Estudo da fricção dinâmica para cálculo de órbitas galácticas, Notas de estudo de Astronomia

Baixe Estudo da fricção dinâmica para cálculo de órbitas galácticas e outras Notas de estudo em PDF para Astronomia, somente na Docsity! Universidade do Vale do Paráıba Instituto de Pesquisa e Desenvolvimento Fernando Silvério de Sousa Fricção dinâmica em órbitas galácticas: Comparação entre simulações de colisões de galáxias e a fórmula de Chandrasekhar São José dos Campos, SP 2013 Sumário 1 Introdução 4 1.1 Conceitos de Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Gravitação universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 O problema de dois corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 Determinação das órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Fórmula de Chandrasekhar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Fricção dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Fórmula de Chandrasekhar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Interações entre galáxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Efeito de fricção dinâmica em interações de galáxias . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Potencial gravitacional em um sistema esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Simulação numérica de N- corpos (GADGET-2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Estudo da fricção dinâmica para o cálculo de órbitas galácticas 22 2.1 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Referências Bibliográficas 44 1 Caṕıtulo 1 Introdução O efeito de fricção dinâmica ocorre quando um objeto massivo se move através de um sis- tema de part́ıculas de baixa massa (Binney & Tremaine, 2008). Este efeito foi deduzido e expresso em termos de uma aceleração pelo f́ısico Subramanyan Chandrasekhar no ano de 1943, tendo como caracteŕıstica a desaceleração do objeto massivo. Para Chandrasekhar (1943), um objeto massivo que se move através de um meio formado por part́ıculas de menor massa exerce uma força gravitacional atraindo essas part́ıculas para sua direção, resultando em um acúmulo de part́ıculas atrás de sua trajetória conforme este objeto massivo se desloca. Este acúmulo de part́ıculas exerce uma força gravitacional no sentido contrário ao deslocamento do objeto massivo, desacelerando-o. Embora deduzida em 1943, a fórmula de Chandrsekhar foi aplicada ao estudo de colisão de galáxias a partir de 1977, quando Alar Toomre (Toorme & Toorme 1972) deu inicio a uma pesquisa afim de explicar os resultados de colisões de galáxias por meio de simulações numéricas. Esta fórmula demonstrou ser de grande utilidade para o estudo da dinâmica dos pares de galáxias em interação e estimulou um grande interesse neste processo. Em interações de galáxias, em que as galáxias se aproximam com baixa velocidade, a fricção dinâmica é o efeito responsável pelo decaimento orbital da galáxia satélite (Bontekoe & Van Albada, 1987). Para Coroa, Muzzio & Vergne (1997) o decaimento orbital é o começo do decĺınio da massa da galáxia satélite devido à transferência de energia para a galáxia principal en- quanto orbita, fazendo a órbita decair até as galáxias se fundirem. Ao estudarmos pares reais de galáxias em colisão, podemos coletar dados observacionais e com base neles modelar a dinâmica da interação de galáxias através de códigos de N- corpos. Ao realizarmos tais simulações de forma autoconsistente, percebemos que o efeito de fricção dinâmica aparece naturalmente e afeta a órbita desta interação. Com base nestas informações, desenvolvemos um código escrito em linguagem C, que calcula órbitas 4 entre potenciais teóricos idênticos aos usados na geração dos modelos de galáxias com os quais realizamos as simulações, com o propósito de gerar as condições iniciais para a simulação numérica de colisão de galáxias. Comparamos os resultados obtidos por meio deste programa com simulações numéricas que calculam a interação de sistemas observados para o estudo da dinâmica de pares reais de galáxias afim de verificar se os resultados obtidos por meio deste programa correspondem com os resultados esperados teoricamente. 5 1.1 Conceitos de Mecânica 1.1.1 Leis de Newton Das ciências f́ısicas, a mecânica é a mais antiga. Ela tem por finalidade o estudo dos mo- vimentos e das condições de equiĺıbrio dos corpos. Issac Newton, contribuiu muito para a mecânica quando formulou as três lei do movimento. Nestas leis ele conseguiu estabelecer relações entre a massa do corpo e seu movimento, dando origem a três leis básicas que são chamadas Leis de Newton ou prinćıpios da dinâmica. A primeira lei de Newton (prinćıpio da inércia), consiste que, em ausência de forças externas, um objeto em repouso permanece em repouso, e um objeto em movimento permanece em movimento, a menos que sejam aplicadas forças sobre o objeto modificando seu estado. Essa propriedade do corpo que resiste à mudança, chama-se inércia. A medida da inércia de um corpo é o seu momentum, definida como sendo proporcional à sua velocidade ~v, tendo a massa (m) como constante de proporcionalidade que é a propriedade que resiste à mudança do estado, como expressa na equação abaixo. ~p = m~v (1.1) A segunda lei de Newton (Prinćıpio fundamental da dinâmica), relaciona a mudança