Lições de Fenômenos Eletromagnéticos

Lições de Fenômenos Eletromagnéticos

(Parte 1 de 5)

J. Felipe De Almeida

Movimento Ondulatório, Eletricidade, Magnetismo, Indução Eletromagnética e Eletrodinâmica de Maxwell

Lições de Fenômenos Eletromagnéticos

Análise Computacional: Tomografia Eletromagnética e o Método FDTD

J. Felipe De Almeida

Movimento Ondulatório, Eletricidade, Magnetismo, Indução Eletromagnética e Eletrodinâmica de Maxwell

Lições de Fenômenos Eletromagnéticos

Análise Computacional: Tomografia Eletromagnética e o Método FDTD

Apresentação

Estes textos foram elaborados com a proposta de servir como um instrumento de suporte didático ao estudo das interações elétricas e magnéticas. Parte-se de uma verificação que leva em conta as dificuldades e curiosidades de um aluno sobre esse tema. Embora o que se tenha a apresentar tenha sido pensado dessa maneira, tem-se a perfeita consciência de uma difícil tarefa a ser realizada. Entretanto, o grande aliado para que se chegasse ao desfecho desta primeira tarefa, foram os próprios alunos dos cursos de Engenharia, durante as aulas de Eletromagnetismo, ministradas no decorrer destes últimos anos. Isso só pode ser alcançado a partir de seus questionamentos e sugestões.

O objetivo desse trabalho é o de oferecer um material de auxilio a autoaprendizagem sobre a teoria eletromagnética. Outrossim, não se tem a pretensão de apresentar um tratado autossuficiente sobre este assunto. Por isso, um conhecimento prévio sobre noções de cálculo diferencial e integral deve ser acompanhado de forma paralela ao desenvolvimento sistemático dos alunos iniciantes. Dessa forma, este material é destinado tanto aos alunos que estão iniciando um curso de graduação em Engenharia ou Física como para os que estão em estudos mais avançados sobre a teoria eletromagnética. Espera-se neste trabalho que, a partir dessa primeira versão, as discussões presentes possam ser tanto abrangentes quanto capazes de sofrer várias modificações, dentro daquilo que está sendo sugerido.

A divisão de Capítulos foi feita de tal forma que permita uma visão da iniciação científica na eletrodinâmica computacional. Cabe, portanto, ao Capítulo 1 os conceitos introdutórios sobre o movimento vibratório e sua versão harmônica. O Capítulo 2 trata de eletricidade, magnetismo e da indução eletromagnética aplicada aos elementos de circuitos elétricos, ou seja, apresenta-se uma introdução à teoria de circuitos e a definição de suas leis conceituais. O Capítulo 3 é o foco principal desta explanação, pois no qual é apresentada a teoria eletromagnética de Maxwell, embora a teoria eletromagnética de Weber também seja mencionada. Vale, portanto fazer um breve comentário sobre essa parte. A forma como essa teoria está sendo mostrada tem uma metodologia, modéstia a parte, diferente. Usou-se para isto, sempre que necessário, a matemática – no caso, a descrição vetorial – e a revisão histórica de cada descoberta conceitual. Considera-se que esse tratamento dado ao assunto é fundamental para a fixação de conceitos bastante complicados, principalmente para quem se propõe a iniciar sobre esse estudo. Nos Capítulos restantes, foi dada ênfase as técnicas computacionais de soluções e as aplicações das equações de Maxwell. Assim, no Capitulo 4 se reservou à obtenção das soluções dessas equações no domínio da freqüência e à formulação do conceito da função Sensitividade. Isto leva a uma aplicação, de forma bastante didática, na Tomografia Eletromagnética. O método das diferenças finitas no domínio do tempo – método FDTD – está apresentado no Capítulo 5. Este método é uma das formas mais precisas de resolver computacionalmente as equações de Maxwell, com uma vasta aplicação em problemas da Engenharia e da Física. Observa-se, ainda, que a grande vantagem da utilização do método FDTD é a de solucionar problemas eletromagnéticos que estão fora do alcance das soluções analíticas. Por fim, no Capítulo 6 é mostrado um problema de eletromagnetismo avançado, o qual trata sobre anisotropia uniaxial. Neste capítulo, a técnica de camadas anisotrópicas perfeitamente casadas, conhecida como UPML (Uniaxial Perfect Matched Layer), é mostrada como uma aplicação das equações de Maxwell na representação de uma câmara anecóica virtual. A finalidade do uso dessa técnica é a trucagem de um domínio computacional. A formulação matemática utilizada, neste último capítulo, é feita de forma bastante simples, mas requer disponibilidade de tempo e muita atenção para entendê-la. Em quase todos estes capítulos – exceto o sexto –, foram colocados exercícios resolvidos, cuja finalidade é dar mais explanação sobre um determinado tópico conceitual.

