Introdução à Teoria de Galois, Notas de estudo de Informática

Baixe Introdução à Teoria de Galois e outras Notas de estudo em PDF para Informática, somente na Docsity! Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática Introdução à Teoria de Galois Autor: Karina Branco da Cruz Orientador: Waldeck Schützer Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso B Curso: Licenciatura e Bacharelado em Matemática Professores Responsáveis: Karina Schiabel Sadao Massago Vera Lúcia Carbone São Carlos, 14 de março de 2014. Ao Edson, meu pai. Agradecimentos Agradeço, À Deus, primeiramente, por me guiar a esta carreira acadêmica, e ainda manter-me interessada diante a tantas diculdades. À minha família (minha mãe Rosana, meu pai Edson e meus irmãos: Igor e Vitor), pela devoção e suporte desde o meu nascimento. Ao Kálley Menezes Carvalho Alves, por toda dedicação, companheirismo e estímulo que tornaram possível esta realização. Aos meus estimados amigos, pela partilha de toda e qualquer emoção. À todos os professores, pela contribuição à minha formação. Em especial, ao Professor Waldeck Schützer, pela conança, prazerosa oportunidade de aprendizado e excelente forma de ndar meu curso. Sumário 1 Conceitos Básicos da Álgebra 1 1.1 Anel, Corpo, Subanel e Subcorpo - Denições e Exemplos . . . . . . . . . . 1 1.2 Homomorsmo de Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Relação de Equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Resolvendo Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Solução por radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6.1 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6.2 Equações Quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6.3 Equações Cúbicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7 Peculiaridades da Fórmula de Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.8 Equações Quárticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.9 Equações Quínticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 O Teorema Fundamental da Álgebra 17 2.1 Equações Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Teorema Fundamental da Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Implicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Fatoração de Polinômios 25 3.1 O Algoritmo Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Irredutibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Lema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 Critério de Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.5 Redução Módulo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Extensões de Corpos 37 4.1 Expressões Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2 Extensões Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5 Extensões Simples 43 5.1 O Polinômio Minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ix SUMÁRIO SUMÁRIO 5.2 Extensões Algébricas Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3 Classicando Extensões Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6 O Grau de uma Extensão 51 6.1 A Lei da Torre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 7 Construções com Régua e Compasso 57 7.1 Formulação Algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.2 Impossibilidade de Provas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8 Normalidade e Separabilidade 63 8.1 Corpos de Decomposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 8.2 Normalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 8.3 Separabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 9 Automorsmos de Corpos 71 9.1 K- Monomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 9.2 Corpos Intermediários: Corpos Fixos e Grupos de Galois - Uma olhadela . 72 9.3 Fecho Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 10 A Correspondência de Galois 79 10.1 O Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 11 Um exemplo prático 83 12 Solubilidade e Simplicidade 89 12.1 Grupos Solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 12.2 Grupos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 12.3 Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 13 Solução por radicais 97 13.1 Extensões Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 13.2 Uma quíntica insolúvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 14 O Polinômio Geral 105 14.1 Graus Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 14.2 Polinômios Elementares Simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 14.3 O Polinômio Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 14.4 Extensões Cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Referências Bibliográcas 113 x Lista de Tabelas 11.1 Q-automorsmos de K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 11.2 Q-automorsmos de A†. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 13.1 Estratégia da demonstração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 xiii xiv Introdução Segundo Eves (2011, [2]), Évariste Galois, pode ser considerado como um meteoro, que riscou o rmamento matemático com brilho intenso e matinal, para depois, súbita e pa- teticamente, extinguir-se em morte prematura, deixando material de valor extraordinário para ser trabalhado pelos matemáticos das gerações futuras. Tal material, teve seu início de produção durante a adolescência de Galois, quando este, passou a construir uma teoria com aplicações sobretudo à teoria das equações algébricas. Um dos resultados mais salientes desta teoria é a impossibilidade de resolução por meio de radicais de equações gerais de grau maior ou igual a cinco. Em busca de uma linguagem conveniente que permitisse capturar a essência do pro- blema da resolubilidade de equações algébricas, Galois foi levado a considerar o conjunto das permutações das raízes da equação, essencialmente desenvolvendo a ideia de grupo, um conceito até então não formalizado. Foi ele quem utilizou o termo grupo pela pri- meira vez no seu sentido técnico atual. A expressão do problema de construir soluções para equações partindo dos coecientes é convenientemente realizada através do conceito de extensão de corpos. Um resultado fundamental da Teoria de Galois arma que existe uma correspondência entre os subgru- pos do grupo de Galois de uma equação e os subcorpos do corpo das raízes desta equação. A teoria das extensões, desenvolvida no Trabalho de Conclusão de Curso A, teve como aplicação imediata a demonstração na negativa das assim chamadas impossibilidades clás- sicas: a quadratura do círculo, a trissecção de um ângulo qualquer e a duplicação de um cubo, usando apenas régua e compasso. O estudo da Teoria de Galois é particularmente interessante por motivar um estudo mais aprofundado de duas grandes sub-áreas da Álgebra: a Teoria dos Grupos e a Teoria dos Corpos. Deste modo, o trabalho em questão, cujo objetivo imediato é o de consolidar e apro- fundar alguns dos conceitos algébricos mencionados acima, dividiu-se primeiramente, em Trabalho de Conclusão de Curso A, contemplando os seguintes capítulos: Conceitos Bási- cos da Álgebra, O Teorema Fundamental da Álgebra, Fatoração de Polinômios, Extensões de Corpos, Extensões Simples, O Grau de uma Extensão e Construções com Régua e Com- passo; e, em Trabalho de Conclusão de Curso B, abrangendo os capítulos: Normalidade e Separabilidade, Automorsmos de Corpos, A Correspondência de Galois, Um exemplo prático, Solubilidade e Simplicidade, Solução por Radicais e O Polinômio Geral. xv 2 1.1 Anel, Corpo, Subanel e Subcorpo - Denições e Exemplos D) Distributividade à esquerda: a · (b+ c) = a · b+ a · c Distributividade à direita: (a+ b) · c = a · c+ b · c. Além das propriedades que o caracterizam, um anel pode possuir (não necessariamente) outras propriedades: M2) ∃ 1 ∈ A, 0 6= 1, tal que, x · 1 = 1 · x = x, ∀x ∈ A, e neste caso, dizemos que (A,+, ·) é um anel com unidade. M4) ∀x, y ∈ A, x · y = y · x, e assim, (A,+, ·) é um anel comutativo. DZ) x, y ∈ A, x · y = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0, em que, (A,+, ·) é dito ser um anel sem divisores de zero. Se (A,+, ·) é um anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero, dizemos que (A,+, ·) é um domínio de integridade. Finalmente, se um domínio de integridade (A,+, ·) satisfaz a propriedade: M3) ∀x ∈ A, x 6= 0,∃ y ∈ A, tal que, x · y = y · x = 1, dizemos que (A,+, ·) é um corpo. Denição 1.1.2 (Subanéis). Seja (A,+, ·) um anel e B um subconjunto não vazio de A. Suponhamos que B seja fechado para as operações + e · de A, isto é, (i) x, y ∈ B ⇒ x+ y ∈ B; (ii) x, y ∈ B ⇒ x · y ∈ B. Assim podemos considerar a adição e a multiplicação de A como operações de B. Se (B,+, ·) for um anel com estas operações, dizemos que B é um subanel de A. Proposição 1.1.3. Seja (A,+, ·) um anel e seja B um subconjunto de A. Então, B é um subanel de A, se, e somente se, as seguintes condições são vericadas: (i) O elemento neutro de A pertence a B: 0 ∈ B; (ii) B é fechado para a diferença: x, y ∈ B ⇒ x− y ∈ B; (iii) B é fechado para o produto: x, y ∈ B ⇒ x · y ∈ B. Demonstração. A demonstração de tal proposição, pode ser consultada em [3]. Denição 1.1.4. Se (A,+, ·) é um corpo, um subconjunto B de A é dito ser um subcorpo, se este é um subanel de A, e além disso, se x ∈ B, x 6= 0, então x−1 ∈ B. Exemplos 1.1.5. Contemplaremos alguns exemplos dos conceitos anteriormente deni- dos de um modo supercial, o leitor curioso poderá consultar detalhes em livros de álgebra, como por exemplo, [3] e [4]. 1 Conceitos Básicos da Álgebra 3 1. Se A for o conjunto de todas as matrizes reais 2× 2, com as operações usuais, isto é, A = {( a b c d ) : a, b, c, d ∈ R } , temos que A é um anel não comutativo com unidade e com divisores de zero. Po- demos generalizar tal fato a Matn(R); 2. Se F(R) é o conjunto das funções f : R → R, denido com as operações usuais, então F é um anel comutativo com unidade e com divisores de zero; 3. Z, o conjunto dos números inteiros, é um domínio de integridade; 4. n · Z, com n ≥ 2 (n ∈ N), são exemplos de anéis comutativos sem unidade; 5. Zn, com n ≥ 2 (n ∈ N) e não primo, são um anéis comutativos com divisores de zero. Em particular, Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} o é. Note que, 2 · 3 = 6 = 0, ou seja, 2, 3 são divisores de zero em Z6; 6. Z[√p] = {a+ b√p : a, b ∈ Z} com p primo é um domínio de integridade; 7. Zp com p primo é um corpo; 8. Q,R e C são exemplos de corpos; 9. Como Q ⊆ C temos que Q é um subcorpo de C, e portanto, um subanel do mesmo. 