que deverá resultar também em verdade, para que o argumento seja considerado válido. www.concurseirosocial.com.br 18 Exemplo: Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido: pvq ad + q Sol.: Este terceiro método de teste de validade de argumentos se dá considerando-se as premissas como verdades e, por meio de operações lógicas com os conectivos, descobriremos o valor lógico da conclusão, que deverá resultar em verdade, para que o argumento seja válido. 1º passo) Consideraremos as premissas como proposições verdadeiras, isto é: > paraa 1º premissa > ovalor lógico de p vq é verdade >paraa2º premissa > ovalor lógicode -p é verdade. 2º passo) Partimos para descobrir o valor lógico das proposições simples p e q, com a finalidade de, após isso, obter o valor lógico da conclusão. Vamos iniciar pela análise da 2º premissa, a fim de obter o valor lógico da proposição simples p. (Se iniciássemos pela 1º premissa não teríamos como obter de imediato o valor lógico de p, enem de q.) - Análise da 2º premissa: -p é verdade Como - p é verdade, logo p é falso. - Análise da 1º premissa: pvq é verdade Sabendo que p é falso, e que p v q é verdade, então o valor lógico de q, de acordo com a tabela verdade do “ou”, é necessariamente verdade. Em suma, temos até o momento: O valor lógico de p é Falso O valor lógico de q é Verdade 3º passo) Agora vamos utilizar os valores lógicos obtidos para p e q a fim de encontrar o valor lógico da Conclusão. Como a conclusão é formada somente pela proposição simples q, então a conclusão tem o mesmo valor lógico de q, ou seja, verdade. Desta forma, o argumento é válido. Passemos a mais um exemplo utilizando o terceiro método. Exemplo: Vamos verificar a validade do seguinte argumento: 1º premissa: AS(-BAC) 2º premissa: -AS5B 3º premissa: DA-C Conclusão: B>-D www.concurseirosocial.com.br 2” - Agora, só resta analisar a 1º premissa: A > (BvC) é verdade Até o momento, temos os seguintes valores lógicos: A éV, BéF, CéF e DéV. Substituindo estes valores na proposição acima, teremos: V > (F vF). Usando o conectivo da disjunção, a proposição simplifica-se para V > F;, e isto resulta em um valor lógico Falso. Opa!!! A premissa A > (B v C) deveria ser verdade!!! Este contradição nos valores lógicos ocorreu porque não foi possível, considerando todas as premissas verdadeiras, chegarmos a uma conclusão falsa. Daí, concluímos que nosso argumento é válido. Em outras: para que o argumento fosse dito inválido, teriam que se confirmar todos os valores lógicos previstos no 1º passo acima. Em não se confirmando qualquer deles, concluímos (como fizemos!) que o argumento é válido! Vamos aproveitar o ensejo para resolver novamente a questão 20 do dever de casa da aula passada, só que agora de uma maneira diferente: usando o quarto método que acabamos de aprender. Vejamos: 20. (Técnico MPU/ 2004-2/ Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que: a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo. c) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo. d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio é sociólogo. Sol.: Iniciaremos definindo as seguintes proposições simples: 5 P= Pedro é pintor > C= Carlos é cantor > M = Mário é médico 3 S= Sílvio é sociólogo Daí, a sentença trazida pelo enunciado será a seguinte: (Pou C) >(-Me-sS). Até aqui, tudo bem? Vamos em frente! A questão quer saber qual das opções de resposta traz uma conclusão decorrente da sentença do enunciado. Podemos considerar que estamos diante de um argumento com uma premissa e queremos encontrar uma conclusão válida para este argumento, entre as apresentadas nas alternativas. Para resolver a questão é aconselhável também traduzir para a linguagem simbólica cada uma das opções de resposta. Executando este procedimento, obtemos: a)(Pe-C) 5 (MousS) b) (Pe-C) 5 (Mou-sS) c)(Pec) > (Me-s) d)(PeC) > (Mous) e)(-PouC)5 (-MesS) Usando o 4º método, consideraremos as premissas verdades e a conclusão falsa, e verificaremos se essa situação é possível de ocorrer. Se possível, então o argumento é inválido, ou seja, a conclusão não é conseguência obrigatória das premissas. Se não é possível a ocorrência daquela situação, então o argumento é válido, consequentemente a conclusão é consequência obrigatória das premissas. E aí, achamos a alternativa correta. Vamos analisar as alternativas: www.concurseirosocial.com.br 22 > Análise da alternativa “a”: (Pe -C) > (MousS) Vamos considerar que a proposição trazida nesta alternativa é a conclusão do argumento. Pelo 