Por fim, é de forma muito sincera que eu gostaria de agradecer a todos que de uma forma ou de outra me incentivaram a este trabalho. Entre estes estão os Drs. Licurgo Brito, Carlos Leonidas Sobrinho e José Maria Filardo Bassalo que muito contribuíram, dedicando parte de seu tempo comigo. Mas, de maneira muito especial à Márcia Monteiro. Devo, ainda, muito de um pouco de cada coisa aqui escrita, aos meus filhos e aos meus alunos, a quem dedico este trabalho.

Belém, 1 de maio de 2006 José Felipe De Almeida

Sumário

ONDULATÓRIO8

Capítulo 1 – CARACTERÍSTICAS ELEMENTARES DO MOVIMENTO

1.1 Caracterização do Movimento Ondulatório 1.1.1 Classificação do Movimento

1.1.2 Natureza do Movimento Vibratório 1.1.3 Tipos (ou Formatos) de Ondas 1.1.4 Elementos de uma Onda Periódica 1.1.5 Fenômenos Ondulatórios

1.2 Ondas Progressivas Unidimensionais (análise matemática) 1.3 Ondas Harmônicas 1.4 Superposição e Interferência de Ondas 1.5 Ondas Estacionárias (1ª parte) 1.6 Representações Matemática das Vibrações Sonoras 1.7 Ondas Estacionárias (2ª parte) 1.8 Modos Ímpares 1.9 Equação de Onda

ELETROMAGNÉTICA36

Capítulo 2 – ELETRICIDADE, MAGNETISMO E INDUÇÃO

2.1 Eletricidade 2.1.1 Grandezas da Eletricidade

2.1.2 Lei de Ohm 2.1.3 Lei de Kirchhoff 2.1.4 Fontes de Tensão e Corrente 2.1.5 Resistência e Associação de Resistores 2.1.6 Capacitância e Associação de Capacitores

2.2 Magnetismo e Indução Eletromagnética 2.2 1 Campo Magnético: Regra de Ampère 2.2 2 Lei de Faraday-Lentz 2.2 3 Indutância e Associação de Indutores 2.2.4 Equação de um Circuito RLC Simples 2.2 5 Impedância 2.2 6 Reatância 2.2.7 Análise da Corrente Estacionária: Ressonância

Capítulo 3 – TEORIA ELETROMAGNÉTICA DE MAXWELL64

3.1 Vetor 3.2 Força Elétrica de Coulomb e o Campo Elétrico 3.3 Vetor de Superfície e a Lei de Gauss 3.4 Divergência e o Teorema da Divergência 3.5 Gradiente 3.6 Laplaciano 3.7 Rotação de um Vetor e o Campo Magnético 3.8 Divergente do Rotacional e a Lei de Ampère-Maxwell 3.9 Lei de Faraday-Lenz 3.10 As Equações de Maxwell no Espaço Livre

FREQÜÊNCIA: TOMOGRAFIA ELETROMAGÉTICA139

Capítulo 4 – APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL NO DOMÍNIO DA

4.1 Desenvolvimento das Equações de Maxwell no Domínio da Freqüência

4.2 Função Sensitividade

TEMPO: MÉTODO FDTD156

Capítulo 5 – SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL NO DOMÍNIO DO