de velocidade do objeto com a força aplicada sobre ele. A força aplicada a um objeto é igual à massa do objeto vezes a aceleração causada ao corpo por essa força, sendo a direção da aceleração na mesma direção da força. Este prinćıpio se resume pela equação: ~Fr = m~a = m d~v dt = d~p dt (1.2) Sendo ~Fr a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o corpo. A terceira lei de Newton (Ação e reação) estabelece que em uma interação entre dois corpos, o primeiro corpo exerce força sobre o segundo corpo (ação) e o segundo corpo exerce uma força com mesma intensidade, mesma direção e sentido contrário (reação). Apesar de as forças de ação e reação apresentarem a mesma intensidade, os efeitos pro- duzidos por elas dependerão da massa e das caracteŕısticas de cada corpo. Essas leis de Newton citadas acima, também são usadas para explicar o movimento dos astros e efeitos sobre os corpos próximos a eles, através da lei da gravitação universal. 6 1.1.4 Determinação das órbitas Embora reconhecendo que algum tipo de força mantia os planetas em órbita, Kepler não explicou de uma forma satisfatória que tipo de força seria. Estudando as Leis de Kepler, Issac Newton deu uma explicação completa ao movimento e a forma de como as forças atuam. Combinando suas leis de movimento e a gravitação universal, Newton demonstrou que a trajetória de um corpo celeste em relação ao outro é uma secção cônica, cuja forma é determinada pela excentricidade. Secção cônica, são curvas obtidas pela intersecção de um plano com um cone circular reto, resultando em quatro tipos de curvas (ćırculo, eĺıpse, parábola e hipérbole). A figura 1.2 ilustra a intersecção de um plano com um cone circular resultando nas curvas cônicas citadas acima. Figura 1.2: Figura ilustrando as curvas cônicas, (a) ćırculo, (b) eĺıpse, (c) parábola e (d) Hipérbole. O fator que determina o tipo de órbita é a energia orbital total do sistema, que é formada pela energia cinética e pela energia potencial, como expressa a equação abaixo. Eorb = 1 2 v2 − µ r (1.7) Sendo µ o parâmetro gravitacional igual a µ = G(M +m), r a distância entre os corpos e v a velocidade do corpo em órbita. A energia orbital pode ser escrita em termos de excentricidade (e) e momento angular (h), como expressa a seguinte equação: Eorb = − 1 2 µ2 h2 (1− e2) (1.8) A trajetória que um corpo percorre ao redor de um outro corpo sob a influência de alguma força é denominada órbita, podendo ser classificada como: circular, eĺıptica, pa- rabólica e hiperbólica. Se em uma interação entre dois corpos a energia for negativa (Eorb < 0), a órbita resultante será uma órbita circular ou eĺıptica. Em uma órbita circular a distância e velocidade são constantes e em uma órbita eĺıptica a distância e velocidade variam. Em uma órbita eĺıptica, a distância varia entre um valor máximo e um mı́nimo: será máximo no apocentro e mı́nimo no pericentro. A velocidade em uma órbita eĺıptica é maior quando se aproxima do centro de atração e menor quando se afasta 9 do centro de atração. Em direção ao apocentro o movimento é retardado e em direção ao pericentro o movimento é acelerado. Em mecânica celeste, uma órbita em que um corpo se move para longe de sua origem, com velocidade relativa ao corpo central tendendo à zero e distância orbital tendendo ao infinito são consideradas como órbita de escape, dentre as órbitas citadas acima duas se enquadram nesta classificação, sendo elas: órbita parabólica e órbita hiperbólica. Em uma órbita parabólica a energia orbital é zero (Eorb = 0), o corpo em órbita se aproxima do centro de atração tendo movimento acelerado, mas se afasta do centro tendendo para o infinito, o que ocorre também em uma órbita hiperbólica, porém a energia orbital é positiva (Eorb > 0). 1.2 Fórmula de Chandrasekhar 1.2.1 Fricção dinâmica Segundo Chandrasekhar (1943), a fricção dinâmica é uma pura interação gravitacional entre um objeto de massa M e vários outros objetos mais leves de massa (m). Estas interações gravitacionais são caracterizadas pela desaceleração do objeto de massivo M enquanto que algumas part́ıculas mais leves de massa m se acumulam atrás do objeto de massivo. A figura 1.2.1 ilustra o acúmulo de part́ıculas de baixa massa atrás da trajetória de um objeto massivo causando a desaceleração desse corpo. Figura 1.3: Figura representando o efeito de fricção dinâmica, conforme a part́ıcula massiva se desloca (figura a direita) se forma um excesso de part́ıculas mais leves atrás de sua trajetória (Aceves & Colosimo, 2006) 1.2.2 Fórmula de Chandrasekhar Um estudo para o cálculo do efeito da fricção dinâmica é considerar encontros hiperbólicos keplerianos entre dois corpos. Esta análise foi realizada pelo f́ısico Subramanyan Chan- drasekhar, que deduziu uma equação para um corpo que se move através de um plano 10 estelar (Aceves & Colosimo, 2006). Usando o esquema ilustrado pela figura 1.4, podemos expressar o efeito de fricção dinâmica em termos de aceleração para um objeto massivo se movendo através de um meio formado por part́ıculas mais leves que possuem as mesmas propriedades f́ısicas (distribuição isotrópica) e em termos de aceleração para um objeto massivo se movendo através de um meio formado por part́ıculas mais leves que possuem velocidades diferentes