4º método, devemos designar o valor lógico falso para a proposição da conclusão. Daí: (Pe -C) > (MousS) éfalso Para que esta condicional tenha valor lógico falso é necessário que 1º parte, (P e -C), tenha valor Ve a2º parte, (M ou S), tenha valor F. Daí: - Para que (Pe -C) seja V, é necessário que: PéV e -CéV(eéclaroCéF). - Para que (M ou S) seja F, é necessário que: MéF e SéF. Em suma: PéV, CéF, MéF e SéF A premissa (P ou C) >(-Me-S) pode ser verdade com esses valores lógicos? Vamos testar substituindo os valores lógicos: (VouF) 5(-Fe-F) , queéomesmoque: (VouF) >5(Vev). Resolvendo esta última proposição, obtemos V > V, que resulta no valor lógico V. Portanto, acabamos de verificar que é possível existir a situação: conclusão falsa e premissa verdade. Logo, esta conclusão não é consequência obrigatória da premissa, e por isso esta alternativa não é a correta. > Análise da alternativa “b”: (Pe -C) > (Mou-sS) Agora vamos considerar que a proposição trazida nesta alternativa é a conclusão do argumento. Pelo 4º método, devemos designar o valor lógico falso para a proposição da conclusão. Daí: (Pe-C) > (Mou-sS) é falso Para que esta condicional tenha valor lógico falso é necessário que 1º parte, (P e -C), tenha valor Ve a2º parte, (M ou - S), tenha valor F. Daí: - Para que (Pe -C) seja V, é necessário que: PéV e -CéV(eéclaroCéF). - Para que (M ou - S) seja F, é necessário que: MéF e -SéF(eéclaroS éV). Em suma: PéV, CéF, MéF e SéV A premissa (P ou C) >(-Me-sS) pode ser verdade com esses valores lógicos? Vamos testar substituindo os valores lógicos: (VouF) 5(-Fe-V) , queéomesmoque: (VouF) >(VerF). Resolvendo esta última proposição, obtemos V > F, que resulta no valor lógico F. Portanto, acabamos de verificar que não é possível existir a situação: conclusão falsa e premissa verdade. Logo, esta conclusão é consequência obrigatória da premissa, e por isso esta alternativa é a resposta da questão. Pronto! Por hoje é só de teoria! Esta aula de hoje é uma que merece ser estudada e revisada com calma e com carinho, procurando-se sempre entender cada passo de resolução explicado! Nossas duas próximas serão bem, digamos, interessantes: trabalharemos um assunto chamado Estruturas Lógicas! Portanto, nossa recomendação é a seguinte: aproveitem, enquanto ainda estamos na fase inicial do curso, e revisem, durante esta semana, tudo o que foi visto. Refaçam os exercícios todos, rememorizem os conceitos, as tabelas, as negações, as equivalências, tudo! A partir da próxima aula a bola de neve ganhará mais e mais volume! E um número crescente de informações será passado a cada módulo. Façam, pois, bom proveito desta semana! Não percam esta oportunidade, ok? Um abraço forte a todos! Fiquem com Deus, e com o nosso dever de casa! www.concurseirosocial.com.br 23 DEVER DE CASA (TCE-ES/ 2004/ CESPE) Julgue os itens a seguir: Item 1. A seguinte argumentação é inválida. Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade. Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade. Conclusão: João não sabe lidar com orçamento. Item 2. A seguinte argumentação é válida. Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos. Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta. Gabarito: 1.E, 2.E (SERPRO/ 2004/ CESPE) Julgue o item a seguir. Item 3. A argumentação e Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo. e Lógica não é fácil. e Sócrates não foi mico de circo. é válida e tem a forma - P5Q “ aP e +Q Gabarito: 3.E (Agente da Polícia Federal/ 2004/ CESPE) Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. Item 4. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira. Item 5. Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido. Item 6. Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido. Item 7. É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo todo cachorro é vegetal. Gabarito: 4.E, 5.E,6.E, 7.C www.concurseirosocial.com.br AULA QUATRO: Estruturas Lógicas Olá, amigos! Sem mais demora, daremos início hoje fazendo uma revisão sucinta da essência de nossa aula passada. Foram várias as dúvidas trazidas ao nosso fórum, sobretudo questionando acerca da escolha do melhor método para averiguar a validade de um argumento. Na sequência, um quadro que resume os quatro métodos, e quando se deve lançar mão de um ou de outro, em cada caso. Vejamos: (TABELA 01) Deve ser usado quando... Não deve ser usado quando... 1º Método Utilização dos Diagramas (circunferências) O argumento apresentar as palavras todo, nenhum, ou algum O argumento não apresentar tais palavras. 