5.1 O Algoritmo de Yee 5.1.1 Formulação Analítica

5.1.2 Diferenças Centradas 5.1.3 Leap-Frog

5.2 Solução Numérica 5.2.1 Estabilidade Numérica

5.2.2 Dispersão Numérica 5.2.3 Fonte de Excitação 5.2.4 Considerações Adicionais sobre o Método FDTD

Capítulo 6 – TÉCNICA COMPUTACIONAL PARA IMPLEMENTAÇÃO DE

ANECÓICA VIRTUAL177

6.1 Domínio Computacional 6.2 Meio Material com Anisotropia Uniaxial

6.3 PML Uniaxial (UPML) 6.3.1 Região Homogênea Isotrópica

6.3.2 Região Homogênea Anisotrópica Uniaxial

6.3.3 Cálculo do Coeficiente de Reflexão e Condição de Transmissão Total

6.3.4 Parâmetros Constitutivos de um Meio Dissipativo UPML

6.3.5 Solução Numérica para a UPML

Lições de Fenômenos Eletromagnéticos– J. Felipe De Almeida 8 Capítulo 1

De uma forma geral, a dinâmica das interações observáveis na

Natureza se manifesta na forma de ondas e de maneira tipicamente ondulatória. Em um estudo introdutório sobre esse assunto [1-6], a descrição desse movimento fica facilmente entendida quando feita para situações que envolvem ondas em meios materiais. De fato, torna-se menos complicado entender sobre as situações relacionadas com outras formas de manifestações também ondulatórias, porém, cheias de abstrações – como é o caso das interações eletromagnéticas. Portanto, este Capítulo trata dos conceitos básicos que se relacionam com o movimento ondulatório.

1.1 Caracterização do Movimento Ondulatório 1.1.1 Classificação do Movimento

• UNIDIMENSIONAL: vibração ao longo de uma única dimensão. • BIDIMENSIONAL: vibração ao longo de uma superfície.

• TRIDIMENSIONAL: vibração no espaço livre, portanto nas três dimensões.

1.1.2 Natureza do Movimento Vibratório

• MECÂNICO: são vibrações produzidas pela deformação de um meio material (ex.: onda na superfície da água, ondas sonoras, etc.).

• ELETROMAGNÉTICO: são vibrações devidas a interações de cargas elétricas (ex.: ondas de rádio, microondas, ondas de calor, ondas luminosas, raio-X e raios cósmicos).

1.1.3 Tipos (ou Formatos) de Ondas

• ONDAS TRANSVERSAIS: são oscilações que acontecem quando a vibração é perpendicular à direção do movimento (propagação) da onda. Para que este movimento aconteça, a região perturbada

Lições de Fenômenos Eletromagnéticos– J. Felipe De Almeida 9 precisa ter sua composição rígida, caso contrário haverá arraste de parte da estrutura sobre sua adjacência. Por isto, o movimento transverso é típico de meios sólidos. Ondas não arrastam a matéria na direção de seu movimento.

• ONDAS LONGITUDINAIS: acontecem quando a vibração se propaga na mesma direção em que o meio portador oscila. Esta forma de transporte de energia pode acontecer em sólidos, líquidos ou gases. Em cada posição do meio, por onde a vibração acontece, é necessário apenas que a sua adjacência seja empurrada.

1.1.4 Elementos de uma Onda Periódica

• AMPLITUDE: é a quantidade que caracteriza o maior crescimento de uma onda.

• FREQÜÊNCIA: significa o número de vibrações em um período de tempo. A freqüência não depende das condições iniciais do movimento, sendo, portanto, uma característica fundamental das oscilações.

• COMPRIMENTO DE ONDA: representa a distância entre dois pontos consecutivos e de mesma qualidade de uma onda.

• PERÍODO: é o intervalo de tempo necessário para que um perfil completo de uma onda passe diante do observador (ou do referencial escolhido). É o tempo de uma oscilação completa. Quando essas repetições acontecem com uma freqüência bem determinada, a onda é dita periódica.

1.1.5 Fenômenos Ondulatórios

• REFLEXÃO: é o fenômeno que acontece quando uma onda se propaga num dado meio e encontra uma interface de separação entre este meio e outro. Neste caso, essa onda pode, parcial ou totalmente, retornar para o meio em que estava se propagando.

• REFRAÇÃO: é o fenômeno segundo o qual uma onda ao mudar de meio de propagação, muda também de direção e de velocidade.

• DIFRAÇÃO: é um fenômeno cheio de detalhes e o qual, de uma forma mais conhecida, pode-se atribuir à capacidade de uma onda contornar obstáculos.