1.2 Homomorsmo de Anéis O conceito de extensão, crucial para o desenvolvimento da Teoria de Galois, exige o conhecimento de algumas funções especícas entre corpos, de um modo mais geral, entre anéis. Para tanto, vejamo-nas brevemente. Denição 1.2.1. Sejam A e A′ dois anéis. Denotemos (por comodidade), as operações de ambos anéis pelos símbolos + e ·; 0 para o elemento neutro de A; 0′, para o, de A′; 1 para a unidade de A (caso este possua), e 1′, para a, de A′. Uma função f : A → A′ diz-se um homomorsmo de A em A′ se satisfaz as seguintes condições: (i) f(x+ y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ A; (ii) f(x · y) = f(x) · f(y), ∀x, y ∈ A. Denição 1.2.2. Se f : A → A′ for um homomorsmo injetor, dizemos que f é um monomorsmo. 4 1.3 Números Complexos Denição 1.2.3. Se f : A → A′ for um homomorsmo bijetivo, dizemos que f é um isomorsmo. E portanto, os anéis A e A′ são isomorfos, donde escrevemos A ' A′. Denição 1.2.4. Os homomorsmos f : A→ A são chamados também de endomorsmos de A, já os isomorsmos de A sobre si mesmo são chamados de automorsmos de A. Proposição 1.2.5. Sejam A e A′ anéis. Seja f : A→ A′ um homomorsmo. Então, (a) f(0) = 0′; (b) f(−a) = −f(a), ∀a ∈ A; (c) Se A e A′ são domínios de integridade, então ou f é a função constante zero, ou f(1) = 1′; (d) Se A e A′ são corpos, então ou f é a função constante zero, ou f é injetiva (isto é, f é um monomorsmo). Demonstração. Esta demonstração pode ser encontrada em [3]. Partindo da ideia de trabalho com algo mais palpável, deniremos Grupos de Galois e toda a Teoria de Galois para números complexos, para futuramente apresentarmos de um modo mais simplicado uma visão abstrata dos mesmos. Podemos entender as extensões naturais em inteiros, em racionais, em reais e em complexos como uma necessidade de resolver mais equações. Este é um ponto crucial da Teoria de Galois, que determina a solubilidade ou não de uma equação polinomial. Sendo assim, a ideia de número complexo surge da necessidade de resolução de certas equações. Mais especicamente, do encontro das raízes da equação x2 + 1 = 0, que não possui solução em R (notar que o discriminante é um número negativo, e não temos denida raiz de um número negativo em R). 1.3 Números Complexos Podemos representar um número complexo de três maneiras equivalentes: algébrica, matricial e geométrica. Dado um número z ∈ C, dizemos que sua forma algébrica é dada por: z = x + iy, onde x = Re(z) e y = Im(z); ou ainda, como par ordenado representado no plano R2, z = (x, y). Já a forma matricial, com x = Re(z), y = Im(z), tem o seguinte aspecto, z = ( x −y y x ) . 1 Conceitos Básicos da Álgebra 7 relação a ∼, como o conjunto de todos os elementos a ∈ A relacionados a x, isto é, x = {a ∈ A : a ∼ x}. Proposição 1.4.4. Seja ∼ uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam x, y ∈ A. Então, 1. x = y ⇔ x ∼ y; 2. x 6= y ⇒ x ∩ y = ∅; 3. ⋃ x∈A x = A. Ou seja, uma relação de equivalência dene uma partição. Demonstração. 1. (⇒) Sejam x, y ∈ A e x = y. Temos de mostrar que x ∼ y. Como ∼ é de equivalência, x ∈ x e x = y ⇒ x ∈ y ⇒ x ∼ y. (⇐) Sejam x, y ∈ A e x ∼ y. Temos de mostrar que x = y. Como x ∼ y, temos que x ∈ y, e portanto, x ⊆ y. Simetricamente, y ⊆ x. Donde, concluímos a igualdade desejada. 2. Suponhamos x, y ∈ A e x 6= y. Se a ∈ x∩y então a ∼ x e a ∼ y. Assim, x ∼ y. Pelo item anterior, conseguimos que x = y, o que contraria a hipótese. Logo, x ∩ y = ∅. 3. Vamos provar que ⋃ x∈A x = A. De fato, temos primeiramente que x ⊂ A, ∀x ∈ A, daí segue que ⋃ x∈A x ⊂ A. Reciprocamente, temos que x ∈ x,∀x ∈ A, portanto, segue que A ⊂ ⋃ x∈A x. Exemplo 1.4.5. Seja A = Z, e n um número inteiro arbitrariamente xado. Vamos denir uma relação de equivalência em Z do seguinte modo: x, x′ ∈ Z, x ∼ x′ ⇔ x− x′ é um múltiplo inteiro de n. Veriquemos que esta é uma relação de equivalência: 1. Dado x ∈ Z, x ∼ x, pois x− x = 0 = n · 0; 2. Dados x, x′ ∈ Z, se x ∼ x′, então x − x′ = n · m para algum m ∈ Z. Ora, (x′ − x) = −(x− x′) = n · −m para o mesmo m ∈ Z, portanto, x′ ∼ x′; 8 1.5 Resolvendo Equações 3. Dados x, x′, x′′ ∈ Z, se x ∼ x′ e x′ ∼ x′′, então x− x′ = n ·m para algum m ∈ Z e x′−x′′ = n ·p para algum p ∈ Z. Mas, (x−x′′) = (x−x′)+(x′−x′′) = n ·m+n ·p = n · (m+ p) para m e p acima falados. Como o conjunto dos inteiros é um domínio de integridade, temos a validade da propriedade distributiva anteriormente usada, como também o fechamento diante as operações, isto é, m + p ∈ Z, o que mostra que x ∼ x′′. Tal relação é chamada congruência módulo n e denotada por ≡ (mod n). Como, dado x ∈ Z, x = {a ∈ Z : a ≡ x(mod n)}, e a ∈ x⇔ a− x = n · k, para algum k ∈ Z ⇔ a = x+ n · k, k ∈ Z. Segue que x = {x+ n · k, k ∈ Z}. Observe que se n = 0, temos que x = x e que ≡ (mod 0) nada mais é do que a relação de igualdade em Z. Por outro lado, se n > 0, a relação ≡ (mod n) nos proporciona n classes distintas 0, 1, ..., n− 1. Denição 1.4.6 (Conjunto Quociente). Seja ∼ uma relação de equivalência em um con- junto A. Chamamos de conjunto quociente de A pela relação de equivalência ∼, e deno- tamos por A ∼ , ao conjunto de todas as classes de equivalência relativamente a ∼. Assim, A ∼ = {x : x ∈ A}. Proposição 1.4.7. Seja ∼ uma relação de equivalência em um conjunto A, e seja A ∼ , o conjunto quociente de A por ∼. Seja π : A→ A∼ denida por π(x) = x,∀x ∈ A, chamada de projeção canônica. Então a relação ∼ é proveniente da função π. Demonstração. De fato, basta observar que se x, y ∈ A temos x ∼ y ⇔ x = y ⇔ π(x) = π(y), como queríamos. 1.5 Resolvendo Equações A História da Matemática nos mostra que a razão usual para a introdução de um novo tipo de número é a inadequação dos números antigos para a solução de alguns problemas relevantes. Por exemplo, o passo de N para Z é necessário, uma vez que, equações como, t+ 7 = 2 não podem ser resolvidas para t ∈ N. Entretanto, tais equações podem ser resolvidas em Z. Similarmente, o passo de Z para Q, tornou possível a resolução da equação, 2t = 7. 1 Conceitos Básicos da Álgebra 9 E, de uma forma geral, at+ b = 0, em que a, b são números especícos e t é um número desconhecido (ou variável). Tais equações são ditas lineares. E estas, vistas em subcorpos de C, podem ser resolvidas com a solução única t = −b a , quando a 6= 0. O passo de Q para R é relatado por um tipo diferente de equação: t2 = 2, já que a solução t = √ 2 é um número irracional. Analogamente, o passo de R para C é centrado na equação, t2 = −1 que não tem soluções reais, pois o conjunto dos números reais é um corpo bem ordenado, e o quadrado de qualquer número real sempre é um número positivo. Equações da forma, at2 + bt+ c = 0 são chamadas de equações quadráticas. A fórmula clássica para suas soluções é: t = −b± √ b2 − 4ac 2a , com a 6= 0. Para os números reais, a fórmula faz sentido se b2 − 4ac ≥ 0 e não se b2 − 4ac < 0; para os complexos, ela faz sentido em qualquer um dos casos. Para os racionais, esta faz sentido apenas quando b2 − 4ac é um quadrado perfeito. 1.6 Solução por radicais Entendendo solução por radicais de uma equação polinomial, como sendo o encontro de raízes da mesma, por meio de apenas operações elementares (adição, subtração, multi- plicação, divisão e radiciação), analisaremos nesta seção o comportamento especíco dos tipos de polinomiais. 1.6.1 Equações Lineares Sejam a, b ∈ C, com a 6= 0. Uma equação linear geral é: at+ b = 0 12 1.7 Peculiaridades da Fórmula de Cardano e v = −q 2 ± √ q2 4 + p3 27 . Disto, encontramos y = 3 √ −q 2 + √ q2 4 + p3 27 + 3 √ −q 2 − √ q2 4 + p3 27 , que é chamada fórmula de Cardano (por virtude de publicação). Finalmente, lembrando que a solução t da equação original é igual a y− a 3 , resolvemos o problema. 1.7 Peculiaridades da Fórmula de Cardano Lembremos de que, sobre C, qualquer número complexo z não nulo possui três raízes cúbicas. Se uma delas é α, então as demais são ωα e ω2α. onde ω = −1 2 + i √ 3 2 . A expressão para y, entretanto, aparece com nove soluções da forma: α + β α + ωβ α + ω2β ωα + β ωα + ωβ ωα + ω2β ω2α + β ω2α + ωβ ω2α + ω2β onde α, β são escolhas especícas das raízes cúbicas. Entretanto, nem todas estas expressões são zeros. Se escolhermos α, β tal que 3αβ + p = 0, então as soluções são: α + β, ωα + ω2β, ω2α + ωβ. Outras peculiaridades emergem quando nos deparamos com equações cujas soluções são conhecidas. Por exemplo, y3+3y−36 = 0, que tem y = 3 como solução. Por Cardano, temos y = 3 √ 18 + √ 362 4 + 33 27 + 3 √ 18− √ 362 4 + 33 27 = 3 √√√√ 18 + √( 36 2 )2 + 1 + 3 √√√√ 18− √( 36 2 )2 + 1 = 3 √ 18 + √ 325 + 3 √ 18− √ 325, que parece estar bem longe de 3. Como Cardano observou em seu livro, isto piora. A fórmula homônima aplicada a t3 − 15t − 4 = 0, resulta em t = 3 √ 2 + √ −121 + 3 √ 2− √ −121, que contrasta com a solução por inspeção t = 4. Estes pequenos erros de Cardano (que conscientemente os reconhecia), foram devida- mente consertados por volta de 1560 com Raphael Bombelli e 1629 com Albert Girard. 1 Conceitos Básicos da Álgebra 13 1.8 Equações Quárticas Começamos com, t4 +at3 + bt2 + ct+d = 0. Fazemos a transformação de Tschirnhaus, y = t+ a 4 , donde t = y − a 4 , e obtemos: ( y − a 4 )4 + a ( y − a 4 )3 + b ( y − a 4 )2 + c ( y − a 4 ) + d = 0( y − a 4 )( y − a 4 )3 + a ( y3 − 3y2a 4 + 3y a2 16 − a 3 64 ) + b ( y2 − a 2 y + a2 16 ) + cy− ca 4 + d = 0 ( y − a 4 )( y3 − 3y2a 4 + 3y a2 16 − a 3 64 ) +ay3−3y2a 2 4 +3y a3 16 −a 4 64 +by2−ba 2 y+b a2 16 +cy−ca 4 +d = 0 y4 − 3y3a 4 + 3y2 a2 16 − a 3 64 y − y3a 4 + 3y2 a2 16 − 3y a 3 64 + a4 64 · 4 + + ay3 − 3y2a 2 4 + 3 a3 16 − a 4 64 + by2 − ba 2 y + b a2 16 + cy − ca 4 + d = 0 y4+ ( 6 a2 16 − 3a 2 4 + b ) y2+ ( −a 3 16 + 3 a3 16 − ba 2 + c ) y+ ( a4 64 · 4 − a 4 64 − ca 4 + d+ b a2 16 ) = 0 Fazendo p = ( 6a 2 16 − 3a2 4 + b ) , q = ( −a3 16 + 3a 3 16 − ba 2 + c ) e r = ( a4 64·4 − a4 64 − ca 4 + d+ ba 2 16 ) , podemos reescrever a equação na forma, ( y2 + p 2 )2 = −qy − r + p 2 4 . (1.3) Introduzimos agora um novo parâmetro u, e observamos que:( y2 + p 2 + u )2 = ( y2 + p 2 )2 + 2 ( y + p 2 ) u+ u2 = −qy − r + p 2 4 + 2uy + pu+ u2 onde na última igualdade usamos (1.3). Escolhemos u de modo que o lado direito seja um quadrado perfeito. Se ele o é, este deve ser o quadrado de √ 2uy − q 2 √ 2u, e então, −r + p 2 4 + pu+ u2 = q2 8u . Equivalentemente, com u 6= 0, 8u3 + 8pu2 + (2p2 − 8r)u− q2 = 0, (1.4) 14 1.9 Equações Quínticas que é cúbica em u. Resolvendo pelo método de Cardano, encontramos u. Agora,( y2 + p 2 + u )2 = (√ 2uy − q 2 √ 2u )2 então, y2 + p 2 u = ± (√ 2uy − q 2 √ 2u ) . Finalmente, conseguimos resolver a quadrática acima encontrando y. Se u = 0, não obtemos (1.4), mas se u = 0, então q = 0, e a equação quártica y4 + py2 + qy + r = 0 é quadrática em y2, e pode ser resolvida usando apenas raízes quadradas. 