devido a colisões com outras part́ıculas (distribuição maxwelliana). O efeito de fricção dinâmica em termos de aceleração para um objeto massivo se mo- vendo em uma distribuição isotrópica é expressa pela equação 1.9 e para uma distribuição maxwelliana é experessa pela equação 1.10. Figura 1.4: Figura representando as componentes de velocidades paralela ∆V‖ e perpendicular ∆V⊥ de um corpo em uma trajetória, r é a distância entre os corpos, b é o maior parâmetro de impacto, bmin o menor parâmetro de impacto, θ é o ângulo de dispersão e α é o ângulo relacionado com a excentricidade da órbita ( Aceves & Colosimo, 2006) d~vM dt = −16π2 ln(Λ)G2m(M +m) ∫ vM 0 f(vm)v 2 mdv v3M ~vM (1.9) d~vM dt = −4πG 2mmρ ln Λ v3M [ erf(X)− 2X√ π e−X 2 ] ~vM (1.10) Nas equações 1.9 e 1.10, mm é a massa do objeto de baixa massa, f(vm) é densidade numérica de part́ıculas, G a constante gravitacional, vM a velocidade do objeto massivo e vm a velocidade do objeto de baixa massa, ρ a densidade do objeto massivo e ln(Λ) é o logaritmo de Coulomb, definido como: ln Λ = bV 20 G(M +m)2 (1.11) Sendo V0 a velocidade do objeto massivo e b o maior parâmetro de impacto. O parâmetro de impacto é a distância perpendicular entre o vetor velocidade de um corpo 11 Figura 1.6: Imagem da galáxia NGC 4676, par de galáxia em processo de interação, imagem ilustrando estruturas em forma de caudas (esquerda e direita da imagem) e ponte de matéria (na região central) conectando as duas galáxias, estrutura resultante do efeito de maré gravitacional (Imagem dispońıvel em www.hubblesite.org). ilustra a figura 1.7, onde o halo das galáxias é menos massivo que os modelos A0, A1 e A2, podemos perceber que as caudas e pontes de matéria interestelar possuem diferentes comprimentos e quantidade de matéria. Nos modelos da Figura 1.7, podemos observar que dependendo da intensidade do halo, os modelos de galáxias apresentam efeitos de deformação diferentes. Se compararmos o modelo A0 com os outros modelos, podemos observar que o modelo A0 apresenta um efeito de deformação menor em relação aos outros modelos, porque a intensidade do halo desse modelo é mais intensa do que dos outros modelos e isso impede com que as part́ıculas desses modelos sofram um efeito de deformação maior. O material contido na região mais distante da interação é ejetado pela força de maré gravitacional em trajetória curviĺınea, formando as caudas, e o material contido na região mais próxima da interação é atráıdo pela galáxia companheira, dando origem a pontes de matéria entre as galáxias enquanto se separam temporariamente. Embora as pontes de matéria sejam desfeitas quando as galáxias se aproximam, as caudas podem permanecer e aumentar durante um certo tempo (Toomre, 1972). 14 Figura 1.7: A figura ilustra os diferentes comprimentos e quantidade de massa de caudas e pontes em uma simulação de evolução temporal dos modelos de galáxias A, B e C (Springel & White, 1998). 1.3.1 Efeito de fricção dinâmica em interações de galáxias Segundo White (1978) durante o processo de interação as galáxias estão sujeitas a alguns efeitos de acordo com o ambiente em que se encontram, tais como formação de caudas e pontes de matéria, fusão e canibalismo galáctico que são considerados casos especiais da ação de friccão dinâmica e o decaimento orbital. O canibalismo galáctico é um fenômeno que ocorre em uma interação de galáxias de massas diferentes, onde a velocidade relativa é entorno de 700 km/s. Quando uma galáxia muito grande interage com uma galáxia muito menor, a força de maré gravitacional da galáxia maior destroi a estrutura da galáxia menor e esta será incorporada pela galáxia maior. Nesta interação, estruturas anelares são formadas na galáxia principal (dominante) ao ser atravessada pela outra galáxia, como ilustrado na figura 1.8. Se em uma interação, as galáxias se aproximam com velocidade suficiente baixa, entorno de 300 km/s, o destino desta interação é uma fusão. Nesta interação as 15 galáxias evitam a disrupção por maré, a galáxia satélite vai orbitar entorno da galáxia principal transferindo parte de sua energia por fricção dinâmica. Figura 1.8: Imagem da galáxia roda de carruagem (Cartwheel), galáxia resultante de uma interação por canibalismo galáctico. A direita um par de galáxias em interação, a galáxia localizada no canto superior (amarela) terá sua estrutura destruida e incorporada pela galáxia situada no canto inferior (azul) e a esquerda a galáxia roda de carruagem. Podemos observar a estrutura anelada formada na galáxia principal após ser atravessada pela outra galáxia (Imagem dispońıvel em www.hubblesite.org). Durante a interação, a galáxia satélite transfere parte de sua energia orbital e massa para a galáxia principal por meio do efeito de fricção dinâmica (White, 1978). Parte da matéria transferida para a galáxia principal será incorporada a ela, e outra parte perma- necerá localizada entre as duas galáxias (ponte de matéria), como pode ser observado na figura 1.9. Essa ponte de matéria, acompanha o movimento da galáxia satélite e aumenta o efeito de fricção dinâmica, resultando na ruptura parcial da galáxia satélite enquanto esta orbita a galáxia principal (Coroa, Muzzio & Vergne, 1997). Devido à transferência de energia, a órbita da galáxia