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Guias e Dicas
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Pré-Cálculo - vol2, Notas de estudo de Matemática

Ótima apostila de Pré-Cálculo

Tipologia: Notas de estudo

2012

Compartilhado em 27/09/2012

evandro-duarte-11
evandro-duarte-11 🇧🇷

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Baixe Pré-Cálculo - vol2 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Pré-Cálculo, Vol. 2: Curvas Planas Jorge J. Delgado – Maria Lúcia Torres Villela IM-UFF 2007 J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 2 Capı́tulo 2 Curvas no Plano Penso, logo existo Descartes R e f e r ê n c i a O livro Geometria Analı́tica de Charles H. Lehmann, Editora Globo, 1995, trata os aspectos fundamentais da Geometria Analı́tica Plana e Espacial. Euclides 325-265 a.C., Alexandria, Egito. Nos 13 volumes dos Elementos relata suas descobertas sobre a Aritmética e a Geometria. No endereço: http://aleph0.clarku.edu/ ∼djoyce/java/elements/ elements.html podem ser encontrados todos os livros dos Elementos. O objetivo deste volume é identificar e representar graficamente por meio de suas equações algumas curvas planas, conhecendo suas propri- edades geométricas elementares. As curvas planas apresentadas são: reta, cı́rculo, parábola, elipse e hipérbole. Estas curvas são obtidas por interseção de um plano com um cone circular reto e são chamadas curvas cônicas. A apresentação da teoria pressupõe: • as noções intuitivas dos conceitos de ponto, reta e plano (veja a Aula 1 de Geometria Básica). • o conhecimento do Teorema de Pitágoras (veja a Aula 7). Euclides, maior geômetra da sua época, na sua obra Elementos, ex- plica os conceitos de ponto, reta, superfı́cie, ângulo, segmento e proporção e enuncia cinco postulados: P1 Por dois pontos distintos passa uma reta. P2 É possı́vel prolongar uma reta limitada. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 7 CEDERJ P3 É possı́vel traçar uma circunferência centrada em qualquer ponto com um raio qualquer. P4 Todos os ângulos retos são iguais. P5 Por um ponto situado fora de uma reta passa somente uma paralela a esta reta. As construções geométricas desses postulados eram realizadas com régua e compasso — exigência clássica de Platão. Platão 427 - 347 a.C., Atenas, Grécia. Platão não fez descobertas importantes na área de Matemática. Os trabalhos relevantes de Matemática desta época foram feitos por seus amigos ou discı́pulos. Platão tinha a convicção de que o estudo da Matemática devia ser cultivado pelos filósofos. Para saber mais sobre Platão consulte: http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/ Mathematicians/Plato.html A régua, sem escala, e o compasso são instrumentos que permitem a resolução de muitos problemas de construção geométrica. No entanto, há três problemas que não podem ser resolvidos com estes instrumentos: Duplicação do cubo: construir um cubo de volume 2. Trisecção do ângulo: dividir em três partes iguais um ângulo qual- quer. Quadratura do cı́rculo: construir um quadrado com área igual a de um cı́rculo de raio 1. Somente no século XIX foi demonstrada a impossibilidade destas construções. A procura da solução destes problemas foi de grande im- portância para o desenvolvimento da Geometria grega. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 8 §1. Coordenadas no Plano Nas próximas duas aulas identificaremos pontos do plano por pares ordenados e calcularemos a distância entre eles. Estes são os conceitos básicos e necessários para entender a Geometria Analı́tica. Conceitos: Números reais, a reta real, desigualdades, distâncias, valor absoluto e raiz quadrada. Referências: Aulas 7, 8, 9, 11 e 12. A idéia de colocar coordenadas numa superfı́cie com o propósito de medir e localizar é muito antiga. Talvez, o mais famoso exemplo seja o mapa do mundo de Claudius Ptolomeu (85 - 165 d.C.). Fig. 1: Cópia do mapa do mundo de Ptolomeu. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 9 CEDERJ Sistema de Coordenadas Cartesianas lhante e versátil. Fez grandiosas contribuições ao Cálculo, à Ótica e à Teoria dos Números. Com Pascal, descobriu a Teoria das Probabilidades. René Descartes escreveu La Géométrie constituı́da de três partes. Na primeira, introduziu os princı́pios da Geometria Algébrica, possibili- tando avanço considerável em relação aos gregos. Para os gregos, uma variável x significava o comprimento de um segmento; o produto de duas variáveis x · y correspondia à área de um retângulo; e o produto de três variáveis x ·y · z era o volume de um paralelepı́pedo reto. Para Descartes, x2 não tinha o significado de uma área, mas apenas o quarto termo da proporção 1 : x = x : x2 (lê-se 1 está para x assim como x está para x2). Na segunda, Descartes classificou curvas e deu um método para cons- truir tangentes a curvas e, na terceira, tratou da resolução de equações de grau maior do que dois. São contribuições de Descartes a notação x2, x3, · · · para potências, e a convenção de as primeiras letras do alfabeto significarem constantes e as últimas significarem variáveis. René Descartes, 1596-1650, França. René Descartes estudou Lı́nguas, História, Poesia, Teologia e Filosofia no Colégio La Flèche, uma das escolas de maior prestı́gio da Europa. Descartes obteve o diploma de Direito, mas não seguiu a carreira de jurista. Viveu 20 anos na Holanda e lá se dedicou às áreas da Filosofia, Matemática e Ciência e produziu vários trabalhos. Em 1637, publicou o tratado de Filosofia Discurso do Método para Bem Conduzir a Razão e Procurar a Verdade nas Ciências. Este foi o seu trabalho mais famoso que tinha três apêndices: La Dioptrique, Les Météores e La Géométrie. O primeiro era dedicado à Ótica, o segundo, à explicação de fenômenos meteorológicos e atmosféricos, e o terceiro, à Geometria. Para informações sobre Descartes consulte http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/ Mathematicians/Descartes. html Fermat e Descartes “algebrizaram” a Geometria. A transição da Álgebra para a Geometria é feita usando um sistema de coordenadas. Na Aula 8, os números reais foram representados numa reta horizon- tal e orientada positivamente para a direita. Um ponto da reta foi escolhido como origem para representar o número real 0, enquanto uma unidade foi escolhida para representar o número real 1. Números reais positivos fo- ram representados à direita da origem e números reais negativos à sua esquerda. -r r r r r r r r r r · · · −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 · · · Fig. 3: Representação gráfica do conjunto R . Para localizar pontos de um plano, construiremos um sistema de co- ordenadas retangulares, chamado também sistema de coordenadas car- tesianas em alusão a Descartes. Veja como isto é feito: 1. Escolhemos um ponto no plano. Este ponto será chamado de origem do sistema de coordenadas e designado com a letra O. 2. Traçamos duas retas perpendiculares passando pelo ponto O: a primeira horizontal e orientada para a direita, e a segunda vertical e J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 12 Sistema de Coordenadas Cartesianas Curvas Planas AULA 13 orientada para cima. Estas retas serão os eixos coordenados do sistema. Fig. 4: Construção do sistema de coordenadas. 3. Representamos a reta real em cada um dos eixos coordenados tomando a mesma unidade e colo- cando o número real zero em O. O eixo horizontal é chamado eixo x e o eixo vertical é chamado eixo y. Seja P um ponto do plano. A reta paralela ao eixo y passando pelo ponto P intersecta o eixo x num único ponto A. Analogamente, a reta paralela ao eixo x passando pelo ponto P intersecta o eixo y num único ponto B. Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646-1716, Alemanha. As palavras coordenada, abcissa e ordenada foram contribuições de Leibniz, em 1692. Leibniz estudou Matemática e Fı́sica com Christian Huygens. É atribuı́da a ele, junto com Isaac Newton, a criação do Cálculo Diferencial e Integral. Para saber mais consulte: http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/ Mathematicians/Leibniz. html A coordenada x0 do ponto A na reta real representada no eixo x é chamada abcissa do ponto P. A coordenada y0 do ponto B na reta real representada no eixo y é chamada ordenada do ponto P. Como os pontos A e B, nos eixos coordenados, estão associados ao ponto P de maneira única (pois duas retas não paralelas se intersectam num único ponto, veja a Aula 1 de Geometria Básica), temos associado ao ponto P um único par de números reais (x0, y0), sendo o primeiro a abcissa de P e o segundo a ordenada de P. Fig. 5: Representação do ponto P num sistema de coordenadas. Dizemos que (x0, y0) são as coordenadas de P e escrevemos P = (x0, y0). J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 13 CEDERJ Sistema de Coordenadas Cartesianas Observação: • a origem O é representada por (0, 0), • os pontos do eixo x são representados por (x, 0), • os pontos do eixo y são representados por (0, y). Em particular, na Figura 5, A = (x0, 0) e B = (0, y0). Exemplo 1 Na figura 6 o ponto B = (−1, 0) está no eixo x, o ponto A = (0, 2) está no eixo y e a origem O = (0, 0) está na interseção dos eixos x e y. Exemplo 2 Na figura 6, representamos os pontos A = (0, 2), B = (−1, 0), C = (1, 2), D = (−2,−2), E = (−2, 1), F = (2,−2) e G = (2, 1). Fig. 6: Representação de pontos no sistema de coordenadas e divisão em quadrantes. Note que os pontos C = (1, 2) e G = (2, 1) são diferentes. Dois pontos (x0, y0) e (x1, y1) são iguais apenas quando x0 = x1 e y0 = y1. Neste caso, escrevemos: (x0, y0) = (x1, y1). Observe que os eixos coordenados dividem o plano em quatro sub- conjuntos disjuntos, chamados de primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrantes, numerados em algarismos romanos como na figura 6. Os eixos coordenados não pertencem aos quadrantes. