Aplicações e métodos de topologia algébrica em teoria dos grupos, Notas de estudo de Matemática

Baixe Aplicações e métodos de topologia algébrica em teoria dos grupos e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Universidade Estadual de Campinas INSTITUTO DE MATEMÁTICA ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA Departamento de Matemática Aplicações de Métodos de Topologia Algébrica em Teoria de Grupos por Patricia Massae Kitani† Mestrado em Matemática - Campinas - SP Orientadora: Prof. Dra. Dessislava Hristova Kochloukova Junho de 2005 Este trabalho contou com o apoio financeiro da FAPESP †. Aplicações de Métodos de Topologia Algébrica em teoria de Grupos Este exemplar corresponde à redação final da dissertação devidamente corrigida e defendida por Patricia Massae Kitani e aprovada pela comissão julgadora. Campinas, 29 de junho de 2005. Banca examinadora: Prof. Dra. Dessislava Hristova Kochloukova. Prof. Dra. Femanda Soares Pinto Cardona. Prof. Dr. Ketty Abaroa de Rezende. Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Ci- entífica, UNlCAMP como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Mate- mática. Agradecimentos Foram anos de muito estudo, esforço e enfim, estou aqui e graças a ajuda de muitos compa- nheiros que agora venho agradecer. Cada palavra de incentivo e cada ajuda foram muito importante durante estes anos de mestrado. Primeiramente agradeço à minha família que é base de tudo na minha vida, que sempre me incen- tivou nos estudos e mesmo longe, sempre dando forças para seguir adiante. Agradeço muito à minha orientadora Dessislava, pela paciência, disponibilidade e ajuda nos estu- dos. Ainda sou grata a todos os amigos que conquistei durante este período, pelo companheirismo, ajuda nos estudos e alegria nos momentos de descontração. Em especial agradeço: Claudenir, João Eloir e Simão que me ajudaram em todos os momentos com muita paciência. Ao Feodor, João Eloir e Rodolfo agradeço pela ajuda na parte computacional. Um agradecimento especial também ao meu professor de graduação Cifuentes que contribuiu muito na minha formação e apoiou-me a vir para Campinas. Por fim, agradeço a Fapesp pelo apoio financeiro. iii Resumo Este trabalho consistiu no estudo das aplicações de topologia algébrica (recobrimentos, teorema de Van Kampen) em teoria de grupos e também, no estudo detalhado do resultado de R. Bieri, R. Strebel [Proc. London Math. Soc. (3) 41 (1980), no. 3, 439–464], que para um grupo G do tipo FP2, ou G contém subgrupo livre não cíclico ou para qualquer subgrupo normal N C G tal que Q = G/N é abeliano, N/[N,N ] é um ZQ-módulo manso via conjugação. A definição de módulo manso usa o invariante de Bieri-Strebel ΣA(Q), nesse caso A = N/[N,N ]. iv Abstract This work consisted of the study of the applications of algebraic topology (covering maps, Van Kampen theorem) in group theory and also, in the detailed study of a result of R. Bieri, R. Strebel [Proc. London Math. Soc. (3) 41 (1980), no. 3, 439–464], that for a group G of type FP2, either G has a free non-cyclic subgroup or for any normal subgroup N C G such that Q = G/N is abelian,N/[N,N ] is a tame ZQ-module whereQ acts via conjugation. The definition of tame module uses the Bieri-Strebel invariant ΣA(Q), in this case A = N/[N,N ]. v Introdução Neste trabalho estudamos aplicações dos métodos de topologia algébrica em teoria de grupos. A tese é dividida em 3 partes. A primeira estuda propriedades combinatoriais de grupos : grupos livres, grupos finitamente apresentáveis (no sentido que são definidos com número finito de geradores e relações), "push-out"de grupos e grupos livres amalgamados. Os grupos livres amalgamados são partes importantes da teoria de Bass-Serre sobre grupos que agem sobre árvores (veja [11], [6]) mas neste trabalho não abordamos esse assunto. Os métodos usados para desenvolver esse capítulo são combinatoriais e seguimos do livro de Cohen [6], a exposição dessa matéria. A segunda parte trata propriedades básicas de topologia algébrica. A princípio estudamos propri- edades do grupo fundamental e recobrimentos de espaços topológicos. O grupo fundamental de um espaço topológico é um invariante importantíssimo nos estudos de espaços topológicos. No caso de recobrimentos de espaços existe resultado que liga o grupo fundamental da base com o grupo dos au- tomorfismos do recobrimento ( veja teorema 2.11 e corolário 2.8). Estudamos também o Teorema de Van Kampen : sejam X a união de dois espaços U e V que são abertos em X e, X,U, V e U ∩ V são todos conexos por caminhos, então o grupo fundamental de X é o push-out dos grupos fundamentais dos espacos U, V , U ∩ V com aplicações induzidas pela inclusões dos espaços correspondentes (veja teorema 2.12, [9]). No terceiro capítulo estudamos um resultado de Bieri-Strebel ( Teorema 4.1, [4]) : Teorema : Seja G um grupo de tipo homológico FP2 sobre um anel R comutativo e Noetheriano. Seja N um subgrupo normal de G tal que G/N é abeliano. Então ou N contém subgrupo livre não cíclico ou N/[N,N ] é um ZQ-módulo manso via ação de Q induzida pela conjugação. Para um número natural m dizemos que um grupo G tem tipo homológico FPm sobre R se existe resolução projetiva de RG - módulo trivial R, com todos os módulos de dimensão ≤ m finitamente gerados (veja [2]). Neste trabalho nós supomos que R é o anel dos inteiros e que G é finitamente apresentável. Cada grupo finitamente apresentável tem tipo homológico FP2 mas a inversa não vale (isso foi demonstrado recentemente em [1]). No artigo [4] algumas reduções são feitas para chegar no 3 caso de grupos finitamente apresentáveis. Evitamos essas reduções técnicas assumindo que o grupoG é finitamente apresentável (isso não afeta a idéia principal da demonstração). Estudamos o complexo de Cayley Γ̃ de G com respeito a uma apresentação finita de G, G age propriamente descontínuo em Γ̃, e estudamos o recobrimento Γ̃ → Γ = Γ̃/N . Pelos resultados do capítulo 2 o grupo fundamental de Γ é isomorfo a N . A definição de ZQ-módulo manso está ligada com a definição do invariante de Bieri-Strebel (seção 3.4). Um ZQ-módulo A não é manso se existem dois pontos antipodais em S(Q) \ ΣA(Q). Em geral consideramos dois caracteres antipodais de G, com N no núcleo e cada um desses caracteres define um subespaço de Γ. Aplicando o Teorema de Van Kampen sobre esses subespaços (com união Γ) obtemos uma decomposição do grupo N como "push-out". Usando mais reduções podemos assumir que N vira produto livre amalgamado de dois subgrupos M1 e M2 tais que ou um dos grupos é igual a N (nesse caso um dos caracteres define elemento de ΣA(Q) onde A = N/[N,N ]) ou M1 6= N,M2 6= N e não é permitido que [N : M1] = [N : M2] = 2. No último caso N sempre contém um subgrupo livre não cíclico. 4 Capítulo 1 Grupos Livres e Produtos Livres Amalgamados Neste capítulo inicial apresentaremos os conceitos algébricos que serão utilizados durante o capí- tulo posterior. Estaremos definindo grupos livres, grupos finitamente apresentáveis e suas proprieda- des básicas. 