1.9 Equações Quínticas Podemos começar resolvendo uma quíntica geral: t5 + at4 + bt3 + ct2 + dt+ e = 0. A transformação de Tschirnhaus y = t+ a r reduz a equação acima para y5 + py3 + qy2 + ry + s = 0. Entretanto, aplicando todas as estratégias comuns de resoluções anteriores, obtemos um impasse. Lagrange, em 1770-1771, analisou todas as estratégias, e mostrou que eles podem ser explicados usando princípios gerais sobre funções simétricas de raízes. Quando ele aplicou este método a quíntica, entretanto, ele descobriu que reduzia o problema a resolver uma equação do sexto grau. Uma fascinante descrição destas ideias, juntamente com um método para resolver quínticas, quando não solúveis por radicais, pode ser encontrado em anotações de George Neville Watson e reescritas por Bernatt, Spearman e Willians (2002). Lagrange observou que todos os métodos para resolver equações polinomiais por ra- dicais envolviam construção de funções racionais de raízes que assumiam um pequeno número de valores quando as raízes αj eram permutadas. Proeminente através desta expressão: δ = ∏ j<k (αj − αk) que traz somente dois valores, ±δ: mais para as permutações pares e menos para as permutações ímpares. Entretanto, ∆ = δ2 é uma função racional de coecientes. Lagrange trabalhou nestas expressões para cúbicas e quárticas, e percebeu um padrão. Por exemplo, se a polinomial cúbica tivesse as raízes α1, α2, α3 e ω como a raiz cúbica primitiva da unidade, então a expressão ω = (α1 + ωα2 + ω 2α3) 3 Capítulo 2 O Teorema Fundamental da Álgebra No início do século XIX, período em que Galois viveu, era natural pensar em inves- tigações matemáticas sobre o corpo dos números complexos, uma vez que, os reais eram inadequados para determinados propósitos (por exemplo, não havia √ −1 em R). Além disso, a aritmética, a álgebra e análise dos complexos eram mais ricas, elegantes e mais completas do que a dos reais. Uma das propriedades chaves de C, o Teorema Fundamental da Álgebra, diz que qualquer equação polinomial com coecientes em C tem uma solução em C. Tal teorema é falso sobre R, por exemplo, tome t2 +1 = 0, que não possui solução em R como já visto. 2.1 Equações Polinomiais As equações lineares, quadráticas, cúbicas, quárticas e quínticas são exemplos de um tipo mais geral de equações: as polinomiais. Estas são da forma, P (t) = 0, onde P (t) é uma polinomial em t. Polinomiais são importantes na matemática em diversos contextos, como também na literatura. Estamos acostumados a pensar que uma polinomial é uma função que mapeia t com os valores da expressão conhecidas, tal que a primeira polinomial representa a função f tal que f(t) = t2− 2t+ 6. Como não é uma boa ideia pensar numa polinomial como uma função, devido a campos mais gerais, a deniremos em um contexto mais amplo. Deniremos um polinômio sobre C com indeterminada t, como a expressão r0 + r1t+ ...+ rnt n onde ri ∈ C com 0 ≤ i ≤ n, i ∈ N, e t indenido. Para teóricos conjuntistas puristas (que não aceitam uma expressão logicamente falada como acima), podemos reorganizar a 17 18 2.1 Equações Polinomiais expressão por meio de sequência (r0, r1, ..., rn). Que de algum modo, t é representado por (0, 1, 0, ..., 0). Os elementos r0, ..., rn são os coecientes do polinômio. De modo usual, os termos 0tm podem ser omitidos ou escritos como 0, e 1tm pode ser substituído por tm. Duas polinomiais são ditas iguais se, e só se, os correspondentes coecientes são iguais, se potências de t não aparecem, estes devem ser entendidos como termos de coecientes nulo. Para denirmos a soma e o produto de duas polinomiais, escrevemos∑ rit i = r0 + r1t+ ...+ rnt n com i ≥ 0 e rk = 0,∀k ≥ n. Então, se r = ∑ rit i e s = ∑ sit i, denimos r + s = ∑ (ri + si)t i e r · s = ∑ qjt j onde qj = ∑ h+i=j rhsi. Com estas denições, vericamos que o conjunto C[t], dos polinômios sobre C com indeterminada t, é um anel. Na verdade, um domínio de integridade, mais ainda uma álgebra. Pensemos um pouco na questão do inverso multiplicativo, uma vez que, é este axioma que impede C[t] de ser um corpo: Seja f ∈ C[t]− {0} e suponha que existe g ∈ C[t]− {0} tal que f(t) · g(t) = 1. Então ∂(f(t) · g(t)) = ∂f(t) + ∂g(t) = ∂1 = 0 ⇒ ∂f(t) = ∂g(t) = 0. Logo, f(t) e g(t) são polinômios constantes. Assim, os únicos polinômios invertíveis são os constantes dados por polinômios invertíveis de C. Podemos também denir polinômios em várias indeterminadas, t1, t2, ..., tn obtendo o anel de n variáveis polinomiais C[t1, t2, ..., tn] de modo análogo. Um elemento de C[t] é geralmente denotado por uma única letra, como f, exceto quando há ambiguidade, donde denotamos por f(t) enfatizando t. Denição 2.1.1. Se f é um polinômio sobre C e f 6= 0, então o grau de f é a maior potência de t ocorrendo em f com coeciente não nulo. De modo mais geral, se f = ∑ rit i e rn 6= 0 e rm = 0 para m > n, então f tem grau n. Escrevemos ∂f para o grau de f . Para o caso f = 0, adotamos a convenção que ∂0 = −∞ (onde −∞ < n,∀n ∈ Z;−∞+ n = −∞;−∞ · n = −∞; (−∞)2 = −∞). Proposição 2.1.2. Se f, g são polinômios sobre C, então ∂(f + g) ≤ max(∂f, ∂g) e ∂(f · g) = ∂f + ∂g. 2 O Teorema Fundamental da Álgebra 19 Justicativas informais da escolha se dão, no primeiro caso devido a possibilidade de cancelamento dos termos; e no segundo caso, resultado da propriedade da exponencial xn · xm = xn+m. Proposição 2.1.3. Dois polinômios f, g sobre C denem a mesma função se, e somente se, eles tem os mesmos coecientes. Demonstração. Sejam f(t) = g(t), com f, g ∈ C[t]. Tomemos h(t) = f(t) − g(t), como sabemos o que signica a igualdade, temos que h(t) = an−1tn−1 + ... + a0 = 0, ou seja, todos seus coecientes são nulos, e assim f e g denem a mesma função sobre g. Como h(t) = 0,∀t ∈ C, podemos diferenciar n vezes para obtermos que h(n)(t) = 0,∀t ∈ C. Em particular, h(m)(0) = 0,∀n ∈ N. Mas, uma indução simples mostra que h(n)(0) = n′ · an, então an = 0,∀n ∈ N. 2.2 Teorema Fundamental da Álgebra A partir de equações polinomiais insolúveis em um corpo, os estendemos até o C. Agora ca a pergunta, por que paramos em C? Por que não encontramos uma equação que não possui solução sobre C, e estendemos o sistema numérico para encontrarmos tal solução? A resposta é porque tal equação não existe, ao menos se nos limitarmos a polinomiais. Toda equação polinomial sobre C tem solução em C. Tal proposição foi muito debatida por volta de 1700. Em 1702 (no papel), Leibniz mostrou que isto pode ser verdade, citando o exemplo: x4 + a4 = (x+ a √√ −1)(x− a √√ −1)(x+ a √ − √ −1)(x− a √ − √ −1) e Nicholas Bernoulli publicou a mesma fórmula em 1719. A resolução consiste em observar que √ i = 1±i 2 . Em 1742, Euler, sem provar, disse que todo polinômio real pode ser decomposto em lineares ou fatores de quadráticos com coecientes reais; Bernoulli de outro modo, citou x4 − 4x3 + 2x2 + 4x+ 4 com zeros/raízes 1 + √ 2 + √ −3, 1− √ 2 + √ −3, 1 + √ 2− √ −3 e 1− √ 2− √ −3. Euler respondeu, em uma carta a seu amigo Christian Golbach, que os quatro fatores ocorrem como dois pares de complexos conjugados, e que o produto de tais pares de fatores é um número real ao quadrado. Ele mostrou isto como exemplo da proposta de Bernoulli. Golbach sugeriu que x4 + 72x − 20 não concorda com a armação de Euler, e Euler pontuou um erro computacional adicionando que teria provado o teorema para polinômios de grau menor do que, ou igual a 6. Euler e Jean Le Rond d'Alembert deram provas completas para qualquer grau; Lagrange clamou pelo preenchimento dos buracos na prova de Euler em 1772, mas ele cometeu o erro de assumir que as raízes existiam, e 22 2.3 Implicações onde, r() =  1−  , quando  = 1, denimos, γ1(θ) = e niθ. Agora, γ é denida para todo  ∈ [0, 1]. Armamos que γ : S × [0, 1] → R2 é contínua, onde γ(θ, ) = γ(θ). Temos isto nitidamente (quociente de contínuas), exceto quando  = 1. Como  → 1, a função r() tende a +∞, então lim →1 γ(θ) = lim r()→+∞ P (r()eiθ) r()n + 1 . Suponha que P (t) = tn + an−1t n−1 + ...+ a0 Então, P (r()eiθ r()n + 1 = r()n r()n + 1 eniθ + an−1r() n−1e(n−1)iθ + ...+ a0 r()n + 1 . O segundo termo do lado direito da equação tende a 0 quando r()→ +∞, e o primeiro, tende a eniθ. Portanto, para cada θ, lim →1 γ(θ) = γ1(θ). Do fato de podermos tomar θ no intervalo fechado [0, 2π], a convergência é uniforme em θ. E assim, γ é contínua. Ao assumirmos que P (z) é não nulo para todo z ∈ C, implicamos que a curva denida por γ não encontra/passa pela origem para qualquer  ∈ [0, 1]. Além do mais, γ(θ) = 0 se, e somente se, P (r()eiθ) = 0. Pelo Teorema anterior ω(γ0) = ω(γ1). Entretanto, os exemplos mostram que ω(γ0) = 0, onde ω(γ1) = n ≥ 1. O que é uma contradi- ção. Portanto, a suposição de que P (t) não tem raízes em C é falsa, como queríamos demonstrar. 2.3 Implicações O Teorema Fundamental da Álgebra tem algumas implicações uteis. Antes de provar- mos a mais básica destas, provaremos primeiro o Teorema do Resto. Teorema 2.3.1 (Teorema do Resto). : Seja p(t) ∈ C[t] com ∂p ≥ 1, e seja α ∈ C. 1. Existe q(t) ∈ C[t] e r ∈ C tal que p(t) = (t− α)q(t) + r; 2. A constante r satisfaz, r = p(α). 2 O Teorema Fundamental da Álgebra 23 Demonstração. Seja y = t− α tal que t = y + α. Escrevemos p(t) = pntn + ... + p0 onde pn 6= 0 e n ≥ 1. Então, p(t) = pn(y + α) n + ...+ p0. Expanda as potências de (y+α) pelo teorema binomial, e reagrupe os teoremas de modo a obter: p(t) = any n + ...+ a1y + a0, aj ∈ C = y(any n−1 + ...+ a1) + a0 = (t− α)q(t) + r onde, q(t) = an(t− α)n + ...+ a1(t− α) + a0 e r = a0. Agora substituindo t = α em p(t) = (t− α)q(t) + r, teremos p(α) = (α− α)q(α) + r = 0 · q(α) + r = r. Corolário 2.3.2. O número complexo α é raiz de p(t) se, e somente se, (t − α) divide p(t) em C[t]. Proposição 2.3.3. Seja p(t) ∈ C[t] com ∂p = n ≥ 1. Então existe α1, ..., αn ∈ C, e 0 6= k ∈ C, tal que, p(t) = k(t− α1) · ... · (t− αn). (2.2) Demonstração. Usemos indução sobre n. Para o caso n = 1 é imediato. Se n > 1, sabemos do Teorema Fundamental da Álgebra, que p(t) tem ao menos uma raiz em C; chamemos tal de αn. Pelo Teorema do Resto, existe q(t) ∈ C[t] tal que p(t) = (t− αn)q(t). (2.3) (Notemos que r = p(αn) = 0). Então, ∂q = n− 1, assim por indução, q(t) = k(t− α1) · ... · (t− αn−1). (2.4) Para alguns números complexos k, α1, ..., αn−1. Substituamos (2.4) em (2.3), e o passo de indução está completo. Segue imediatamente que os complexos αj são os únicos zeros de p(t). Os zeros αj não precisam ser distintos. Agrupando aqueles que são iguais, reescrevemos 24 2.3 Implicações (2.2) como, p(t) = k(t− β1)m1 · ... · (t− βl)ml onde βj são distintos, emj são inteiros maiores do que, ou iguais a 1, e ainda,m1+...+ml = n. Chamamos mj de multiplicidade do zero βj de p(t). Em particular, provamos que todo polinômio complexo de grau n tem precisamente n raízes complexas, contadas a partir da multiplicidade. 