satélite decai, podendo tornar-se uma órbita de energia negativa, até as galáxias se fundirem. Com o aumento da força de fricção dinâmica, aumenta-se a quantidade de matéria transferida para a galáxia principal, resultando no aumento da desaceleração da galáxia satélite. A desaceleração da galáxia satélite causada por parte da matéria transferida é definida pela somatória da massa transferida para a galáxia principal e da massa remanes- cente na galáxia satélite. Essa desaceleração é expressa como (Fujii, Funato & Makino, 2006): a = 1 Ms ∑ i ∑ j fij (1.13) 16 ponto localizado a uma distância (r) do centro de um sistema esférico de massa (M) , considerando que toda massa do sistema esférico estivesse concentrada no centro dessa distribuição, podemos expressar o potencial como: φ = −GM r (1.15) G é a constante gravitacional. Figura 1.11: Diagrama ilustrando o segundo teorema de Newton, sendo respectivamente p e p′ os poten- ciais, a o raio da casca esférica, R0 a distância do potencial p em relação ao centro da casca esférica de massa M (Binney & Tremaine, 2008). 19 1.4 Simulação numérica de N- corpos (GADGET-2) Simulação numérica de N- corpos, consiste em projetar um modelo computacional que cor- responda a uma situação real, com o propósito de entender ou descrever o comportamento do sistema observado, de construir hipóteses ou teorias e de prever o comportamento fu- turo desse sistema. Na astronomia, a simulação numérica de N-corpos é uma ferramenta importante, pois nos fornece informações de processos f́ısicos subentendido nos sistemas estelares que ocorrem em escalas de tempo que duram cerca de bilhões de anos, como por exemplo, a interação de galáxias. A figura 1.12 ilustra uma simulação numérica da interação entre as galáxias Via Láctea e Andrômeda. Figura 1.12: Figura ilustrando a simulação numérica de N- corpos da interação entre as galáxias Andrômeda (parte superior) e a Via Láctea (parte inferior), por meio desta figura podemos observar a evolução da interação (Binney & Tremaine, 2008). Entre os diversos programas dispońıveis para simulação numérica de N- corpos em dinâmica estelar, temos o GADGET (GAlaxies with Dark matter and Gas intEracT). O GADGET, é um programa livre, distribuido sob GNU (General Public License) desen- volvido por Volker Springel. 20 A primeira versão do GADGET foi desenvolvida como parte do projeto de doutorado de Volker Springel, sob a orientação de Simon White e foi publicada em março de 2000. Esta primeira versão do GADGET, foi aperfeiçoada durante o pós-doutorado de Springel Volker, com a orientação de Simom e colaboração de Lars Hernquist e foi publicada em maio de 2005 como GADGET-2. O GADGET-2, é um código escrito em linguagem de programação C, e calcula as forças gravitacionais com um algoŕıtmo TREECODE, baseado na f́ısica não colisional e repre- senta fluidos por meio da técnica de hidrodinâmica das part́ıculas suavizadas (Smoothed Particle Hydrodynamics SPH). A técnica de SPH é um método computacional utili- zado para a simulação de fluidos e tem sido muito usada na astrof́ısica, nas pesquisas de simulação de galáxias. Na simulação de galáxias, esta técnica nos permite estudar a dinâmica dos flúıdos a as forças que atuam sobre eles. O método TREECODE é uma técnica para se calcular a força que uma part́ıcula exerce em uma outra part́ıcula e procura analisar a interação de part́ıculas próximas ao invés de interação de part́ıculas distantes. O GADGET-2 é um programa capaz de calcular a força gravitacional que age nas componentes (matéria escura, gás e estrelas) de um sistema formado por N part́ıculas e simular sua evolução temporal. Os dados iniciais da simulação são organizados em blo- cos, cada um contendo uma determinada informação sobre o modelo gerado, como por exemplo, existe um bloco para as coordendas espaciais e velocidade, massa, potencial, densidade, etc. Os procedimentos normalmente realizados para preparação e execução da simulação são: geração dos modelos, escolha dos parâmetros orbitais e a execução da simulação. Na geração de modelos, as galáxias são geradas de acordo com a morfologia observada, como por exemplo, uma galáxia, no caso das discoidais, é composta por halo, bojo e disco. Essas componentes na simulação numérica são modeladas por part́ıculas, cada componente será composta por um número de part́ıculas. Na escolha dos parâmetros orbitais, fornecemos velocidade e posição iniciais de cada objeto estudado. Após a geração dos modelos e a escolha dos parâmetros orbitais, executa-se a simulação e o sistema estudado é evolúıdo. Com o término da simulação, analisa-se os resultados, podendo comparar com dados observados ou calculados. 