1.1 Grupos Livres Definição 1.1. Sejam X um conjunto, G um grupo e i : X −→ G uma aplicação. O par (G, i) é chamado um grupo livre sobre X se para qualquer grupo H e qualquer aplicação f : X −→ H existe um único homomorfismo ϕ : G −→ H tal que f = ϕi. Normalmente chamaremos G de grupo livre, omitindo a aplicação i. Exemplo 1.1. O grupoZ dos números inteiros é livre sobre o conjuntoX = {x} tal que i(x) ∈ {−1, 1}. Exemplo 1.2. O grupo trivial {1} é livre sobre o conjunto vazio. Proposição 1.1. Sejam (G1, i1) e (G2, i2) grupos livres sobre X. Então existe isomorfismo ϕ : G1 −→ G2 tal que ϕi1 = i2. Demonstração: Como (G1, i1) é livre sobre X, o homomorfismo ϕ existe. Analogamente existe um homomorfismo ψ : G2 −→ G1 tal que ψi2 = i1. Então, ψϕi1 = i1 = IdG1i1. Então pela propriedade de grupo livre temos que ψϕ = IdG1 . Do mesmo modo temos que ϕψ = IdG2 e então, ϕ é isomorfismo. ¤ 5 CAPÍTULO 1. GRUPOS LIVRES E PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS 8 Suponhamos que X e Y são infinitos. Neste caso, usando o axioma da escolha temos que |M(X ∪ X)| = |X ∪ X| = |X| e como F (X) é o conjunto das classes de equivalência de M(X ∪ X) temos |F (X)| ≤ |X|. Como i : X −→ F (X) é injetora, |X| ≤ |F (X)|. Então, |X| = |F (X)| = |F (Y)| = |Y|. ¤ Dizemos que um grupo G é grupo livre se é isomorfo a F (X) para algum X. Definição 1.2. Seja G um grupo livre e i : F (X) −→ G um isomorfismo. A imagem de X em G é chamada base de G, e G é chamado de livre sobre a imagem de X. O número cardinal de uma base de G é chamado posto de G. Proposição 1.5. Sejam G um grupo e X um subconjunto de G. As seguintes condições são equiva- lentes: 1. G é um grupo livre com base X. 2. Todo elemento g de G pode ser escrito como um produto xε1i1 x ε2 i2 . . . xεnin para algum n ≥ 0 (n = 0 corresponde a g = 1G), onde xir ∈ X, εr ∈ {−1, 1} e se xir = xir+1 então, εr 6= −εr+1, e este produto é único, isto é, para g fixo, n, xi1 , . . . , xin , ε1, . . . , εn são únicos. 3. G é gerado por X e 1 6= xε1i1 xε2i2 . . . xεnin para todo n ≥ 1 tal que xir ∈ X, εr ∈ {−1, 1} e se xir = xir+1 então, εr 6= −εr+1. Demonstração: Por definição (2) implica (3). (1) implica (2) pois G é isomorfo a F (X) e toda classe [ω] ∈ F (X) tem um único representante ω que é a palavra reduzida. Suponha agora que a condição (3) é assegurada. Consideremos o homomorfismo ϕ : F (X) −→ G que é a identidade sobre X. Como G é gerado por X, o homomorfismo ϕ é sobrejetor. Pela condição (3), Ker(ϕ) é trivial. Então, ϕ é isomorfismo e G é livre com base ϕ(X) = X. ¤ Corolário 1.2. Sejam G um grupo gerado por um subconjunto X e ϕ : G −→ H um homomorfismo tal que ϕ é biunívoca sobre X e ϕ(G) é um grupo livre com base ϕ(X). Então G é livre com base X. Corolário 1.3. Sejam G um grupo livre com base X e Y um subconjunto de X. Então o subgrupo de G gerado por Y é um grupo livre com base Y. 1.2 Geradores e Relações de Grupos Proposição 1.6. Todo grupo é quociente de um grupo livre. CAPÍTULO 1. GRUPOS LIVRES E PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS 9 Demonstração: Seja f : G −→ G a identidade de G; f estende-se a um único homomorfismo F (G) −→ G que é sobrejetivo. ¤ Definição 1.3. Sejam G um grupo, X um conjunto e ϕ : F (X) −→ G um homomorfismo sobrejetor. Então os elementos de ϕ(X) são chamados de geradores de G e os elementos de Ker(ϕ) são cha- mados relações de G (sobre ϕ). 〈X|R〉 é chamado apresentação de G se existe um homomorfismo sobrejetor ϕ : F (X) −→ G tal que R é um subconjunto do núcleo de ϕ e esse núcleo é o menor sub- grupo normal de F (X) que contém R. O núcleo é chamado fecho normal de R em F (X) é denotado por Ker(ϕ) = 〈RF (X)〉 = 〈{rf | r ∈ R, f ∈ F (X)}〉 ⊆ F (X); onde rf = f−1rf . Se ambos X e R são conjuntos finitos dizemos que a apresentação é finita. Também escrevemos 〈R〉F (X) para 〈RF (X)〉. Observamos que G é finitamente apresentável se G ∼= F (X)〈RF (X)〉 , onde X é um subconjunto finito de G. Exemplo 1.3. O grupo F (X) tem apresentação 〈X|∅〉. Exemplo 1.4. X = {x}, R = ∅. Aqui F (X) é cíclico, infinito e 〈X|R〉 = G ∼= F (X)〈RF (X)〉 ∼= Z. Exemplo 1.5. X = {x}, R = {xn} 〈x|xn〉 é uma apresentação do grupo cíclico de ordem n. 〈x|xn〉 = G ∼= F (X)〈RF (X)〉 ∼= Zn Teorema 1.7. (Teorema de von Dyck) Sejam G e H grupos, ϕ : F (X) −→ G um homomor- fismo sobrejetor que dá apresentação 〈X|R〉 de G, f : X −→ H uma função e θ : F (X) −→ H o homomorfismo que estende f . Se θ(r) = 1 para todo r ∈ R então existe um homomorfismo ψ : G −→ H tal que f(x) = ψϕ(x) para todo x ∈ X. Demonstração: Já temos assegurado que R ⊆ Ker(θ) e, desde que Ker(ϕ) é, por definição, o subgrupo normal gerado por R, vemos que Ker(ϕ) ⊆ Ker(θ). Segue que o homomorfismo desejado ψ pode ser definido fazendo ψ(g) como θ(y) para qualquer y ∈ F (X) tal que ϕ(y) = g. ¤ Definição 1.4. Seja 〈X|R〉 uma apresentação de um grupo G que é associada a um epimorfismo ϕ : F (X) −→ G. Então, 〈X|R ∪ S〉 é uma apresentação de G associada também a ϕ, onde S é um subconjunto do fecho normal de R em F (X). Dizemos que 〈X|R ∪ S〉 é obtida a partir da apresen- tação 〈X|R〉 por uma transformação geral de Tietze de tipo I e que 〈X|R〉 é obtido da apresentação 〈X|R∪ S 〉 por uma transformação geral de Tietze do tipo I ′. Se S tem um só elemento dizemos que estas transformações são simples. CAPÍTULO 1. GRUPOS LIVRES E PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS 10 Definição 1.5. Sejam Y um subconjunto de G tal que X ∩ Y = ∅ e uy um elemento de F (X) para todo y ∈ Y. Então temos uma apresentação 〈X ∪ Y|R ∪ {yu−1y |y ∈ Y}〉 de G que é associada a um homomorfismo ψ : F (X ∪ Y) −→ G cuja restrição sobre F (X) é ϕ e ψ(y) = ϕ(uy). Dizemos que 〈X∪Y|R∪ {yu−1y |y ∈ Y}〉 é obtida a partir de 〈X|R〉 por uma transformação geral de Tietze do tipo II e que 〈X|R〉 é obtida de 〈X ∪ Y|R ∪ {yu−1y |y ∈ Y}〉 por uma transformação geral de Tietze do tipo II ′. Se Y contém um só elemento dizemos que estas transformações são simples. Observação 1.1. O núcleo de ψ é o fecho normal N de R ∪ {yuy−1}y∈Y em F (X ∪ Y). É claro que N é um subconjunto do núcleo de ψ. Então ψ induz um homomorfimo π : F (X ∪ Y)/N −→ G e pelo Teorema de Von Dyck existe um homomorfismo θ : G −→ F (X ∪ Y)/N que envia ϕ(x) a classes de x em F (X ∪ Y)/N para cada x ∈ X. Então πθ e θπ são identidades de G e F (X ∪ Y)/N respectivamente. Teorema 1.8. Duas apresentações de um grupo G podem ser obtidas uma da outra por uma sequên- cia de transformações gerais de Tietze. No caso onde ambas as apresentações serem finitas, as transformações podem ser escolhidas simples. Teorema 1.9. Seja G um grupo com duas apresentações 〈X|R〉 e 〈Y|S〉 com homomorfismos associ- ados ϕ : F (X) −→ G e ψ : F (Y) −→ G. Se X,Y e R são todos finitos, existe um subconjunto finito S1 de S tal que 〈Y|S1〉 é uma apresentação de G com homomorfismo associado ψ. As demonstrações destes resultados não são difíceis, mas são longas e usam-se propriedades com- binatoriais de grupos. Este Teorema implica o seguinte resultado. Teorema 1.10. Sejam H1 um grupo finitamente gerado, H2 um grupo finitamente apresentável e H1 µ−→ H2 um homomorfismo sobrejetor de grupos. Então existe um subconjunto finito Y de H1 tal que Ker(µ) é o fecho normal de Y em H1, isto é, Ker(µ) = 〈Y H1〉. Corolário 1.4. Ser finitamente apresentável para um grupo não depende da escolha do conjunto finito de geradores. Demonstração (do corolário): Seja H2 um grupo finitamente apresentável. H2 = 〈X|R〉, onde X é finito. SejamX1 um subconjunto finito deH2 tal queH2 = 〈X1〉 eH1 = F (X1) onde F (X1) é o grupo livre com base X1. Então, pela propriedade universal de grupo livre, existe um único homomorfismo µ : H1 −→ H2 cuja restição sobre X1 é a identidade. Agora, pelo teorema anterior temos que existe um subconjunto finito Y deKer(µ) tal queKer(µ) = 〈Y H1〉. E temos que 〈X1|Y 〉 é uma apresentação finita de H2. ¤ CAPÍTULO 1. GRUPOS LIVRES E PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS 13 1.4 "Push-out"e Produto Livre Amalgamado Definição 1.7. Sejam G0, G1 e G2 grupos, i1 : G0 −→ G1 e i2 : G0 −→ G2 homomorfismos. Suponha que exista um grupo G munido com jk : Gk −→ G homomorfismos tais que j1i1 = j2i2 e para todo grupo H munido com homomorfismos ϕk : Gk −→ H tais que ϕ1i1 = ϕ2i2 existe um único homomorfismo ϕ : G −→ H tal que ϕjk = ϕk, k = 1, 2. Dizemos que G é "push-out"de G0, G1, G2, i1 e i2. G0 i1 // i2 ²² G1 j1 ²² ϕ1 »»0 00 00 00 00 00 00 00 G2 j2 // ϕ2 ((QQ QQQ QQQ QQQ QQQ Q G ϕ ÃÃA A A