3 Fatoração de Polinômios 27 e o resto. t4 − 7t3 + 5t2 + 4 | t2 + 3 −t4 − 3t2 t2 − 7t+ 2 = q(t) −7t3 + 2t2 + 4 7t3 + 21t 2t2 + 21t+ 4 −2t2 − 6 r(t) = 21t− 2. Observe que t2(t2 + 3) = t4 + 3t2 tem o mesmo coeciente líder que tem a g. Então, g − t2(t2 + 3) = −7t3 + 2t2 + 4, que tem o mesmo coeciente líder do que −7t(t2 + 3) = −7t3 − 21t. Assim, g − t2(t2 + 3) + 7t(t2 + 3) = 2t2 + 21t+ 4, que possui o mesmo coeciente líder que 2(t2 + 3) = 2t2 + 6. Portanto, g − t2(t2 + 3) + 7t(t2 + 3)− 2(t2 + 3) = 21t− 2. Então, g = (t2 + 3)(t2 − 7t+ 12) + (21t− 2) e o quociente q(t) = t2 − 7t+ 2, enquanto que o resto r(t) = 21t− 2. Denição 3.1.3. Sejam f e g polinômios sobre K. Dizemos que f divide g (ou f é um fator de g, ou g é múltiplo de f), se existe algum polinômio h sobre K tal que g = fh. A notação f |g signicará f divide g, enquanto que f - g, f não divide g. Denição 3.1.4. Um polinômio d sobre K é um maior fator comum (mdc) dos polinô- mios f e g sobre K se d|f e d|g e além disso, sempre que e|f e e|g, temos e|d. Maior fator comum não precisa ser único. O lema seguinte mostrará que eles são únicos exceto por fatores constantes. Lema 3.1.5. Se d é um maior fator comum dos polinômios f e g sobre K, e se 0 6= k ∈ K então kd também é um fator comum para f e g. 28 3.1 O Algoritmo Euclidiano Se d e e são dois maiores fatores comuns para f e g, então existe um elemento não nulo k ∈ K, tal que, e = kd. Demonstração. Como d|f , então f = m ·d para algum m ∈ K; também d|g, ou seja, para algum l ∈ K, g = l · d. Se tomarmos m k e l k vemos claramente que kd|f e kd|g. Se e|f e e|g, então e|d, logo e|kd. Assim, kd é o maior fator comum. Se d e e são maiores fatores comuns, então pela denição e|d e d|e. Portanto, e = k · d para algum polinômio em K. Por causa que e|d, o grau de e é menor do que ou igual ao grau de d, então k deve ter grau ≤ 0. Assim, k é uma constante, e pertence a K. Como 0 6= e = k · e, devemos ter k 6= 0. Algoritmo 3.1.6 (Algoritmo Euclidiano). Entrada: Dois polinômios f e g sobre K, ambos não nulos. Saída: Um polinômio m que é o maior fator comum entre f e g (provado no Teorema 3.1.7 abaixo). Descrição: Por conveniência de notação, seja f = r−1 e g = r0. Use o Algoritmo da Divisão para encontrar sucessivamente polinômios qj e ri tais que: r−1 = q1r0 + r1 ∂r1 < ∂r0 r0 = q2r1 + r2 ∂r2 < ∂r1 r1 = q3r2 + r3 ∂r3 < ∂r2 ... ... ri = qi+2ri+1 + ri+2 ∂ri+2 < ∂ri+1. Por causa dos graus de ri formarem uma sequência de inteiros não negativos estritamente decrescente, após um número nito de divisões certamente obteremos um resto igual a zero, digamos rs+2 = 0 e, nesse momento, o processo para. Sendo assim, a última equação nesta lista (cujo resto não é zero) seria rs = qs+2rs + rs+1. (3.1) Podemos tomar m = rs+1. Teorema 3.1.7. Com a notação acima, m = rs+1 é um maior fator comum para f e g. Demonstração. Primeiro, mostremos que rs+1 divide f e g. Usaremos indução decrescente para mostrar que rs+1|ri para todo i. Claramente, rs+1|rs+1. Pela Equação (3.1) temos que rs+1|rs. Já (3.1.6) implica que se, rs+1|ri+2 e rs+1|ri+1 então, rs+1|ri. Como rs+1|ri para todo i; em particular, rs+1|r0 = g e rs+1|r−1 = f . Agora suponhamos que e|f e e|g. Por (3.1.6) e induções, e|ri para todo i. Em particular, e|rs+1. Portanto, rs+1 é um maior fator comum de f e g, como armado. 3 Fatoração de Polinômios 29 Exemplo 3.1.8. Seja f(t) = t4 +3t3 +2t2 +2t+1, e g(t) = t2−1 sobre Q. Calcularemos o maior fator comum como segue: t4 + 2t3 + 2t2 + 2t+ 1 = (t2 + 2t+ 3)(t2 − 1) + 4t+ 4 t2 − 1 = (4t+ 4) ( 1 4 t− 1 4 ) . Percebemos que 4t+ 4 é um maior fator comum. Então qualquer múltiplo racional deste também o é. Em particular, t+ 1. Teorema 3.1.9. Sejam f e g polinômios não nulos sobre K, e seja d um maior fator comum de f e g. Então existem polinômios a e b sobre K, tais que d = af + bg. Demonstração. Sabemos que o maior fator comum é único a menos de constantes, deve- mos assumir que d = rs + 1, onde (3.1.6) e (3.1) valem. Suponhamos por hipótese de indução que existam polinômios ai e bi tais que, d = air + biri + 1. Temos claramente que isto é verdade quando i = s + 1, donde devemos tomar ai = 1, bi = 0. Por (3.1.6), ri+1 = ri−1 − qi+1ri. Como, por indução, d = airi + bi(ri−1 − qi+1r1), colocando ai−1 = bi e bi−1 = ai − biqi + 1 teremos d = ai−1ri−1 + bi−1ri, e da indução decrescente, d = a−1r−1 + b−1r0 = af + bg, com a = a−1, b = b−1. Completando a demonstração. 3.2 Irredutibilidade Em particular, nós provamos que todo polinômio sobre um subanel de C pode ser expresso como um produto de polinômios irredutíveis essencialmente de um modo único. 32 3.3 Lema de Gauss Agora, f |haf , e f |hbg já que f |gh. Portanto, f |h, completando assim a demonstração. Teorema 3.2.7. Dado qualquer subcorpo K de C, a fatoração de polinômios sobre K em polinômios irredutíveis é única, exceto por fatores constantes e a ordem em que estes fatores são escritos. Demonstração. Suponha que f = f1 ·...·fr = g1 ·...·gs, em que f é um polinômio sobreK e f1, ..., fr, g1, ..., gs são polinômios irredutíveis sobreK. Se todos os fi são constantes, então f ∈ K, e todos os gj também são constantes. Por outro lado, assumamos que nenhum fi é constante (basta dividirmos pelos que o são). Então, f1|g1 · ... · gs. Por indução baseada no Lema anterior, f1|gj para algum j. Escolhamos por facilidade, j = 1, então f1|g1. Como f1 e g1 são irredutíveis e f1 não é constante, devemos ter f1 = k1g1 para alguma constante k1 ∈ K. Analogamente, f2 = k2g2, ..., fr = krgr, com k2, ..., kr constantes em K. Os demais gl com l > r devem ser constantes, ou o grau do lado direito da equação seria muito mais alto do que o esquerdo. Assim, temos o teorema demonstrado. 3.3 Lema de Gauss Em geral é difícil de decidir - sem usar álgebra computacional, de nenhum modo - se um polinômio dado é irredutível. Por exemplo, tome t16 + t15 + t14 + t13 + t12 + t11 + t10 + t9 + t8 + t7 + t6 + t5 + t4 + t3 + t2 + t+ 1 Este exemplo será retomado no nal do trabalho, onde a questão de irredutibilidade(ou não) será imprescindível. Testar irredutibilidade tentando todas as possibilidades de fatores é geralmente inútil. Além do mais, em um primeiro momento, há innitamente muitos fatores potenciais para se tentar, com um sutil corte, as possibilidades podem ser reduzidas a um número nito, geralmente grande. O método pode ser aplicados para polinômios em Q, mesmo este sendo realmente impraticável. Logo, devemos inventar algo mais prático. Nas próximas duas seções, descreveremos dois deles: Critério de Eisenstein e Redução Módulo p, com p primo. Ambos os métodos, aplicam-se num primeiro momento sobre Z. Entretanto, devido a Gauss, sabemos que irredutibilidade sobre Z é equivalente a irredutibilidade sobre Q. Lema 3.3.1 (Lema de Gauss). Seja f um polinômio sobre Z que é irredutível sobre Z. Então f , considerado como um polinômio sobre Q, é também irredutível sobre Q. Demonstração. Quando estendemos um subanel de coecientes em Z a Q, há novos po- linômios, que talvez, possam ser fatores de f . Mostraremos que, de fato, isto não é possível. Então suponhamos que f é irredutível sobre Z, mas redutível sobre Q, isto é, 3 Fatoração de Polinômios 33 f = gh, com g, h polinômios sobre Q de graus menores do que o de f . Multipliquemos a equação pelo produto dos denominadores dos coecientes de g e h, donde camos com nf = f ′g′, em que n ∈ Z, n é igual ao produto dos denominadores, e g′, h′ são polinômios em Z. Mostraremos agora que, podemos cancelar os fatores primos de n um por um, sem sairmos de Z[t]. Suponhamos que p é um fator primo de n. Armamos que g′ = g0 + g1t+ ...+ grt r e h′ = ho + h1t+ ...+ hst s então, p divide todos os coecientes gi, ou p divide todos os coecientes de hj. Caso contrário, deveríamos ter menores valores para i e j tais que p - gi e p - hj. Entretanto, p divide todos os coecientes ti+j em g′h′, que são h0gi+j + h1gi+j−1 + ...+ hjgi + ...+ hi+jg0 e pela escolha de i e j, o primo p divide todos os termos desta expressão, exceto talvez hjgi. Ora, p divide toda a expressão, então p|hjgi. Entretanto, p - hj e p - gi, uma contradição. O que acaba por provar nossa armação. Sem perda de generalidade, devemos assumir que p divide todo o coeciente de gi. Daí, g′ = pg′′, onde g′′ é um polinômio sobre Z do mesmo grau que g′(ou g). Seja n = pn1. Então pn1f = pg′′h′, donde, n1f = g′′h′. Procedendo deste modo, podemos remover todos os fatores primos de n chegando na equação, f = gh, com g, h polinômios sobre Z. Ou seja, são múltiplos racionais do original g e h, então ∂g = ∂g e ∂h = ∂h. O que contradiz a irredutibilidade de f sobre Z, o que leva a termos provado o lema. Corolário 3.3.2. Seja f ∈ Z[t] e suponha que sobre Q[t] há uma fatoração em irredutíveis f = g1 · ... · gs. Então existe ai ∈ Q tal que ai, gi ∈ Z[t] e a1 · ... · as = 1. Além do mais, f(a1g1) · ... · (asgs), que é uma fatoração de f em irredutíveis em Z[t]. Demonstração. Fazendo a fatoração de f em irredutíveis sobre Z[t], obtemos f = h1·...·hr. Pelo Lema de Gauss, cada hj é irredutível sobre Q. Assim, pela unicidade da fatoração em Q[t], devemos ter r = s e hj = ajgj para aj ∈ Q. E, claramente, a1 · ... · as = 1. Logo, o corolário está devidamente provado. 34 3.4 Critério de Eisenstein 3.4 Critério de Eisenstein Ferdinand Gotthold Eisenstein era um aluno de Gauss, e seu tutor. Vemos que isto inuenciou trabalhos, podemos aplicar o Lema do tutor no critério descoberto pelo aluno. Teorema 3.4.1 (Critério de Eisenstein). Seja f(t) = a0 + a1t + a2t2 + ... + antn um polinômio sobre Z. Suponha que exista um primo q tal que, 1. q - an; 2. q|ai(i = 0, 1, ..., n− 1); 3. q2 - a0. Então f é irredutível sobre Q. Demonstração. Pelo Lema de Gauss, é suciente mostrar que f é irredutível sobre Z. Suponhamos por contradição que f = gh, em que, g = b0 + b1t+ ...+ brt r h = c0 + c1t+ ...+ cst s são polinômios de grau menor do que f sobre Z. Então, r ≥ 1, s ≥ 1, r + s = n. Agora, b0c0 = a0, e pelo item 2., q|a0 e como q é primo, q|b0 ou q|c0. Já pelo item 3., temos que q não pode dividir ambos b0 e c0, assim, sem perda de generalidade, podemos assumir que q|b0 e q - c0. Se todos os bj forem divisíveis por q, então an é divisível por q, o que contraria o item 1.. Consideremos bj o primeiro coeciente de g que não é divisível por q. Então, aj = bjc0 + ...+ b0cj com j < n. Deste modo, concluímos que q|c0, pois q divide aj, b0, ..., bj−1, mas não bj. O que é uma contradição. Portanto, f é irredutível. Exemplos 3.4.2. 