Baixe Análise de Estruturas - Método das Forças e Método dos Deslocamentos 2 ed. Humberto Lima Soriano e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! DA Ade aa Wo jato Humberto Lima Soriano, D.Sc. *-zressor titular da Faculdade de Engenharia da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. “-.messor tiulor aposentado da Escola Politécnica da Universidade Federal do Rio de Janeiro e da Coordenação dos Programas de Pás-Graduação em Engenharia - COPPE-UFRJ. Silvio de Souza Lima, D.Sc. Professor adjunto da Escola Politécnica da Universidade Federal do Rio de Janeiro Análise de Estruturas Método das Forças e Método dos Deslocamentos 2º Edição Atualizada EDITORA CIENCIA MODERNA Sumário 5:4—Sistema SALT staneqas aan ga aan quan: 260 5.4.1 — Apresentação do Sistema..........eeeereneeemesserrsereresseresarrererers 263 5.4.2 Análise estática.............. o 5.4.3 — Linhas de influência e valores extremos 5.5 — EXETCÍCIOS DPODOSLOS .sesiscsesscrasecentasinasseisesiotsacissacasita cesssçasea seção Respostas dos exercícios propostos selecionados .................ciisesiereaeereaeerererrereeremseniseea GLOSSÁRIO... re EEE e aa BIG ae na o aos ag gangaça DOD NOtaÇÕES eps ora rrenan aaa crnracraguenmagacnnapereceçnaçÕ0S Índice .. Fundamentos 1.1 — Introdução Às estruturas são sistemas físicos capazes de receber e transmitir esforços como em pontes, edifícios, torres, antenas etc. Um dos principais objetivos da análise de estruturas é relacionar, em idealizações simplificadoras desses sistemas e utilizando propriedades de material determinadas experimentalmente, as ações externas atuantes com os deslocamentos, reações de apoio e tensões (ou suas resultantes), de maneira a poder identificar eventual deficiência de comportamento do material constituinte e/ou de comportamento da estrutura como um todo e/ou de suas partes. Isso, para elaborar o projeto de uma nova estrutura a ser construída ou estudar o comportamento de uma estrutura já existente. A idealização de uma estrutura conduz a um modelo de análise, regido por equações matemáticas, cujos resultados devem expressar comportamento próximo ao da estrutura. Cabe ao engenheiro a responsabilidade de conceber esse modelo, sob ações externas estabelecidas a partir de códigos de projeto e com as aproximações julgadas cabíveis, e, após a determinação de seu comportamento, fazer análise crítica de sua pertinência. Neste livro, a análise se restringe ao estudo das estruturas em barras, desenvolvendo métodos e processos de determinação de resultantes de tensão (esforços seccionais), deslocamentos e reações de apoio, com ênfase nas denominadas estruturas hiperestáticas. Por simplicidade de expressão, o modelo de análise é também denominado estrutura, assim como a sua representação gráfica. Eficientes sistemas computacionais para a análise automática de estruturas são atualmente disponíveis e indispensáveis nos escritórios de projeto. Contudo, não é recomendável a sua utilização por usuário que não tenha capacidade de avaliação crítica dos resultados obtidos. Para isso, é necessário o conhecimento das potencialidades e limitações dos métodos implementados, e que se tenha “sentimento de comportamento das estruturas”. Com o objetivo de propiciar ao leitor esse conhecimento e iniciá-lo no desenvolvimento desse sentimento, este livro apresenta a formulação clássica dos métodos Análise de Estruturas das forças e dos deslocamentos em análise de estruturas em barras, conduzindo o leitor à resolução de um grande número de pequenos modelos de estruturas. A presente abordagem é em terminologia e enfoque adequados à formulação matricial apresentada em outro livro pelo primeiro autor. Neste capítulo são revistos os fundamentos dos métodos de análise das estruturas em barras que em parte são estudados nas disciplinas de Isostática e de Resistência dos Materiais. Destaca-se o método da força unitária de cálculo de deslocamentos, por ser essencial ao método das.forças apresentado no segundo capítulo. Por sua vez, esse último método é fundamental para o desenvolvimento do método dos deslocamentos apresentado no terceiro capítulo, que em sua formulação matricial é o método amplamente utilizado nos sistemas computacionais de análise. No quarto capítulo é apresentado o estudo de linhas de influência e do processo de Cross. As linhas de influência são muito úteis no projeto de estruturas com cargas móveis, como pontes rodoviárias, ferroviárias e rolantes. O processo de Cross é uma forma iterativa prática de utilizar o método dos deslocamentos, atualmente pouco utilizado, mas que é apresentado por contribuir ao entendimento de comportamento das estruturas em barras. O quinto capítulo introduz o leitor na análise automática, propiciando-o confrontar os seus resultados manuais dos métodos apresentados neste livro com resultados computacionais, fundamentando-o para adequadamente utilizar análise automática, ao mesmo tempo em que o motiva a progredir em seus estudos. Para isso, fornece informações do Sistema SALT de Análise de Estruturas desenvolvido pelos autores e disponibilizado em versão acadêmica na Internet. Sugere-se ao leitor acompanhar o estudo dos primeiros quatro capítulos com a leitura do quinto capítulo e do uso do Sistema SALT ou de outro sistema de análise de estrutura que venha a ter disponibilidade. 