A H Teorema 1.15. Para quaisquer G0, G1, G2, i1 e i2, existe o "push-out". Demonstração: Para r = 1, 2, seja Gr grupo com apresentação 〈Xr|Rr〉, onde ϑr é o homomorfismo associado e X1 ∩ X2 = ∅. Identificamos Gr com F (Xr)〈Rr〉F (Xr) e ϑr com projeção canônica. Seja Y um conjunto de geradores de G0, e escolha para todo y ∈ Y , wyr ∈ F (Xr) tal que ir(y) = ϑr(wyr). Seja G o grupo com apresentação 〈X1 ∪X2|R1, R2, {w−1y1 wy2}y∈Y 〉 com homomorfismo associado π. Então, temos a aplicação natural jr de Gr em G, induzida pela inclusão de Xr em X1 ∪ X2, e G é gerado por j1(G1) ∪ j2(G2). Portanto, existe no máximo um homomorfismo de G com específicos valores em j1(G1) ∪ j2(G2). Suponha que tenhamos os homomorfismos ϕr de Gr ao grupo H tais que ϕ1i1 = ϕ2i2. Então ϕr definem homomorfismos ψr de F (Xr) a H que é trivial em Rr. Seja µ : F (X1 ∪ X2) −→ H o homomorfismo definido por µ|Xr = ψr|Xr . Pelo Teorema 1.7 existe ϕ : G −→ H tal que ϕπ = µ, que por construção satisfaz ϕjr = ϕr. ¤ Definição 1.8. Quando i1 e i2 são injetivas, o "push-out"G é chamado de produto livre amalgamado de G1 e G2 com amálgama G0. Neste caso, geralmente olhamos G0 como um subgrupo de G1 e G2, e i1 e i2 como as inclusões. Denotamos G por G1 ∗GO G2. CAPÍTULO 1. GRUPOS LIVRES E PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS 14 Definição 1.9. Dizemos que um conjunto S é transversal a esquerda de um subgrupo C em A se S contém exatamente um membro de cada classe lateral aC, isto é, A = ◦⋃ a∈S aC. Podemos provar o Teorema da Forma Normal usando os conjuntos transversais S e T . Teorema 1.16. (Forma Normal) Sejam G o produto livre amalgamado de A,B com amálgama C, iA : C −→ A e iB : C −→ B são inclusões e, S e T transversais a esquerda de C em A e B respectivamente, com 1 ∈ S ∩ T . Considerando jA : A −→ G e jB : B −→ G homomorfismos da definição do "push-out"(G1 = A,G2 = B, j1 = jA, j2 = jB, i1 = iA e i2 = iB), temos: 1. jA e jB são monomorfismos. 2. jA(A) ∩ jB(B) = jA(C) = jB(C). 3. Considerando jA e jB inclusões, qualquer elemento de G pode ser unicamente escrito como u1u2 . . . unc, onde n ≥ 0, c ∈ C e u1, u2, . . . , un vem alternadamente de S \ {1} e T \ {1}. Demonstração: Pela definição de produto livre amalgamado, sabemos que a restrição de jA sobre C é igual à restrição de jB sobre C. Também considerando jA e jB como inclusões, uma vez que a parte (1) é demonstrada, (2) pode ser expresso como A ∩B = C. Então (2) segue da unicidade em (3). Denotemos jA(a) por ā e jB(b) por b̄. Como no Teorema da Forma Normal para produto livre, para provar (1) e (3) é suficiente mostrar que para qualquer g ∈ A ∗C B existem únicos u1, u2, . . . , un e c com n ≥ 0, c ∈ C e u1, u2, . . . , un vindos alternadamente de S \ {1} e T \ {1} tal que g = ū1ū2 . . . ūnc̄. Agora qualquer g pode ser escrito como ḡ1ḡ2 . . . ḡk, onde gi ∈ A∪B para algum k. Se gi e gi+1 pertencem ambos a A ou ambos a B, podemos expressar g como ḡ1ḡ2 . . . ḡi−1h̄ḡi+2 . . . ḡk, onde h = gigi+1. Continuando desta forma, vemos que g pode ser expressa ou como c̄ ou como ḡ1ḡ2 . . . ḡn, onde g1, g2, . . . , gn são alternadamente de A \ C e B \ C. Indutivamente, escrevamos ḡ1ḡ2 . . . ḡn−1 como ū1ū2 . . . ūn−1c̄, onde ui ∈ (S∪T )\{1}, u1 ∈ g1C e ui ∈ CgiC para cada i > 1, e que ui vem alternadamente de S \ {1} e T \ {1}. Então, g = ū1 . . . ūn−1c̄ḡn = ū1 . . . ūn−1h̄, onde h = cgn, e ainda g = ū1 . . . ūn−1ūnd̄, onde h = und com un ∈ S ∪ T . Desde que und = cgn, temos que un ∈ CgnC, que é o desejado. Também temos que un 6= 1 pois gn 6∈ C. Logo temos provado que cada elemento de G pode ser escrito na forma desejada. Agora provemos a unicidade pelo método utilizado no Teorema da Forma Normal para grupos livres. Seja X o conjunto de todas as sequências (u1, u2, . . . , un, c) com n ≥ 0, c ∈ C e u1, u2, . . . , un CAPÍTULO 1. GRUPOS LIVRES E PRODUTOS LIVRES AMALGAMADOS 15 alternadamente em S \ {1} e T \ {1}. Definimos um homomorfismo ϕ de G em Sym(X) tal que, quando g é expresso como ū1ū2 . . . ūnc̄ da forma desejada, a ação de ϕ(g) na seguência (1) é a sequência (u1, u2, . . . , un, c). Isto provará a unicidade da representação de g. Observamos que o grupo de permutações Sym(X) atua sobre X à direita. Pela definição de produto livre amalgamado, para construir ϕ basta definir ϕ(a) e ϕ(b) para a ∈ A e b ∈ B com as propriedades que ϕ(a1a2) = ϕ(a1)ϕ(a2), ∀a1, a2 ∈ A ϕ(b1b2) = ϕ(b1)ϕ(b2), ∀b1, b2 ∈ B e que as definições de ϕ em A e em B concordam-se em C (então é automaticamente aplicação de A em Sym(X), desde que ϕ(a−1) é o inverso de ϕ(a)). Definimos ϕ em A, onde a ação de ϕ(a) em (u1, u2, . . . , un, c) é: (u1, u2, . . . , un, v, d) se un 6∈ A, ca = vd com v ∈ S \ {1} e d ∈ C, (u1, u2, . . . , un, d) se un 6∈ A e ca = d com d ∈ C (isto é, se a ∈ C), (u1, u2, . . . , un−1, v, d) se un ∈ A e unca = vd com v ∈ S \ {1} e d ∈ C, (u1, u2, . . . , un−1, d) se un ∈ A e unca = d com d ∈ C. Não é difícil provar que ϕ(a′a) = ϕ(a′)ϕ(a). Definimos ϕ em B de forma semelhante, trocando A por B. E também é fácil verificar que as definições de ϕ em A e em B concordam-se em C. ¤ Pela inconveniência de trabalhar com transversais, o seguinte teorema é mais utilizado: Teorema 1.17. (Forma Reduzida) Seja G o produto livre amalgamado de A e B com amálgama C, iA : C −→ A e iB : C −→ B. Considerando jA : A −→ G e jB : B −→ G inclusões, temos: 1. qualquer w ∈ G \C pode ser escrita como g1g2 . . . gn, onde n ≥ 1 e gi vem alternadamente de A \ C e B \ C. 2. se também podemos escrever w como h1h2 . . . hm com hj alternadamente de A \ C e B \ C então, m = n e h1 ∈ g1C e hi ∈ CgiC para todos os outros i. 3. se n > 1 então, w 6∈ A ∪B. 4. qualquer produto g1g2 . . . gn, onde n ≥ 1 e gi vem alternadamente de A \ C e B \ C não pode estar em C. CAPÍTULO 2. TOPOLOGIA ALGÉBRICA 18 Citaremos agora algumas propriedades básicas de homotopias, mas sem provar pois esse não é o nosso objetivo principal. Temos que: 1. A relação de homotopia f ' g é uma relação de equivalência no conjunto das aplicações contínuas de X em Y . 2. Sejam f, f ′ : X −→ Y e g, g′ : Y −→ Z aplicações contínuas. Se f ' f ′ e g ' g′ então, g ◦ f ' g′ ◦ f ′. 3. X é contrátil se, e somente se, a aplicação identidade id : X −→ X é homotópica a uma aplicação constante X −→ X , isto é, uma aplicação com imagem num ponto. 4. Um espaço contrátil X é conexo por caminhos. 5. Se X ou Y é contrátil então, toda aplicação contínua f : X −→ Y é homotópica a uma constante. A prova pode ser encontrada no capítulo 1 em [8] ou em qualquer livro de topologia. Vejamos agora um caso particular de homotopia, a homotopia de caminhos fechados baseados num ponto x0 ∈ X . Definição 2.4. Dizemos que uma aplicação contínua α : I −→ X é um caminho. Dizemos que α é um caminho fechado baseado no ponto x0 ∈ X se α(0) = α(1) = x0. Dizemos também caminho fechado com ponto básico x0 ou caminho fechado com ponto base x0 para caminho fechado baseado no ponto x0. Definição 2.5. Sejam a, b, c ∈ X , α : I −→ X caminho entre a e b, e β : I −→ X caminho entre b e c. Definimos o caminho α ∗ β entre a e c por: (α ∗ β)(t) = α(2t) 0 ≤ t ≤ 1 2 (α ∗ β)(t) = β(2t− 1) 1 2 ≤ t ≤ 1 Definição 2.6. Os caminhos fechados α, β : I −→ X baseados no ponto x0 ∈ X (ou seja, α(0) = α(1) = x0 e β(0) = β(1) = x0) são homotópicos com extremos fixos quando existe uma aplicação contínua H : I × I −→ X tais que H(s, 0) = α(s), H(s, 1) = β(s), H(0, t) = H(1, t) = x0 para quaisquer s, t ∈ I . Como temos que a homotopia é uma relação de equivalência, denotemos por Π1(X, x0) o conjunto das classes de equivalência no conjunto dos caminhos fechados em X baseadas CAPÍTULO 2. TOPOLOGIA ALGÉBRICA 19 no ponto x0. O conjunto Π1(X, x0) munido com a operação [α] ∗ [β] = [α ∗ β] é um grupo chamado de grupo fundamental