1. Consideremos f(t) = 2 9 t5 + 5 3 t4 + t3 + 1 3 sobre Q. Armemos que este polinômio é irredutível sobre Q. Ora, se 9f(t) = 2t5 + 15t4 + 9t3 + 3 é irredutível sobre Q, então f(t) também o é. Apliquemos agora o Critério de Eisenstein com q = 3: • 3 - 2; • 3|ai(i = 0, 1, 2, 3, 4); • 32 = 9 - 3. O que mostra que 9f(t) é irredutível sobre Q, e portanto, f(t) também o é. Capítulo 4 Extensões de Corpos Neste capítulo, trataremos do conceito de extensões de corpos atreladas às equações polinomiais, uma vez que, ao considerarmos um determinado subcorpo dos complexos, este pode não conter todas as soluções de uma polinomial especíca, donde procuramos por um outro subcorpo de C que as tenha, e por consequência contenha uma cópia deste subcorpo inicial. Expressemos matematicamente tal fala: Denição 4.0.4. Uma extensão de corpo é um monomorsmo ι : K → L, em que K e L são subcorpos complexos. Diremos que K que é o corpo menor e L é o corpo maior. Pensamos numa extensão de corpos como um par (K,L) de corpos, quando ca su- bentendido o monomorsmo entre eles. Exemplos 4.0.5. 1. Pensemos inicialmente em Q, e consideremos a seguinte polinomial quártica: f(t) = t4 − 4t2 + 5. Fatoramos tal, por irredutíveis em Q obtendo, f(t) = (t2 + 1)(t2 − 5), cujos zeros são os números irracionais ±i e ± √ 5. Adiante, veremos que existe um subcorpo natural L de C associado a estes zeros, de fato, este subcorpo é o menor subcorpo que os contém. Armemos que L consiste de todos os números complexos da forma p+ qi+ r √ 5 + si √ 5, p, q, r, s ∈ Q. E mais, observemos que Q está imerso em L, bastando tomarmos q, r e s como sendo zeros na expressão acima. 2. As funções inclusões ι1 : Q→ R, ι2 : R→ C, e ι3 : Q→ C são extensões de corpos. Claramente tais inclusões são monomorsmo. 37 38 3. Seja K o conjunto de todos os números reais da forma p + q √ 2, em que p, q ∈ Q. Então, K é um subcorpo de C, e a função inclusão ι : Q → K é uma extensão de Q em K. Se ι : K → L é uma extensão de corpos, então geralmente identicamos K com sua imagem ι(K), então podemos pensar em ι como uma inclusão e K pode ser pensado como um subcorpo de L. Nestas circunstâncias, usamos a notação L : K para a extensão, e dizemos que L é uma extensão de K. Denição 4.0.6. Seja X um subconjunto de C. Então o subcorpo de C gerado por X é a interseção de todos os subcorpos de C que contém X. Equivalentemente, este é o subcorpo X que satisfaz alguma das seguintes condições, 1. O único menor subcorpo de C que contém X; 2. O conjunto de todos os elementos de C que pode ser obtido a partir de elementos de X por uma sequência de nita de operações. Uma questão natural é perguntarmos sobre a existência de um menor corpo contido nos complexos. Este conceito é conhecido como subcorpo primo. Proposição 4.0.7. Todo subcorpo de C contém Q. Demonstração. Seja K ⊆ C um subcorpo. Então 0, 1 ∈ K por denição de subcorpo, daí por consequência (ou melhor por um processo de indução) qualquer número n ∈ N também está em K. Como K é fechado com relação a operação de adição e mais ainda, é um subcorpo, conseguimos que qualquer número −n com n ∈ N pertence a K. Ou seja, temos que Z ⊆ K. Finalmente, se p, q ∈ Z e q 6= 0, então temos que p, q ∈ K, e mais ainda, como K é subcorpo, q−1 ∈ K, e este sendo fechado com relação a operação de multiplicação, concluímos que pq−1 ∈ K. Portanto, Q ⊆ K, como queríamos demonstrar. Observação 4.0.8. Em particular, todo subcorpo gerado por X contém Q. Usamos a notação Q(X) para representar o subcorpo de C gerado por X. Exemplo 4.0.9. Procuraremos um subcorpo K de C gerado pelo conjunto X = {1, i}. Pelo que vimos na Proposição 4.0.7, K deve conter Q. Como K é fechado com relação as operações de adição e multiplicação, uma vez que é um subcorpo de C, este deve conter os números complexos da forma p + qi, com p, q ∈ Q. Seja M o conjunto de todos os complexos desta forma. M é um subcorpo de C, e portanto, fechado com relação as operações de adição e multiplicação. Além disso, (p+ qi)−1 = p p2 + q2 − q p2 + q2 i, 4 Extensões de Corpos 39 também pertence a M . Como M é um subcorpo que contém X, e sabemos ser K o menor subcorpo contendo X, devemos ter K ⊆M . Ora, M ⊆ K, por denição. Então, K = M , e assim temos a descrição do subcorpo gerado por X. Dada uma extensão de corpos L : K, estamos interessados principalmente nos subcor- pos entre K e L. Isto signica que nós iremos restringir nossa atenção nos subconjuntos X que contém K e estão contidos em L, ou melhor, em conjuntos X = K∪Y , com Y ⊆ L. Denição 4.0.10. Se L : K é uma extensão de corpos e Y é um subconjunto de L, então o subcorpo de C gerado por K ∪ Y é escrito como K(Y ) e é dito ser obtido a partir de K adicionando Y . Exemplo 4.0.11. Logo no início do capítulo (no Exemplo 1) falamos brevemente sobre o exemplo em questão, porém trataremos este com um pouco mais de cuidado agora. Seja K = Q, e seja Y = {i, √ 5}. Então K(Y ) deve conter K e Y . Este também deve conter o produto i √ 5. Como pela Proposição 4.0.7, temos que K ⊆ Q, o subcorpo K(Y ) deve conter os elementos α = p+ qi+ r √ 5 + si √ 5 (p, q, r, s ∈ Q). Seja L ⊆ C, o conjunto de todos os números α como acima. Se conseguirmos provar que L é um subcorpo de C, sabendo que K(Y ) ⊆ L, por denição, e K(Y ) ser o menor subcorpo de C com a propriedade acima, segue que K(Y ) = L. Para L ser um subcorpo de C resta provarmos que qualquer que seja α 6= 0, encontramos o seu inverso α−1 pertencente a L (já temos nitidamente o fechamento das operações e a pertinência de 0 e 1 em L). De fato, temos que provar que (p, q, r, s) 6= (0, 0, 0, 0), então (p+ qi+ r √ 5 + si √ 5) −1 ∈ L. Primeiro, suponhamos que p+ qi+ r √ 5 + si √ 5 = 0. Então, p+ r √ 5 = −i(q + s √ 5). Notemos que o lado esquerdo, p + r √ 5, é um número real, enquanto que o lado direito, −i(q + s √ 5), é um número complexo. Portanto, p + r √ 5 = 0 e q + s √ 5 = 0. Se r 6= 0, então √ 5 = −p r ∈ Q, mas √ 5 é um irracional. Logo, devemos ter r = 0, donde p = 0. De modo análogo, q = s = 0. Provaremos a existência de α−1 em duas etapas. Seja M um subconjunto de L con- tendo todos p+ qi (p, q ∈ Q). Então escrevemos, α = x+ y √ 5, 42 4.2 Extensões Simples em que µ|K denota a restrição de µ sobre K. Se identicarmos K e L, então λ torna- se a identidade, e então µ|K é a identidade. Tentaremos usar sempre que possível esta identicação. Capítulo 5 Extensões Simples Durante este capítulo, continuaremos tratando de extensões simples, buscando realizar uma classicação. E ainda, exporemos o conceito de polinômio minimal, importante na construção de corpos a partir de um domínio de integridade dado pelos polinômios com coecientes em um certo corpo e indeterminada t. Extensões simples são classicadas em dois tipos: transcendentes e algébricas. Consi- derando K um subcorpo de C, e caso o novo elemento α satisfaça uma equação polinomial sobre K, então, a extensão é dita algébrica; caso contrário, é transcendente. A partir de isomorsmos, K, tem exatamente uma extensão simples do tipo transcendente. Para a maioria dos corpos K, há muitas possibilidades para extensões simples algébricas, elas são classicadas pelos polinômios irredutíveis m sobre K. Em resumo, este último paragrafo em linguagem matemática e contemplamos tal na seguinte denição, Denição 5.0.4. Seja K um subcorpo de C, e seja α ∈ C. Então α é algébrico sobre K se existe um polinômio não nulo p sobre K, tal que, P (α) = 0. Caso contrário, dizemos que α é transcendente sobre K. Exemplos 5.0.5. 1. O número α = √ 2 é algébrico sobre Q, pois o polinômio p(t) = t2 − 2 tem α como raiz, isto é, p(α) = α2 − 2 = √ 2 2 − 2 = 0. 2. O número β = 3 √ 2 também é algébrico sobre Q, pois q(β) = 0, onde q(t) = t3 − 2. 3. O número π é transcendente sobre Q, mas veremos com mais detalhes tal fato no capítulo sobre construções com régua e compasso. 4. Ora, λ = √ π é ainda transcendente sobre Q. Suponhamos que este não o seja, isto é, existe um polinômio p(t) ∈ Q[t] − {0} tal que p(λ) = 0. Separando os termos de grau par dos de grau ímpar, conseguimos escrever p( √ π) do seguinte modo, a(π) + b(π) √ π = 0. Donde, a(π) = −b(π) √ π e a2(π) = b2(π)π. Daí, 43 44 5.1 O Polinômio Minimal f(π) = 0, onde f(t) = a2(t)− tb2(t) ∈ Q[t]. Como ∂(a2) é par, enquanto que ∂(b2) é ímpar, temos que f(t) acima é um polinômio em Q[t] não nulo. Ou seja, acabamos de mostrar que π é um número algébrico sobre Q, o que é um absurdo. Sendo assim, √ π de fato é transcendente sobre Q. 5. Embora, π e √ π sejam transcendentes sobre Q, como comentado nos itens anterio- res, temos que γ = √ π é algébrico sobre Q(π), uma vez que γ2 − π = 0. Armemos que seK(t) é o conjunto de funções racionais com indeterminada t sobreK, então K(t) : K é a única extensão transcendente simples de K por meio de isomorsmos. Se K(α) : K é algébrico, há mais de uma possibilidade de extensão por isomorsmos, ainda sim, são tratáveis. Mostraremos que há um único polinômio mônico irredutível m sobre K tal que m(α) = 0, e m determina a extensão unicamente por isomorsmos. Teorema 5.0.6. O conjunto das expressões racionais K(t) é uma extensão transcendente simples do subcorpo K de C. Demonstração. Temos que K(t) : K é uma extensão simples gerada pelo t. Se p é um polinômio sobre K, tal que p(t) = 0, então por denição de K(t), p = 0. Daí, temos que t não anula nenhum polinômio sobre K(t), e a extensão em questão é transcendente. 5.1 O Polinômio Minimal O polinômio minimal, como já falado, será importante para a determinação única de extensões simples algébricas a partir de isomorsmos. Porém, para o entendermos, precisamos de alguns conceitos anteriores. Denição 5.1.1. Um polinômio f(t) = a0 + a1t + ... + antn sobre um subcorpo K de C é mônico se an = 1. Ou melhor dizendo, um polinômio é dito mônico se o coeciente do maior termo é 1. Notamos que todo polinômio é um múltiplo de algum polinômio mônico, e para polinô- mios não nulos, este mônico é único. Além disso, o produto de dois polinômios mônicos é novamente um polinômio mônico. Suponhamos agora, que K(α) : K é uma extensão algébrica simples. Portanto, existe um polinômio p sobre K, tal que α seja raiz, ou seja, p(α) = 0. Podemos assumir que tal polinômio é mônico (caso este não o seja, basta multiplicarmos todos os coecientes pelo inverso do que acompanha o termo de maior grau). Sendo assim, existe ao menos um polinômio mônico de menor grau que tenha α como um zero. Armamos que tal, é único. De fato, suponhamos que existam p, q polinômios de menor grau que tenham α como um zero. Então, p(α)− q(α) = 0. Como p 6= q, temos que alguma constante múltipla de p− q 5 Extensões Simples 47 • Dado a ∈ K[t], temos que a − a = 0 = 0 ·m, ou seja, a ≡ a(mod m) - validade da reexividade; • Dados a, b ∈ K[t], se a ≡ b(mod m), então a − b = n · m, para algum n ∈ K[t]. Sendo assim, como (b− a) = −(a− b) = −n ·m, e K[t], é domínio de integridade, temos também que b ≡ a(mod m) - validade da simetria; • Dados a, b, c ∈ K[t], se a ≡ b(mod m) e b ≡ c(mod m) então, a − b = n · m e b− c = o ·m, para alguns n, o ∈ K[t]. Ora, a− c = (a− b) + (b− c) = n ·m+ o ·m = (n+ o) ·m, e portanto a ≡ c(mod m) - validade da transitividade. Como de fato temos a relação de equivalência, escreveremos [a] como sendo a classe