1.2 - Conceitos básicos De forma simplificada, as estruturas podem ser classificadas como constituídas de barras (retas ou curvas) e como contínuas. A barra é um elemento estrutural que tem uma dimensão preponderante em relação às demais. São as vigas, colunas, pilares, escoras, tirantes, eixos, nervuras ete., ditos elementos unidimensionais. As estruturas contínuas são constituídas de elemento(s) em que não se caracteriza uma dimensão preponderante, como as chapas, placas, cascas, membranas e blocos, ditos elementos de superfície e de volume, conforme se possam caracterizar duas ou três dimensões preponderantes. Utilizando computador, essas últimas estruturas são usualmente analisadas pelo método de elementos finitos. Com a hipótese das seções transversais de barra permanecerem planas após a sua deformação quando sob ações externas, a barra é idealizada para efeito de análise pelo lugar geométrico dos centróides de suas seções: transversais. Esse é o eixo geométrico representado por um segmento de reta ou de curva, dito elemento unidimensional. Considera-se que as seções transversais sejam perpendiculares a esse eixo. Além disso, como os apoios são idealizados como pontuais, a estrutura fica modelada como um conjunto de elementos unidimensionais ligados entre si em pontos e em apoios discretos. Por simplicidade, a representação unidimensional de barra é também denominada barra e qualquer de seus pontos, seção transversal. Capítulo 1 — Fundamentos deslocamentos de corpo rígido, quando então as equações de equilíbrio da estática são também suficientes para o cálculo dessas reações. Além disso, os vínculos internos são suficientes para impedir mecanismos da estrutura e de suas diversas partes. O pórtico da Figura 1.2c é hiperestático externamente, com grau de indeterminação estática igual a 1, porque existe uma reação superabundante para impedir os deslocamentos de corpo rígido do pórtico como um todo, quando, então, as equações de equilíbrio da estática não são suficientes para o cálculo das reações de apoio. O pórtico da Figura 1.2d é isostático externamente e hiperestático internamente, com grau de indeterminação estática igual a 3, porque, mesmo após o cálculo das reações de apoio (utilizando as equações de equilíbrio da estática), os três esforços seccionais da seção S indicada não são possíveis de serem calculados com equações da estática. É natural que se possa ter também estrutura hiperestática interna e externamente, quando, então, as equações da estática não são suficientes para o cálculo das reações de apoio e dos esforços seccionais em partes fechadas da estrutura. (a) Hipostática (b) Isostática (c) Hiperestática externamente (d) Hiperestática internamente Figura 1.2 — Classificação quanto ao equilíbrio estático. As estruturas podem ter comportamento físico linear ou não linear e comportamento geométrico linear ou não linear. Diz-se comportamento físico linear quando os materiais constituintes das barras da estrutura têm diagrama tensão-deformação linear (vide item 1.3), além de independente do tempo. Comportamento físico não linear, em caso contrário. Diz-se comportamento geométrico linear quando as equações de equilíbrio podem ser escritas, com aproximações julgadas aceitáveis, na configuração não deformada da estrutura (anterior à aplicação das ações externas embora se suponha que essas ações estejam atuando). Trata-se de análise com pequenos deslocamentos em que a tangente de ângulo de rotação é tomada igual ao próprio ângulo em radiano. Diz-se comportamento geométrico não linear, em caso contrário. Em comportamento linear (físico e geométrico) é válido o princípio da superposição dos efeitos, ilustrado na Figura 1.3 com uma viga biapoiada sob duas forças externas concentradas. 