Lições de Fenômenos Eletromagnéticos– J. Felipe De Almeida 10

• INTERFERÊNCIA: é um fenômeno que ocorre quando duas ou mais ondas percorrem simultaneamente a mesma região. Nestas condições, deixa de ser percebida individualmente e passa a ser uma onda resultante. Após a interferência, cada onda segue o seu destino com suas características iniciais.

• POLARIZAÇÃO: diz-se que uma onda está polarizada quando oscila num só plano de vibração, chamado plano de polarização da onda. Verifica-se que a polarização é um fenômeno típico das ondas transversais.

Associado com a qualidade de uma vibração está a característica do meio portador ou região de propagação. Definem-se as características de um meio, pelas suas propriedades intrínsecas. Essas propriedades são, por exemplo, as propriedades elásticas, as propriedades térmicas, as propriedades elétricas e magnéticas, o índice de refração no caso particular do estudo da luz, e etc. A isso, muitas vezes deve-se levar em conta também à geometria espacial. Assim, a variação do meio pode ser física ou geométrica. Quando o meio não sofre variação física em sua geometria será dito homogêneo, caso contrário, será chamado heterogêneo. Quando apenas a variação geométrica estiver sendo considerada, diz-se que houve descontinuidade do meio. Analisando-se somente as suas características físicas, este pode apresentar isotropia ou anisotropia. Note-se que isso está relacionado com o espaço, dessa forma, a propriedade física de um determinado meio pode sofrer variação em direções preferenciais ou não. Com isso, a isotropia qualifica um meio cujas propriedades físicas são as mesmas em todas as direções. De modo diferente, a anisotropia pode ser em apenas uma direção (anisotropia uniaxial), ou em duas direções (anisotropia biaxial), ou ainda, nas três direções espaciais (eixos x, y e z). No decorrer de todo esse trabalho, essas considerações serão usadas.

1.2 Ondas Progressivas Unidimensionais (análise matemática)

A descrição feita na Seção anterior tem um conteúdo verbal.

Considere-se agora uma análise matemática. Seja, portanto, um pulso ondulatório que se propaga para direita, em uma corda tencionada, por exemplo.

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Figura 1.1 – Pulso ondulatório propagando-se para a direita com velocidade v. Na figura (a), em t=0, a forma do pulso é dada por: y=f(x). Para um instante mais tarde t (Figura (b)), a forma do pulso permanece inalterada e o deslocamento vertical (eixo-y) é dado por: y=f(x-vt).

As imagens mostradas na Figura 1.1 foram obtidas por uma simulação espaço-temporal de um pulso ondulatório. O meio de propagação escolhido foi uma corda, uniformemente distribuída com as mesmas características em todo seu comprimento, tencionada e presa nas duas pontas. O pulso se move sobre o eixo-x (o eixo da corda), e o deslocamento transversal da corda é medido na direção-y.

Na Figura 1.1(a), para o posicionamento (célula 50, na direção x) de máximo deslocamento de y, o tempo é acionado por um cronômetro a partir de t=0. Neste instante, a forma do pulso pode ser representada como y=f(x). Isto é, o valor de y é obtido em função de x. O máximo deslocamento, medido em y, é chamado de amplitude da onda. Uma vez que a velocidade da onda é v e o pulso se desloca para a direita, o afastamento da posição inicial (tomada como referência) é medido por vt no intervalo de tempo t. A Figura (b) mostra esta última situação.

No caso de um pulso ondulatório que mantém a sua forma (não sofre alteração), pode-se representar o deslocamento y em todos os instantes posteriores, num sistema de coordenadas, com origem em 0, na seguinte forma:

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Figura 1.2 – Pulso ondulatório propagando-se para a direita com velocidade v e para a esquerda com –v.

A nova situação, mostrada na Figura 1.2, é uma imagem de um instantâneo da propagação de um pulso ondulatório caminhando, simultaneamente, no sentido positivo e negativo de um eixo. Um exemplo como este, pode ser visto na vida real em casos que um lago é perturbado por uma pedra. Outro exemplo é quando a perturbação ocorre no centro de uma corda tencionada e presa às duas pontas. De forma análoga ao raciocínio do parágrafo anterior, o deslocamento sofrido pelo pulso que caminha para a esquerda é dado por:

O deslocamento y é chamado de função de onda e, neste caso, depende de duas variáveis: da posição e do tempo (y(x, t)). É importante entender o significado de y.

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