de equivalência de a ∈ K[t]. Deste modo, [a] = {f ∈ K[t] : m|(a− f)}. A soma e o produto de duas classes de equivalência [a] e [b] podem ser denidos como: [a] + [b] = [a+ b] e [a][b] = [ab]. Cada classe de equivalência contém um único polinômio de grau menor do que o grau de m, o chamado polinômio reduzido. Escreveremos, K[t] 〈m〉 para representar o conjunto de classe de equivalências de K[t] módulo m. Apenas com a ideia de alertar o leitor, vemos que o quociente em questão é dado por um anel (melhor até dizendo, um domínio de integridade) e por um ideal gerado pelo polinômio m. Teorema 5.2.4. Todo elemento não nulo de K[t]〈m〉 tem um inverso multiplicativo em K[t] 〈m〉 se, e somente se, m é irredutível sobre K[t]. O teorema anterior também nos diz que, se m é irredutível sobre K, então 〈m〉 é um ideal maximal, e portanto, K[t]〈m〉 é um corpo. Demonstração. Suponhamos que m seja redutível em K[t], logo, existem a, b ∈ K[t], tais que m = ab e ∂a, ∂b < ∂m. Então, [a][b] = [ab] = [m] = [0]. Suponhamos que [a] tenha um inverso multiplicativo [c], tal que [a][c] = 1. Então, [0] = [c][0] = [c][a][b] = [1][b] = [b], então m divide b. Como ∂b < ∂m, devemos ter b = 0 e daí m = 0, mas por convenção 0 não é irredutível. Se m é irredutível, seja a ∈ K[t] com [a] 6= [0]; isto é, m - a. Assim, a e m são primos entre si, ou seja, o maior fator comum entre eles é 1. Por teorema já visto, Teorema 3.1.9 temos que existem h, k ∈ K[t] tais que ha + km = 1. Então, [h][a] + [k][m] = [1], mas [m] = [0] então [1] = [h][a] + [k][m] = [h][a] + [k][0] = [h][a] + [0] = [h][a]. Portanto, [h] é o inverso procurado. 48 5.3 Classicando Extensões Simples 5.3 Classicando Extensões Simples Teorema 5.3.1. Toda extensão transcendente simples K(α) : K é isomórca a extensão K(t) : K das expressões racionais de indeterminada t sobre K. O isomorsmo K(t) → K(α) pode ser escolhido para associar t a α, e para ser a identidade sobre K. Demonstração. Denamos uma função φ : K(t)→ K(α) por φ ( f(t) g(t) ) = f(α) g(α) . Se g 6= 0, então g(α) 6= 0 (uma vez que α é transcendente). Logo, o modo como denimos a função faz sentido. Notemos que a função acima é um homomorsmo injetor, portanto, um monomorsmo: φ ( f(t) g(t) + h(t) i(t) ) = φ ( f(t)i(t) + h(t)g(t) g(t)i(t) ) = f(α)i(α) + h(α)g(α) g(α)i(α) = f(α)i(α) g(α)i(α) + h(α)g(α) g(α)i(α) = f(α) g(α) + h(α) i(α) = φ ( f(t) g(t) ) + φ ( h(t) i(t) ) . E, φ ( f(t) g(t) · h(t) i(t) ) = φ ( f(t)h(t) g(t)i(t) ) = f(α)h(α) g(α)i(α) = f(α) g(α) · h(α) i(α) = φ ( f(t) g(t) ) · φ ( h(t) i(t) ) . Mais ainda, φ ( f(t) g(t) ) 6= φ ( h(t) i(t) ) ⇒ f(α) g(α) 6= h(α) i(α) ⇒ f(α) g(α) − h(α) i(α) 6= 0 5 Extensões Simples 49 ⇒ f(α)i(α)− h(α)g(α) g(α)i(α) 6= 0 ⇒ φ ( f(t)i(t)− h(t)g(t) g(t)i(t) ) 6= 0 ⇒ f(t)i(t)− h(t)g(t) g(t)i(t) 6= 0 ⇒ f(t)i(t) g(t)i(t) − h(t)g(t) g(t)i(t) 6= 0 ⇒ f(t) g(t) − h(t) i(t) 6= 0 ⇒ f(t) g(t) 6= h(t) i(t) . Vemos pelo modo em que φ foi denida, que é também sobrejetora. Donde, acabamos por ter um isomorsmo no lugar de um monomorsmo como havíamos mostrado. Além disso, φ|K é a identidade, ou seja, φ dene um isomorsmo de extensões. Finalmente, φ(t) = α. Teorema 5.3.2. Seja K(α) : K uma extensão algébrica simples, e seja m o polinômio minimal de α sobre K. Então K(α) : K é isomórco a K[t]〈m〉 . O isomorsmo K[t] 〈m〉 pode ser escolhido para associar t a α(ser a identidade sobre K). Demonstração. O isomorsmo em questão é denido por [p(t)]→ p(α), uma vez que, de modo análogo a demonstração do teorema anterior conseguimos mostrar o monomorsmo e a sobrejeção; e ainda a boa denição, já que p(α) = 0 se, e somente se, m|p. Resta agora, mostrarmos que este é a identidade quando restrito a K, mas isto e nítido pela denição. Corolário 5.3.3. Suponha K(α) : K e K(β) : K extensões algébricas simples, tais que α e β tenham o mesmo polinômio minimal m sobre K. Então, estas duas extensões são isomorfas, e o isomorsmo de corpos maiores, pode ser entendido como uma função de α para β (e como a identidade sobre K). Demonstração. Pelo teorema anterior, sabemos que ambas extensões são isomorfas a K[t]〈m〉 , e que tais isomorsmos associam t a α e t a β, respectivamente. Consideremos ι e j como sendo respectivamente tais isomorsmos. Assim, ao considerarmos jι−1, temos um isomorsmo de K(α) em K(β), exatamente como desejávamos. Lema 5.3.4. Seja K(α) : K uma extensão algébrica simples, e seja m o polinômio minimal de α sobre K, e ainda ∂m = n. Então, {1, α, ..., αn−1} é uma base para K(α) sobre K (como veremos melhor no próximo capítulo). Em particular, [K(α) : K] = n. Demonstração. Este teorema é consequência do já feito no Lema 5.2.3. 52 6.1 A Lei da Torre Para a denição a seguir precisamos lembrar que a dimensão de um espaço vetorial é o número de elementos linearmente independentes que compõem uma base para o espaço, e que o geram. Denição 6.0.8. O grau, [L : K], de uma extensão L : K é a dimensão do espaço vetorial de L sobre K. Exemplos 6.0.9. 1. Notemos que a extensão C = R(i) : R tem como grau 2, uma vez que, {1, i} é uma base para o espaço vetorial de C sobre R. Portanto, [C : R] = 2; 2. Como já visto anteriormente, {1, √ 5, i, i √ 5} forma uma base para o espaço vetorial Q(i, √ 5) sobre Q, assim, [Q(i, √ 5) : Q] = 4. Notoriamente vale ressaltar, que extensões de corpos isomorfas tem o mesmo grau. 6.1 A Lei da Torre O próximo teorema garantirá uma facilidade maior no cálculo do grau de determinadas extensões, uma vez que, permite usarmos outras, com graus já conhecidos. Teorema 6.1.1. Se K,L,M são subcorpos de C, e K ⊆ L ⊆M , então [M : K] = [M : L][L : K]. Se [M : L] ou [L : K] são iguais a ∞, então [M : K] =∞. E ainda, se [M : K] =∞, então [M : L] =∞ ou [L : K] =∞. Demonstração. Seja (xi)i∈I uma base para o espaço vetorial de L sobre K, e seja (yj)j∈J uma base para o espaço vetorial de M sobre L. Deste modo, para todo i ∈ I e todo j ∈ J , temos xi ∈ L, yj ∈ M . Devemos mostrar que (xiyj)i∈I,j∈J é uma base para o espaço vetorial de M sobre K (notemos que xiyj é o produto no subcorpo M). E assim, a dimensão da base deste último espaço terá a dimensão necessária. Para mostrarmos que (xiyj)i∈I,j∈J é uma base, devemos inicialmente mostrar que estes são linearmente independentes. Para isto, consideremos∑ i,j kijxiyj = 0, kij ∈ K, como kijxi ∈ L e L é um corpo, temos que ∑ i kijxi ∈ L, podemos assim, rearranjá-la de modo a obtermos, ∑ j (∑ i kijxi ) yj = 0. 6 O Grau de uma Extensão 53 Sabendo que ∑ i kijxi ∈ L e que yj são linearmente independentes sobre L, temos∑ i kijxi = 0. Analogamente, como xi são linearmente independentes sobre K, conseguimos que kij = 0, ∀i ∈ I, j ∈ J . Ou seja, os elementos xiyj são linearmente independentes sobre K. Resta-nos mostrar que qualquer elemento do espaço vetorial de M sobre K pode ser escrito como soma destes elementos. Seja x ∈M , qualquer. Temos, x = ∑ j λjyj, para λj ∈ L , já que, (yj)j∈J é uma base para o espaço vetorial de M sobre L. Pensando do mesmo modo, temos que por (xi)i∈I ser uma base para o espaço vetorial de L sobre K, podemos escrever λj para todo j ∈ J , como, λj = ∑ i λijxi para λij ∈ K. Juntando o feito, conseguimos, x = ∑ i,j λijxiyj como queríamos. Assim, (xiyj)i∈I,j∈J é uma base para o espaço vetorial de M sobre K, e sua dimensão é exatamente a que diz o teorema. Exemplo 6.1.2. Encontremos o grau da extensão [Q( √ 2, √ 3) : Q]. Notemos que {1, √ 2} é uma base para o espaço vetorial Q( √ 2) sobre Q. Vejamos isto melhor, dado α ∈ Q( √ 2), temos que α = p+q √ 2, com p, q ∈ Q. Ou seja, {1, √ 2} realmente gera o espaço vetorial de Q( √ 2) sobre Q. Resta agora mostramos que, 1 e √ 2 são linearmente independentes sobre Q. Suponhamos que p + q √ 2 = 0, e mais que q 6= 0. Assim, conseguimos que √ 2 = −p q , isto é, √ 2 ∈ Q, o que é um absurdo, portanto, q = 0. Como q = 0 temos necessariamente que p = 0, donde vemos que estes, 1 e √ 2, são linearmente independentes sobre Q. Logo, juntando as informações conseguimos que {1, √ 2} é uma base de Q( √ 2) sobre Q. Analogamente, mostramos que {1, √ 3} é uma base para o espaço vetorial Q( √ 2, √ 3) sobre Q( √ 2). 54 6.1 A Lei da Torre Portanto, como Q ⊆ Q( √ 2) ⊆ Q( √ 2, √ 3), temos pela lei da torre, [Q( √ 2, √ 3) : Q] = [Q( √ 2, √ 3) : Q( √ 2)][Q( √ 2) : Q] = 2 · 2 = 4 Assim, temos a combinação das bases {1, √ 2} e {1, √ 3} gerando a base {1, √ 2, √ 3, √ 6} do espaço vetorial Q( √ 2, √ 3) sobre Q. Corolário 6.1.3 (Lei da Torre). Se K0 ⊆ K1 ⊆ ... ⊆ Kn são subcorpos de C, então [Kn : K0] = [Kn : Kn−1][Kn−1 : Kn−2]...[K1 : K0]. Demonstração. Para provarmos a armação, basta usarmos o teorema anterior e indução sobre n. Proposição 6.1.4. Seja K(α) : K uma extensão simples. Se esta, é transcendente, então [K(α) : K] = ∞. Se a extensão é algébrica, então [K(α) : K] = ∂m, em que m é o polinômio minimal de α sobre K. Demonstração. Para o caso transcendente, é suciente mostrarmos que 1, α, α2, ... são linearmente independente sobre K. Já para o caso algébrico, utilizamos o Lema 5.3.4 para concluirmos o dito. Exemplo 6.1.5. Procuremos descobrir o grau da extensão de Q( √ 2, √ 3, √ 5) sobre Q, isto é, [Q( √ 2, √ 3, √ 5) : Q]. Usemos a lei das torres, donde por Q ⊆ Q( √ 2) ⊆ Q( √ 2, √ 3) ⊆ Q( √ 2, √ 3, √ 5), temos [Q( √ 2, √ 3, √ 5) : Q] = [Q( √ 2, √ 3, √ 5) : Q( √ 2, √ 3)][Q( √ 2, √ 3) : Q( √ 2)][Q( √ 2) : Q] Percebemos que cada um dos fatores é igual a dois, porém é necessário demonstrarmos isto. (a) Pelo que vimos no Exemplo 6.1.2, [Q( √ 2) : Q] = 2. (b) Ainda pelo Exemplo 6.1.2, temos que [Q( √ 2, √ 3) : Q( √ 2)] = 2. Porém mostremos um pouco melhor. Suponhamos que √ 3 ∈ Q( √ 2) (pois se concluirmos um absurdo, teremos claramente o grau da extensão como sendo 2), assim √ 3 = p+ q √ 2, p, q ∈ Q ⇒ 3 = (p2 + 2q2) + 2pq √ 2 ⇒ p2 + 2q2 = 3 e pq = 0 Capítulo 7 Construções com Régua e Compasso Problemas como as impossibilidades geométricas (duplicação do volume do cubo, qua- dratura do círculos e trissecção de um ângulo), com as quais os gregos se depararam, serão agora discutidos através do uso da importante ferramenta - o grau de uma extensão. 