de X com ponto base x0, onde o elemento inverso de [α] é [α]−1 = [ᾱ], com ᾱ(t) = α(1− t). Exemplo 2.1. O grupo fundamental da esfera S1 baseado no ponto x0 é isomorfo ao grupo dos números inteiros Z, isto é, Π1(S1, x0) ∼= Z. Proposição 2.1. Cada classe de homotopia γ de caminhos que ligam x0 a x1 induz um isomorfismo γ̄ : Π1(X, x1) −→ Π1(X, x0), dado por γ̄(α) = γαγ−1, α ∈ Π1(X, x1) Demonstração: Seja γ uma classe de homotopia de caminhos que ligam x0 a x1. Se α ∈ Π1(X, x1) então γαγ−1 ∈ Π1(X, x0). Além disso γ(αβ)γ−1 = (γαγ−1)(γβγ−1). Logo,γ̄(α) definido por γαγ−1, é um homomorfismo. Como α 7→ γ−1αγ é um inverso bilateral para γ̄, concluímos que γ̄ é um isomorfismo. ¤ Corolário 2.1. Se X é conexo por caminhos então, para quaisquer pontos básicos x0, x1 ∈ X , os grupos fundamentais Π1(X, x0) e Π1(X, x1) são isomorfos. Neste caso, denotamos o grupo funda- mental de X por Π1(X). Uma aplicação contínua h : X −→ Y induz um homomorfismo h# : Π1(X, x0) −→ Π1(Y, y0), y0 = h(x0), definido por h#(α) = [h ◦ f ], onde α = [f ]. Proposição 2.2. Se dois espaços topológicos conexos por caminhos X e Y , tem o mesmo tipo de homotopia então seus grupos fundamentais são isomorfos. Demonstração: Como X e Y tem o mesmo tipo de homotopia então, existem funções contínuas f : X −→ Y e g : Y −→ X tais que g ◦ f ' idX e f ◦ g ' idY . Então, temos os homomorfismos induzidos (g ◦ f)# e (f ◦ g)#. Usando que a induzida da identidade é a identidade e que a induzida da composição é a composição das induzidas, facilmente provamos que id = (idX)# = (g ◦ f)# = (g)# ◦ (f)# e id = (idY )# = (f ◦ g)# = (f)# ◦ (g)# e portanto, Π1(X) ∼= Π1(Y ). ¤ Corolário 2.2. O grupo fundamental de um espaço contrátil possui um único elemento, o elemento neutro. Definição 2.7. Um espaço topológico X é dito simplesmente conexo quando é conexo por caminhos e tem-se Π1(X, x0) = {1} para um x0 ∈ X (então para qualquer x0 ∈ X). Observamos que todo espaço contrátil é simplesmente conexo. CAPÍTULO 2. TOPOLOGIA ALGÉBRICA 20 2.2 Espaços de Recobrimento Definição 2.8. Uma aplicação f : X −→ Y é dita localmente injetiva se todo ponto x ∈ X possui uma vizinhança U tal que f |U é injetiva. Definição 2.9. Sejam f : X −→ Y e g : Z −→ Y aplicações contínuas. Um levantamento de g (relativamente a f ) é uma aplicação contínua g̃ : Z −→ X tal que f ◦ g̃ = g. Proposição 2.3. Seja f : X −→ Y contínua, localmente injetiva, definida num espaço de Hausdorff X . Se Z é conexo e g : Z −→ Y é contínua então, dois levantamentos g̃, ĝ : Z −→ X de g, que coincidem num ponto z0 ∈ Z são iguais. Demonstração: O conjunto A = {z ∈ Z; g̃(z) = ĝ(z)} não é vazio pois z0 ∈ A. Como X é um espaço de Hausdorff, A é fechado em Z. Para concluir que g̃ = ĝ, basta então provar que A é aberto em Z. Seja então, a ∈ A. Existe uma vizinhança V de g̃(a) = ĝ(a) tal que f |V é injetiva. Pela continuidade de g̃ e ĝ, existe uma vizinhança U de a com g̃(U) ⊂ V e ĝ(U) ⊂ V . Então, para todo z ∈ U temos fg̃(z) = g(z) = fĝ(z) e, pela injetividade de f em V , g̃(z) = ĝ(z). Logo U ⊂ A. ¤ Definição 2.10. Uma aplicação p : X̃ −→ X chama-se uma aplicação de recobrimento quando cada ponto x ∈ X pertence a um aberto V ⊂ X tal que p−1(V ) = ⋃ α Uα é uma reunião de abertos Uα, dois a dois disjuntos, cada um dos quais se aplica por p homeomorficamente sobre V . Cada aberto V desse tipo chama-se uma vizinhança distinguida. O espaço X̃ chama-se um espaço de recobrimento de X e, para cada x ∈ X , o conjunto p−1(x) chama-se a fibra sobre x. Às vezes, X chama-se a base. Exemplo 2.2. A aplicação p : R −→ R/Z ∼= S1, p(t) = (cos t, sen t) é recobrimento. Quando p : X̃ −→ X é um recobrimento, a condição de que X̃ seja Hausdorff pode ser omitida da Proposição 2.3. Então, temos: Proposição 2.4. Sejam p : X̃ −→ X uma aplicação de recobrimento e Z um espaço conexo. Se g̃, ĝ : Z −→ X̃ são tais que p ◦ g̃ = p ◦ ĝ = g, então ou g̃(z) 6= ĝ(z) para todo z ∈ Z ou então, g̃ = ĝ. Demonstração: Como p é localmente injetiva, usamos a demonstração da Proposição 2.3 para con- cluir que o conjunto A = {z ∈ Z; g̃(z) = ĝ(z)} é aberto. Para mostrar que A é fechado, sem usar que X̃ é um espaço de Hausdorff, seja z ∈ Z tal que g̃(z) 6= ĝ(z). Estes pontos se aplicam por p no CAPÍTULO 2. TOPOLOGIA ALGÉBRICA 23 Quando G é um grupo de homeomorfismos que age propriamente descontínuo sobre o espaço topológico X , conexo por caminhos, a aplicação quociente p : X −→ X/G é um recobrimento regular. Teorema 2.7. Seja p : X̃ −→ X um recobrimento, onde o espaçoX é conexo por caminhos. Sejam Z um espaço conexo e localmente conexo por caminhos (logo conexo por caminhos) e f : (Z, z0) −→ (X, x0) uma aplicação contínua. Dado x̃0 ∈ p−1(x0), a fim de que f possua um levantamento f̃ : (Z, z0) −→ (X̃, x̃0), é necessário e suficiente que f#(Π1(Z, z0)) ⊂ H(x̃0). A demonstração deste teorema pode ser encontrada na página 153 no livro [8]. Corolário 2.4. Sejam X conexo por caminhos e Z simplesmente conexo. Toda aplicação f : (Z, z0) −→ (X, x0) admite um levantamento f̃ : (Z̃, z̃0) −→ (X̃, x̃0), onde x̃0 ∈ p−1(x0) é escolhido arbitrariamente. Por este corolário, podemos ver que todo caminho pode ser levantado. 2.2.2 Homomorfismo entre Recobrimentos Sejam p1 : X̃1 −→ X e p2 : X̃2 −→ X dois recobrimentos com a mesma base X . Um homomor- fismo entre eles é uma aplicação contínua f : X̃1 −→ X̃2 tal que p2 ◦ f = p1, o que torna comutativo o diagrama abaixo: X̃1 f // p1 ÃÃA AA AA AA X̃2 p2 ~~}} }} }} } X Diz-se que f : X̃1 −→ X̃2 é um isomorfismo quando f é um homeomorfismo tal que p2 ◦ f = p1. Então f−1 : X̃2 −→ X̃1 também é um isomorfismo. Neste caso, os recobrimentos p1 e p2 dizem-se isomorfos. Um endomorfismo de um recobrimento é um homomorfismo do recobrimento em si mesmo. Quando o endomorfismo f for um homeomorfismo de X̃ sobre si mesmo, dizemos que f é um automorfismo. O conjunto G(X̃|X) dos automorfismos de recobrimento p : X̃ −→ X constitui um grupo relativamente à composição de aplicações. O grupo dos automorfismo do recobrimento p : X −→ X/G é exatamente o grupo G. Com efeito, se g ∈ G então para todo x ∈ X , vale p(gx) = G · gx = G · x = p(x), logo p ◦ g = p e CAPÍTULO 2. TOPOLOGIA ALGÉBRICA 24 daí g ∈ G(X|X/G). Reciprocamente, dado um automorfismo f : X −→ X , fixemos x0 ∈ X e seja x1 = f(x0). Então x1 pertence à mesma fibra que x0, logo existe g ∈ G com gx0 = x1. Portanto f e g são levantamentos de p que coincidem no ponto x0. Como X é conexo, temos f = g, donde f ∈ G. Teorema 2.8. Sejam p1 : X̃1 −→ X e p2 : X̃2 −→ X recobrimentos com a mesma base X . Se X̃2 é conexo e localmente conexo por caminhos, todo homomorfismo f : X̃1 −→ X̃2 é um recobrimento. Em particular, f é sobrejetivo. A demonstração pode ser encontrada no Capítulo 5, Proposição 7 no livro [8]. No próximo teorema, temos os recobrimentos pi : X̃i −→ X , i = 1, 2. Dados os pontos x̃i ∈ X̃i com pi(x̃i) = x0, indicaremos com Hi(x̃i) os subgrupos de Π1(X, x0) que são imagens dos homomorfismos induzidos (pi)# : Π1(X̃i, x̃i) −→ Π1(X, x0), i = 1, 2. Teorema 2.9. Sejam X̃1 e X̃2 conexos e localmente conexos por caminhos. A fim de que exista um homomorfismo f : X̃1 −→ X̃2 com f(x̃1) = x̃2 é necessário e suficiente que H1(x̃1) ⊂ H2(x̃2). Demonstração: Segue-se do Teorema 2.7, pois um homomorfismo f é um levantamento de p1 rela- tivamente ao recobrimento p2. ¤ Corolário 2.5. Seja p : X̃ −→ X um recobrimento, cujo domínio X̃ é simplesmente conexo e localmente conexo por caminhos. Para todo recobrimento q : Ỹ −→ X com Ỹ conexo, existe um recobrimento f : X̃ −→ Ỹ tal que q ◦ f = p Corolário 2.6. Nas hipóteses do Teorema 2.9, o homomorfismo f : X̃1 −→ X̃2, com f(x̃1) = x̃2 é um isomorfismo se, e somente se, H1(x̃1) = H2(x̃2). Por enquanto vamos supor p : X̃ −→ X recobrimento e até o fim