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 14 Sistema de Coordenadas Cartesianas Curvas Planas AULA 13 4. Construa um sistema de coordenadas cartesianas. Represente os pontos P = (2, 1) e Q = (−2, 3). (a) Desenhe a reta r passando por P e paralela ao eixo x. Marque os pontos P ′ = (−3, 1) e P ′′ = (4, 1). Observe que P, P ′ e P ′′ estão situados sobre a reta r. Escreva as coordenadas (x, y) de um ponto qualquer de r. (b) Desenhe a reta s passando por P e paralela ao eixo y. Marque os pontos P1 = (2,−1) e P2 = (2, 3). Observe que P, P1 e P2 estão situados sobre a reta s. Escreva as coordenadas (x, y) de um ponto qualquer de s. (c) Desenhe a reta r passando por Q e paralela ao eixo x. Marque os pontos Q ′ = (0, 3) e Q ′′ = (1, 3). Observe que Q, Q ′ e Q ′′ estão situados sobre a reta r. Escreva as coordenadas (x, y) de um ponto qualquer de r. (d) Desenhe a reta s passando por Q e paralela ao eixo y. Marque os pontos Q1 = (−2, 0) e Q2 = (−2, 1). Observe que Q, Q1 e Q2 estão situados sobre a reta s. Escreva as coordenadas (x, y) de um ponto qualquer de s. 5. Seja a um número real. A reta com equação y = a é o conjunto dos pontos do plano cuja ordenada é a. Por exemplo, no exercı́cio anterior, a reta r tem equação y = 1 e a reta r tem equação y = 3. A reta com equação x = a é o conjunto dos pontos do plano cuja abcissa é a. Por exemplo, no exercı́cio anterior, a reta s tem equação x = 2 e a reta s tem equação x = −2. Escreva equações para as seguintes retas, passando por A = (−1, 1/2): (a) Paralela à reta y = 4. (b) Perpendicular à reta y = 4. (c) Paralela à reta x = −3. (d) Perpendicular à reta x = −3. 6. Represente os pontos A = (2, 1), B = (5, 1) e C = (5, 5) num sistema de coordenadas. Construa o triângulo 4ABC com vértices A, B e C. Que propriedade este triângulo satisfaz? Por quê? J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 17 CEDERJ Sistema de Coordenadas Cartesianas 7. No sistema de coordenadas do exercı́cio anterior, represente: (a) 10 pontos (x0, y0) tais que: y0 = x0. (b) 10 pontos (x0, y0) tais que: y0 = 2x0. (c) 10 pontos (x0, y0) tais que: y0 = (−1/2)x0. (d) Escolha dois pontos quaisquer no item (a) e, com uma régua, trace a reta r que passa por esses pontos. (e) Escolha dois pontos quaisquer no item (b) e, com uma régua, trace a reta s que passa por esses pontos. (f) Escolha dois pontos quaisquer no item (c) e, com uma régua, trace a reta t que passa por esses pontos. (g) O que você observou nos três itens anteriores? Escreva a pro- priedade. Fig. 9: Mapa do Estado do Rio de Janeiro. 8. No mapa do Estado do Rio de Janeiro, consideramos o sistema de coordenadas com a origem O na cidade de Teresópolis, os eixos coordenados e a unidade conforme a figura 9. (a) Dê as coordenadas das cidades de Campos dos Goytacazes, Macaé, Valença, Paracambi e Nova Iguaçu. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 18 Sistema de Coordenadas Cartesianas Curvas Planas AULA 13 (b) Dê o nome de duas cidades que estejam em cada um dos qua- tro quadrantes do sistema de coordenadas. (c) Suponha que a unidade no mapa da figura 9 corresponde a 25 quilômetros. Determine a distância entre as cidades do Rio de Janeiro e Campos dos Goytacazes. Auto-avaliação Se você não teve dificuldade para resolver os exercı́cios 1, 2 e 3, parabéns! Pode passar para a próxima Aula, mas não deixe de resolver o exercı́cio 8, pois ele relaciona os conceitos aprendidos com a prática cotidiana. Os exercı́cios 4, 5, e 7 são uma motivação para o estudo da Aula 15. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 19 CEDERJ Distância entre pontos Fig. 11: Medindo as distâncias no plano com ajuda do teorema de Pitágoras. A medida do cateto RQ é |x1 −x0| e a medida do cateto PR é |y1 −y0|. Pelo Teorema de Pitágoras, a medida a da hipotenusa PQ satisfaz: a2 = |x1 − x0| 2 + |y1 − y0| 2 = (x1 − x0) 2 + (y1 − y0) 2. A distância d(P,Q) entre P e Q é a medida a da hipotenusa PQ. Portanto, d(P,Q) = √ (x1 − x0)2 + (y1 − y0)2. Exemplo 5 A distância entre os pontos P = (2, 4) e Q = (3, 1) é d(P,Q) = √ ((3 − 2)2 + (1 − 4)2) = √ 12 + (−3)2 = √ 10. Exemplo 6 Quais são os pontos do plano eqüidistantes de P = (1, 1) e Q = (3, 1)? Seja R = (x, y) um ponto do plano eqüidistante de P e Q. Então, d(P, R) = d(Q,R) e assim,√ (x − 1)2 + (y − 1)2 = √ (x − 3)2 + (y − 1)2. Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade, obtemos (x − 1)2 + (y − 1)2 = (x − 3)2 + (y − 1)2. Somando a parcela −(y − 1)2 a ambos os membros da igualdade, temos (x − 1)2 = (x − 3)2. Desenvolvendo os quadrados, obtemos x2 − 2x + 1 = x2 − 6x + 9. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 22 Distância entre pontos Curvas Planas AULA 14 Somando a parcela −x2 a ambos os membros da igualdade, temos −2x + 1 = −6x + 9. Logo, 4x = 8. Portanto, x = 2 e todos os pontos (2, y) com y ∈ R estão situados à mesma distância de P e Q. Veja que o conjunto de todos estes pontos é a reta vertical que intersecta o eixo x no ponto de coordenada x0 = 2, cuja equação é x = 2. Reveja o exercı́cio 5 da Aula 13. Proposição 1 A distância satisfaz as seguintes propriedades, para todos os pontos P, Q e R do plano: (1) d(P,Q) ≥ 0 e d(P,Q) = 0 se, e somente se, P = Q. (2) d(P,Q) = d(Q,P). (3) d(P,Q) ≤ d(P, R) + d(R,Q). Demonstração: Vamos demonstrar as propriedades (1) e (2). (1): Sejam P = (x0, y0) e Q = (x1, y1) pontos quaisquer do plano. A raiz quadrada de um número real não-negativo é um número real não- negativo. Como (x1 − x0)2 + (y1 − y0)2 ≥ 0, temos que d(P,Q) = √ (x1 − x0)2 + (y1 − y0)2 ≥ 0. Além disso, a raiz quadrada de um número real não-negativo é igual a zero se, e somente se, o número é igual a zero. Logo, d(P,Q) = 0 se, e somente se, (x1 − x0)2 + (y1 − y0)2 = 0. A soma de números reais não-negativos é igual a zero apenas quando as parcelas são todas iguais a zero. Portanto, d(P,Q) = 0 ⇐⇒ (x1 − x0)2 = 0 e (y1 − y0)2 = 0⇐⇒ x1 − x0 = 0 e y1 − y0 = 0⇐⇒ x1 = x0 e y1 = y0⇐⇒ (x0, y0) = (x1, y1)⇐⇒ P = Q. Logo, a propriedade (1) é verdadeira. (2): Esta propriedade é conseqüência das igualdades (x1 − x0) 2 = (x0 − x1) 2 e (y1 − y0)2 = (y0 − y1)2. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 23 CEDERJ Distância entre pontos Então, a fórmula da distância não depende da ordem em que os pontos são escritos. (3): Esta propriedade não será demonstrada. No entanto, você pode ob- servar que o menor percurso entre P e Q é pela reta r passando por P e Q. Seja R qualquer ponto não situado sobre a reta r. Seguindo pela reta que passa por P e R e depois pela reta que passa por R e Q, o percurso será maior do que o percorrido sobre r. Note que vale a igualdade se, e somente se, o ponto R está na reta r e entre P e Q. Faça um desenho. Desta forma a demonstração terminou.  O sı́mbolo  é usado em alguns livros de Matemática para indicar que uma demonstração terminou. Exemplo 7 Um ponto P = (x, y) do plano se move de maneira que a soma dos qua- drados das suas distâncias aos pontos (2, 0) e (−1, 0) é sempre igual a 5. Encontraremos uma equação que relacionará as coordenadas x e y do ponto P, determinando o lugar geométrico descrito pelo ponto P. De fato, temos que 5 = d((x, y), (2, 0))2 + d((x, y), (−1, 0))2 = (x − 2)2 + (y − 0)2 + (x − (−1))2 + (y − 0)2 = (x − 2)2 + y2 + (x + 1)2 + y2, desenvolvendo os quadrados, = x2 − 4x + 4 + y2 + x2 + 2x + 1 + y2 = 2x2 − 2x + 2y2 + 5. 0 = x2 − x + y2 = (x2 − x + 1 4 ) + y2 − 1 4 , que é equivalente a (x − 1 2 )2 + (y − 0)2 = 1 4 . Note que esta equação pode ser reescrita como d ( (x, y), ( 1 2 , 0 )) = 1 2 , significando que o ponto P descreve o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto (1 2 , 0) é constante e igual a 1 2 . Que conjunto é este? Tente visualizá-lo graficamente.A projeção ortogonal de um ponto P sobre uma reta r é o ponto P1 = r ∩ s, onde s é a reta perpendicular a r passando por P. Exemplo 8 Dados dois pontos P = (x0, y0) e Q = (x1, y1) quais são as coordenadas do ponto M = (x, y) no segmento PQ eqüidistante de P e Q? Em outras palavras, quais são as coordenadas do ponto médio M do segmento PQ? Na Aula 11, você aprendeu a encontrar as coordenadas J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 24 Distância entre pontos Curvas Planas AULA 14 (d) Esses cı́rculos se intersectam nos pontos R e S. Escreva a pro- priedade que R e S satisfazem. (e) Trace a reta r que passa por R e S. (f) Dê a propriedade que todos os pontos de r satisfazem. (g) Trace a reta s que passa por P e Q. (h) As retas r e s se intersectam num ponto M. Qual a propriedade do ponto M ? Escreva esta propriedade. (i) Qual a posição relativa das retas r e s? Explique. 11. (a) Determine equações para os pontos do plano eqüidistantes de P e Q: (i) P = (0, 3) e Q = (0, 7). (ii) P = (2, 0) e Q = (1, 0). (iii) P = (1,−2) e Q = (3, 4). (iv) P = (−1,−2) e Q = (2, 3). (b) Construa um sistema de coordenadas e represente os pontos P e Q e os conjuntos obtidos no item anterior. (c) Determine, se existir, o ponto do eixo y que é eqüidistante dos pontos P e Q do item ( i). (d) Determine, se existir, o ponto do eixo x que é eqüidistante dos pontos P e Q do item ( ii). (e) Determine, se existir, o ponto do eixo x que é eqüidistante dos pontos P e Q do item ( iii). (f) Determine, se existir, o ponto do eixo y que é eqüidistante dos pontos P e Q do item ( iv). 12. Um aluno da Universidade Federal Fluminense se desloca de sua re- sidência para o Instituto de Matemática da seguinte maneira: segue 3 km para o sul, depois se desloca 4 km para o oeste e, finalmente, percorre mais 5 km para o sul. Qual a distância entre a sua re- sidência e o Instituto de Matemática, sabendo que se desloca numa planı́cie? A resposta não é a distância percorrida pelo aluno. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 27 CEDERJ Distância entre pontos 13. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de reta PQ, onde P = (1,−4) e Q = (3, 2). 