21 Figura 2.1: Figura ilustrando momentos da simulação realizada utilizando o GADGET-2. Na primeira figura, a galáxia na parte superior da imagem é a galáxia principal e na parte inferior da imagem é a galáxia satélite. Utilizando os dados de entrada da distância de pericentro e de distância inicial, o programa calcula o ângulo θ formado entre o vetor de distância inicial e abscissa (ou ordenadas) por meio da equação θ = 2atan(− √ (rini/q − 1)) +π/2 para determinar as co- ordenadas espaciais (x, y), que são determinadas, respectivamente, por meio das equações rinicos(θ) e rinisin(θ). Para determinar as componentes de velocidade inicial, calcula-se o 24 ângulo φ formado entre os vetores de distância inicial (rini) e velocidade na distância ini- cial (Vr) para depois calcular as componentes de velocidade inicial (vx, vy). O ângulo (φ) é determinado pela equação (θ−π−(asin(h/(riniVr))), e calculando este ângulo determina- se as componentes de velocidade inicial (vx, vy) utilizando as equações (vx = Vrcos(φ)) e (vy = Vrsin(φ)). Neste programa utilizou-se como dados de entrada a distância de pericentro (q) de 3 kpc e distância inicial (rini) de 100 kpc para obter os valores para as coordenadas de posição e velocidade iniciais (x, y). As massas para o cálculo usados também como dados de entrada estão descrita na tabela 2.1. As unidades deste programa para distância, velocidade e massa são, respectivamente: parsecs (pc), quilômetro por segundo (km/s) e massa solar. Cada unidade de distância equivale a 1 kpc e cada unidade de velocidade Tabela 2.1: Condições iniciais do programa Massa da galáxia principal 9.52401× 1011M⊙ Escala radial de Hernquist 29.7754 kpc Massa da galáxia satélite 1.68959× 1011M⊙ Posição inicial da galáxia satélite (x, y) (241.0142, -41.39962) Velocidade inicial da galáxia satélite (vx, vy) (-168.786, 37.4468) equivale a 1 km/s. Figura 2.2: Figura ilustrando o plano da órbita do programa, sendo a galáxia principal representada pelo objeto gp e a galáxia satélite representada pelo objeto gs (Barnes, 1988). Determinando as condições iniciais do programa como descrito na tabela 2.1, o pro- grama irá calcular três órbitas. A primeira órbita será a órbita parabólica Kepleriana, nesta órbita não consideramos a massa da galáxia principal como massa acumulada, mas como puntual. Para o cálculo 25 da aceleração entre a galáxia principal e satélite usamos a equação ac = GM/r 2, nesta equação M é a massa da galáxia principal e r a distância entre as galáxias. A segunda órbita será a trajetória calculada sem a interferência do efeito de fricção dinâmica, nesta órbita consideramos a massa da galáxia principal como massa acumulada e usamos as mesmas equações para o cálculo da órbita com a interferência do efeito de fricção dinâmica, mas sem adicionar a equação 1.10 que expressa o termo do efeito de fricção dinâmica. A terceira órbita será a órbita com a interferência do efeito de fricção dinâmica dado pela equação 1.10. Nesta órbita, consideramos a massa da galáxia principal como massa acumulada e usamos a equação M(r) = Mr2/(r+a)2 para inserir no cálculo dessa órbita a massa acumulada da galáxia principal, sendo r a distância entre as galáxia, M a massa da galáxia principal e (a) escala radial de Hernquist. A aceleração entre a galáxia principal e satélite é determinada pela equação ac = −GM(r)/r2, sendo M(r) a massa acumulada da galáxia principal, como esta órbita é afetada pelo efeito de fricção dinâmica, a aceleração desse sistema será a soma da aceleração entre a galáxia principal e satélite e a aceleração dada pela fórmula de Chandrasekhar (equação 1.10). Por utilizarmos cálculo vetorial a equação de aceleração de ambas as órbitas será multiplica pelo vetor unitário, desta forma a equação de aceleração entre a galáxia principal e satélite utilizada nestes cálculos será: ~ac = GM r2 ~r | ~r | (2.2) Usando um integrador temporal do tipo leap-frog, porque os valores de velocidade e posição são calculados de maneira alternada, calculamos a posição em cada órbita. A velocidade é obtida pela soma da velocidade anterior com o produto entre a variação do tempo e a aceleração calculada em cada órbita. Desta forma, a posição e velocidade em cada órbita é calculada como: Cálculo posição ~r(t+ ∆t) = ~r(t) + ∆t~v 2 (2.3) Sendo ~r é a posição, ∆t é o passo do tempo, ~v a velocidade em cada órbita. Cálculo velocidade 26 O perfil de densidade do disco é: ρd(R, z) = Md 4πh2z0 exp(−R/h)sech2( z z0 ) (2.6) Sendo Md a massa do disco, h o comprimento de escala do disco e z0 o comprimento vertical. Tabela 2.2: Condições iniciais do programa Massa da galáxia principal 9.52401× 1011M⊙ Escala radial de Hernquist 29.7754 kpc Fração da massa do disco 0.041 Comprimento de escala do disco 2.45596 kpc Fração da massa do bojo 0.01367 Comprimento da fração do bojo 0.2 kpc Massa da galáxia satélite 1.68959× 1011M⊙ Posição inicial da galáxia satélite (x, y) (241.0142, -41.39962) Velocidade inicial da galáxia satélite (vx, vy) (-168.786, 37.4468) Usando os potenciais de halo e bojo de Hernquist (1990) e disco de Hernquist (1993), obtemos as órbitas ilustradas na Figura 2.4. Comparando as órbitas ilustradas pelas figuras 2.3 e 2.4, podemos perceber que a tra- jetória calculada usando os potenciais de halo, bojo e disco de Hernquist ilustrada pela figura 2.4 não é uma trajetória aberta como ilustrada pela Figura 2.3. A órbita simulada ilustrada na figura 2.4 segue a trajetória dos potenciais de Hernquist e da órbita Keple- riana até aproximadamente na região de pericentro e se desvia após esta região, como esperado. A órbita calculada com a interferência de fricção dinâmica ilustrada na figura 2.4 ainda não demonstrou estar de acordo com esperado, porque não segue uma trajetória seme- lhante à órbita simulada. Nesta órbita, o potencial de halo esférico menor se afasta do potencial de halo esférico maior após a passagem de pericentro, mas volta a se aproxi- mar do potencial de halo esférico maior devido a perda de energia por fricção dinâmica, tornando-se uma órbita fechada de energia orbital negativa e o potencial de halo esférico menor segue uma trajetória eĺıptica após algumas passagens pelo pericentro, mas por er- ros de cálculo, ganha energia e se afasta do potencial de halo esférico maior. Ao compararmos a massa total do halo da galáxia utilizada no programa com a massa do halo do modelo de galáxia da simulação, percebemos uma diferença de massa, esta diferença pode ser verificada por meio do gráfico 2.5. 