desta seção iremos supor X̃ conexo e localmente conexo por caminhos. Sejam x̃0, x̃1 ∈ p−1(x0). Como vimos, existe um endomorfismo f : X̃ −→ X̃ tal que f(x̃0) = x̃1 se, e somente se, H(x̃0) ⊂ H(x̃1). Sabemos também queH(x̃1) = α−1H(x̃0)α, onde α ∈ Π1(X, x0) é a classe de homotopia de a = p◦ ã, onde o caminho ã começa em x̃0 e termina em x̃1, no espaço X̃ . Então dados dois pontos quaisquer x̃0, x̃1 ∈ X̃ situados na mesma fibra p−1(x0), existe um automorfismo f : X̃ −→ X̃ tal que f(x̃0) = x̃1 se, e somente se, H(x̃0) = H(x̃1) . Se o recobrimento p : X̃ −→ X é regular, segue-se então que, dados dois pontos quaisquer x̃0, x̃1 ∈ X̃ situados na mesma fibra p−1(x0), existe um endomorfismo f : X̃ −→ X̃ tal que f(x̃0) = x̃1. Além disso, todo endomorfismo de um recobrimento regular é um automorfismo. Então o grupo G(X̃|X) dos automorfismos de um recobrimento regular atua transitivamente nas fibras. CAPÍTULO 2. TOPOLOGIA ALGÉBRICA 25 O normalizador do subgrupoK num grupoG é o conjuntoN(K) formado pelos elementos g ∈ G tais que g−1Kg = K. O normalizadorN(K) é o maior subgrupo deG que contémK como subgrupo normal. K é um subgrupo normal do grupo G se, e somente se, N(K) = G. Ainda temos que o grupo fundamental Π1(X, x0) opera transitivamente à direita na fibra p−1(x0) e a atuação de α ∈ Π1(X, x0) sobre x̃ ∈ p−1(x0) é representado por x̃ · α e x̃ · α = ã(1) onde ã : I −→ X̃ é o levantamento, a partir de x̃, de um caminho a : I −→ X tal que α = [a]. Em termo destas noções, a existência de um endomorfismo f : X̃ −→ X̃ com f(x̃0) = x̃1, onde x̃1 = x̃0 ·α, equivalente à afirmação de que H(x̃0) ⊂ α−1H(x̃0)α. Além disso, f é um automorfismo se, e somente se, H(x̃0) = α−1H(x̃0)α, ou seja, se, e somente se, α ∈ N(H(x̃0)). Em particular, para cada α ∈ N(H(x̃0)), existe um único automorfismo f : X̃ −→ X̃ tal que f(x̃0) = x̃0 · α. Com estes dados temos: Lema 2.10. Seja f : X̃ −→ X̃ um endomorfismo do recobrimento p : X̃ −→ X . Para quaisquer x̃ ∈ X̃ e α ∈ Π1(X, p(x̃)), vale f(x̃ · α) = f(x̃) · α. Demonstração: Sejam α = [a] e ã um levantamento de a começando no ponto x̃. Então x̃ ·α = ã(1), donde f(x̃ · α) = f(ã(1)). Por outro lado, f ◦ ã é um levantamento de a que começa no ponto f(x̃). Logo f(x̃) · α = (f ◦ ã)(1) = f(ã(1)) = f(x̃ · α). ¤ Teorema 2.11. Seja p : X̃ −→ X um recobrimento com X̃ conexo e localmente conexo por ca- minhos. Para cada x̃0 ∈ X̃ , existe um isomorfismo de grupos G(X̃|X) ∼= N(H(x̃0))/H(x̃0), onde N(H(x̃0)) é o normalizador do subgrupo H(x̃0) em Π1(X, x0), x0 = p(x̃0). Demonstração: Definimos uma aplicação ϕ : N(H(x̃0)) −→ G(X̃|X) do seguinte modo: para cada α ∈ N(H(x̃0)), ϕ(α) = f onde f : X̃ −→ X̃ é o automorfismo tal que f(x̃0) = x̃0 · α. Se ϕ(α) = f e ϕ(β) = g, temos x̃0 · α = f(x̃0) e x̃0 · β = g(x̃0). Pelo lema acima, (f ◦ g)(x̃0) = f(g(x̃0)) = f(x̃0 · β) = f(x̃0) · β = x̃0 · αβ. Portanto f ◦ g = ϕ(αβ) e ϕ é um homomorfismo de grupos. Tem-se ϕ(α) = idX̃ , ou seja x̃0 · α = x̃0, se, e somente se, α ∈ H(x̃0). Assim, H(x̃0) é o núcleo de ϕ. Afirmamos que ϕ é sobrejetivo. Com efeito, dado f ∈ G(X̃|X), seja f(x̃0) = x̃1. Como Π1(X, x0) opera transitiva- mente em p−1(x0), existe α ∈ Π1(X, x0) tal que x̃1 = x̃0 · α. Sendo f um automorfismo, temos CAPÍTULO 2. TOPOLOGIA ALGÉBRICA 28 Então, existe um único homomorfismo σ : Π1(X) −→ H tal que para λ ∈ Λ o seguinte diagrama é comutativo: Π1(X) σ ²² Π1(Uλ) ψλ 99ttttttttt ρλ %%KK KKK KKK KK H Diagrama 1 Mais ainda, esta propriedade univesal, caracteriza Π1(X) a menos de isomorfismo. A demonstração dos seguintes Lemas pode ser encontrada em [9], Lema 2.3 e Lema 2.4. A demonstração do primeiro lema é fácil e do segundo é longa e técnica. Lema 2.14. O grupo Π1(X) é gerado pela união de imagens ψλ(Π1(Uλ)), λ ∈ Λ. Lema 2.15. Sejam βi ∈ Π1(Uλi), i = 1, . . . , q tais que ψλ1(β1) · ψλ2(β2) · . . . · ψλq(βq) = 1. Então, o produto ρλ1(β1) · ρλ2(β2) · . . . · ρλq(βq) = 1. Demonstração do Teorema 2.13: Sejam H um grupo qualquer e ρλ : Π1(Uλ) −→ H , λ ∈ Λ, um conjunto de homomorfismos satisfazendo as hipóteses do teorema. Iremos mostrar a existência de um único homomorfismo σ : Π1(X) −→ H tal que torna o diagrama 1 do teorema 2.13 comutativo para qualquer λ ∈ Λ. Pelo lema 2.14, é claro que um homomorfismo σ, se existe, deve ser único. Seja α ∈ Π1(X). Então pelo lema 2.14, temos α = ψλ1(α1) · ψλ2(α2) · . . . · ψλn(αn) (2.1) onde αi ∈ Π1(Uλi), i = 1, 2, . . . , n. Portanto, se o homomorfismo σ existe, devemos ter que σ(α) = ρλ1(α1) · ρλ2(α2) · . . . · ρλn(αn). (2.2) Tomaremos a equação 2.2 como definição de σ e para justificar esta definição, deveremos mostrar que σ independe da escolha da representação de α na forma 2.1. Mas o Lema 2.15 nos dá essa independência. E então, σ é homomorfismo e a comutatividade desejada é assegurada. ¤ Capítulo 3 O Invariante de Bieri-Strebel e Módulo Manso Neste capítulo introduziremos conceitos novos como o Invariante de Bieri-Strebel e Módulo Manso que aparecem em um dos resultados do Teorema Principal. Também aparece aqui o com- plexo de Cayley Γ̃ que é de grande importância nos resultados deste trabalho. No desenvolver deste capítulo, resgataremos vários teoremas e conceitos que foram discutidos em capítulos anteriores, mas a princípio, daremos uma breve apresentação dos grupos do tipo FPm e suas propriedades, pois este tipo de grupo faz parte da versão generalizada que o nosso Teorema Principal possui. Esta versão trabalha com grupos do tipo FP2 enquanto nós abordaremos sobre grupos Finitamente Apresentáveis. Z estará denotando o conjunto dos números inteiros. 3.1 Propriedade FPm Definição 3.1. Um grupo G é dito do tipo FPm sobre Z se existe uma resolução projetiva do ZG-módulo trivial Z . . .→ Fi → . . .→ F3 → F2 → F1 → F0 → Z→ 0 tal que cada Fi é finitamente gerado, ∀0 ≤ i ≤ m. Observação 3.1. SejaR um anel. UmR-módulo é projetivo se, e somente se, é somando deR-módulo livre. 29 CAPÍTULO 3. O INVARIANTE DE BIERI-STREBEL E MÓDULO MANSO 30 Lema 3.1. Um grupo G tem tipo FPm sobre Z se, e somente se, existe resolução livre do ZG-módulo trivial Z . . .→ Fi → . . .→ F3 → F2 → F1 → F0 → Z→ 0 tal que cada Fi é finitamente gerado, ∀0 ≤ i ≤ m. Lembrando que cada módulo livre é módulo projetivo, podemos observar que uma das implica- ções do lema é imediato. Mas a demonstração do lema pode ser encontrada no Capítulo 8, Proposição 4.3 em [5]. Lema 3.2. Cada grupo G tem tipo FP0. Demonstração: Basta tomar o seguinte epimorfismo de ZG-módulo: ε : ZG −→ Z, que é definido da seguinte maneira ε ( ∑ zg∈Z g∈G zg.g ) = ∑ zg∈Z zg Esta aplicação é chamada de augmentação. ¤ Lema 3.3. G é finitamente gerado ⇐⇒ G tem tipo FP1 sobre Z. Lema 3.4. G é finitamente apresentável =⇒ G tem tipo FP2. A demontração destes dois últimos lemas pode ser encontrada na Proposição 2.1 em [2] e no Capítulo 2, Proposição 5.4 em [5]. De fato, seG é finitamente apresentável existem uma apresentação finita 〈X|R〉 deG e um epimorfismo de grupos ϕ : F (X) −→ G com núcleoK sendo o fecho normal de R em F (X). Não é difícil demonstrar que G tem tipo FP2 se, somente se K̄ = K/[K,K] é finitamente gerado como Z[F (X)]-módulo via conjugação. Ao mesmo tempo, a imagem de R em K̄ gera K̄ como Z[F (X)]-módulo. Isso mostra que a propriedade ser finitamente apresentável implica tipo FP2. Agora iremos somente enunciar o Teorema geral que motivou este estudo, mas iremos definir so- mente mais tarde Módulo Manso, pois ainda necessitamos de alguns conceitos novos para tal módulo. Teorema 3.5. Seja G um grupo do tipo FP2 sobre Z, N CG um subgrupo normal de G com Q = G N abeliano. Então, ou N contém subgrupo livre não cíclico ou N [N,N ] é um ZQ-módulo manso via conjugação. CAPÍTULO 3. O INVARIANTE DE BIERI-STREBEL E MÓDULO MANSO 33 . . . . . v3. . . . v1. e2 OO e1 // .v2 . . . . . V (Γ̃) e E(Γ̃) formam o grafo de Γ̃ e G age sobre o grafo via multiplicação ∗ à esquerda. Vejamos como G está atuando pela multiplicação à esquerda em E(Γ̃): Seja (g, xε) ∈ E(Γ̃), ε = ±1 e definimos g1 ∗ (g, xε) = (g1g, xε) ∈ E(Γ̃), g, g1 ∈ G. Como o produto em G é associativo, temos que (g1g2) ∗ (g, xε) = g1 ∗ (g2 ∗ (g, xε)). Vejamos também como G age sobre V (Γ̃) via multiplicação à esquerda: g, g1 ∈ G = V (Γ̃), ε = ±1 e definimos g1 ∗ g = g1g. Com esta definição, temos que σ(g1 ∗ (g, xε)) = g1 ∗ σ((g, xε)) e τ(g1 ∗ (g, xε)) = g1 ∗ τ((g, xε)). Definição 3.3. Um caminho no grafo V (Γ̃) ∪ E(Γ̃) é uma sequência e1e2e3 . . . ek, k ≥ 1 e ∀1 ≤ i ≤ k − 1, τ(ei) = σ(ei+1), ei ∈ G× X±1. Se k = 0, o caminho e1e2e3 . . . ek é um ponto. Observação 3.3. Daqui para frente, quando falarmos em caminhos, estaremos nos referindo a cami- nhos no grafo V (Γ̃) ∪ E(Γ̃) definido acima. Definição 3.4. Um caminho e1e2e3 . . . ek, ei ∈ E(Γ̃) é dito fechado se τ(ek) = σ(e1). Definição 3.5. Sejam ei = (gi, x εi i ) ∈ E(Γ̃) e ε = ±1, xi ∈ X. O rótulo de um caminho e1e2e3 . . . ek (não necessariamente fechado) é xε11 x ε2 2 x ε3 3 . . . x εk k e é uma palavra sobre o alfabeto X ∪ X−1. O conjunto de todas as palavras sobre M ∪M−1 é denotado por M(X ∪ X−1). O grupo livre F (X) por construção é M(X ∪ X−1) ∼ , onde ∼ é a classe de equivalência definida no capítulo 1. Definição 3.6. Dizemos que um caminho e1e2e3 . . . ek é reduzido se não existe i tal que ei+1 = ēi, onde ē = (g, xε) = (g · π(xε), x−ε), g ∈ V (Γ̃), ε = ±1. CAPÍTULO 3. O INVARIANTE DE BIERI-STREBEL E MÓDULO MANSO 34 Observação 3.4. O caminho é reduzido ⇔ o rótulo do caminho é palavra reduzida. Nesse caso podemos identificar o rótulo com um elemento do grupo livre F (X). Lema 3.6. Um caminho é fechado se, e somente se a imagem do seu rótulo via π : F (X) → G ∼= F (X)〈RF (X)〉 pertence ao núcleo de π, Ker(π). Demonstração: Seja e1e2e3 . . . ek um caminho fechado com ponto base em g ∈ G. Neste caso temos: e1 = (g, x ε1 1 ) e2 = (gπ(x ε1 1 ), x ε2 2 ) e3 = (gπ(x ε1 1 )π(x ε2 2 ), x ε3 3 ) ... ek = (gπ(x ε1 1 )π(x ε2 2 )π(x ε3 3 ) . . . π(x εk−1 k−1 ), x εk k ) Como π é homomorfismo temos que τ(ek) = gπ(x ε1 1 )π(x ε2 2 )π(x ε3 3 ) . . . π(x εk−1 k−1 )π(x εk k ) = gπ(x ε1 1 x ε2 2 xε33 . . . x εk−1 k−1 x εk k ) Ainda temos que: e1e2e3 . . . ek é um caminho fechado ⇔ g = σ(e1) = τ(ek) = gπ(xε11 xε22 xε33 . . . xεk−1k−1 xεkk ) ⇔ 1G = π(x ε1 1 x ε2 2 x ε3 3 . . . x εk−1 k−1 x εk k ) ⇔ xε11 xε22 xε33 . . . xεk−1k−1 xεkk ∈ Ker(π), onde xε11 xε22 xε33 . . . xεk−1k−1 xεkk é a imagem do rótulo do caminho e1e2e3 . . . ek em F (X). O que conclui a nossa demonstração. ¤ Agora para completar o Complexo de Cayley Γ̃ nos falta definir as células de dimensão 2 . Para o conjunto das células, tomamos G × R que denotamos por C(Γ̃). Dado r ∈ R ⊆ F (X), temos r = xε11 x ε2 2 x ε3 3 . . . x εk k que é uma palavra reduzida, xi ∈ X∪X−1, εi = ±1. Seja c = (g, r) ∈ C(Γ̃). O bordo de c denotado por ∂c é um caminho fechado no grafo com fim e começo no vértice g e rótulo r como palavra. Observação 3.5. R ⊆ Ker(π) então, a imagem do rótulo do caminho e1e2e3 . . . ek em F (X) está em Ker(π) e portanto pelo Lema 3.6 temos que o caminho e1e2e3 . . . ek é fechado. O complexo de Cayley Γ̃ pode ser identificado pela tripla (V (Γ̃), E(Γ̃), C(Γ̃)). A realização geométrica de Γ̃ é dada pela topologia de CW-complexo. Exemplo 3.3. Sejam G = Z ⊕ Z = Z2 ⊂ R2, X = {x, y}, onde x = (1, 0) e y = (0, 1). V (Γ̃) = G = 〈X|R〉 e E(Γ̃) = G× X CAPÍTULO 3. O INVARIANTE DE BIERI-STREBEL E MÓDULO MANSO 35 . . . . . . y−1 ²² .gx −1 oo . . . x // . y OO . . . . . Queremos que G seja abeliano então, devemos ter R = {x−1y−1xy}. Seja c = (g, r) ∈ C(Γ̃) = G×R. Calculando ∂c=(g, x−1)(gπ(x−1),y−1)(gπ(x−1y−1),x)(gπ(x−1y−1x), y) e c ∼= D2, onde D2 é o disco em R2. Neste caso temos que o Complexo de Cayley Γ̃ é o espaço R2. Proposição 3.7. O complexo de Cayley Γ̃ é conexo por caminhos. Demonstração: Seja 〈X, R〉 a apresentação do grupo G usada na definição de Γ̃. Basta mostrar que dados dois vértices de Γ̃ existe um caminho que os liga. Sejam g1, g2 ∈ V (Γ̃) = G e ∗ denota a ação a esquerda de G sobre o grafo de Γ̃. Se existe um caminho ω no grafo de Γ̃ com começo 1G e fim g −1 1 g2 = g então, g1 ∗ ω será um caminho no grafo que liga g1 e g2. Mostraremos então, que existe tal caminho ω entre 1G e g. Temos que a aplicação π : F (X) −→ F (X)〈RF (X)〉 = G é sobrejetora, então, dado g ∈ G, existe uma palavra reduzida xε11 x ε2 2 ...x εk k ∈ F (X) tal que g = π(xε11 xε22 ...xεkk ). Como π é homomorfismo temos que g = π(xε11 x ε2 2 ...x εk k ) = π(x ε1 1 )π(x ε2 2 )...π(x εk k ) e dados o ponto inicial (no nosso caso 1G) e os rótulos, conseguimos o seguinte caminho: (1G, x ε1 1 )(1G.π(x ε1 1 ), x ε2 2 )...(1G.π(x ε1 1 ).π(x ε2 2 )...π(x εk−1 k−1 ), x εk k ) =: ω Este é o caminho que precisávamos. Logo, existe g1 ∗ ω, caminho entre g1 e g2 e portanto Γ̃ é conexo por caminhos. ¤ Proposição 3.8. O grupo fundamental Π1(Γ̃) é trivial, isto é, o complexo de Cayley Γ̃ é simplesmente conexo. Demonstração: Seja Γ̃ o complexo de Cayley associado à apresentação 〈X, R〉 de G. CAPÍTULO 3. O INVARIANTE DE BIERI-STREBEL E MÓDULO MANSO 38 G0 é finitamente apresentável. Então podemos substituirG0 porG e de agora em diante iremos supor G N ∼= Zn. Sejam {q1, q2, q3 . . . qn} uma base de Zn e T = {t1, t2, t3, . . . , tn} um subconjunto de G com a seguinte propriedade: − : G −→ G N ti 7−→ t̄i = qi = Nti onde T é o conjunto de elementos de G tal que a imagem de T em G N é uma base como grupo livre abeliano, G N = 〈 T 〉. Lema 3.9. G é finitamente gerado então, existe um subconjunto finito M de N tal que M ∪ T gera G. Demonstração: Vejamos como construir o conjunto M . Como G é finitamente gerado, seja G = 〈V0〉, para um subconjunto finito V0 de G. Então G = 〈V0 ∪ T 〉 e sejam v ∈ V0 e − a pro- jeção canônica G −→ G N = 〈T 〉. Logo, vN = v̄ = t̄1z1 t̄2z2 . . . t̄nzn = tz11 tz22 . . . tznn N . Então, existem hv ∈ N e zi dependentes de v tal que v = tz11 tz22 . . . tznn hv. Afirmamos que G = 〈T ∪ {hv}v∈V0〉. É claro que G ⊇ 〈T ∪ {hv}v∈V0〉. Mostraremos que G ⊆ 〈T∪{hv}v∈V0〉. Já temos queG = 〈V0∪T 〉 então, basta mostrarmos que V0∪T ⊆ 〈T∪{hv}v∈V0〉. Se v ∈ V0 então, v = tz11 tz22 . . . tznn hv. Temos que {hv}v∈V0 ⊆ N então, definimos M = {hv}v∈V0 . ¤ Conseguimos, então, um conjunto de geradores adequado para G, G = 〈M ∪ T 〉. Observamos que V (Γ) = V (Γ̃) N = G N = Q ∼= Zn, E(Γ) = E(Γ̃) N × X ∼= Q× X, X := M ∪ T . Temos no grafo de Γ dois tipos de arestas (q, x), dependendo se x ∈ M ou x ∈ T . Como X = M ∪ T e M ⊆ N , podemos ter os seguintes casos: 1. se x ∈M então, x̄ = 1̄ em Q pois Q = G N . CAPÍTULO 3. O INVARIANTE DE BIERI-STREBEL E MÓDULO MANSO 39 2. se x ∈ T então, x̄ pertence a uma base de Zn sobre Z. No primeiro caso temos que a aresta (q, x) é fechada com início e fim q (loop) e no segundo temos que é um segmento de reta com início q e fim qx̄. Vejamos graficamente para o caso em que n = 2: (q,x) q q 1 q x1 3.4 O invariante de Bieri-Strebel e Módulo Manso Sejam Q um grupo abeliano finitamente gerado e v : Q −→ R um homomorfismo não nulo de grupos abelianos, onde R é o grupo dos reais munido com a operação de adição: v(q1q2) = v(q1) + v(q2). O grupo Q = G N está munido com a operação de multiplicação, mas se Q ∼= Zn como grupo abeliano, a operação de Zn é +. Definamos agora o seguinte subconjunto de Q: Qv = {q ∈ Q|v(q) ≥ 0}. Observe que Qv não é um subgrupo mas um submonóide de Q, isto é, 1Q ∈ Qv e se q1, q2 ∈ Qv então, q1q2 ∈ Qv. Definimos Hom(Q,R) como o conjunto de homomorfismo de Z-módulos, isto é, homomorfismos de grupos abelianos. O espaço Rn é um espaço com produto interno ( , ), então para cada ω ∈ Rn temos um homo- morfismo de grupos abelianos: ϕω : Zn −→ R t 7−→ (t, ω) A aplicação CAPÍTULO 3. O INVARIANTE DE BIERI-STREBEL E MÓDULO MANSO 40 Rn −→ Hom(Zn,R) (3.1) ω 7−→ ϕω é um isomorfismo de grupos abelianos. Lembrando que, se Q é um grupo abeliano finitamente gerado qualquer, temos que ele pode ser escrito como soma direta de um grupo abeliano finito B e um subgrupo abeliano livre F ∼= Zn para algum n, ou seja, Q ∼= Zn ⊕B (na notação aditiva). Quando B é um grupo abeliano finito, temos que Hom(B,R) = 0. De fato: se b ∈ B existe um a ∈ N = {1, 2, 3, . . .