2º Método Construção das Tabelas-Verdade Em qualquer caso, mas preferencialmente quando o argumento tiver no máximo duas proposições simples. O argumento apresentar três ou mais proposições simples. Considerando as premissas verdadeiras e testando a conclusão verdadeira 3º Método O 1º Método não puder ser empregado, e houver uma premissa... ...que seja uma proposição simples; ou ... que esteja na forma de uma conjunção (e). Nenhuma premissa for uma proposição simples ou uma conjunção. Verificar a existência de conclusão falsa e premissas verdadeiras 4º Método O 1º Método não puder ser empregado, e a conclusão... ...tiver a forma de uma proposição simples; ou - estiver a forma de uma disjunção (ou); ou .. estiver na forma de uma condicional (se...então...) A conclusão não for uma proposição simples, nem uma disjunção, nem uma condicional. Vejamos o exemplo seguinte: Exemplo: Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido: (png) 5r =r -pv-q Sol.: Esse mesmo exercício foi resolvido na aula passada. Lá, utilizamos o 2º método (tabelas- verdade) para resolvê-lo, pois estávamos interessados em ensinar como se fazia a tabela-verdade para uma sentença formada por três premissas (p, q er). www.concurseirosocial.com.br Todavia, vamos seguir um roteiro baseado no quadro acima, para chegarmos ao melhor caminho de resolução. Poderemos usar as seguintes perguntas: > 1º Pergunta) O argumento apresenta as palavras todo, algum ou nenhum? A resposta é não! Logo, descartamos o 1º método e passamos à pergunta seguinte. > 2º Pergunta) O argumento contém no máximo duas proposições simples? A resposta também é não! Temos aí três proposições simples! Portanto, descartamos também o 2º método. Adiante. > 3º Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma conjunção? A resposta é sim! A segunda proposição é (- r). Podemos optar então pelo 3º método? Sim, perfeitamente! Mas caso queiramos seguir adiante com uma próxima pergunta, teríamos: > 4º Pergunta) A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma disjunção ou de uma condicional? A resposta também é sim! Nossa conclusão é uma disjunção! Ou seja, caso queiramos, poderemos utilizar, opcionalmente, o 4º método! Vamos seguir os dois caminhos: resolveremos a questão pelo 3º e pelo 4º métodos. Obviamente que, na prova, ninguém vai fazer isso! Basta resolver uma vez! Adiante: Resolução pelo 3º Método) Considerando as premissas verdadeiras e testando a conclusão verdadeira. Teremos: > 2º Premissa) - r é verdade. Logo: r é falsa! 3 1º Premissa) (pag) Jr é verdade. Sabendo que r é falsa, concluímos que (pag) tem que ser também falsa. E quando uma conjunção (e) é falsa? Quando as duas partes são falsas. Logo: p é falsa e q é falsa. Em suma, obtivemos que: p, qe r são todos falsos! Agora vamos testar a conclusão, a qual terá que ser verdadeira, com base nos valores lógicos obtidos acima. Teremos: -pv-q=VouV=V Só precisaremos nos lembrar de que o teste, aqui no 3º método, funciona assim: se a conclusão for também verdadeira, então o argumento é válido! Conclusão: o argumento é válido! Resolução pelo 4º Método) Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Teremos: > Conclusão) -p v - q é falso. Logo: p é verdadeiro e q é verdadeiro! Agora, passamos a testar as premissas, que são consideradas verdadeiras! Teremos: 3 1º Premissa) (paq) 2 é verdade. Sabendo que p e q são verdadeiros, então a primeira parte da condicional acima também é verdadeira. Daí, resta que a segunda parte não pode ser falsa. Logo: r é verdadeiro. > 2º Premissa) Sabendo que r é verdadeiro, teremos que - r é falso! Opa! A premissa deveria ser verdadeira, e não foi! www.concurseirosocial.com.br Neste caso, precisaríamos nos lembrar de que o teste, aqui no 4º método, é diferente do teste do 3º: não havendo a existência simultânea da conclusão falsa e premissas verdadeiras, teremos que o argumento é válido! Conclusão: o argumento é válido! Nem poderia ser outro modo! Vimos, pois, que os distintos métodos, se aplicados da forma correta, não podem ter resultados diferentes. Na aula passada, resolvemos esse mesmo exercício usando o 2º método, e a conclusão foi a mesma: argumento válido! Passemos agora à resolução do dever de casa. DEVER DE CASA (TCE-ES/ 2004/ CESPE) Julgue os itens a seguir: Item 1. A seguinte argumentação é inválida. Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade. Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade. Conclusão: João não sabe lidar com orçamento. Sol.: Claramente vemos que é possível usarmos o 1º método. Teremos: Conhece contabilidade Sabe lidar JOÃO com orçamento A conclusão nos diz que João não sabe lidar com orçamento, logo, o argumento é válido! Como a questão afirma que a argumentação é inválida, teremos que o item é ERRADO! Item 2. A seguinte argumentação é válida. Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos. Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta. Paga imposto CARLOS É honesto CARLOS www.concurseirosocial.com.br 6 Os diagramas acima não deixam qualquer dúvida: a conclusão é resultado necessário das premissas! Ou seja, o argumento é válido. O item 7 está, pois, CORRETO! Questão 8: (TRT-9º Região/ 2004/ FCC) Observe a construção de um argumento: Premissas: Todos os cachorros têm asas. Todos os animais de asas são aquáticos. Existem gatos que são cachorros. Conclusão: Existem gatos que são aquáticos. Sobre o argumento A, as premissas Pe a conclusão C, é correto dizer que: (A) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro. (B) A não é válido, Pe C são falsos. (C) A é válido, Pe C são falsos. (D) A é válido, Pou C são verdadeiros. (E) A é válido se P é verdadeiro e C é falso. Sol.: Para dizer se a conclusão (C) ou se as premissas (P) são verdadeiras ou falsas, observaremos o que há em seu conteúdo. Ora, sabemos que cachorros não têm asas; que gatos não são cachorros; e que não existem gatos aquáticos! Portanto, são falsas tanto as premissas quanto a conclusão! Há duas opções de resposta que nos dizem isso: as letras Be C. O que vai definir a resposta da questão é a análise da validade do argumento! Façamos tal análise com uso do 1º método (diagramas). Teremos: AQUÁTICOS TEM ASAS Mais uma vez o desenho é inequívoco: necessariamente a conclusão do argumento será verdadeira, uma vez consideradas verdadeiras as premissas! Ou seja, o argumento é válido! Isso somente ratifica o que dissemos na análise dos itens anteriores: mesmo sendo absurdos os conteúdos das premissas e da conclusão, a construção é perfeita em sua forma, o que nos leva a um argumento válido! A resposta da questão é a LETRA C. www.concurseirosocial.com.br 7 Questão 9: (SERPRO-2001/ ESAF) Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não é um argumento logicamente válido, uma vez que: a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas. b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira. c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira. d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira. e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri. Sol.: Trata-se de uma questão meramente conceitual, e de resolução, portanto, imediata. Se o enunciado está afirmando que um argumento qualquer é inválido, isso significa, tão- somente, que a conclusão não é decorrência necessária (obrigatória) das premissas! É o que diz a opção A > Resposta! Classifique, quanto à validade, os seguintes argumentos: 10. P5>Q aP “Q Sol.: Mesmo argumento já foi analisado no item 03 supra! Como o argumento traz apenas duas proposições simples (p e q), usamos o 2º método, da construção da tabela-verdade. Chegamos a: P50 [-P | -Q TABELA 03 m|n|<|<| TU n|<|n|<| 0 <|<|mn|<| V <| <|n| m <|mn| <|m Pela análise das duas últimas linhas, concluímos que o argumento é inválido! 11. PvQ QvR. PvR Sol.: Temos três proposições simples neste argumento, de sorte que não é muito conveniente usarmos o 2º método. Vamos escolher entre o 3º e o 4º. Façamos as duas últimas perguntas do roteiro. Teremos: www.concurseirosocial.com.br 8 3º Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma conjunção? Resposta: Não! Descartemos, pois, o 3º método! 4º Pergunta) A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma disjunção ou de uma condicional? Resposta: Sim! A conclusão é uma condicional. Adotaremos, pois, o 4º método! 4º Método) Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Teremos: > Conclusão) Pv R é falso. Logo: P é falso e R é falso! Agora, passamos a testar as premissas. Teremos: 5> 1º Premissa) P v Q é verdade. Sabendo que P é falso, teremos que Q terá que ser verdadeiro! > 2º Premissa) Q v R é verdade. Os valores lógicos obtidos anteriormente foram: Q é Ve R é F. Substituindo estes valores lógicos nesta premissa (Q v R), teremos como resultado um valor verdadeiro. O que concorda com a consideração feita inicialmente de que a premissa era verdadeira. Lembramos que, no 4º método, quando se confirma a situação premissas verdadeiras e conclusão falsa, constataremos que o argumento é inválido! 