7.1 Formulação Algébrica Devemos iniciar formulando a ideia de construção a partir dos instrumentos régua e compasso. Consideremos que P0 seja um conjunto de pontos do plano R2, obtidos por meio da teoria geométrica euclidiana. E mais, assumamos que nossas operações sejam do tipo: • Régua: Através dois pontos de P0 desenhamos uma linha reta. • Compasso: Desenhamos um círculo cujo centro é um ponto de P0 e o raio é igual a distância entre um par de pontos também de P0. Denição 7.1.1. Os pontos de intersecção de qualquer duas retas distintas, ou círculos, desenhados a partir as operações de Régua e Compasso, são ditos construíveis de P0. Mais geralmente, um ponto r ∈ R2 é construível de P0, se há uma sequência r1, ..., rn = r de pontos de R2, tais que para cada j = 1, ..., n dos pontos rj é construível a partir do conjunto P0 ∪ {r1, ..., rj−1}. Exemplo 7.1.2. Suponhamos dados os pontos P1, P2 ∈ R2. Assim, consideremos P0 = {P1, P2}. Desenhemos o ponto médio do segmento de extremos em P1 e P2. Para isto, seguimos os seguintes passos: 1. Existe uma reta passando pelos pontos P1, P2, desenhe-na (operação da Régua); 2. Com auxílio do compasso, desenhe o círculo com centro em P1 e raio dado pela distância de P1 a P2; 57 58 7.1 Formulação Algébrica 3. Novamente com a operação compasso, desenhamos o círculo de centro em P2 e raio dist(P1, P2); 4. Sejam R1, R2 os pontos de intersecção das circunferências; 5. Tracemos a reta passando por R1 e R2 - operação com a Régua; 6. Chamemos de R3 o ponto de intersecção entre a reta P1P2 e a reta R1R2. Armemos que R3 é o ponto médio procurado. De fato, desenhemos o triângulo de vértices P1, P2 e R1 e analisemos a semelhança de triângulos entre os dois que o forma, concluindo assim a armação feita. P1 P2 R1 R2 R3 Figura 7.1: A construção do ponto médio do segmento P1P2 A chave para o entendimento das limitações das construções por régua e compasso está relacionada a ideia de extensões de corpos (como comentamos brevemente no início do capítulo). Há uma maneira natural para fazermos isto. A cada estágio da construção, associamos o subcorpo de C gerado pelas coordenadas dos pontos construídos, que é também um subcorpo de R. Então, seja K0 o subcorpo de R gerado por x, y coordenadas dos pontos em P0. Se rj tem coordenadas (xj, yj), então indutivamente denimos Kj como o corpo obtido de Kj−1 adicionando xj e yj, ou seja, Kj = Kj−1(xj, yj). Notemos que não estamos adicionando o ponto (xj, yj) a Kj−1, estamos na verdade adi- cionando o conjunto {xj, yj} formado pelas duas coordenadas do ponto. Temos deste modo, a seguinte torre de subcorpos, K0 ⊆ K1 ⊆ ... ⊆ Kn ⊆ R, e usamo-na para obtermos um critério de construtividade. 7 Construções com Régua e Compasso 59 Lema 7.1.3. Com a notação acima, xj e yj são zeros em Kj dos polinômios quadráticos sobre Kj−1. Demonstração. Temos três casos a considerar: encontro de retas, encontro de retas com circunferências, e encontro entre circunferências. Cada caso é demonstrado por meio da geometria, para tanto faremos apenas um destes, o caso de encontro entre reta e circunferência. Sejam A,B,C pontos de coordenadas (p, q), (r, s), (t, u) em Kj−1. Desenhemos a reta passando pelos pontos A e B, e também a circunferência de centro em C e raio w. Sabemos que w2 ∈ Kj−1, pois w é a distância entre dois pontos cujas coordenadas estão em Kj−1. Para ver isto, podemos usar a semelhança entre os triângulos ACX e ADB, como ilustrado na Figura 7.2, obtendo a seguinte equação da reta que passa pelos pontos A e B: x− p r − p = y − q s− q . Por outro lado, a equação da circunferência é (x− t)2 + (y − u)2 = w2. Resolvendo estas duas equações simultâneas, chegamos a seguinte expressão: (x− t)2 + ( (s− q) (r − p) (x− p) + q − u )2 = w2, a partir da qual podemos ver claramente que a coordenada x da intersecção dos pontos X e Y são exatamente os zeros de um polinômio quadrático sobre Kj−1, e o mesmo é válido para a coordenada y. Esta situação encontra-se ilustrada na Figura 7.3. O s− q y − q x− p r − p A = (p, q) B = (r, s) X = (x, y) C D Figura 7.2: Equação da reta AB obtida por meio da semelhança de triângulos Teorema 7.1.4. Se r = (x, y) é construtível a partir de um subconjunto de P0 de R2, e K0 é um subcorpo de R gerado pelas coordenadas dos pontos de P0, então os graus [K0(x) : K0] e [K0(y) : K0] 62 7.2 Impossibilidade de Provas Portanto, se tal construção existir, então [Q(π) : Q] é uma potência de 2, em particular, π é algébrico sobre Q. Por outro lado, vimos, ou melhor, assumimos que π não é algébrico sobre Q, ou seja, temos demonstrado o teorema. Capítulo 8 Normalidade e Separabilidade Neste capítulo inicial discutiremos duas propriedades de certo modo complementares. Estas serão imprescendíveis para o estudo do Teorema da Correspondência de Galois, que sem sombra de dúvidas é o auge de toda esta teoria. Suponha que K é um subcorpo de C. Frequentemente um polinômio p(t) ∈ K[t] não tem zeros em K. Mas, este tem zeros em C, pelo Teorema Fundamental da Álgebra. Portanto, deve haver alguns zeros, ao menos, em alguma extensão de corpo L de K. Por exemplo, t2 + 1 ∈ R[t] não tem zeros em R, mas tem zeros, ±i, em C. Estudaremos este fenômeno em detalhes, mostrando que todo polinômio pode ser resolvido por um produto de fatores lineares (e, portanto, tem seus zeros) se o corpo K é suavemente extendido a um corpo N . Uma extensão N : K é normal se qualquer polinômio irredutível sobre K com ao menos um zero em N , decompõe-se em fatores lineares em N . Mostraremos também que uma extensão é normal se, e somente se, é um corpo de decomposição. Separabilidade, como já mencionado, é uma propriedade complementar a normalidade. Um polinômio irredutível é separável se seus zeros nestas divisões são simples. Isto mostra que sobre C, tal propriedade é sempre satisfeita (diremos automática). 8.1 Corpos de Decomposição O Teorema Fundamental da Álgebra arma que f se decompõe sobre K se, e somente se, todos os zeros de f em C na verdade pertencem a K. Ou seja, K contém o subcorpo gerado por todos os zeros de f . Partiremos desta ideia de decomposição linear, um modo de tornarmos um polinômio mais tratável, para discorrermos neste capítulo sobre Norma- lidade, Corpo de Decomposição, Separabilidade e as Extensões de Corpos envolvendo as duas propriedades complementares que nomeiam o capítulo. Denição 8.1.1. Se K é um subcorpo de C, e f é um polinômio sobre K, então f decompõe-se sobre K, se este pode ser expresso por um produto de fatores lineares, f(t) = k(t− α1) · . . . · (t− αn), 63 64 8.1 Corpos de Decomposição em que, k, α1, . . . , αn ∈ K. Se este é o caso, então os zeros de f em K são precisamente α1, . . . , αn. Exemplos 8.1.2. 1. O polinômio f(t) = t3− 1 ∈ Q[t] se decompõe sobre C, pois pode ser escrito como f(t) = (t− 1)(t− ω)(t− ω2), em que ω = exp(2πi 3 ) ∈ C. De modo análogo, temos que f se decompõe sobre o subcorpo Q(i, √ 3), uma vez que, ω ∈ Q(i, √ 3). Ainda mais, sabemos que o menor subcorpo de C com a propriedade de f se decompor linearmente é o Q(ω). 2. O polinômio f(t) = t4 − 4t2 − 5 se decompõe sobre Q(i, √ 5), pois f(t) = (t− i)(t+ i)(t− √ 5)(t+ √ 5). Entretanto, sobre Q(i), o máximo que conseguimos fazer é fatorá-lo como, (t− i)(t+ i)(t2 − 5), com t2−5, fator irredutível, de grau maior do que 1 (notemos que 5 não é quadrado de nenhum um número em Q(i)). Então, sobre Q(i), o polinômio em questão não se decompõe linearmente. Assim, percebemos que um polinômio f(t) pode ter alguns fatores lineares na extensão de corpo L, mas ele não necessariamente se decompõe linearmente na mesma. Se f é um polinômio em K e L é uma extensão de corpo de K, então f é também um polinômio sobre L. Isto, portanto, faz com que tenha sentido falar sobre f se decompor em L, signicando que é um produto de fatores lineares com coecientes em L. Mostraremos que dados K e f , podemos sempre construir uma extensão Gal(f,K) de K tal que f se decompõe sobre a mesma. É conveniente requerer que f não se decomponha em qualquer corpo menor, então Gal(f,K) é tão econômico quanto possível. Denição 8.1.3. Um subcorpo Σ de C é um corpo de decomposição para o polinômio f sobre o subcorpo K de C, se K ⊆ Σ e 1. f decompõe-se linearmente sobre Σ; 2. Se K ⊆ Σ′ ⊆ Σ e f decompõe-se linearmente sobre Σ′, então Σ′ = Σ. Notação: Chamaremos de Gal(f,K) o corpo de decomposição do polinômio f sobre o subcorpo K de C. 8 Normalidade e Separabilidade 67 Exemplo 8.2.2. C : R é normal já que todo polinômio (irredutível ou não) se decompõe em C (Teorema Fundamental da Álgebra). Por outro lado, se considerarmos α = 3 √ 2 e a extensão Q(α) : Q, teremos um exemplo de extensão que não é normal. Ora, o polinômio irredutível t3 − 2 tem um zero, o α, em Q(α), mas este não se decompõe linearmente em Q(α) (se o zesse, deveria existir três raízes cúbicas de dois em Q(α), não todas iguais, o que sabemos ser um absurdo, já que as outras são complexas). Teorema 8.2.3. Uma extensão de corpo L : K é normal e nita se, e somente se, L é um corpo de decomposição para algum polinômio sobre K. Demonstração. Suponhamos a priori que L : K é normal e nita, logo, pelo Lema 6.1.9, L = K(α1, . . . , αs) para certos αj algébricos sobre K. Seja mj o polinômio minimal de αj sobre K, e f = m1 · · ·ms. Cada mj é irredutível sobre K e tem um zero, αj ∈ L. Então, por normalidade, mj decompõe-se linearmente sobre L. Deste modo, f decompõe- se linearmente sobre L. Como L é gerado por K e pelos zeros de f , este é o corpo de decomposição de f sobre K. Suponhamos agora que L seja o corpo de decomposição para algum polinômio g sobre K. A extensão L : K é assim obviamente nita; devemos mostrar que é normal. Para fazermos isto, precisamos tomar um polinômio irredutível f sobre K, com um zero em L, e mostrar que este se decompõe linearmente em L. Consideremos M ⊇ L um corpo de decomposição para fg sobre K. Suponhamos que θ1 e θ2 são zeros de f em M . Por irredutibilidade, f é o polinômio minimal de θ1 e θ2 sobre K. Armamos que [L(θ1) : L] = [L(θ2) : L]. Consideremos os seguintes subcorpos: K,L,K(θ1), L(θ1), K(θ2), L(θ2) de M tais que, K ⊆ K(θ1) ⊆ L(θ1) ⊆M, K ⊆ K(θ2) ⊆ L(θ2) ⊆M. Obviamente, K ⊆ K(θj) e L ⊆ L(θj), (j = 1, 2), e K ⊆ L ⊆ M . A armação seguirá do simples cálculo dos graus das extensões destas torres. Para j = 1 ou 2, [L(θj) : L] · [L : K] = [L(θj) : K] = [L(θj) : K(θj)] · [K(θj) : K] (8.1) Pela Proposição 6.1.4, [K(θ1) : K] = [K(θ2) : K]. Claramente, L(θj) é o corpo de de- composição de g sobre K(θj), e pelo Corolário 5.3.3, K(θ1) é isomorfo a K(θ2). Portanto, pelo Teorema 8.1.6, as extensões L(θj) : K(θj) são isomorfas para j = 1, 2, e assim, têm o mesmo grau. Substituindo em (8.1) e fazendo os devidos cancelamentos, [L(θ1) : L] = [L(θ2) : L], 68 8.3 Separabilidade como armado. Tendo obtido alguns resultados técnicos difíceis esperamos que o restante desta discussão seja mais fácil. Ora, se θ1 ∈ L, então [L(θ1) : L] = 1, e também [L(θ2) : L] = 1 e θ2 ∈ L. Logo, L : K é normal. 