29 Figura 2.4: Este gráfico ilustra a sobreposição das órbitas Kepleriana, sem e com fricção dinâmica cal- culadas usando os potenciais de halo e bojo de Hernquist (1990) e disco de Hernquist (1993) e a órbita simulada. Todas as trajetórias se iniciam na mesma distância e permanecem com o mesmo trajeto até a distância (aproximadamente) do pericentro, após a passagem do pericentro as trajetórias se deviam. Figura 2.5: Gráfico ilustrando a diferença de massa entre o modelo simulado e o programa. 30 Afim de resolver esta diferença de massa, verificamos que a massa total do halo no pro- grama é calculado como a diferença entre a massa total da galáxia (halo, bojo e disco), a massa do disco e a massa do bojo. Isto quer dizer que, a massa total do halo está contida até o raio virial, mas ao utilizarmos este cálculo da massa total do halo no programa, a massa que o halo acumula até o raio virial vai ser menor que a massa total do halo do modelo simulado, por isso a diferença de massa ilustrada no gráfico 2.5. Para resolver este problema de diferença de massa, e fazer com que a massa do halo da galáxia das órbitas calculadas tenha a mesma massa da galáxia simulada, multiplicamos a massa acumulada por: M(r) = Mhr 2 (r + a)2 (2.7) Sendo M(r) a massa contida até o raio r, Mh a massa do halo da galáxia principal, r a distância entre os corpos e a a escala radial do modelo. Comparamos novamente as massas das galáxias e obtemos o gráfico 2.6. Por meio deste gráfico, podemos observar que não há mais a diferença de massa como ilustra pelo gráfico 2.5. Figura 2.6: Este gráfico ilustra a correção da diferença de massa entre o modelo de galáxia simulado e a massa da galáxia utilizada no programa. Utilizando as mesmas condições iniciais citadas na tabela 2.2 e acrescentando o raio virial e a fração de massa do buraco negro, citadas na tabela 2.3 obtemmos o gráfico 2.7. Neste gráfico, podemos observar que a órbita com o efeito de fricção dinâmica está se direcionando para o centro do sistema, ao invés de seguir uma trajetória semelhante a 31 Figura 2.8: Este gráfico ilustra a sobreposição das três órbitas calculadas e a órbita simulda utilizando o valor do logaŕıtmo de coulomb como o logaŕıtmo natural da razão entre a distância entre as galáxias e a escala radial. órbita da galáxia satélite simulada é uma órbita de energia negativa, o que deveria ocorrer também com a órbita calculada com a interferência do efeito de fricção dinâmica. Ao compararmos a órbita simulada com a órbita calculada com o efeito de fricção dinâmica no gráfico 2.8, podemos perceber que, a órbita calculada com o efeito de fricção dinâmica não é uma órbita de energia negativa. Neste gráfico, a galáxia satélite se apro- xima da galáxia principal, mas não transfere parte de sua energia e por isso ela não orbita entorno da galáxia principal. Na simulação numérica, podemos analisar que os modelos de galáxia se iniciam a uma determinada distância e devido a força gravitacional que uma galáxia exerce sobre a outra, elas se deslocam uma em direção a outra. O efeito de fricção dinâmica ocorre, quando na aproximação uma galáxia atravessa a outra. Desta forma a part́ıcula massiva contida no sistema se move através de um meio formado por part́ıculas de baixa massa. Com base nessa informação e comparando a órbita calculada com a interferência do efeito de fricção dinâmica e a órbita simulada dos gráficos 2.7 e 2.8, podemos perceber que até aproximadamente a região de pericentro, a órbita calculada com o efeito de fricção dinâmica, a órbita simulada, a órbita sem o efeito de fricção dinâmica e a órbita kep- 34 keriana são semelhantes , nessa região não ocorre o efeito de fricção dinâmica, porque a galáxia satélite está se aproximando da galáxia principal, após a região de pericentro, as trajetórias tornam-se diferentes. Uma explicação para este fato, é que nessa região uma galáxia atravessa a outra, ocorrendo o efeito de fricção dinâmica. Na órbita simulada, podemos observar que, a galáxia satélite se aproxima da galáxia principal, ocorre o efeito de fricção dinâmica e a órbita torna-se uma órbita de energia negativa, porque há trans- ferência de energia. Na órbita calculada com o efeito de fricção dinâmica, podemos verificar que no gráfico 2.7, a galáxia satélite se aproxima da galáxia principal e se encerra antes da passagem de pericentro e no gráfico 2.8 a galáxia satélite se aproxima da galáxia principal, passa pela região de pericentro e se afasta da galáxia principal como se não houvesse a interferência do efeito de fricção dinâmica, pois esta não apresenta uma órbta de energia negativa. Nas