12. P>5Q R>-Q R -P Sol.: Aplicaremos novamente aqui o 4º método. Teremos: > Conclusão) - P é falso. Logo: P é verdadeiro! Considerando as premissas verdadeiras e testando-as, teremos: > 1º Premissa) P5Q é verdade. Sabendo que P é verdadeiro, teremos que Q terá que ser também verdadeiro! > 2º Premissa) R5- Q é verdade. Sabendo que Q é verdadeiro então - Q é falso. Daí, sendo - Q falso, teremos que R terá que ser também falso. > 3º Premissa) Sabendo (da 2º premissa) que R é falso, constatamos que a 3º premissa é falsa! Ou seja, se a conclusão é falsa, e 1º e 2º premissa são verdadeiras, então esta premissa não pode ser verdadeira! Ora, falhou a situação premissas verdadeiras e conclusão falsa! Daí, o argumento é válido! 13. Sex=1 ey=z,então y>2 Y=2 yHz Sol.: Aplicando o 3º método, iremos considerar as premissas verdadeiras e testar a conclusão. Teremos: www.concurseirosocial.com.br 1 Sol.: Trabalhando com o 1º método, teremos: DESPREZADOS AMESTRADORES DE CROCODILOS ILÓGICOS Analisando as opções de resposta com base no desenho acima, vemos que a única delas que não apresenta um resultado necessariamente verdadeiro é justamente a constante na letra B. Notem que pode haver pessoas desprezadas que não são necessariamente ilógicas! São aqueles que estão no círculo maior (marrom) mas não tocam o círculo azul. Passemos agora ao nosso assunto de hoje! O tipo de questão que estudaremos agora é o que chamamos de Estruturas Lógicas. Caracteriza-se por apresentar um conjunto de afirmações (premissas), formado por proposições compostas (os termos são interligados pelos conetivos lógicos: e, ou, se...então, se e somente se), e também podem apresentar proposições simples. A resposta solicitada para este tipo de questão é a alternativa que traz uma conclusão que é necessariamente verdadeira para o conjunto de premissas fornecidas no enunciado. Assim, notamos que as questões de estruturas lógicas se assemelham às de Argumento Válido, pois apresenta premissas (trazidas no enunciado) e uma conclusão válida (que será a própria resposta procurada!). Para resolver as questões de estruturas lógicas utilizaremos os métodos de teste de validade de argumentos apresentados na AULA TRES, basicamente o 3º e o 4º métodos. Dividiremos as questões de Estruturas lógicas em dois tipos, a saber: 1º tipo: Quando uma das premissas apresenta somente uma forma de ser verdadeira. Isso ocorre em duas situações: 1) o conjunto de premissas traz alguma proposição simples; ou 2) o conjunto de premissas traz alguma proposição composta em forma de conjunção (com o conectivo “e” interligando os seus termos). www.concurseirosocial.com.br 12 2º tipo: Quando todas as premissas do argumento possuem mais uma forma de ser verdadeira. Nesta presente aula, veremos somente o 1º tipo, deixando o 2º para a próxima. O 1º tipo, definido acima, é resolvido utilizando-se o 3º método de teste de validade de argumentos, já nosso conhecido! Como já vimos, o 3º método é realizado por meio dos seguintes passos: 1º passo: consideram-se as premissas verdadeiras, e com o conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, descobrimos os valores lógicos das proposições simples que compõe o argumento. 2º passo: A partir dos valores lógicos das proposições simples, devemos encontrar qual é a alternativa que traz uma proposição que é consequência obrigatória das premissas, ou seja, que possui valor lógico necessariamente verdadeiro. Não há melhor maneira de se aprender a trabalhar questões de Estruturas Lógicas do que por meio da resolução de questões! Passemos a elas! EXEMPLO 01: (AFC 2002 ESAF) Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não é cunhada de Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Logo, a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol. b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem. c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol. d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol. e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem. Solução: O enunciado da questão traz três afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo: Pt. Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. P2. Carmem não é cunhada de Carol. P3. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Da mesma forma que já fizemos em diversas soluções de questões, vamos traduzir simbolicamente as frases acima, a fim de tornar a solução mais rápida. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples: A = Carina é amiga de Carol B= Carina é cunhada de Carol C = Carmem é cunhada de Carol Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim: PA. ASC P2. -C P3. -B5A Agora vamos a solução propriamente dita. Observe os passos abaixo: 1º PASSO: Considerando as premissas como verdadeiras e a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples (A, Be C). Veja o procedimento sequencial feito abaixo: www.concurseirosocial.com.br 13 a) Começamos pela 2º premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só possui uma forma de ser verdadeira. Pi. AS C P2. -C => Como - C é verdade, logo C é F P3. -B> A Resultado: O valor lógico de C é F. b) Substitua C pelo seu valor lógico F Pi. ASF => para que a condicional seja verdade é necessário que A tenha valor lógico F P2. -F P3. -B> A Resultado: O valor lógico de A é F. c) Substitua A pelo seu valor lógico F PL FS F P2. -F P3. -B> F => para que a condicional seja verdade é necessário que - B tenha valor lógico FoedaiBévV. Resultado: O valor lógico de B é V. - Em suma: Aé F , significa que: “Carina é amiga de Carol” é falso. Daí: (“Carina não é amiga de Carol” é verdade) Bé V , significa que: “Carina é cunhada de Carol” é verdade. Cé F , significa que: “Carmem é cunhada de Carol” é falso. Daí: (“Carmem não é cunhada de Carol” é verdade) 2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1º passo, verificaremos qual é a alternativa que traz uma proposição necessariamente verdadeira. Não há necessidade de traduzirmos as frases das alternativas da questão para linguagem simbólica. Observemos como é fácil descobrir a alternativa correta: falso falso a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol. > falso www.concurseirosocial.com.br 16 2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1º passo, verificar qual é a alternativa que traz uma proposição necessariamente verdadeira. F V a) estudo e fumo > falso F V b) não fumo e surfo 35 falso V F c) não velejo e não fumo > falso F F d) estudo e não fumo 5 falso V V e) fumo e surfo > verdade A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a “E” > Resposta! EXEMPLO 03: (Fiscal Recife 2003 ESAF) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo: a) Caio e Beto são inocentes d) Caio e Dênis são culpados b) André e Caio são inocentes e) André e Dênis são culpados c) André e Beto são inocentes Solução: O enunciado da questão apresenta quatro afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo: P1. André é inocente ou Beto é inocente. P2. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. P3. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. P4. Dênis é culpado. Apesar de as premissas serem frases pequenas, nós as traduziremos para a forma simbólica. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples: A= André é inocente B= Beto é inocente C= Caio é inocente D = Dênis é culpado www.concurseirosocial.com.br 17 Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim: P1. A ou B P2. B> -C P3. CoD P4. D Agora passemos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo: 1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples (A, B, Ce D). Vejamos a sequência abaixo: a) Começaremos pela 4º premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira. Pt. A ou B P2. B> cc P3. CoD P4. D > DéV Resultado: O valor lógico de D é V.. b) Substitua D por V Pt. A ou B P2. BS -cC P3. Cov => para que a bicondicional seja verdade, é necessário que C tenha valor lógico V P4. V Resultado: O valor lógico de C é V. c) Substitua C por V, e - C por F Pt. A ou B P2. B5SF para que a condicional seja verdade é necessário que B tenha valor lógico F. P3. VoVv P4. V Resultado: O valor lógico de B é F. www.concurseirosocial.com.br 18 d) Substitua B por F Pt. A ou F => para que a conjunção seja verdade, A deve ser V. P2. FS F P3. VoVv P4. VV Resultado: O valor lógico de A é V. - Em suma: AéV, significa que é verdade que: “André é inocente” BéF, significa que é verdade que: “Beto não é inocente”, ou seja, “Beto é culpado” CévV, significa que é verdade que: “Caio é inocente” DévV, significa que é verdade que: “Dênis é culpado” 2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1º passo, verificar qual é a alternativa que traz uma proposição necessariamente verdadeira. a) Caio e Beto são inocentes. 