14. Sabendo que A = (1, 3) e B são extremidades de um diâmetro de um cı́rculo de centro (2, 1), determine as coordenadas do ponto B. Auto-avaliação Você deve prosseguir após ter resolvido os exercı́cios 1, 2, 3, 4, 12, 13 e 14. Os exercı́cios 5 e 6 são uma motivação para a Aula 17 (Cı́rculo). Os exercı́cios 10 e 11 relacionam conceitos aprendidos na Ge- ometria Básica com esta aula, além de motivarem o estudo da equação da reta (Aulas 15 e 16). Os exercı́cios 7, 8 e 9 estão relacionados com exemplo da Aula 16. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 28 §2. Reta A Geometria Analı́tica inventada por Fermat e Descartes combinava três ingredientes básicos: • a habilidade de resolver problemas algébricos, que se originou com os babilônios; • a geometria clássica desenvolvida pelos gregos e formulada por Eu- clides; • a descrição de um problema geométrico por equações algébricas, usando um sistema de coordenadas. Conceitos: Números reais, a reta real, desigualdades, sistema de coordenadas no plano e distâncias. Referências: Aulas 7, 8, 9, 11, 13 e 14. Vamos descrever algebricamente os pontos do plano situados sobre uma reta em termos de suas coordenadas. Isto significa escrever uma equação que relaciona as coordenadas x e y de um ponto da reta. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 29 CEDERJ Equação da reta, inclinação Exemplo 12 A reta paralela ao eixo y que passa pelo ponto P = (a, b) tem equação x = a. Os pontos dessa reta têm coordenadas (a, y), onde y varia no conjunto R. Antes de prosseguir, esteja certo de haver entendido as equações dos exemplos anteriores. Construindo um sistema de coordenadas e representando as retas dos exemplos anteriores, obtemos a figura 13. Fig. 13: Gráfico das retas x = 0, y = 0, x = a e y = b. Consideremos um sistema de coordenadas e a equação y = 2x. Fig. 14: Gráfico da reta y = 2x. Note que: (1) Se x = 0, então y = 2 · 0 = 0. Isto é, esta reta passa por O = (0, 0). (2) Se x 6= 0 e y = 2x, então y x = 2. O gráfico da equação y = 2x é o con- junto dos pontos do plano cujas coordena- das são da forma (x, 2x), onde x ∈ R. Graf(y = 2x) = { (x, y) | y = 2x} = { (x, 2x) | x ∈ R }. Marcando estes pontos, vemos que o gráfico é a reta da figura 13. Agora, fixemos um número real m. O gráfico da equação y = mx é o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas são da forma (x,mx), onde x ∈ R. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 32 Equação da reta, inclinação Curvas Planas AULA 15 Graf(y = mx) = { (x, y) | y = mx } = { (x,mx) | x ∈ R } Este gráfico é sempre uma reta não-vertical. O número m é cha- mado a inclinação da reta. Observe que: • Se x = 0, então y = m · 0 = 0. Isto é, essas retas passam pela origem de coordenadas (0, 0). • Se y = mx e x 6= 0, então y x = m. Ou seja, a inclinação m é uma caracterı́stica própria da reta. Assim, apenas uma reta que passa pela origem tem inclinação m. Exemplo 13 Na figura a seguir estão os gráficos das retas de equações y = 3x, y = 2x, y = x, y = 1 2 x, y = −1 2 x, y = −x, y = −2x e y = −3x. Fig. 15: Gráficos de y = 1 2 x, y = − 1 2 x, y = x, y = −x, y = 2x, y = −2x, y = 3x e y = −3x. Aproveitando a figura anterior, desenhe o gráfico de outras retas y = mx com m ∈ Z. Considere, separadamente, os casos m > 0 e m < 0. Observe que: • se m > 0 e m cresce, então a reta y = mx se aproxima de uma reta vertical, J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 33 CEDERJ Equação da reta, inclinação • se m < 0 e −m cresce, então a reta y = mx se aproxima de uma reta vertical. Agora, desenhe o gráfico das retas y = mx, onde m varia no con- junto {1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , . . . }. Repita a experiência variando m no conjunto {−1 2 ,−1 3 ,−1 4 ,−1 5 ,−1 6 , . . . }. A partir dos seus desenhos, note que se m está próximo de zero, a reta y = mx se aproxima de uma reta horizontal, o eixo x. Verificamos que a reta y = mx: • está virada para a direita quando m > 0 , • está virada para a esquerda quando m < 0 , • é o eixo x quando m = 0 . Fig. 16: Gráfico de y = mx com m > 0 e com m < 0. Sabemos que nem todas as retas passam pela origem. Como es- crever a equação de uma reta que não passa pela origem? Antes de responder, lembramos dois postulados de Euclides: P1 Por dois pontos distintos passa uma reta. P5 Por um ponto situado fora de uma reta passa somente uma paralela a esta reta. Exemplo 14 Para desenhar a reta r que passa pelo ponto P = (−1, 1) e é paralela a y = 2x, procedemos da seguinte maneira (veja a figura 17): (1) Construı́mos um sistema de coordenadas. (2) Marcamos o ponto P. (3) Traçamos a reta s de equação y = 2x. (4) Com a régua desenhamos a reta r. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 34 Equação da reta, inclinação Curvas Planas AULA 15 Determinemos os valores de m e p no segundo caso. Substituindo as coordenadas dos pontos P e Q na equação da reta, temos y0 = mx0 + p e y1 = mx1 + p. Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos y1 − y0 = mx1 + p − (mx0 + p) , ou seja, y1 − y0 = m(x1 − x0). Como x1 − x0 6= 0, a inclinação da reta que passa por P e Q é m = y1 − y0 x1 − x0 . Acabamos de demonstrar o seguinte resultado. Proposição 2 A inclinação m da reta que passa pelos pontos P = (x0, y0) e Q = (x1, y1), com x0 6= x1 é m = y1 − y0 x1 − x0 . Veja na figura 22, da Aula 16, a interpretação geométrica da inclinação m. Faça os gráficos das retas dos Exemplos 15 e 16. No Exemplo 15, marque os pon- tos P e Q e trace a reta. No Exemplo 16, marque o ponto P. A partir de P, ande uma uni- dade para a direita e três unida- des para cima, obtendo o ponto Q. A reta r passa por P e Q. Por quê? Note que a ordem em que os pontos P e Q são escolhidos é irrelevante, pois y0−y1 x0−x1 = y1−y0 x1−x0 . Exemplo 15 Sejam P = (1, 3) e Q = (5,−9). Como 1 6= 5, a reta que passa por P e Q não é vertical e tem inclinação m = −9−3 5−1 = −12 4 = −3. Logo, a sua equação é y = −3x + p. Para determinar p, substituı́mos as coordenadas de P ou Q nessa equação. Fazendo, por exemplo, x = 1 e y = 3, temos 3 = −3 + p. Portanto, p = 6 e y = −3x + 6 é a equação procurada. Exemplo 16 Pelo ponto P = (−2,−5) passa uma única reta r paralela à reta de equação y = 3x + 2. A inclinação da reta r é m = 3 e sua equação é y = 3x + p. Substituindo as coordenadas de P, obtemos −5 = 3 ·(−2)+p. Logo, p = 1 e a equação de r é y = 3x + 1. Proposição 3 A equação da reta que passa pelos pontos P = (x0, y0) e Q = (x1, y1), onde x0 6= x1 é y − y0 = ( y1 − y0 x1 − x0 ) (x − x0) . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 37 CEDERJ Equação da reta, inclinação Demonstração: Como x0 6= x1, a reta não é vertical, sua inclinação é m = y1−y0 x1−x0 e sua equação é y = mx + p. Para determinar a equação dessa reta só falta calcular o valor de p. Substituindo as coordenadas de um dos pontos na equação, por exemplo, fazendo x = x0 e y = y0, obtemos y0 = mx0 + p, que é equivalente a p = y0 − mx0. Logo, y = mx + p = mx + (y0 − mx0) = m (x − x0) + y0 = ( y1−y0 x1−x0 ) (x − x0) + y0. A penúltima igualdade foi obtida colocando m em evidência e a última, substituindo m = y1−y0 x1−x0 . Portanto, y = ( y1−y0 x1−x0 ) (x − x0) + y0 , ou seja, y − y0 = ( y1−y0 x1−x0 ) (x − x0) .  Resumo Você aprendeu a determinar a equação de retas horizontais e retas verticais. Foram apresentados a equação de retas não-verticais e o seu gráfico. Para cada reta não-vertical foi associada a sua inclinação m, que foi calculada a partir das coordenadas de dois pontos que a determinam. Exercı́cios 1. Construa um sistema de coordenadas e trace os gráficos das retas: Traçado de retas... Para traçar o gráfico de uma reta, pelo postulado P1 de Eu- clides, é suficiente marcar dois pontos quaisquer da reta. (a) y = 4x, (b) y = 4x − 2, (c) y = −4x, (d) y = −4x + 3, (e) y = 1 4 x, (f) y = 1 4 x + 2, (g) y = −2x, (h) y = −2x + 1, (i) y = 1 2 x, (j) y = 1 2 x − 2, (k) y = −1 3 x, (l) y = −1 3 x − 1. 2. Determine a equação da reta de inclinação 3 que passa pela origem. 3. Determine a equação da reta de inclinação 3 que intersecta o eixo x no ponto (2, 0). 4. Determine: J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 38 Equação da reta, inclinação Curvas Planas AULA 15 (a) a inclinação da reta que passa pelos pontos (1, 3) e (3, 9). (b) a inclinação da reta que passa pelos pontos (−1,−3) e (3, 9). 5. Verifique que os pontos (−1,−3), (1, 3) e (3, 9) estão situados sobre a mesma reta. 6. Determine a equação da reta que passa por P = (−1, 3) e Q = (2,−3). 7. Determine a equação da reta que passa por P = (−1,−4) e é para- lela à reta y = −4x + 4. Auto-avaliação Você deve prosseguir após ter entendido o conceito de inclinação de uma reta não-vertical e saber esboçar o gráfico de uma reta a partir da sua equação. Você sabe que retas paralelas não-verticais têm a mesma inclinação? Resolveu todos os exercı́cios sem dificuldade? Procure os tutores sempre que tiver dúvidas. Vamos para a Aula 16 conhecer mais propriedades sobre as retas. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 39 CEDERJ Equação da reta, inclinação - continuação Fig. 21: Ângulo de uma reta com o eixo x. Na figura 21 à esquerda, temos 0 < θ < 90o, ao centro, θ = 90o e, à direita, 90o < θ < 180o. Para medir o ângulo de uma reta não-horizontal r com o eixo x, co- locamos o centro do transferidor no ponto A (interseção da reta r com o eixo x), com o ângulo de 0o no eixo x, à direita de A , e o ângulo de 180o no eixo x, à esquerda de A. Observe que: Se θ é o ângulo que uma reta r faz com o eixo x, então • 0 ≤ θ < 180o. • θ = 90o ⇐⇒ r é perpendicular ao eixo x ⇐⇒ r é uma reta vertical. Por definição, retas paralelas formam o mesmo ângulo θ com o eixo x. Quando a reta r não é vertical, temos que θ 6= 90o, sua equação é do tipo y = mx + p e sua inclinação m só depende do ângulo θ 6= 90o. Dizemos que m é a tangente de θ e escrevemos tg θ = m, 0o ≤ θ < 90o ou 90o < θ < 180o. Note bem: não definimos a tangente de 90o, nem a inclinação de retas verticais. Vamos interpretar, geometricamente, a inclinação m de uma reta r que passa pelos pontos P = (x0, y0) e Q = (x1, y1), com x0 6= x1. O ângulo θ, que a reta r faz com o eixo x, é o mesmo ângulo que a reta r faz com a reta y = y0, veja a figura 22. Portanto, m = tg θ = y1 − y0 x1 − x0 . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 42 Equação da reta, inclinação - continuação Curvas Planas AULA 16 Fig. 22: A inclinação da reta é a tangente do ângulo que ela faz com uma reta horizontal. Fixar a inclinação da reta equivale a dar a direção da reta. No en- tanto, isto não determina a reta, pois por cada ponto do plano passa uma única reta paralela a esta direção. Temos então outra maneira de carac- terizar uma reta. Proposição 4 A equação da reta de inclinação m que passa pelo ponto (x0, y0) é y − y0 = m(x − x0). Demonstração: Seja r a reta de inclinação m que passa pelo ponto (x0, y0). Pela Proposição 2 da aula anterior, para todo ponto (x, y) ∈ r com x 6= x0, a inclinação m de r é m = y − y0 x − x0 . Multiplicando ambos os membros desta igualdade por x − x0, obtemos: y − y0 = m(x − x0), para x 6= x0. Como para x = x0 a igualdade acima também é verificada, temos: y − y0 = m(x − x0), para todo x ∈ R.  Exemplo 17 A reta de inclinação 3 que passa pelo ponto (1,−2) tem equação y − (−2) = 3(x − 1) ⇐⇒ y + 2 = 3x − 3⇐⇒ y = 3x − 5. Resumindo: Aprendemos que a equação ax + by = c, J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 43 CEDERJ Equação da reta, inclinação - continuação onde a, b, c são números reais dados e a e b não são simultanea- mente nulos, representa uma reta no plano. Esta equação do 1o grau nas variáveis x e y é chamada de equação linear. Todas as retas possı́veis são descritas por esta equação, a saber: • A reta ax + by = c é vertical ⇐⇒ b = 0. Neste caso, a 6= 0. • A reta ax + by = c não é vertical ⇐⇒ b 6= 0. Perpendicularidade entre duas retas Vejamos como se relacionam as equações de duas retas perpendi- culares no plano. Primeiramente, observe que uma reta é vertical se, e somente se, a outra reta é horizontal. Faça o gráfico da reta r, marque o ponto P e faça o gráfico da reta s. Exemplo 18 Seja r a reta y = 2. A reta r é horizontal. Há uma infinidade de retas perpendiculares à reta r. Por quê? Entretanto, fixado o ponto P = (−1, 3) há uma única reta s, passando por P e perpendicular à reta r. A reta s é vertical e sua equação é x = −1. Exemplo 19 Seja r a reta x = −2. A reta r é vertical. As retas perpendiculares à reta r têm equação y = b, onde b ∈ R e são retas horizontais. Agora, fixemos uma reta r não-horizontal e não-vertical. A equação de r é y = mx + p, m 6= 0. Uma reta s, perpendicular à reta r, também é não-vertical e não- horizontal. Portanto, a equação de s é da forma y = nx + q, n 6= 0. Veremos que as inclinações m e n de r e s, respectivamente, estão relacionadas. Para determinar a relação entre m e n, vamos considerar as retas r e s paralelas a r e s, respectivamente, passando pela origem. Veja a figura 23. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 44 Equação da reta, inclinação - continuação Curvas Planas AULA 16 Subtraindo a segunda equação da primeira, eliminamos a variável y e obtemos 0 = 3x + 2 − (−1 3 x + 17 3 ) = (3 + 1 3 )x + (2 − 17 3 ) = 10 3 x − 11 3 . Logo, 10x = 11 e x = 11 10 . Substituindo este valor de x na primeira equação acima, obtemos y = 3 · 11 10 + 2 = 53 10 . Portanto, o ponto da reta r mais próximo de P é P ′ = (11 10 , 53 10 ). Curiosidade: Uma reta no plano divide o plano em dois subconjuntos disjuntos, chamados de semiplanos. Quando a reta não é vertical, temos um se- miplano acima da reta e outro abaixo da reta. Quando a reta é vertical temos um semiplano à direita da reta e outro à esquerda da reta. Lembre que ... Dois conjuntos são disjuntos quando não têm elementos em comum. Exemplo 22 A reta y = −x + 2 divide o plano nos semiplanos: A = {(x, y)| y > −x + 2}, que consiste dos pontos do plano acima da reta, e B = {(x, y)| y < −x + 2}, que consiste dos pontos do plano abaixo da reta. Verifique que A = (1, 3) ∈ A, e B = (−2,−1) ∈ B. A reta x = 1 divide o plano nos semiplanos: C = {(x, y)| x < 1}, que consiste dos pontos do plano à esquerda da reta, e D = {(x, y)| x > 1}, que consiste dos pontos do plano à direita da reta. Verifique que C = (−1, 3) ∈ C, e D = (2, 3) ∈ D. Fig. 26: Divisão do plano em semiplanos por uma reta. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 47 CEDERJ Equação da reta, inclinação - continuação Como descrevemos as coordenadas dos pontos destes subconjun- tos, em termos das equações das retas y = mx + p ou x = a? Observamos que se P = (x0, y0), então: • P está acima da reta y = mx + p ⇐⇒ y0 > mx0 + p. • P está abaixo da reta y = mx + p ⇐⇒ y0 < mx0 + p. • P está à direita da reta x = a ⇐⇒ x0 > a. • P está à esquerda da reta x = a ⇐⇒ x0 < a. Estudamos a reta sob o ponto de vista geométrico. No entanto, mui- tos problemas na prática são modelados por meio de equações lineares no plano, isto é, equações de primeiro grau nas variáveis x e y. Exemplo 23 Adriana participou da Caminhada da Solidariedade, com o objetivo de arrecadar fundos para comprar alimentos e distribuir em comunidades ca- rentes. Adriana conseguiu 10 reais por km e obteve um total de 249 reais. Na primeira etapa andou à velocidade de 4 km/h e, na segunda, a 5 km/h. Observou então que foi lamentável não reverter as velocidades, pois andando a 5 km/h na primeira etapa e a 4 km/h na segunda, teria arrecadado 300 reais. Quanto tempo Adriana participou da Caminhada da Solidariedade? Para resolver este problema, sejam x = tempo da primeira etapa e y = tempo da segunda etapa, ambos em horas. Queremos determinar x + y. Como distância = velocidade × tempo, temos que Adriana andou um total de 4x + 5y km. Além disso, arrecadou 10 reais por km, obtendo 249 reais. Logo, percorreu 249 10 = 24, 9 km. Portanto, 4x + 5y = 24, 9. Se tivesse revertido as velocidades, de modo análogo, terı́amos 5x + 4y = 30. Assim, para solucionar o problema devemos resolver o sistema de 2 equa- ções lineares a 2 incógnitas, que é equivalente a determinar a interseção das duas retas: J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 48 Equação da reta, inclinação - continuação Curvas Planas AULA 16 4x + 5y = 24, 9 e 5x + 4y = 30 . Multiplicando a primeira equação por 5 e a segunda equação por 4, obte- mos 20x + 25y = 124, 5 e 20x + 16y = 120 . Subtraindo a segunda equação da primeira, temos 9 y = 4, 5 . Logo, y = 4, 5 9 = 0, 5 horas. Substituindo este valor em uma das equações, digamos na segunda, ob- temos 5x + 4 · (0, 5) = 30. Assim, x = 30 − 4 · (0, 5) 5 = 30 − 2 5 = 28 5 = 5, 6 horas. Portanto, o tempo que Adriana dedicou à Caminhada da Solidariedade foi de x + y = 0, 5 + 5, 6 = 6, 1 horas. Resumo Você aprendeu a interpretar geometricamente a inclinação de uma reta não-vertical como a tangente do ângulo da reta com o eixo x; a de- terminar a equação da reta não-vertical pelas coordenadas de um ponto da reta e sua inclinação; a identificar a equação de uma reta no plano; a localizar pontos do plano em relação a retas do plano; a determinar a distância de um ponto a uma reta e aplicou os conceitos desta aula na modelagem e resolução de problemas lineares. Exercı́cios 1. Determine a equação da reta que passa pela origem e forma com o eixo x um ângulo de 45 graus. Nos Exercı́cios 1 e 2, dese- nhe as retas para determinar as suas inclinações. 2. Determine a equação da reta que passa pela origem e forma com o eixo x um ângulo de 135 graus. 3. Determine a equação da reta paralela à reta 2x + 3y = 5 que inter- secta o eixo x em x = 2. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 49 CEDERJ 20. Determine as coordenadas de um ponto P = (x, y) do subconjunto C do exercı́cio anterior. 21. Um atacadista vende café brasileiro a 5 reais o quilo, e café colom- biano a 8 reais e 50 centavos o quilo. Quantos quilos de cada café o atacadista deve misturar para obter um total de 50 quilos, de modo que possa vender a 7 reais e 10 centavos cada quilo da mistura? 22. Luiz e Jorge foram a uma loja comprar um presente. Eles tinham, ao todo, 22 reais e 80 centavos. Voltaram para casa com 6 reais e 20 centavos. Se Luiz gastou 2 3 do seu dinheiro, e Jorge 4 5 do seu, quantos reais cada um deles tinha? 23. A diferença entre dois números inteiros é 3. O antecessor do maior é o mesmo que 1 3 da soma do menor com o dobro do maior. Quantas respostas há para este quebra-cabeça? 24. Quantas respostas há para o quebra-cabeça anterior, caso a diferença entre os números seja 2? 25. Uma empresa produz detergente ao custo de R$20, 00 cada caixa com 50 embalagens de meio litro. Além disso, a empresa gasta R$800, 00 por semana com pagamento de serviços de segurança na fábrica. Determine o custo total c, em reais, da produção de uma semana da empresa em função da quantidade q de caixas produ- zidas. Trace o gráfico da equação obtida no plano (c, q), isto é, no sistema de coordenadas formado pelos eixos c e q. Auto-avaliação Você deve prosseguir após ter entendido a interpretação geométrica de inclinação de uma reta não-vertical; saber determinar a equação de uma reta a partir da sua inclinação e das coordenadas de um ponto da reta, além de traçar o gráfico da reta. Qual a relação entre as inclinações de retas perpendiculares e não-verticais? É muito importante modelar problemas lineares! Resolveu os exercı́cios 21 a 25? Vamos para a Aula 17 começar o estudo das cônicas. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 52 §3. Seções Cônicas Conceitos: Números reais, reta real, potências de números reais, desigualdades, sistema de coordenadas cartesianas e distâncias no plano. Referências: Aulas 7 a 14. Fig. 27: Duplo cone circular reto. Nesta seção vamos estudar as se- guintes curvas do plano: cı́rculo, parábola, elipse e hipérbole. Veremos como obter as suas equações, descrevendo-as por meio de suas pro- priedades, e aprenderemos a desenhar os seus gráficos. Essas curvas são obtidas como a interseção de um plano com um duplo cone circular reto, por este motivo são chamadas de seções cônicas ou sim- plesmente cônicas. Um duplo cone circular reto é uma superfı́cie obtida pela rotação de uma reta, chamada geratriz, em torno de uma reta concorrente fixa, o eixo de simetria do cone. Apolônio, 262-190 a.C. Nasceu em Perga, no sul da Ásia Menor. Ainda jovem foi para a Alexandria estudar com os sucessores de Euclides. Apolônio foi um notável astrônomo e escreveu sobre diversos assuntos de Matemática, ficando famoso pela sua obra Seções Cônicas. Nas figuras 28 a 31, ilustramos como cada uma dessas curvas é obtida pela interseção de um plano com um duplo cone circular reto. Ob- serve que a inclinação do plano em relação ao eixo de simetria do cone determina a natureza da curva. Fig. 28: Cı́rculo. Fig. 29: Parábola. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 53 CEDERJ Fig. 30: Elipse. Fig. 31: Hipérbole. No estudo elementar da Geometria, a principal questão é a proprie- dade do objeto geométrico, no plano e no espaço. Os objetos geométricos tratados até aqui foram ponto e reta no plano. As curvas planas cı́rculo, parábola, elipse e hipérbole serão descritas como um lugar geométrico. Isto significa descrever o conjunto dos pontos do plano que satisfazem uma propriedade especı́fica, neste caso dependendo apenas do conceito de distância. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 54 Cı́rculo Curvas Planas AULA 17 (x2 + 4x) + (y2 − 2y) − 11 = 0 ⇐⇒ (x2 + 4x + 4 − 4) + (y2 − 2y + 1 − 1) − 11 = 0 ⇐⇒ ((x + 2)2 − 4) + ((y − 1)2 − 1) − 11 = 0 ⇐⇒ (x + 2)2 + (y − 1)2 = 16 ⇐⇒ (x − (−2))2 + (y − 1)2 = 42. Observe que a primeira equivalência foi obtida completando os quadrados dos polinômios nas variáveis x e y. Portanto, o centro do cı́rculo é C = (−2, 1) e o raio é r = 4. Exemplo 27 Que subconjuntos do plano representam as equações x2 + y2 + 4x − 2y + 5 = 0 e x2 + y2 + 4x − 2y + 6 = 0? Veremos que estes conjuntos não são cı́rculos. De fato, as duas equações diferem da equação do exemplo anterior apenas no termo independente de x e y, isto é, a constante. Procedendo de maneira análoga ao exemplo anterior, completamos os quadrados nas duas equações, olhando para os polinômios nas variáveis x e y: (x2 + 4x) + (y2 − 2y) + 5 = 0 ⇐⇒ (x2 + 4x + 4 − 4) + (y2 − 2y + 1 − 1) + 5 = 0 ⇐⇒ ((x + 2)2 − 4) + ((y − 1)2 − 1) + 5 = 0 ⇐⇒ (x + 2)2 + (y − 1)2 = 0 , e (x2 + 4x) + (y2 − 2y) + 6 = 0 ⇐⇒ (x2 + 4x + 4 − 4) + (y2 − 2y + 1 − 1) + 6 = 0 ⇐⇒ ((x + 2)2 − 4) + ((y − 1)2 − 1) + 6 = 0 ⇐⇒ (x + 2)2 + (y − 1)2 = −1 . Como a soma de quadrados de números reais é sempre um número real maior ou igual a zero, temos que a única solução da primeira equação é x + 2 = 0 e y − 1 = 0 e não há solução, em pares de números reais, para a segunda equação. Logo, apenas o ponto (−2, 1) é solução da primeira equação e não há solução em pares (x, y) de números reais, para a segunda equação, isto é, o conjunto solução da segunda equação é o conjunto vazio. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 57 CEDERJ Cı́rculo Cuidado! Como acabamos de verificar, a equação x2 + y2 + ax + by + c = 0 nem sempre representa um cı́rculo, podendo representar um único ponto ou o conjunto vazio. Para determinar que subconjunto do plano esta equação representa, vamos completar os quadrados, repetindo o que foi feito no exemplo an- terior: x2 + y2 + ax + by + c = 0 ⇐⇒( x2 + ax + a2 4 − a2 4 ) + ( y2 + by + b2 4 − b2 4 ) + c = 0 ⇐⇒( x + a 2 )2 + ( y + b 2 )2 − a2 4 − b2 4 + c = 0 ⇐⇒( x + a 2 )2 + ( y + b 2 )2 = a2 4 + b2 4 − c ⇐⇒( x + a 2 )2 + ( y + b 2 )2 = a2 + b2 − 4c 4 . Agora, podemos responder à pergunta: Qual o subconjunto do plano C = { (x, y) | x2 + y2 + ax + by + c = 0 }? C =  o ponto P = ( − a 2 ,− b 2 ) , se a2 + b2 − 4c = 0 o cı́rculo de centro C e raio r, se a2 + b2 − 4c > 0 o conjunto vazio, se a2 + b2 − 4c < 0. Fig. 34: Tangente e normal a C no ponto P. No segundo caso, observe que os parâmetros do cı́rculo são: centro C = ( − a 2 ,− b 2 ) raio r = √ a2 + b2 − 4c 2 . Em cada ponto P de um cı́rculo, considere a reta n que passa pelo centro C e pelo ponto P. Esta reta é dita normal ao cı́rculo no ponto P. A reta t, perpendicular à reta n passando pelo ponto P, é dita tangente ao cı́rculo no ponto P. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 58 Cı́rculo Curvas Planas AULA 17 Exemplo 28 Vamos determinar as equações das retas horizontais e tangentes ao cı́rculo de centro C = (−2, 2) e raio r = 3. A equação deste cı́rculo é (x − (−2))2 + (y − 2)2 = 9, que é equivalente a (x+2)2 +(y−2)2 = 9. As retas tangentes horizontais são perpendiculares à reta vertical s que passa pelo centro C = (−2, 2). A equação da reta s é x = −2. Para determinar a interseção do cı́rculo com a reta s, substituı́mos a equação de s na equação do cı́rculo. Para isto, fazemos x = −2 na equação do cı́rculo, obtendo: (−2 + 2)2 + (y − 2)2 = 9 ⇐⇒ (y − 2)2 = 9, extraindo a raiz quadrada,⇐⇒ |y − 2| = 3⇐⇒ y − 2 = 3 ou y − 2 = −3⇐⇒ y = 5 ou y = −1. Portanto, os pontos do cı́rculo que estão na reta s são (−2, 5) e (−2,−1). As retas tangentes ao cı́rculo passando por estes pontos são horizontais e têm equações y = 5 e y = −1. Exemplo 29 Fixemos o cı́rculo C de centro C = (1, 2) e raio 3, cuja equação é (x − 1)2 + (y − 2)2 = 9. Os pontos P = (a, b) tais que (a − 1)2 + (b − 2)2 6= 9 não estão no cı́rculo C. Por exemplo, os pontos A = (−1, 3) e B = (2, 5) têm esta propriedade, pois: (a − 1)2 + (b − 2)2 = 5, se (a, b) = (−1, 3)10, se (a, b) = (2, 5). Faça um desenho de C e observe que A está no interior de C e que B está no exterior de C. Os pontos P = (a, b) tais que (a − 1)2 + (b − 2)2 < 9 são ditos pontos interiores ao cı́rculo C. Por outro lado, os pontos P = (a, b) tais que (a − 1)2 + (b − 2)2 > 9 são ditos pontos exteriores ao cı́rculo C. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 59 CEDERJ Cı́rculo Resumo Você aprendeu a determinar a equação do cı́rculo, a partir do raio r e das coordenadas (h, k) do centro C; a esboçar o gráfico do cı́rculo; a determinar as coordenadas do centro e do raio, a partir da equação do cı́rculo; a determinar a reta tangente e a reta normal em um ponto do cı́rculo e a determinar a posição relativa de um ponto do plano com respeito a um cı́rculo. Exercı́cios 1. Escreva a equação do cı́rculo de centro C e raio r dados: (a) C = (3, 4) e r = 2. (b) C = (1,−3) e r = √ 3. (c) C = (−2, 3) e r = 4. (d) C = (−2,−1) e r = √ 6. (e) C = (0, 0) e r = √ 8. 2. Determine o centro e o raio do cı́rculo de equação dada: (a) x2 + y2 − 4x + 6y + 4 = 0 (b) x2 + y2 + 6x = 0 (c) x2 + y2 − 10x + 6y + 4 = 0 (d) x2 + y2 + x + y − 1 = 0 (e) 9x2 + 9y2 − 6x + 12y − 31 = 0 (f) 2x2 + 2y2 − x + y − 3 = 0 3. Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são cı́rculos. Caso afirmativo, ache o centro C e o raio r. Caso negativo, identifi- que o subconjunto. (a) S = {(x, y)| x2 + y2 − 2x + 4y − 3 = 0}. (b) S = {(x, y)| x2 + y2 − 4x + 6y + 9 = 0}. (c) S = {(x, y)| x2 + y2 − 6x − 10y − 2 = 0}. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 62 Cı́rculo Curvas Planas AULA 17 (d) S = {(x, y)| 4x2 + 4y2 − 4x + 8y − 23 = 0}. (e) S = {(x, y)| x2 + y2 − 10x − 14y + 25 = 0}. (f) S = {(x, y)| x2 + y2 − 2x + 4y − 7 = 0}. (g) S = {(x, y)| 4x2 + 4y2 − 4x + 8y − 20 = 0}. 4. Determine a equação do cı́rculo tal que A = (4,−3) e B = (−2, 7) são pontos diametralmente opostos. 5. Construa um sistema de coordenadas e marque os pontos A e B do exercı́cio anterior. Com um compasso e uma régua, sem escala, construa o ponto médio do segmento AB (Veja exercı́cio 10 da Aula 14). Agora desenhe o cı́rculo. 6. Determine a equação do cı́rculo que satisfaz a propriedade dada: (a) Tangente a ambos os eixos coordenados, centro no primeiro quadrante e raio 2. (b) Centro em (−4, 6) passando por (1, 2). (c) Passa pelos pontos (1, 1), (1,−2) e (2, 3). 7. Construa um sistema de coordenadas e marque os pontos do item (c) do exercı́cio anterior. Usando apenas régua sem escala e com- passo, determine o centro do cı́rculo que passa por estes pontos, e depois desenhe o cı́rculo. 8. Escreva a equação da reta tangente ao cı́rculo x2 +y2 + 14x+ 18y− 39 = 0 no ponto do segundo quadrante deste cı́rculo, tal que x = −2. 9. Encontre a equação da reta tangente ao cı́rculo x2 + y2 = 180 que tem inclinação 2. 10. Encontre os pontos de interseção dos cı́rculos com equações x2 + y2 − 2x = 0 e x2 + y2 − 3y = 0. 11. Mostre que o cı́rculo x2 + y2 + ax + by + c = 0 é tangente ao eixo x se, e somente se, 4c = a2. 12. Determine o centro e o raio do cı́rculo que passa pelos pontos da- dos: J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 63 CEDERJ Cı́rculo (a) P1 = (−2,−3), Q1 = (4,−1) e R1 = (2,−2). (b) P2 = (−1, 4), Q2 = (4, 6) e R2 = (0,−7). 13. Construa um sistema de coordenadas e marque os pontos dos itens (a) e (b) do exercı́cio anterior. Usando apenas uma régua sem es- cala e um compasso, determine os centros C1 e C2 dos cı́rculos do exercı́cio anterior e desenhe-os. 14. Determine as retas tangentes ao cı́rculo x2 + y2 = 4 que passam pelo ponto (4 √ 2, 2 √ 2). 15. Um ponto P do plano se move de modo que a soma dos quadrados de suas distâncias a dois pontos fixos A e B é uma constante k > 0. Determine a equação do lugar geométrico descrito pelo ponto P e identifique-o. Sugestão: Seja a = d(A,B). Considere o sistema de coordenadas com o eixo x sendo a reta que passa por A e B, com origem A e orientada de A para B. Neste sistema de coordenadas, temos A = (0, 0), B = (a, 0) e P = (x, y). Você deve considerar os casos: k < a2 2 , k = a 2 2 e k > a 2 2 . 16. Esboce os seguintes subconjuntos do plano: (a) A = { (x, y) | (x − 2)2 + (y − 3)2 > 1 }. (b) B = { (x, y) | (x − 4)2 + (y − 3)2 < 2 }. (c) C = { (x, y) | (x − 2)2 + (y − 3)2 ≤ 4 }. (d) D = A ∩ B. (e) E = A ∩ C. 17. Considere os seguintes conjuntos: A = {(x, y)| x2 + (y − 1)2 = 4}. B = {(x, y)| (x + 1)2 + (y − 2)2 = 1}. C = {(x, y)| x + y = 1}. Determine os subconjuntos do plano: A ∩ B, A ∩ C e B ∩ C. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 64 Parábola Curvas Planas AULA 18 Aula 18: Parábola Objetivos • Descrever a parábola como um lugar geométrico determinando a sua equação reduzida nos sistemas de coordenadas com eixo x paralelo à diretriz ` e origem no vértice V . • Determinar as coordenadas do foco F, do vértice V e da diretriz `. • Esboçar o gráfico da parábola, a partir da sua equação, e fazer translações. • Localizar o ponto de máximo ou de mı́nimo e calcular o seu valor. Conceitos: Sistemas de coordenadas cartesianas e distâncias no plano. Referências: Aulas 13 e 14. Várias residências têm antenas instaladas no telhado para recepção de som e imagens transmitidas por satélite. Todos conhecem as antenas parabólicas. E por que usamos estas antenas? Antes de responder, pre- cisamos conhecer as propriedades da parábola. A superfı́cie da antena é obtida pela rotação de uma parábola em torno de uma reta fixa, o seu eixo de simetria. Os faróis de automóveis e espelhos para telescópios astronômicos também têm superfı́cie parabólica. A trajetória seguida por vários objetos em movimento é uma parábola. Por exemplo: uma bola de basquete quando lançada na cesta, uma bola de futebol quando chutada, uma bala disparada por um revólver ou por um canhão etc. Na figura 42 vemos a trajetória percorrida pela bala de um canhão. Fig. 41: Antena parabólica. Fig. 42: Trajetória de uma bala de canhão. Fixemos no plano uma reta ` e um ponto F não pertencente a `. A parábola é o lugar geométrico dos pontos P do plano eqüidistantes da reta ` e do ponto F. A saber, parábola={ P | d(P, F) = d(P, `) }. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 67 CEDERJ Parábola A distância de um ponto a uma reta é definida como a menor das distâncias de P aos pontos Q da reta. Vimos, na AULA 16, que d(P, `) = d(P, P ′), onde P ′ é o ponto de interseção da reta ` com a perpendicular a ` passando por P, chamado pé da perpendicular a ` passando por P. Portanto, parábola = { P | d(P, F) = d(P, P ′) }, onde P ′ é o pé da perpendicular à reta ` passando por P. Fig. 43: Parábola de vértice V , foco F e diretriz `. A reta ` é chamada diretriz, o ponto F, foco, e o ponto V de interseção do eixo de simetria com a parábola, vértice. Para encontrar a equação de uma parábola, vamos fixar um sistema de coordenadas. Para isto, seja 2p, onde p > 0, a distância de F à reta `. Consideramos a origem O situada na reta perpendicular à reta ` passando por F e eqüidistante de F e `. O eixo x será a reta paralela a `, com uma orientação fixada. A reta perpendicular a ` passando por F será o eixo y, com a orientação conveniente (lembre-se de que girando a parte positiva do primeiro eixo, o eixo x, no sentido anti-horário em torno de O, obtemos o sentido positivo do segundo eixo, o eixo y). Fig. 44: Parábola, sua diretriz ` e foco F, escolha dos eixos x e y, com d(F, `) = 2p. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 68 Parábola Curvas Planas AULA 18 A posição relativa de F com respeito à diretriz ` e à escolha dos eixos coordenados está ilustrada na figura 44. Observe que a origem O = (0, 0) do sistema de coordenadas construı́do é o vértice da parábola. Temos dois casos a considerar. Primeiramente, vamos determinar a equação da parábola no caso em que F = (0, p) e a equação da reta diretriz é y = −p, conforme o desenho à esquerda da figura 44. Para cada ponto P = (x, y), o ponto P ′ ∈ `, pé da perpendicular passando por P, é P ′ = (x,−p). Portanto, um ponto P = (x, y) pertence à parábola⇐⇒ d(P, F) = d(P, P ′)⇐⇒ d((x, y), (0, p)) = d((x, y), (x,−p))⇐⇒ √(x − 0)2 + (y − p)2 =√(x − x)2 + (y − (−p))2⇐⇒ √x2 + (y − p)2 =√(y + p)2, elevando ao quadrado,⇐⇒ x2 + (y − p)2 = (y + p)2, desenvolvendo os quadrados,⇐⇒ x2 + y2 − 2py + p2 = y2 + 2py + p2, somando −y2 − p2 + 2py⇐⇒ x2 = 4py. Como p > 0 e x2 ≥ 0 para todo x ∈ R, temos y = x2 4p ≥ 0. Logo, os pontos da parábola diferentes da origem estão acima do eixo x. O gráfico desta equação, ilustrado na figura 45, é Graf(y = x 2 4p ) = { (x, y) | y = x 2 4p } = {( x, x 2 4p ) | x ∈ R } . Na figura 46 estão os gráficos das parábolas y = x 2 4 , y = x2 e y = 2x2. Fig. 45: Parábola y = x 2 4p com foco F = (0, p). Fig. 46: Parábolas y = x 2 4 , y = x2 e y = 2x2. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 69 CEDERJ Parábola V = (0, 0), foco F = (0, 1 4a ) = (0, 1 4·2) = (0, 1 8 ), diretriz y = − 1 4a = −1 8 e o eixo de simetria é x = 0. Quando esta parábola é transladada de h = 3 unidades horizontalmente e de k = −2 unidades verticalmente, uma parábola congruente é obtida tendo equação y − k = 2(x − h)2, que é equivalente a y + 2 = 2(x − 3)2. A figura 49 ilustra o gráfico destas duas parábolas. Fig. 49: Parábolas y = 2x2 e y + 2 = 2(x − 3)2. y = 2x2 y + 2 = 2(x − 3)2 vértice: (0, 0) −→ (h, k) = (3,−2) foco: (0, 1 4a ) = (0, 1 8 ) −→ (h, k + 1 4a ) = (3,−2 + 1 8 ) = (3,−15 8 ) diretriz: y = − 1 4a = −1 8 −→ y = k − 1 4a = −2 − 1 8 = −17 8 eixo de simetria: x = 0 −→ x = h = 3 Duas figuras são congruentes se deslocando uma delas podemos fazer coincidir uma com a outra. Fig. 50: y = ax2 e y − k = a(x − h)2. De modo geral, a parábola y = ax2 tem vértice (0, 0) e eixo de simetria x = 0. Quando esta parábola é transla- dada de h unidades, horizontalmente, e de k unidades, verticalmente, obtemos uma parábola congruente de equação y − k = a(x − h)2. A figura ao lado ilustra esta translação. O vértice O = (0, 0) é trans- ladado para (h, k) e o foco, a diretriz e o eixo de simetria são transladados como indicado a seguir: J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 72 Parábola Curvas Planas AULA 18 y = ax2 y − k = a(x − h)2 vértice: (0, 0) −→ (h, k) foco: (0, 1 4a ) −→ (h, k + 1 4a ) diretriz: y = − 1 4a −→ y = k − 1 4a eixo de simetria: x = 0 −→ x = h Observe que no vértice (h, k) temos x0 = h e y0 = k, onde k é o valor mı́nimo ou máximo de y, para todo P = (x, y) que está na parábola de equação y − k = a(x − h)2. Pois: (i) Se a > 0, então a parábola está voltada para cima e y = a(x − h)2 + k ≥ 0 + k = a(h − h)2 + k = a(x0 − h)2 + k = y0, logo y ≥ y0, portanto k é o valor mı́nimo de y. (ii) Se a < 0, então a parábola está voltada para baixo e y = a(x − h)2 + k ≤ 0 + k = a(h − h)2 + k = a(x0 − h)2 + k = y0, logo y ≤ y0, portanto k é o valor máximo de y. Resumo Você aprendeu a descrever a parábola como um lugar geométrico, a determinar a sua equação reduzida, a partir da sua propriedade geométrica, no sistema de coordenadas com origem no vértice, eixo x paralelo à di- retriz ` e eixo y como o eixo de simetria; a esboçar o seu gráfico; a fazer translações; a determinar as coordenadas do foco F, do vértice V e a equação da diretriz `, a partir da equação reduzida; a determinar o ponto de máximo ou mı́nimo e o seu valor máximo ou mı́nimo, respectivamente, x0 = h e y0 = k, onde V = (h, k). Exercı́cios 1. Determine o foco, a equação da diretriz e esboce o gráfico de cada uma das seguintes parábolas: (a) y = 8x2 (b) y = −8x2 (c) y = 16x2 (d) y = −16x2 (e) 2y = 5x2 (f) −2y = 5x2 (g) y − 1 16 x2 = 0 (h) y = 3 4 x2 (i) y = −5 4 x2 J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 73 CEDERJ Parábola 2. Determine a equação reduzida da parábola, o vértice, a equação da diretriz, a equação do eixo de simetria e esboce o gráfico. (a) y = 1 4 x2 − x + 4 (b) 8y + x2 + 4x + 12 = 0 (c) −2y = x2 + 4x − 4 (d) 20y − x2 + 2x + 39 = 0 (e) y = 2x − x2 (f) x2 + 6x − 8y + 17 = 0 3. Determine o valor de x para o qual y assume o valor máximo ou mı́nimo, em cada uma das parábolas do exercı́cio anterior. 4. Determine a equação reduzida da parábola que satisfaz a proprie- dade dada e esboce o gráfico: (a) Foco F = (0,−3 4 ) e diretriz y = 3 4 . (b) Foco F = (0, 5 8 ) e vértice (0, 0). (c) Diretriz y = 3 2 e vértice (0, 0). (d) Vértice (2,−5) e diretriz y = −7. (e) Vértice (0, 0), eixo de simetria vertical e o ponto (2,−2) está na parábola. (f) Vértice (0, 0), eixo de simetria x = 0 e passa pelo ponto (2,−3). (g) Foco F = (4,−5) e diretriz y = 1. (h) Vértice (4, 1) e diretriz y = −3. 5. Determine a interseção da parábola com o eixo y: (a) y = 1 4 x2 − x + 4 (b) 8y + x2 + 4x + 12 = 0 (c) −2y = x2 + 4x − 4 (d) 20y − x2 + 2x + 39 = 0 (e) y = 2x − x2 (f) x2 + 6x − 8y + 17 = 0 A parábola y = ax2 + bx + c, assim como uma reta não-vertical, divide o plano em dois subconjuntos disjuntos: os pontos acima da parábola (onde y > ax2 + bx + c) e os pontos abaixo da parábola (onde y < ax2 + bx + c). 6. Esboce os subconjuntos do plano: (a) A = { (x, y) | 2x − 3 ≤ y < 4x − x2 }. (b) B = { (x, y) | x2 − 2x ≤ y < 4x − x2 }. (c) C = { (x, y) | − 2x + 8 ≤ y ≤ x2 }. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 74 Parábola - continuação Curvas Planas AULA 19 Aula 19: Parábola - continuação Objetivos • Descrever a parábola como um lugar geométrico, determinando a sua equação reduzida nos sistemas de coordenadas com eixo y paralelo à diretriz `, eixo x como eixo de simetria e origem no vértice V . • Determinar as coordenadas do foco F, do vértice V e da diretriz `. • Esboçar o gráfico da parábola, a partir da sua equação. • Fazer translações. • Aprender a propriedade reflexiva da parábola. Conceitos: Sistemas de coordenadas cartesianas e distâncias no plano. Referências: Aulas 13 e 14. Na aula anterior encontramos uma equação reduzida da parábola quando o seu eixo de simetria é o eixo y, o eixo x é paralelo à diretriz ` e a origem é o vértice. Poderı́amos ter procedido de outra maneira. Vamos construir outro sistema de coordenadas e escrever equações reduzidas para a parábola. Para isto, seja ainda 2p, onde p > 0, a distância do foco F à reta diretriz `. Consideramos a origem O situada na reta perpendicular à reta ` passando por F e eqüidistante de F e `. A reta perpendicular a ` passando por F será o eixo x com uma orientação fixada. O eixo y será a reta paralela a `, com a orientação conveniente (lembre-se que girando a parte positiva do primeiro eixo, o eixo x, no sentido anti-horário em torno de O, obtemos o sentido positivo do segundo eixo, o eixo y). A posição relativa de F, com respeito à diretriz ` e à escolha dos eixos coordenados, está ilustrada na figura 51. Fig. 51: Sistemas de coordenadas com eixo y paralelo à diretriz. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 77 CEDERJ Parábola - continuação Observe que a origem O = (0, 0) do sistema de coordenadas cons- truı́do é novamente o vértice V da parábola. Temos dois casos a considerar, conforme a figura 51. Primeiramente, vamos determinar a equação da parábola no caso em que F = (p, 0) e a equação da reta diretriz ` é x = −p, conforme o desenho à esquerda da figura 51. Para cada ponto P = (x, y), o ponto P ′ ∈ `, pé da perpendicular passando por P, é P ′ = (−p, y). Portanto, um ponto P = (x, y) pertence à parábola ⇐⇒ d(P, F) = d(P, P ′)⇐⇒ d((x, y), (p, 0)) = d((x, y), (−p, y))⇐⇒ √(x − p)2 + (y − 0)2 =√(x − (−p))2 + (y − y))2⇐⇒ √(x − p)2 + y2 =√(x + p)2, elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade,⇐⇒ (x − p)2 + y2 = (x + p)2, desenvolvendo ambos os membros da igualdade,⇐⇒ x2 − 2px + p2 + y2 = x2 + 2px + p2, somando −x2 + 2px − p2 a ambos os membros da igualdade,⇐⇒ y2 = 4px. Na figura 53 estão os gráficos das parábolas: x = y 2 4 , x = y2 e x = 2y2. Como p > 0 e y2 ≥ 0 para todo y ∈ R, temos x = y2 4p ≥ 0. Logo, os pontos da parábola diferentes da origem estão à direita do eixo y. Fig. 52: Parábola x = y 2 4p com foco F = (p, 0). Fig. 53: Gráficos de x = y 2 4 , x = y2 e x = 2y2. O gráfico desta equação, ilustrado na figura 52, é: Graf(y2 = 4px) = { (x, y) | x = y 2 4p } = {( y2 4p , y ) | y ∈ R } . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 78 Parábola - continuação Curvas Planas AULA 19 Exemplo 37 Vamos encontrar as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola x = 1 4 y2. Escrevendo 1 4 = 1 4p , obtemos 4p = 4, logo p = 1. Então, o foco é F = (p, 0) = (1, 0) e a diretriz é x = −p = −1. Consideremos, agora, o caso em que F = (−p, 0) e a equação da reta diretriz é x = p, conforme o desenho à direita da figura 51. Para cada ponto P = (x, y), o ponto P ′ ∈ `, pé da perpendicular passando por P, é P ′ = (p, y). Portanto, um ponto P = (x, y) pertence à parábola ⇐⇒ d(P, F) = d(P, P ′)⇐⇒ d((x, y), (−p, 0)) = d((x, y), (p, y))⇐⇒ √(x − (−p))2 + (y − 0)2 =√(x − p)2 + (y − y)2⇐⇒ √(x + p)2 + y2 =√(x − p)2, elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade,⇐⇒ (x + p)2 + y2 = (x − p)2, desenvolvendo ambos os membros da igualdade,⇐⇒ x2 + 2px + p2 + y2 = x2 − 2px + p2, somando −x2 − 2px − p2,⇐⇒ y2 = −4px. Como −p < 0 e y2 ≥ 0 para todo y ∈ R, temos x = −y2 4p ≤ 0. Logo, os pontos da parábola diferentes da origem estão à esquerda do eixo y. Fig. 54: Parábola x = −y 2 4p com foco F = (−p, 0) e vértice V = (0, 0). O gráfico desta equação, ilustrado na figura 54, é: Graf(y2 = −4px) = { (x, y) | x = −y 2 4p } = {( −y2 4p , y ) | y ∈ R } . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 79 CEDERJ Parábola - continuação Esta superfı́cie, chamada parabolóide, é obtida pela rotação da pará- bola em torno do seu eixo de simetria e se constitui de uma infinidade de parábolas com mesmo foco e mesmo eixo de simetria (figura 58). Fig. 58: Parabolóide. As antenas parabólicas são utilizadas para amplificar os sinais cap- tados, concentrando-os no foco. Os sinais incidem no parabolóide, a su- perfı́cie da antena, paralelos ao eixo de simetria, refletindo para o foco. Resumo Você aprendeu a determinar a equação reduzida da parábola, a par- tir da sua propriedade geométrica, no sistema de coordenadas com ori- gem no vértice, eixo y paralelo à diretriz ` e eixo x como o eixo de simetria ou eixo focal; a esboçar o gráfico da parábola; a fazer translações; a deter- minar as coordenadas do foco F, do vértice V e a equação da diretriz `, a partir da equação da parábola, além da propriedade reflexiva da parábola. Exercı́cios 1. Determine o vértice, o foco, a equação da diretriz, o eixo de simetria e trace o gráfico das parábolas: (a) x = 6y2 (b) √ 2x = 2y2 (c) x = y2 − 2y + 1 (d) x = y2 − 3y + 4 (e) x = y2 + 2y + 5 (f) x = −y2 − 4y + 7 (g) x = −2y2 + 4y − 5 (h) 8x + y2 − 4y − 20 = 0 2. Determine o ponto de interseção de cada uma das parábolas do J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 82 Parábola - continuação Curvas Planas AULA 19 exercı́cio anterior com o eixo x. Lembre que a equação do eixo x é y = 0. 3. Determine a equação reduzida da parábola que satisfaz a proprie- dade dada e esboce o gráfico: (a) Foco F = (−3 4 , 0) e diretriz x = 3 4 . (b) Foco F = (1, 0) e vértice (0, 0). (c) Diretriz x = 3 2 e vértice (0, 0). (d) Vértice (−1,−3) e diretriz x = −3. (e) Vértice (0, 1), eixo de simetria horizontal e o ponto (−2, 2) está na parábola. (f) Vértice (0, 0), eixo de simetria y = 0 e passa pelo ponto (2,−3). (g) Foco F = (4,−5) e diretriz x = 1. (h) Vértice (4, 1) e diretriz x = −3. 4. Esboce os subconjuntos do plano: A parábola x = ay2 + by + c, assim como uma reta vertical, divide o plano em dois subconjuntos disjuntos: os pontos à direita (x > ay2 + by + c) e os pontos à esquerda da parábola (x < ay2 + by + c). (a) A = { (x, y) | − y + 3 ≤ x < 2y2 }. (b) B = { (x, y) | y2 − 2y ≤ x < 4y − y2 }. (c) C = { (x, y) | y2 − 2y ≤ x ≤ −y2 + y − 1 }. (d) D = { (x, y) | y2 − 2 ≤ x < −2y2 + 6y + 7 }. Auto-avaliação Se você souber determinar o vértice, o foco e a equação da diretriz da parábola, a partir da sua equação, e esboçar o seu gráfico, então pode passar para a próxima aula. É claro que resolveu os exercı́cios 1 a 4! Vamos para a Aula 20, onde há interessantes aplicações relacionando as propriedades do gráfico da parábola com problemas do nosso cotidiano. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 83 CEDERJ Parábola - continuação J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 84 Parábola - aplicações Curvas Planas AULA 20 As seguintes propriedades são fundamentais: • O vértice V = (x0, y0) da parábola é o ponto onde y assume: (a) o valor mı́nimo y0 para todo x ∈ R, quando a > 0. (b) o valor máximo y0 para todo x ∈ R, quando a < 0. • Para que valores de x temos y = 0? Ou então, quais os pontos de interseção do gráfico da parábola com o eixo x, ou quais as raı́zes do polinômio f(x) = ax2 + bx + c? • Para que valores de x temos y < 0 e para que valores de x temos y > 0? Ou ainda, para que valores de x o gráfico da parábola está abaixo ou acima do eixo x? Isto é, como o sinal de y depende de x? Antes de prosseguir, faça os gráficos de y = x2−4x+3, y = x2−4x+4, y = x2 − 4x + 5, y = −x2 + 4x − 3, y = −x2 + 4x − 4 e y = −x2 + 4x − 5, determinando os seus vértices. Analise as propriedades anteriores, em cada uma destas parábolas. Seja y = ax2 + bx + c, onde a 6= 0 e a, b e c são números reais fixados. Como expressamos o vértice da parábola V = (x0, y0) em termos de a, b e c? Para responder a esta questão, escrevemos: Lembre primeiro que o quadrado da expressão x + u é, em virtude da propriedade distributiva das operações em R: (x + u)2 = x2 + 2ux + u2, quaisquer que sejam os números reais x e u. Em particular, fazendo 2u = b a temos (x + b 2a )2 = x2 + b a x + b 2 4a2 . y = ax2 + bx + c, colocando a em evidência, = a(x2 + b a x + c a ), completando o quadrado do polinômio, = a((x2 + b a x + b 2 4a2 ) − b 2 4a2 + c a ), = a((x + b 2a )2 − b 2−4ac 4a2 ), multiplicando por a, = a(x + b 2a )2 − b 2−4ac 4a . Portanto, y + b2 − 4ac 4a = a ( x + b 2a )2 . Definindo ∆ = b2 − 4ac, reescrevemos a igualdade anterior como y + ∆ 4a = a ( x + b 2a )2 . Assim, concluı́mos que o vértice é V = (x0, y0) = ( −b 2a , −∆ 4a ) . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 87 CEDERJ Parábola - aplicações A expressão ∆ = b2 − 4ac é o discriminante de y = ax2 + bx + c. Reescrevemos, em termos do discriminante, o resultado da Aula 18 sobre o valor máximo ou o valor mı́nimo como: Lembre que ... A parábola y − y0 = a(x − x0) 2 está voltada para cima quando a > 0 e, para baixo, quando a < 0. (i) Se a > 0, então em x0 = −b2a temos que y0 = −∆ 4a é o valor mı́nimo de y, para todo x ∈ R. De fato, y + ∆ 4a = a ( x + b 2a )2 ≥ 0, para todo x ∈ R. Somando −∆ 4a em ambos os membros da desigualdade anterior, obtemos y ≥ −∆ 4a = y0, para todo x ∈ R. Deste modo, vemos que y0 = −∆4a é o menor valor de y, que é assumido em x0 = −b2a . (ii) Se a < 0, então em x0 = −b2a temos que y0 = −∆ 4a é o valor máximo de y, para todo x ∈ R. De fato, y + ∆ 4a = a ( x + b 2a )2 ≤ 0, para todo x ∈ R. Somando −∆ 4a em ambos os membros da desigualdade anterior, obtemos y ≤ −∆ 4a = y0, para todo x ∈ R. Então, y0 = −∆4a é o maior valor de y, que é assumido em x0 = −b 2a . Agora podemos resolver o primeiro exemplo desta aula. Solução do Exemplo 41: Como a = −70 < 0, a renda y = −70x2 +1.540x+98.000 assume um valor máximo no vértice da parábola x0 = −b 2a = −1.540 2 · (−70) = 1.540 140 = 11. Portanto, o valor do ingresso deve ser de 7 + 0, 25 · 11 = 7 + 2, 75 = 9, 75 reais. Para saber o valor da renda máxima, calcule: −∆ 4a = −(1.5402 − 4 · (−70) · 98.000) 4 · (−70) . Nas figuras 60, 61 e 62 ilustramos os gráficos de parábolas com a > 0. Fig. 60: y = x2 − 4x + 3, ∆ = 4. Fig. 61: y = x2 − 4x + 4, ∆ = 0. Fig. 62: y = x2 − 4x + 5, ∆ = −4. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 88 Parábola - aplicações Curvas Planas AULA 20 Nas figuras 63, 64 e 65 ilustramos os gráficos de parábolas com a < 0. Fig. 63: y = −x2 + 4x − 3, ∆ = 4. Fig. 64: y = −x2 + 4x − 4, ∆ = 0. Fig. 65: y = −x2 + 4x − 5, ∆ = −4. Conforme você vê nos gráficos acima, quando a parábola tem o vértice abaixo do eixo x e está voltada para cima, ou tem o vértice acima do eixo x e está voltada para baixo, o seu gráfico intersecta o eixo x. Isto significa que y = ax2 + bx + c assume valores positivos, nulos e negati- vos. Os valores de x tais que ax2 + bx + c = 0 são chamados de raı́zes da equação ax2 + bx + c. Faremos uma análise do sinal da expressão ax2+bx+c, onde a, b, c são números reais fixos e a 6= 0. O problema fundamental consiste em determinar os valores de x ∈ R para os quais ax2 + bx + c é, respectivamente, positivo, negativo ou zero. Nos seus cursos de Matemática do Ensino Médio, você certamente usou as fórmulas de Bhaskara para determinar as raı́zes de equações quadráticas (de grau 2) com uma variável. Lembramos que: As raı́zes de ax2 + bx + c = 0 são x1 = −b− √ b2−4ac 2a e x2 = −b+ √ b2−4ac 2a . Os resultados obtidos serão usados, junto com as propriedades do módulo, para determinar o conjunto solução de igualdades e desigualda- des envolvendo expressões quadráticas. Análise do sinal do trinômio de segundo grau ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes reais, a 6= 0, e x é um número real variável. Vimos que podemos escrever y = ax2 + bx + c como: J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 89 CEDERJ Parábola - aplicações o mesmo que o sinal de a: Se x 6∈ I, x não é raiz de y = 0 e a > 0, então y > 0. Se x 6∈ I, x não é raiz de y = 0 e a < 0, então y < 0. Resumimos as nossas considerações na seguinte tabela: y = ax2 + bx + c = a (( x + b 2a )2 − ∆ 4a2 ) , com a 6= 0 ∆ = b2 − 4ac Raı́zes de y = 0 a > 0 a < 0 ∆ = 0 − b2a y > 0, x 6= − b 2a y < 0, x 6= − b 2a ∆ < 0 Não existem y > 0 y < 0 ∆ > 0 x1 = −b+ √ ∆ 2a x2 = −b− √ ∆ 2a y < 0, se x ∈ I y > 0, se x ∈ J y > 0, se x ∈ I y < 0, se x ∈ J Onde I = (x1, x2) é o intervalo aberto cujos extremos são as raı́zes de y = 0 com x1 < x2 e J = (−∞, x1) ∪ (x2,+∞). Agora vamos terminar de resolver o Exemplo 42. Solução do Exemplo 42: Como ∆ = b2 − 4ac = (−20)2 − 4 · 1 · (−1.125) = 400 + 4.500 = 4.900 e √ ∆ = √ 4.900 = 70, pelas fórmulas de Bhaskara, temos que as raı́zes do polinômio são x1 = −b − √ ∆ 2a = 20 − 70 2 = −25 e x2 = −b + √ ∆ 2a = 20 + 70 2 = 45. Como x > 0, temos que x = x2 = 45. Portanto, a largura do papelão é 45 cm e o comprimento é 65 cm. Assim, a caixa tem 25 cm de largura por 45 cm de comprimento. Exemplo 43 Volte às figuras 60 a 65, determine as raı́zes de cada trinômio do 2o grau, quando existirem, e estude o seu sinal. Exemplo 44 Uma indústria produz bonecas. O custo diário C, em reais, para produzir n bonecas é dado pela expressão quadrática C = n2−120n+4.200. Quan- tas bonecas devem ser produzidas diariamente para o custo ser mı́nimo? Qual é o custo mı́nimo? J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 92 Parábola - aplicações Curvas Planas AULA 20 O custo C é mı́nimo em n0 = −b 2a = 120 2 = 60 bonecas. O custo mı́nimo é C0 = −∆ 4a = −(1202 − 4 · 4.200) 4 = −120 · 30 + 4.200 = 600 reais. Exemplo 45 Uma bola é lançada verticalmente do chão a uma velocidade de 27 metros por segundo. A fórmula s = 27t − 9t2 dá a altura da bola após t segun- dos. Qual é a altura máxima atingida pela bola? Quanto tempo a bola permanecerá no ar? Os pares (t, s) estão sobre o gráfico de uma parábola, onde a = −9. O discriminante da equação do 2o grau é ∆ = 272 −4 · (−9) ·0 = 272. A altura máxima atingida pela bola será s0 = −∆ 4a = −272 4 · (−9) = −27 · 27 −36 = 27 · 3 4 = 81 4 = 20, 25 metros em t0 = −b 2a = −27 2 · (−9) = 3 2 = 1, 5 segundos. A bola permanecerá no ar no intervalo de tempo entre 0 e 3 segundos, pois s > 0 para t ∈ (0, 3), onde 0 e 3 são as raı́zes de 27t − 9t2 = 9t(3 − t) = 0 . Resumo Você aprendeu a determinar as coordenadas do vértice V da parábola em termos do discriminante e dos coeficientes da equação do 2o grau; a determinar as raı́zes da equação do 2o grau; a determinar o sinal do trinômio do 2o grau e a usar estas informações, junto com o gráfico da parábola, para modelar e resolver problemas. Exercı́cios 1. Identifique se y assume um valor máximo ou mı́nimo, determine-o, e diga em que número real x0 este valor ocorre: (a) y = −x2 + 2x + 8. (b) y = x2 − 2x − 3. (c) y = 2x2 + 3x − 2. (d) y = −x2 + 10x − 18. (e) y = x2 + 6x + 9. (f) y = 2x2 − 15x + 28. 2. Esboce o gráfico das parábolas do exercı́cio anterior, determinando, caso existam, os pontos de interseção do gráfico com o eixo x e com o eixo y. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 93 CEDERJ Parábola - aplicações 3. Resolva as desigualdades e, usando intervalos, dê o conjunto solução: (a) −x2 + 2x + 8 < 0. (b) x2 − 2x − 3 > 0. (c) 2x2 + 3x − 2 ≤ 0. (d) −x2 + 10x − 18 > 0. (e) x2 + 6x + 9 ≥ 0. (f) 2x2 − 15x + 28 < 0. (g) 2x 2 + 3x − 2 x2 − 2x − 3 ≤ 0. (h) −x 2 + 10x − 18 −x2 + 2x + 8 > 0. (i) (x − 5) · (x + 3) ≥ 0. (j) x3 − 4x ≤ 0. 4. Determine os pontos de interseção da parábola com os eixos coor- denados: (a) y = 1 4 x2 − x + 4 (b) 8y + x2 + 4x + 12 = 0 (c) −2y = x2 + 4x − 4 (d) 20y − x2 + 2x + 39 = 0 (e) y = 2x − x2 (f) x2 + 6x − 8y + 17 = 0 5. Quais os dois números reais cuja soma é igual a 8 e a soma dos seus quadrados é 56 no mı́nimo e, 104 no máximo? Quais os números inteiros que satisfazem a esta propriedade? 6. O departamento de propaganda de uma fábrica de patinetes esti- mou que venderia 600 patinetes por semana a 100 reais cada. Mas concluiu também que se reduzisse 5 reais no preço unitário venderia 50 patinetes a mais por semana. Qual deve ser o preço de venda dos patinetes, para que a fábrica tenha a maior renda possı́vel, men- salmente? 7. Em volta de uma piscina retangular com 10 metros de largura por 18 metros de comprimento, será colocado um piso anti-derrapante com área de 60 metros quadrados e largura constante. Qual a largura do piso? 8. O lucro diário de uma empresa em reais é l = −2x2 + 200x − 800, onde x é o número de artigos produzidos por dia. Quantos artigos devem ser produzidos para que o lucro seja máximo? Qual o lucro máximo? J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 94 Elipse Curvas Planas AULA 21 Aula 21: Elipse Objetivos • Descrever a elipse como um lugar geométrico. • Determinar a equação reduzida da elipse no sistema de coordenadas com origem no ponto médio entre os focos e eixo x como o eixo focal. • Esboçar o gráfico da elipse, a partir da equação reduzida . • Identificar os parâmetros a,b e c e a sua excentricidade. •Determinar as coordenadas dos focos e dos vértices, a partir da equação reduzida. Conceitos: Sistemas de coordenadas e distâncias no plano. Referências: Aulas 13 e 14. Como acabamos de mencionar na aula anterior, há muitas aplicações para a parábola, sendo esta curva plana encontrada em várias situações na prática cotidiana. A elipse, curva plana que vamos descrever nesta aula, não é tão facilmente encontrada na natureza. Porém, observe as seguintes figuras: Fig. 67: Vemos uma elipse olhando um cı́rculo de lado. Fig. 68: Elipse na superfı́cie da água num copo inclinado. Fig. 69: Elipse no telhado do pla- netário Tycho Brahe em Copenha- gen, Dinamarca. Kepler, 1571-1630. Nasceu perto de Stuttgart. Obteve o modelo para o movimento dos planetas, usando os dados observados pelo astrônomo Tycho Brahe. Embora os gregos já conhecessem as cônicas, apenas em 1609 o astrônomo alemão Johann Kepler descobriu que as órbitas dos planetas eram elipses. Fig. 70: Vista da órbita que a Terra faz ao redor do Sol. Consideremos fixados no plano dois pontos F1 e F2. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 97 CEDERJ Elipse A elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias aos pontos F1 e F2 é constante. Escrevendo esta constante como 2a, temos elipse = {P| d(P, F1) + d(P, F2) = 2a}. Fig. 71: A soma das distâncias de um ponto da elipse a F1 e F2 é constante: d1 + d2 = 2a. Os pontos F1 e F2 são chamados focos da elipse. Foi Kepler quem introduziu o nome foco. Você já deve ter observado que os jardineiros, preferencialmente, constroem canteiros circulares e elı́pticos. É muito fácil desenhar na terra ou no papel cı́rculos e elipses. O jardineiro amarra cada ponta de um barbante em um graveto, fixa os dois gravetos, na terra, a uma distância menor que o comprimento do barbante e, com um terceiro graveto, estica o barbante. Os pontos na terra descritos pelo terceiro graveto formam a elipse. Você pode desenhar uma elipse no papel, prendendo as extremida- des do barbante com tachas e usando um lápis para esticar o barbante. As tachas serão os focos da elipse. Observe que a distância entre os focos é, obviamente, menor do que o comprimento do barbante. Fig. 72: Desenhando uma elipse no papel. Seja 2c a distância entre F1 e F2. Note que 2c < 2a, isto é, c < a. Para encontrar a equação de uma elipse, vamos fixar um sistema de coordenadas. Consideramos o eixo x como a reta passando por F1 e F2, com a origem O situada no ponto médio do segmento F1F2, e o J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 98 Elipse Curvas Planas AULA 21 eixo y sendo a reta perpendicular a este segmento passando por O. A orientação do eixo x é de O para F2. O eixo y tem a sua orientação, forçosamente, fixada. Para relembrar o conceito de orientação, reveja a Aula 13. Fig. 73: Construção do sistema de coordenadas. Nesse sistema de coordenadas, temos F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), onde c é um número real positivo. Então, P = (x, y) é um ponto da elipse ⇐⇒ 2a = d(P, F1) + d(P, F2)⇐⇒ 2a = d((x, y), (−c, 0)) + d((x, y), (c, 0)) ⇐⇒ 2a =√(x − (−c))2 + (y − 0)2 +√(x − c)2 + (y − 0)2 ⇐⇒ 2a =√(x + c)2 + y2 +√(x − c)2 + y2 ⇐⇒ 2a −√(x − c)2 + y2 =√(x + c)2 + y2. Elevando ao quadrado ambos os membros da última igualdade: 4a2 − 4a √ (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = (x + c)2 + y2. Desenvolvendo os quadrados, temos 4a2 − 4a √ (x − c)2 + y2 + x2 − 2cx + c2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2. Cancelando as parcelas iguais e somando −4a2 + 2cx a ambos os membros da igualdade, obtemos −4a √ (x − c)2 + y2 = 4cx − 4a2. Cancelando o fator comum, temos −a √ (x − c)2 + y2 = cx − a2. Elevando ao quadrado ambos os membros desta igualdade, temos a2((x − c)2 + y2) = c2x2 − 2a2cx + a4. Desenvolvendo o lado esquerdo desta igualdade, obtemos a2x2 − 2a2cx + a2c2 + a2y2 = c2x2 − 2a2cx + a4. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 99 CEDERJ
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