} tal que ab = 0. Se ϕ ∈ Hom(B,R) homomorfismo de Z-módulos, temos que 0 = ϕ(0) = ϕ(ab) = aϕ(b). Como a 6= 0 e R não possui divisores de zero, devemos ter ϕ(b) = 0. Como b foi tomado arbitrariamente, ϕ ≡ 0. Ou seja, Hom(B,R) = 0. Então se Q ∼= Zn ⊕B e considerando que Hom(Z,R) ∼= R temos: Hom(Q,R) ∼= Hom(Zn ⊕ B,R) ∼= Hom(Zn,R) ⊕Hom(B,R) ∼= Hom(Zn,R) ∼= Hom(Z ⊕ Z⊕ . . .⊕ Z,R) ∼= Hom(Z,R)⊕Hom(Z,R)⊕ . . .⊕Hom(Z,R) ∼= Rn Portanto, Hom(Q,R) ∼= Rn. No caso Q = Zn o último isomorfismo foi explicado com a aplica- ção (3.1). Definição 3.7. Sejam ϕ1, ϕ2 ∈ Hom(Q,R) não-triviais. Dizemos que ϕ1 e ϕ2 são equivalentes (ϕ1 ∼ ϕ2) se existe um número real positivo r tal que ϕ1 = r ·ϕ2, onde (r ·ϕ2)(q) = r ·ϕ2(q), q ∈ Q. É fácil ver que ∼ é uma relação de equivalência, isto é, ϕ ∼ ϕ, ϕ1 ∼ ϕ2 ⇒ ϕ2 ∼ ϕ1, e ϕ1 ∼ ϕ2 e ϕ2 ∼ ϕ3 ⇒ ϕ1 ∼ ϕ3. Definimos então, o seguinte quociente: S(Q)= Hom(Q,R)\{0} ∼ Denotamos por [ϕ] a classe de equivalência de ϕ. Se [ϕ] ∈ S(Q), podemos identificar esta classe de equivalência com a intersecção do correspondente raio em Rn com a esfera unitária em Rn. E podemos então, ver S(Q) como a esfera unitária Sn−1 em Rn. Chamamos S(Q) de esfera de homomorfismo de Q. Definição 3.8. Sejam Q um grupo finitamente gerado e A um ZQ-módulo a esquerda finitamente gerado. Definimos o invariante de Bieri-Strebel como o seguinte conjunto: ΣA(Q) = {[ϕ] ∈ S(Q)|A é finitamente gerado como ZQϕ-módulo } CAPÍTULO 3. O INVARIANTE DE BIERI-STREBEL E MÓDULO MANSO 43 R n e G v qG -v e q qG -v G v G G v q -v Figura 3.1: caso ruim Observemos o que ocorre neste caso: Temos que v(q) = (q, ω) e tomemos a projeção de e sobre ω. Daí: 1 = ||e|| ≥ ||projωe|| > ||projωq|| = ||(q, ω) · ω||||ω||2 = |(q, ω)| ||ω|| = |v(q)| ||ω|| = v(q) ||ω|| . Logo se v(q) = (q, ω) < ||ω|| não caimos nas hipóteses do lema e portanto, se v(q) ≥ ||ω||, o item 2 vale. No item 3, o caso ruim novamente ocorre quando a célula c não está inteiramente em Γv ou em qΓ−v. Figura 3.2. Figura 3.2: caso ruim Se isto ocorre, tomamos agora a projeção de c sobre ω. A célula é fechada e conexa, logo a projeção (projωc) é um intervalo fechado. Então 1 2 l ≥ |1 2 ∂c| ≥ ||projωc|| > ||projωq|| = ||(q, ω) · ω||||ω||2 = |(q, ω)| ||ω|| = (q, ω) ||ω|| CAPÍTULO 3. O INVARIANTE DE BIERI-STREBEL E MÓDULO MANSO 44 Logo, (q, ω) ||ω|| < l 2 . Então, v(q) = (q, ω) < l 2 ||ω|| < l||ω|| Ou seja, o caso ruim não cai nas hipóteses do lema. E portanto, temos que o item 3 vale se v(q) ≥ l||ω||. ¤ 3.6 Teorema do Módulo Manso Nesta seção iremos demonstrar uma versão do Teorema 4.1 do artigo [4]. Vamos supor que o grupo G não é somente do tipo FP2 mas finitamente apresentável (isto é bem mais forte que FP2, em geral). No artigo original é considerada uma sequência exata curta de grupos S → H → G, onde H é finitamente apresentável e S [S, S] ⊗ZK = 0. As técnicas dos próximos capítulos se aplicam em H e todos os resultados sobre H passam para o quociente G. Para não fazermos muitas reduções técnicas escolhemos trabalhar somente com o caso G finitamente apresentável, que é o caso principal. O resto da dissertação contém a demonstração do seguinte resultado: Teorema 3.12. Seja G um grupo finitamente apresentável, N C G um subgrupo normal de G com Q = G N abeliano. Então, ouN contém subgrupo livre não cíclico ou N [N,N ] é um ZQ-módulo manso via conjugação. Denotemos: Γ1 = Γv, Γ2 = qΓ−v, Γ12 = Γ1∩Γ2 conexo por caminhos, Γ = Γ1∪Γ2. Observamos que v(q) > 0. Sejam α̃j os homomorfismos induzido pelo mergulho de Γ1 ∩ Γ2 em Γj e β̃j os homomorfismos induzido pelo mergulho de Γj em Γ, j = 1, 2. Π1(Γ12) α̃1 // α̃2 ²² Π1(Γ1) β̃1 ²² Π1(Γ2) β̃2 // Π1(Γ) Pelo Teorema de Seifert-Van Kampen, temos que Π1(Γ) é "push-out"de Π1(Γ12), Π1(Γ1), Π1(Γ2), α̃1 e α̃2. Definimos Mj como a imagem de Π1(Γj) em Π1(Γ) via β̃j , M12 como a imagem de Π1(Γ12) em Π1(Γ) via β̃1 ◦ α̃1 = β̃2 ◦ α̃2, αj a inclusão de M12 em Mj e M = Π1(Γ) é o grupo N . Lema 3.13. M é "push-out"de M12, M1, M2, α1 e α2. Demonstração: Sejam β1 inclusão de M1 em M , β2 inclusão de M2 em M , h1, h2 homomorfismos de grupos tais que h1α1 = h2α2 e H um grupo. CAPÍTULO 3. O INVARIANTE DE BIERI-STREBEL E MÓDULO MANSO 45 M12 α1 // α2 ²² M1 β1 ²² h1 »»1 11 11 11 11 11 11 11 M2 β2 // h2 ((QQ QQQ QQQ QQQ QQQ QQ M θ !!B B B B H diagrama 1 Mostraremos que existe um único homomorfismo θ tal que h1 = θβ1 e h2 = θβ2. Observemos o seguinte diagrama: M12 α1=inclusão // α2 ²² M1 h1 ²² Rr β1 ¥¥­­ ­­ ­­ ­­ ­­ ­­ ­­ ­­ ­ Π1(Γ12) α̃1 // α̃2 ²² θ ddIIIIIIIII Π1(Γ1) β̃1 ;;wwwwwwwww β̃1 ²² Π1(Γ2) β̃2 // β̃2 zzuuu uu uu uu M θ? ##G G G G G M2 h2 //' ¨ β2 44iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii H diagrama 2 onde θ = β̃1α̃1 = β̃2α̃2. Temos que h2α2(θ) = h1α1(θ) pois por hipótese h2α2 = h1α1. Então, temos que h̃1α̃1 = h̃2α̃2 onde h̃1 = h1β̃1 e h̃2 = h2β̃2. Já temos que M = Π1(Γ) é "push-out"de Π1(Γ12),Π1(Γ1),Π1(Γ2), α̃1 e α̃2. Então, dados h̃j homomorfismo de Π1(Γj) em H tais que h̃1α̃1 = h̃2α̃2, existe um único θ̃ tal que h̃j = θ̃β̃j . Portanto, no diagrama 1 temos a existência de θ := θ̃. Falta mostrarmos que é único. Observamos que M = 〈Imβ̃1 ∪ Imβ̃2〉, então M = 〈Imβ1 ∪ Imβ2〉. Isso mostra que se θ existe, deve ser único. CAPÍTULO 3. O INVARIANTE DE BIERI-STREBEL E MÓDULO MANSO 48 Demonstração (Proposição 3.14): O fato que a Proposição 3.14 vale pode ser visto como corolário da Teoria de Bass-Serre sobre grupos que agem sobre árvores. Como nesse trabalho nós não abordamos essa teoria, vamos considerar uma demonstração usando forma reduzida de elementos do produto livre amalgamado, discutido no Teorema 1.17 do primeiro capítulo. Suponhamos então que os itens 2 e 3 não sejam válidos. Então existem a1, a2 ∈ M1 \ M12 e b1, b2 ∈M2 \M12. Temos que a1b1, a2b2 ∈ M e discutiremos quando a1b1 e a2b2 geram subgrupo de M que é livre de posto 2, isto é, quando M possui subgrupo livre não cíclico. Um grupo gerado por g1 e g2 é livre de posto 2 se, e somente se, qualquer palavra reduzida não trivial de g1 e g2 é sempre diferente da unidade. Consideramos gα11 g β1 2 g α2 1 g β2 2 . . . g αk 1 g βk 2 , onde β1 6= 0, α2 6= 0, β2 6= 0, α3 6= 0, . . . , αk 6= 0(α1 e βk podem ser zeros). Substituimos g1 com a1b1, g2 com a2b2 e obtemos uma palavra de a1, a2, b1 e b2 que representa elemento do produto livre amalgamado M1 ∗M12 M2. Estudaremos possibilidades sobre subpalavras com o objetivo de ver quando podemos usar o critério de forma reduzida sobre elementos do produto livre amalgamado. Podemos ter por exemplo: a1b1a1b1 a2b2a2b2 a1b1a2b2 a2b2a1b1 a1b1b −1 2 a −1 2 a2b2b −1 1 a −1 1 b−11 a −1 1 a2b2 b −1 2 a −1 2 a1b1 b−11 a −1 1 b −1 2 a −1 2 b −1 2 a −1 2 b −1 1 a −1 1 b−11 a −1 1 b −1 1 a −1 1 b −1 2 a −1 2 b −1 2 a −1 2 Queremos que b1b −1 2 6∈M12, a−11 a2 6∈M12, b2b−11 6∈M12 e a−12 a1 6∈M12. Mas como M12 é grupo, podemos somente considerar os casos em que b1b −1 2 6∈M12, a−11 a2 6∈M12. Observamos que b1b −1 2 6∈M12 é equivalente a M12b1 6= M12b2 e que a−11 a2 6∈M12 é equivalente a a1M12 6= a2M12. Então: ∃a1, a2 ∈M1 \M12 : a1M12 6= a2M12 ⇔ [M1 : M12] ≥ 3 ∃b1, b2 ∈M2 \M12 : M12b1 6= M12b2 ⇔ [M2 : M12] ≥ 3 Considerando g1 = a1b1, g2 = a2b2 e levando em conta que b1b −1 2 6∈ M12, a−11 a2 6∈ M12 mais o CAPÍTULO 3. O INVARIANTE DE BIERI-STREBEL