5 falso b) André e Caio são inocentes > verdade c) André e Beto são inocentes > falso d) Caio e Dênis são culpados > falso e) André e Dênis são culpados > falso A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a “B” 5 Resposta! EXEMPLO 04: (Oficial de Chancelaria MRE 2004 ESAF) Se a professora de matemática foi à reunião, nem a professora de inglês nem a professora de francês deram aula. Se a professora de francês não deu aula, a professora de português foi à reunião. Se a professora de português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora, pelo menos um problema não foi resolvido. Logo, a) a professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula. b) a professora de matemática e a professora de português não foram à reunião. c) a professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião. d) a professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião. e) a professora de inglês e a professora de francês não deram aula. Solução: O enunciado da questão apresenta quatro afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo: www.concurseirosocial.com.br 21 2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1º passo, verificar qual é a alternativa que traz uma proposição necessariamente verdadeira. V F a) a professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula. V V b) a professora de matemática e a professora de português não foram à reunião. F V c) a professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião. F F d) a professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião. indeterminado F e) a professora de inglês e a professora de francês não deram aula. > falso > verdade > falso > falso > falso A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a B 5 Resposta! EXEMPLO 05: (AFC-SFC 2001 ESAF) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo, a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento b) Camile e Carla não foram ao casamento c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou e) Vera e Vanderléia não viajaram Solução: O enunciado da questão apresenta quatro afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo: Pt. Se Vera viajou, então nem Camile nem Carla foram ao casamento. P2. Se Carla não foi ao casamento, então Vanderléia viajou. P3. Se Vanderléia viajou, então o navio afundou. P4. O navio não afundou www.concurseirosocial.com.br 22 Na 12 premissa aparece a palavra 'nem'. Vamos reescrever esta premissa tirando tal palavra, mas preservando o sentido: Pt. Se Vera viajou, então Camile não foi ao casamento e Carla não foi ao casamento. Agora, vamos traduzir as premissas acima para a forma simbólica, a fim de tornar mais rápida a solução. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples: A= Vera viajou B= Vanderléia viajou C= Camile foi ao casamento D = Carla foi ao casamento E= o navio afundou Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim: Pt. AS(-Ce-D) P2. -D5B P3. B5E P4. -E Passemos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo: 1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples (A, B, C, D e E). Vejamos a sequência abaixo: a) Começamos pela 4º premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira. Pr. AS(-Ce-D) P2. “D5B P3. B5E P4. -E > Como - E é verdade, logo E é F Resultado: O valor lógico de E é F. b) Substitua E por F,e- Epor V Pt. A5("Ce-D) P2. -D5B P3. B>5 F => para que a condicional seja verdade é necessário que B tenha valor lógico F P4. VV Resultado: O valor lógico de B é F. www.concurseirosocial.com.br 23 c) Substitua B por F Pi. AS(-Ce-D) P2. -D5S F > para que a condicional seja verdade é necessário que - D tenha valor lógico F, daí D é V. P3. F5>F P4. V Resultado: O valor lógico de D é V. d) Substitua D por V, e - D por F Pt. AS(-CerF) > A conjunção (- Ce F) tem um termo F, daí o valor da conjunção também é F. Logo a condicional simplifica para: A >F. Esta condicional deve ser verdadeira, então A é F. P2. F5F P3. FS F P4. VV Resultado: O valor lógico de A é F. - Em suma: Aé F , significa que é verdade que: “Vera não viajou” Bé F , significa que é verdade que: “Vanderléia não viajou” Dé V , significa que é verdade que: “Carla foi ao casamento” Eé F, significa que é verdade que: “o navio não afundou” 2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1º passo, verificar qual é a alternativa que traz uma proposição necessariamente verdadeira. Não há necessidade de traduzir as frases das alternativas da questão para linguagem simbólica. Observe como é que descobriremos qual é a alternativa correta. V F a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. > falso indeterminado F b) Camile não foi ao casamento e Carla não foi ao casamento 5 falso
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