outras duas órbitas, kepleriana e sem fricção dinâmica após a região de pericentro seguem sua trajetória natural (órbita de energia nula). Uma hipótese para tentar resolver este problema, é considerar a massa de part́ıculas na equação de fricção dinâmica. Como a massa de part́ıcula de cada componente (halo, bojo, disco e gás) é calculada como a razão entre a massa de cada componente e o número de part́ıculas utilizada para modelar cada componente, surgiu a hipótese de consider a massa de part́ıcula da região achatada galáxia principal como a razão entre a massa do halo da galáxia principal e a somatória de part́ıculas usadas para modelar as componetes de disco, bojo e gás do modelo de galáxia, como descreve a equação abaixo: mpgal = MH ΣN (2.9) Sendo mpgal a massa de part́ıcula da região achatada da galáxia principal, MH a massa do halo da galáxia principal e ΣN a somatória de part́ıculas (disc, bojo e gás). Somamos as part́ıculas, porque o GADGET-2 faz a distinção entre os diferentes tipos de part́ıculas, mas na medida em que a gravidade é afetada, todos os tipos de part́ıculas são tratadas de modo equivalente pelo código, desta forma surgiu a hipótese de somar as part́ıculas de cada componente para tentar representar essa equivalencia pelo código. Não inclúımos nessa somatória de part́ıculas as part́ıculas do halo, porque se analisarmos a simulação, a galáxia satélite colide com a região achatada da galáxia principal, o disco. Nessa região, além do gás que é uma componente presente em toda a galáxia, encontra- se também o bojo, por isso somamos apenas as part́ıculas dessas três componentes. O número de part́ıculas usadas em cada componente para modelar os modelos de galáxias utilizado na simulação está descrito na tabela 2.4. A hipótese de considerar a massa de part́ıcula da galáxia principal ao invés da massa 35 Tabela 2.4: Componentes do modelo Componente Qtde. de part́ıculas Halo 30 000 Disco 20 000 Gás 20 000 Bojo 10 000 da galáxia satélite na equação de fricção dinâmica, surgiu ao comparar o cálculo da ace- leração gravitacional, a simulação realizada e ao analisar a definição do efeito de fricção dinâmica. No cálculo da aceleração gravitacional, podemos analisar que a aceleração não depende da massa do objeto menor (galáxia satélite), mas depende da massa do objeto maior (galáxia principal) e como o efeito de fricção dinâmica é um efeito de desaceleração, criamos uma hipótese de considerar no cálculo do efeito de fricção dinâmica a massa da galáxia principal ao invés da massa da galáxia satélite, desta forma o efeito de fricção dinâmica dependeria das propriedades de massa e densidade da galáxia principal. Na simulação numérica de N-corpos, podemos analisar que a galáxia satélite se apro- xima da galáxia principal e atravessa a mesma. Analisando este fato, surgiu a hipótese de usar a massa de part́ıculas da região achatada da galáxia principal na equação de fricção dinâmica ao invés da massa da galáxia principal para tentar representar o meio de part́ıculas no qual a galáxia satélite atravessaria, desta forma o efeito de fricção dinâmica poderia ser mais eficaz. Analisando a definição do efeito de fricção dinâmica, surgiu a hipótese de ao invés de representar o meio formado por part́ıculas de baixa massa usando a massa da galáxia satélite, usar a massa de part́ıcula da galáxia principal para representar um meio formado por part́ıculas massivas. A hipótese surgiu, porque o efeito de fricção dinâmica ocorre quando uma part́ıcula massiva se move através de um meio formado por part́ıculas de baixa massa, ocasionando o efeito de desaceleração desse corpo massivo devido ao acúmulo de part́ıculas atrás de sua trajetória. Como um corpo massivo sofre um efeito de desace- leração quando viaja através de um meio formado por part́ıculas de baixa massa, surgiu a hipótese de que se part́ıculas de baixa massa viajasse através de um meio formado por part́ıculas massivas, o acumulo de part́ıculas de baixa massa poderia ocorrer do mesmo jeito. Como um objeto massivo exerce uma força gravitacional atraindo as part́ıculas de baixa massa em sua direção supomos que se um meio formado por part́ıculas de baixa massa, viajasse através de um meio formado por part́ıculas massivas, essas part́ıculas massivas exerceriam forças gravitacionais que atrairiam part́ıculas de baixa massa em suas direções e conforme esse meio formado por part́ıculas de baixa massa se deslocasse, formaria uma ponte de part́ıculas de baixa massa devido a força gravitacional exercida 36 Figura 2.10: Gráfico ilustrando a trajetória da galáxia satélite, neste gráfico consideramos a densidade numérica de part́ıculas como a razão entre a massa do halo e a somatória de part́ıculas utilizada no modelo de galáxia com ln Λ = 2.4. hipótese para esta diferença de trajetória, pode ser a diferença de aproximação entre as duas órbitas,isto é, quando elas se aproximam da galáxia principal. No gráfico 2.11, po- demos observar que a órbita da galáxia satélite simulada, se aproxima mais da galáxia principal do que a órbita calculada com o efeito de fricção dinâmica. Provavelmente essa diferença de aproximação pode ter refletido na área colidida e na intensidade da interferência do efeito de fricção dinâmica. Se fizermos uma