E MÓDULO MANSO 49 resultado do Teorema 1.17 temos que gα11 g β1 2 g α2 1 g β2 2 . . . g αk 1 g βk 2 6= 1. Agora, consideramos o caso em que [M1 : M12] < 3 ou [M2 : M12] < 3. ComoM1 eM2 possuem papéis simétricos então, podemos supor [M1 : M12] < 3. Se [M1 : M12] < 3 então, [M1 : M12] = 1 ou [M1 : M12] = 2. Como estamos supondo que os itens (2) e (3) não valem então, [M2 : M12] 6= 1 e [M1 : M12] 6= 1. Logo restam que [M1 : M12] = 2 e [M2 : M12] 6= 2. Sejam g1 = ab3, g2 = b1ab2, onde a ∈M1\M12, b1, b2, b3 ∈M2\M12 e consideramos quando g1 e g2 geram subgrupo livre de posto 2. Como no caso anterior procuremos onde ocorre uma cancelação, isto é, quando o produto consecutivo de dois elementos de um mesmo grupo está em M12. Podemos ter: b1ab2b1ab2 b −1 2 a −1b−11 b −1 2 a −1b−11 ab3b1ab2 ab3b −1 2 a −1b−11 b1ab2b −1 3 a −1 b−12 a −1b−11 b −1 3 a −1 Como M12 é grupo podemos considerar somente os seguintes casos: b2b1 6∈ M12, b3b1 6∈ M12 e b3b −1 2 6∈M12. b2b1 6∈M12 ⇔M12b2 6= M12b−11 b3b1 6∈M12 ⇔M12b3 6= M12b−11 b3b −1 2 6∈M12 ⇔M12b3 6= M12b2 Portanto precisamos M12,M12b −1 1 ,M12b2 e M12b3 como classes laterais a direita, diferentes dois a dois, isto é, precisamos [M2 : M12] ≥ 4. Considerando os casos acima, mais o resultado do Teorema 1.17 e novamente substituindo g1 = ab3, g2 = b1ab2 em g α1 1 g β1 2 g α2 1 g β2 2 . . . g αk 1 g βk 2 temos que g α1 1 g β1 2 g α2 1 g β2 2 . . . g αk 1 g βk 2 6= 1. Logo se [M2 : M12] ≥ 4,〈g1, g2〉 é subgrupo livre de posto 2. Consideramos agora o caso quando [M1 : M12] = 2 e [M2 : M12] = 3. Sejam a ∈ M1 \M12, b ∈ M2 \ M12, g1 = bab e g2 = ababa−1. Queremos mostrar que g1 e g2 geram subgrupo livre de posto 2. Vejamos onde ocorrem as cancelações em gα11 g β1 2 g α2 1 g β2 2 . . . g αk 1 g βk 2 . Observamos que b2 6∈M12 então (bab)m tem uma das seguintes formas reduzidas: (bab)m = { babbab...bab, se m > 0 b−1a−1b−1b−1a−1b−1...b−1a−1b−1, se m < 0 Vejamos agora (ababa−1)m: CAPÍTULO 3. O INVARIANTE DE BIERI-STREBEL E MÓDULO MANSO 50 (ababa−1)m = { a(bab)(bab) . . . (bab)a−1, se m > 0 a(b−1a−1b−1)(b−1a−1b−1) . . . (b−1a−1b−1)a−1, se m < 0 Como (g1)m = (bab)m inicia e termina com b ou b−1, (g2)m = (ababa−1)m inicia com a e ter- mina com a−1 e em b±1a±1 não ocorre cancelamento, consequentemente temos que gαi1 g βi 2 e g βi 2 g αi+1 1 são formas reduzidas. Logo gα11 g β1 2 g α2 1 g β2 2 . . . g αk 1 g βk 2 pode ser apresentado como palavra reduzida de a, a−1, b e b−1 em M1 ∗M12 M2, portanto gα11 gβ12 gα21 gβ22 . . . gαk1 gβk2 6= 1. Então, 〈g1, g2〉 é subgrupo livre de posto 2. ¤ Agora vamos considerar um complexo de Z-módulos livre: ℘ : ZC ∂2−→ ZE ∂1−→ ZV ∂0=ε−→ Z ∂−1−→ 0 ZI é o Z-módulo livre com base I , para I = C,E ou V , isto é, os conjuntos de células, arestas ou vértices de um CW−complexo. Observação 3.7. Podemos ter outros complexos, mas para nós é suficiente o complexo acima. Como ZI é módulo livre, precisamos somente definir ∂i sobre a base, isto é, precisamos definir ∂0|V , ∂1|E e ∂2|C . ∂0|V é a aplicação de augmentação: ∂0|V : V −→ Z g 7−→ 1 Lembrando que τ(e) é o fim da aresta e e σ(e) é o início de e, definimos: ∂1|E : E −→ ZV e 7−→ τ(e)− σ(e) Finalmente, no caso das células c ∈ C, o bordo ∂c de c é um caminho fechado eε11 . . . eεkk , εi = ±1, ei ∈ E. Definimos ∂2(c) = ε1e1 + ε2e2 + . . .+ εkek. Agora é fácil ver que Im(∂2) ⊆ Ker(∂1) e Im(∂1) ⊆ Ker(∂0) Denotamos por Hi(Γ) para i = 0, 1 os grupos homológicos do complexo ℘, isto é, H1(Γ) = Ker(∂1) Im(∂2) , H0(Γ) = Ker(∂0) Im(∂1) . Observamos que Ker(∂0) é o Z-módulo gerado por v1 − v2, v1, v2 ∈ V . Sejam v1 e v2 conexos por caminho eε11 . . . e εk k . Então ∂1(ε1e1 + . . . + εkek) = v2 − v1 e v2 − v1 ∈ Im(∂1), logo Im(∂1) = Ker(∂0). Isto é, H0(Γ) = 0 se, e somente se, Γ é conexo por caminhos. CAPÍTULO 3. O INVARIANTE DE BIERI-STREBEL E MÓDULO MANSO 53 3.7 Grupos Metabelianos Observamos que o artigo [4] contém mais resultados do que nós discutimos no terceiro capítulo. Dizemos que G é grupo metabeliano se existe uma sequência exata curta de grupos A → G → Q com A e Q abelianos. No caso de G ser finitamente gerado e metabeliano (nesse caso G não pode ter subgrupo livre não cíclico), a volta do Teorema 4.1 de Bieri-Strebel vale. Este vem como o Teorema 5.4 do artigo [4]. Teorema 5.4: Seja G um grupo finitamente gerado com subgrupo normal abeliano A e quociente Q = G/A também abeliano. Então as seguintes condições são equivalentes: 1. G é finitamente apresentável, 2. G tem tipo FP2, 3. A é um ZQ-módulo manso, onde Q age sobre A via conjugação. 3.8 Um Exemplo Seja A o grupo abeliano Z[1 6 ] com operação + e Q ∼= Z grupo infinito cíclico com gerador q. Consideramos o produto semi-direto G = A o Q (a definição pode ser encontrada em [10]) onde q age via conjugação por meio da multiplicação com 2/3, isto é, qaq−1 = 2a 3 ∈ A para cada a ∈ A. Neste caso vemos que G é metabeliano. Neste caso A é finitamente gerado como ZQ-módulo via conjugação (de fato é cíclico com gerador 1), S(Q) como no exemplo 3.5 tem dois pontos e ΣA(Q) = ∅ poisA não é finitamente gerado como Z[23 ]-módulo eA não é finitamente gerado como Z[3 2 ]-módulo. Observamos que Z[2 3 ], o anel gerado por Z e 2/3, é igual a Z[1 3 ] e Z[3 2 ], o anel gerado por Z e 3/2, é igual a Z[1 2 ]. EntãoA não é um ZQ-módulo manso. Por outro ladoG é extensão de um grupo abeliano por outro abeliano, portanto é solúvel. Grupos solúveis não contém subgrupos livres não cíclicos. Então, pelo Teorema principal G não é finitamente apresentável. Observamos que esse exemplo segue também do resultado principal de [3] que usa decomposição de grupos do tipo FP2 como extensões HNN , mas essas extensões não foram estudadas nesse traba- lho. Ressaltamos somente que os produtos livres amalgamados e as extensões HNN são os blocos básicos na construção do grupo fundamental de grafo de grupos, que é objeto principal da teoria de Bass-Serre sobre grupos que agem sobre árvores. Conclusão Nesta tese alcançamos os nossos objetivos e apresentamos como as técnicas da teoria combina- torial de grupos (grupos livres, grupos finitamente apresentáveis, “push-out”, geradores e relações de grupos) e da topologia algébrica (grupo fundamental, recobrimento de espaços topológicos, gru- pos que agem propriamente descontínuos e Teorema de Seifert-Van Kampen) podem ser usados para obter resultados em teoria de grupos. 54 Referências Bibliográficas [1] M. Bestvina, N. Brady, Morse theory and finiteness properties of groups. Invent. Math. 129 (1997), no. 3, 445–470. [2] R. Bieri, Homological dimension of discrete groups. Second edition. Queen Mary College Mathe- matical Notes. Queen Mary College, Department of Pure Mathematics, London, 1981. [3] R. Bieri, R. Strebel, Almost finitely presented soluble groups. Comment. Math. Helv. 53 (1978), no. 2, 258–278. [4] R. Bieri, R. Strebel, Valuations and finitely presented metabelian groups. Proc. London Math. Soc. (3) 41 (1980), no. 3, 439–464. [5] K. S. Brown, Cohomology of groups. Springer-Verlag, New York, 1982. [6] D. E. Cohen, Combinatorial group theory: a topological approach. London Mathematical Soci- ety Student Texts, 14. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. [7] S. Lang, Algebra. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1965. [8] E. L. Lima, Grupo fundamental e espaços de recobrimento. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1998. [9] W. S. Massey, Algebraic topology: an introduction. Reprint of the 1967 edition. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 56. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. [10] J. Rotman, An introduction to homological algebra. Academic Press, New York-London, 1979. [11] J.P. Serre, Trees. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980. 55