8.3 Separabilidade O conceito de separabilidade não aparece explicitamente nos trabalhos de Galois, pois ele preocupou-se apenas com o corpo dos complexos, em que a separabilidade é automática. Entretanto, o conceito está implícito em muitas demonstrações, e deve ser invocado quando estudamos corpos mais gerais. Denição 8.3.1. Um polinômio irredutível f sobre um subcorpo K de C é separável sobre K se tem apenas zeros simples em C. Observação 8.3.2. Isto é o mesmo que f possuir apenas zeros simples no seu corpo de decomposição, pois este é um subcorpo de C. Portanto, se f é separável, ele é da forma f(t) = k(t− σ1) · · · (t− σn), (8.2) em que os σj ∈ C são todos distintos. A recíproca pode não ser verdadeira, por exemplo, o polinômio f(t) = (t3 − 1)(t2 − 2) se fatora como em 8.2 sobre C, porém não é irredutível sobre Q, logo, não é separável sobre este. Exemplo 8.3.3. Os zeros de t4 + t3 + t2 + t+ 1 são os números complexos: exp ( 2πi 5 ) , exp ( 4πi 5 ) , exp ( 6πi 5 ) , exp ( 8πi 5 ) . Logo, como estes são todos e simples, f é separável sobre Q. Para polinômios sobre R, há um método padrão, para detectarmos os zeros múltiplos por diferenciação. Para obtermos o máximo de generalidade, deniremos derivada de maneira puramente formal. Denição 8.3.4. Suponhamos que K seja um subcorpo de C, e f(t) = a0 + a1t+ . . .+ ant n ∈ K[t]. Então, a derivada formal de f é o polinômio Df = a1 + 2a2t+ . . .+ nant n−1 ∈ K[t]. Para K = R (e ainda K = C), esta é a derivada usual. Não há, em geral, razão para pensarmos em Df como a taxa de variação de f , mas certamente as propriedades de 8 Normalidade e Separabilidade 69 derivação valem para D. Em particular, simples cálculos mostram que para todo polinômio f e g sobre K[t], D(f + g) = Df +Dg, D(fg) = (Df)g + f(Dg). Também, se λ ∈ K, então D(λ) = 0, e assim, D(λf) = λ(Df). Estas propriedades de D permitem estabelecermos critérios para existência de zeros múl- tiplos sem sabermos quem os são. Lema 8.3.5. Seja f 6= 0 um polinômio sobre um subcorpo K de C, e seja Gal(f,K) seu corpo de decomposição. Então, f tem um zero múltiplo (em C ou em Gal(f,K)) se, e somente se, f e Df tem um fator comum de grau maior do que ou igual a 1 em Gal(f,K)[t]. Ou seja, f é separável sobre K se, e somente se, f é irredutível sobre K e primo com Df . Demonstração. Suponhamos que f tenha um zero repetido em Gal(f,K), então sobre Gal(f,K), f(t) = (t− α)2g(t), em que α ∈ Gal(f,K). Assim, Df = 2(t− α)g(t) + (t− α)2Dg = (t− α)[(t− α)Dg + 2g]. Donde, f e Df tem o fator (t− α) ∈ Gal(f,K)[t] em comum. Portanto, f e Df tem um fator comum em K[t], chamado, de o polinômio minimal de α sobre K. Agora, suponhamos que f não tenha zeros repetidos. Mostraremos, por indução no grau de f , que f e Df são primos entre si em Gal(f,K)[t], portanto, também o são em K[t]. Se ∂f = 1, isto é óbvio, pois f = t−α e Df = 1. Por outro lado, f(t) = (t−α)g(t) onde (t− α) - g(t). Então, Df = (t− α)Dg + g. Se um fator irredutível de g divide Df , então este deve também dividir Dg, já que não divide (t − α). Mas, por hipótese de indução, g e Dg são primos entre si. Portanto, f e Df são primos entre si, como queríamos. Provaremos agora que a separabilidade em polinômios irredutíveis é uma propriedade automática em C. Proposição 8.3.6. Se K é um subcorpo de C, então toda polinômio irredutível sobre K é separável. 729.2 Corpos Intermediários: Corpos Fixos e Grupos de Galois - Uma olhadela Demonstração. Como L : K é uma extensão normal e nita, o Teorema 8.2.3 nos diz que L é o corpo de decomposição de algum polinômio f sobre K. Portanto, este também é o corpo de decomposição de f sobre M (ora, K ⊆ M e os coecientes de f estão em K, logo, eles também estão em M), e, de τ(f) sobre τ(M). Mas, τ |K é a identidade, então τ(f) = f . Assim, conseguimos o seguinte diagrama, M τ  τ // L σ  τ(M) // L Precisamos agora encontrar tal σ. Para isto, utilizaremos o Teorema 8.1.6, que garante a existência de um isomorsmo σ : L → L tal que σ|M = τ . Deste modo, σ é um automorsmo de L, e como σ|K = τ |K , e este é a identidade, σ é um K-automorsmo de L. Proposição 9.1.4. Suponhamos que L : K seja uma extensão normal e nita, e α, β se- jam os zeros em L do polinômio irredutível p sobre K. Então, existe um K-automorsmo σ de L tal que, σ(α) = β. Demonstração. Aplicando o Corolário 5.3.3, temos a existência de um isomorsmo τ : K(α) → K(β), de modo que, τ |K seja a identidade e τ(α) = β. Assim, pelo Teorema 9.1.3 conseguimos estender τ a um K-automorsmo σ de L. 9.2 Corpos Intermediários: Corpos Fixos e Grupos de Galois - Uma olhadela Nesta seção teremos um breve contato com estes dois conceitos, Corpos Fixos e Grupos de Galois de uma extensão, que serão retomados ou referidos daqui em diante. Denição 9.2.1. Se L : K é uma extensão de corpo, chamamos de corpo intermediário todo corpo M tal que K ⊆M ⊆ L. A cada corpo intermediário M , associamos o grupo M∗ = Gal(L : M) de todos os M -automorsmos de L. Então K∗ é o grupo de Galois Gal(L : K) e L∗ = {1}, ou seja, o grupo contendo apenas a aplicação identidade em L. Proposição 9.2.2. Se M ⊆ N , então M∗ ⊇ N∗. Demonstração. Nesta demonstração, basta notarmos que todo automorsmo de L que xa os elementos de N também xa os elementos de M , ou seja, é um automorsmo de M . 9 Automorsmos de Corpos 73 A cada subgrupo H de Gal(L : K), associamos o conjunto H† = {x ∈ L / ϕ(x) = x, ∀ ϕ ∈ H} e este é um corpo intermediário, como veremos pelo seguinte resultado: Lema 9.2.3. Se H é um subgrupo de Gal(L : K), então H† é um subcorpo de L que contém K. Demonstração. Sejam x, y ∈ H† e ϕ ∈ H. Então ϕ(x+y) = ϕ(x)+ϕ(y) = x+y e, assim, x + y ∈ H†. Analogamente, H† é fechado para subtração, multiplicação e divisão (por elementos não nulos) e, então, H† é um subcorpo de L. Como ϕ ∈ Gal(L : K), temos ϕ(k) = k para todo k ∈ K, e, portanto, K ⊆ H†. Denição 9.2.4. De acordo com as notações anteriores, H† é o corpo xo de H. É fácil ver que, assim como ∗, a aplicação † também é uma inclusão reversa, isto é, se H ⊆ G, então H† ⊇ G†. Proposição 9.2.5. Sejam M um corpo intermediário e H ≤ Gal(L : K). Então M ⊆ M∗† e H ⊆ H†∗. Demonstração. Para a primeira relação, temos M∗† = (M∗)† = {x ∈ L / ϕ(x) = x, ∀ ϕ ∈ M∗} e isto nos mostra que M∗ = Gal(L : M), ou seja, se x ∈ M , então ϕ(x) = x para todo ϕ ∈ Gal(L : M) = M∗, mas, isto nos diz que x ∈ (M∗)†. Portanto, M ⊆M∗†. Para a segunda relação, temos H† = {x ∈ L / ϕ(x) = x,∀ ϕ ∈ H} e isto nos mostra que H†∗ = Gal(L : H†), ou seja, se ϕ ∈ H, então, como ϕ ∈ Gal(L : K), devemos ter ϕ(x) = x para todo x ∈ H†, mas, isto nos diz que ϕ ∈ Gal(L : H†) = H†∗. Portanto, H ⊆ H†∗. 9.3 Fecho Normal Procuraremos nesta seção recuperar a normalidade de uma extensão a tornando, se preciso, maior. Denição 9.3.1. Seja L uma extensão nita de K. Um fecho normal de L : K é uma extensão N de L, tal que, as condições abaixo são satisfeitas, 1. N : K é normal; 2. Se L ⊆M ⊆ N e M : K é normal, então M = N . Assim, N é a menor extensão de L que é normal sobre K. O teorema a seguir garante-nos ferramentas do fecho normal, e mostra-nos (em C) que este é único. Teorema 9.3.2. Se L : K é uma extensão nita em C, então existe um único fecho normal N ⊂ C de L : K, que é uma extensão nita de K. 74 9.3 Fecho Normal Demonstração. Sejam {x1, . . . , xr} uma base de L sobre K, e mj o polinômio minimal de xj sobreK. ConsideremosN o corpo de decomposição de f = m1m2 · · ·mr sobre L, assim, N também é o corpo de decomposição de f sobre K. Portanto, N : K é uma extensão normal nita pelo Teorema 8.2.3. Suponhamos que L ⊆ P ⊆ N em que a extensão P : K é normal. Notemos que cada polinômio mj tem um zero xj ∈ P , donde por normalidade f se decompõe linearmente em P . Ora, como N é o corpo de decomposição de f , temos P = N . Portanto, N é o fecho normal. Suponhamos agora, que M e N sejam ambos fechos normais. O polinômio f , acima, decompõe-se linearmente em M e N , então, cada um, M e N , contém o corpo de decom- posição de f sobre K. Este corpo de decomposição contém L e é normal sobre K, logo deve ser igual a M e a N . Exemplo 9.3.3. Consideremos Q( 3 √ 2) : Q. Esta extensão não é normal, como já visto (Exemplo 8.2.2). Se considerarmos K como o corpo de decomposição para t3 − 2 sobre Q, contido em C, teremos que K = Q( 3 √ 2, 3 √ 2ω, 3 √ 2ω2), em que, ω = −1+i √ 3 2 (raiz da unidade). Podemos pensar em K como sendo Q( 3 √ 2, ω). Desta forma, K é o fecho normal para Q( 3 √ 2) : Q. Assim, neste exemplo, obtivemos o fecho normal adicionando todos os zeros que faltavam. Fechos normais permitem-nos estipular restrições na imagem de um monomorsmo. Lema 9.3.4. Suponhamos que K ⊆ L ⊆ N ⊆ M onde L : K é nita e N é o fecho normal de L : K. Seja τ qualquer K-monomorsmo de L em M . Então, τ(L) ⊆ N . Demonstração. Sejam α ∈ L e m o polinômio minimal de α sobre K. Então, m(α) = 0, e portanto, τ(m(α)) = 0. Mas, τ(m(α)) = m(τ(α)) (suponhamos que m(t) = tn + an−1t n−1 + . . . + a0, logo, m(α) = αn + an−1αn−1 + . . . + a0, usando o fato de τ ser um K-monomorsmo, temos τ(m(α)) = τ(α)n + an−1τ(α) n−1 + . . . + a0 = m(τ(α))), donde m(τ(α)) = 0; e τ(α) é um zero de m. Portanto, τ(α) está em N , já que N : K é normal. Assim, τ(L) ⊆ N . Este resultado geralmente permite-nos restringir nossa atenção ao fecho normal de uma extensão dada quando discutimos monomorsmos. O próximo teorema, providencia uma espécie de recíproca. Teorema 9.3.5. Para uma extensão nita L : K as armações a seguir são equivalentes: 1. L : K é normal. 2. Existe uma extensão normal nita N de K contendo L, tal que, todoK-monomorsmo τ : L→ N é um K-automorsmo de L. 3. Para toda extensão nita M de K contendo L, todo K-monomorsmo τ : L → M é um K-automorsmo de L. 9 Automorsmos de Corpos 77 sucientes para fazer a correspondência de Galois bijetiva (para subcorpos de C), o que provaremos no próximo capítulo. 78 9.3 Fecho Normal Capítulo 10 A Correspondência de Galois Estamos agora em posição de estabelecer propriedades fundamentais sobre a Corres- pondência de Galois, entre as Extensões de Corpos e os Grupos de Galois, auge desta teoria e, portanto, deste Trabalho de Conclusão de Curso. Por sorte, a maioria do traba- lho já foi feita, tudo que o que faremos neste momento é juntar as peças deste belíssimo quebra-cabeças. 10.1 O Teorema Fundamental Seja L : K uma extensão em C com grupo de Galois G, que consiste de todos os K-automorsmos de L. Seja F o conjunto dos corpos intermediários, ou seja, o conjunto dos subcorpos M tais que K ⊆ M ⊆ L; e seja G o conjunto de todos os subgrupos H de G. Denimos as seguintes funções: ∗ : F → G † : G → F , como segue: se M ∈ F , então M∗ é o grupo de todos os M -automorsmos de L. Se H ∈ G, então H† é o corpo xo de H. Já observamos, 9.2.5, que as funções ∗ e † são inclusões reversas, isto é, M ⊆M∗† e H ⊆ H†∗. Antes de enunciarmos o Teorema Fundamental da Teoria de Galois, enunciaremos e demonstraremos um Lema crucial para a demonstração das últimas partes do mesmo. Lema 10.1.1. Suponhamos que L : K seja uma extensão de corpo, M seja um corpo intermediário, e τ , um K-automorsmo de L. Então, τ(M)∗ = τM∗τ−1. Demonstração. Seja M ′ = τ(M), e considere γ ∈ M∗, x1 ∈ M ′. Então, x1 = τ(x) para algum x ∈M . Calculando: (τγτ−1)(x1) = τ(γ(τ −1(x1))) = τ(γ(x)) = τ(x) = x1. 79