comparação entre as trajetória das duas órbitas, simulada e calculada, com o momento da simulação em que a galáxia satélite colide com a galáxia principal, podemos supor que, por se apro- ximar mais da galáxia principal do que a órbita calculada, provavelmente a região da galáxia satélite que colide com a galáxia principal na órbita simulada é maior do a região que colide na órbita calculada com o efeito de fricção dinâmica, e isto pode ter refletido na intensidade da interferência do efeito de fricção dinâmica. Se considerarmos que, a área da galáxia satélite colidida na órbita simulada é maior do que na órbita calculada com fricção, provavelmente a interferência do efeito fricção dinâmica será mais intensa na órbita simulada do que na órbita calculada com fricção dinâmica. Sofrendo uma interferência mais intensa do efeito de fricção dinâmica, a galáxia 39 satélite na órbita simulada, sofre um efeito de desaceleração maior do que na órbita cal- culada, e isto permite com que a atuação da força gravitacional exercida pela galáxia principal interfira mais na trajetória da galáxia satélite na órbita simulada do que na órbita calculada com fricção dinâmica. Figura 2.11: Gráfico ilustrando a ampliação do gráfico 2.10. Neste gráfico podemos observar a trajetória da galáxia satélite após a região de pericentro com a interferência do efeito de fricção dinâmica, resultando em uma órbita de energia negativa. 40 Uma outra hipótese também para este problema, é a inclinação do disco da galáxia satélite na simulação após a primeira colisão com a região achatada da galáxia principal. Por meio da figura 2.12, podemos observar que após se colidir com a região achatada da galáxia principal, o disco da galáxia satélite na simulação muda de inclinação. Com mudança da inclinação do disco, o sentido rotacional da galáxia também muda e a direção da trajetória da galáxia satélite sobre uma alteração. Essa alteração de inclinação do disco, pode ser também o motivo da diferença entre as duas órbitas (calculada com a interferência do efeito de fricção dinâmica e simulada) após a região de pericentro. Figura 2.12: Figura ilustrando momentos da simulação. Por meio desta figura podemos observar a mudança de inclinação do disco da galáxia satélite. A seta ao lado da galáxia satélite indica o sentido da rotação da galáxia. Se compararmos a figura 2.1 com a órbita simulada ilustrada nos gráficos anteriores, podemos notar que a galáxia satélite se aproxima da galáxia principal, colide com a região achatada da galáxia principal e se afasta. Com a mudança da inclinação do disco, o plano da órbita da galáxia satélite sobre uma alteração, a galáxia satélite se afasta em direção ao eixo Y e depois de um certo instante volta a se aproximar da galáxia principal. Se compararmos a órbita calculada com o efeito de fricção dinâmica com a simulação e com a órbita simulada, podemos notar que no cálculo realizado, a galáxia satélite se aproxima da galáxia principal, se afasta em direção ao eixo X e volta a se aproximar da galáxia principal. Analisando este fato, supomos que na órbita calculada com fricção dinâmica, o plano do disco da galáxia satélite não sobre alteração. Por meio desta análise, supomos que provavelmente o sentido rotacional da galáxia satélite permanece o mesmo e o sentido 41 Referências Bibliográficas [1] Aceves, Héctor; Colosimo, Maria. Dynamical friction in stellar systems: An introduc- tion,Méxco, p.2-9, 2006. [2] Barnes, Joshua E. Encounters of disk and halo of galaxies, Princeton, v.331, p.699-717, 1988. [3] Binney, James; Tremaine, Scott. Galactic Dynamics, 2oed, Princeton University Press, Princeton,p.1-857, 2008 [4] Bontekoe, Tj.R; Van Albada, T.S. Decay of galaxy satellite orbits by dynamical friction, Groningen, v.224, p.349-366, 1987. [5] Chandrasekhar, S. Dynamical friction.I.General considerations: The coefficient of dyna- mical friction, v.97, p.255-262, 1943. [6] Coroa, Sofia A.; Muzzio, Juan C.; Vergne, M.Marcela. Orbital decay of galactic satellites as a result of dynamical friction, La Plata, v.289, p.253-262, 1997. [7] Curtis, Howard D. Orbital Mechanics for Engineering Students, Florida, Editora Elsevier, p.1-661, 2005. [8] Ducan, M.J.; Farouki, R.T; Shapiro, S.L. Simulations of galaxy mergers-Cannibalism and dynamical friction, New York, v.271, p.22-31, 1983. [9] Fujii, Michiko; Funato, Yoko; Makino, Junichiro. Dynamical friction on satellite galaxies, Tokyo, v.58, p.743-752, 2006. [10] Hernquist, Lars. An analytical model for spherical galaxies and bulges, Princeton, v.356, p.359-364, 1990 [11] Oliveira Filho, Kepler de Sousa; Oliveira Saraiva, Maria de Fátima. Astronomia e Astrof́ısica, 2aed, Editora Livraria da F́ısica, São Paulo, p.1-539, 2004. [12] Seguin, P.; Dupraz, C. Dynamical friction in head-on galaxy collisions, Paris, v.310, p.757- 770, 1994. [13] Springel, Volker; White, Simon D.M Tidal tails in cold dark matter cosmologies, Garching bei Munchen, v.307, p.162-178, 1999. 44 [14] Taylor, James E; Babul, Arif it The Dynamics of sinking satellites around disk galaxies, p.715-735, 2001. [15] Toomre, Alar; Toomre, Juri. Galactic bridges and tails, New York, v.178, p.623-666, 1972. [16] White, S.D.M. Simulations of mergin galaxies, California, v.184, p.185-203, 1978. 45