5 Análise de Estruturas P, P, P, P; = + Figura 1.3 — Ilustração do princípio da superposição. Neste livro são estudadas as estruturas em barras de comportamentos lineares, físico e geométrico, sob ações estáticas. As estruturas em barras podem ser classificadas em: viga l treliça E Era espacial lano pórtico E espacial grelha comcabos, escoras e/ou tirantes A viga tem barras retas dispostas sequencialmente em uma linha horizontal, supostas usualmente apenas com momento fletor e esforço cortante, como ilustra a Figura 1.4a, onde p é força externa distribuída por unidade de comprimento. A treliça é formada de barras retas supostas rotuladas em suas extremidades e com forças externas (concentradas) aplicadas apenas nas rótulas, como exemplificado nã Figura 1,4b, Consegientemente, em barra de treliça tem-se apenas esforço normal. O pórtico plano tem suas barras (retas ou curvas) situadas em um mesmo plano (usualmente vertical), sob ações externas que o solicitam nesse plano, tendo-se apenas esforço normal, esforço cortante de vetor representativo no plano em questão e momento fletor de vetor representativo normal a esse plano, como ilustrado na Figura 1,4c, Em pórtico espacial, sob ações quaisquer, têm- se conjuntos quaisquer dos seis esforços seccionais representados na Figura 1.1b. A grelha tem suas barras situadas em um mesmo plano (usualmente horizontal) e ações externas que provocam apenas momento de torção, momento fletor de vetor representativo no plano em questão e esforço cortante de vetor representativo normal a esse plano, como exemplificado na Figura 1.4d. Viga-balcão é uma grelha de barra curva ou poligonal. O arco pode ser considerado como um pórtico de barra curva, plana ou reversa, Assim, em arco plano sob carregamento em seu plano, têm-se, apenas, esforço normal, um esforço cortante e um momento fletor. O tirante e o cabo são elementos unidimensionais que só trabalham à tração, sendo o primeiro retilíneo e o segundo curvo em função das forças que lhe são aplicadas. A escora é um elemento unidimensional retilíneo que só trabalha à compressão. A estrutura em barras com cabo, escora e/ou tirante é usualmente mista com um dos modelos descritos anteriormente. É o caso de torre estaiada, por exemplo. Capítulo 1 — Fundamentos NO ES Pp EM SS V 4a [DD —» N N (a) Viga (b) Treliça plana zo do (c) Pórtico plano (d) Grelha Figura 1.4 — Exemplos de estruturas em barras. Os esforços seccionais têm duas convenções de sinais, uma clássica e uma dependente de referencial. A Figura 1.5a apresenta a primeira dessas convenções. No caso, esforço normal de tração é positivo e esforço normal de compressão é negativo. Quanto ao momento de torção, não se tem regra única. Neste livro, esse momento é considerado positivo quando o seu vetor representativo tem sentido “de entrar” na seção transversal, e considerado negativo, quando “de sair” da seção. Quanto ao momento fletor, tem-se que escolher uma posição de observação de cada barra para se aplicar a convenção clássica de sinais, identificando-se os seus lados “superior” e “inferior”. No caso, o momento fletor é positivo quando provoca flexão na barra com concavidade voltada para o seu lado superior, e é negativo em caso contrário, Diz-se que o momento fletor positivo provoca tração nas “fibras longitudinais inferiores da barra” e que o momento fletor negativo, nas “fibras longitudinais superiores”. O esforço cortante é positivo quando provcca “giro no sentido horário” ou, o que dá no mesmo, quando o esforço cortante do lado esquerdo for de baixo para cima, negativo em caso contrário. As aspas foram utilizadas porque o giro se refere ao momento do esforço cortante atuante em uma seção transversal em relação à seção que lhe 7 Análise de Estruturas O diagrama de momento fletor costuma também ser traçado a partir da linha de fechamento, que é a linha que une os valores desse esforço nos pontos de transição de suas equações, representada em tracejado na Figura 1.6. Assim, em cada trecho de comprimento € de barra sob força externa uniformemente distribuída p, o ponto da parábola quadrática desse diagrama na seção média desse trecho é obtido marcando-se pê/8 a partir da linha de fechamento. Com o conhecimento desse ponto esboça-se a parábola. Devido à simplicidade desse procedimento de “dependurar a parábola” e à sua adaptabilidade ao método da força unitária que será desenvolvido no item 1.6 e largamente utilizado neste livro. Esforço normal e momento de torção não têm regra única de traçado. Neste livro, esses esforços, quando positivos, são traçados do lado “superior” da barra e, quando negativos, do lado “inferior”. Para a análise de estruturas hiperestáticas, têm-se dois métodos principais, a saber: o método das forças e o método dos deslocamentos. No método das forças ou da flexibilidade, as incógnitas primárias são reações de apoio e/ou esforços seccionais superabundantes para o equilíbrio estático. Esse método é desenvolvido no segundo capítulo. No método dos deslocamentos, da rigidez ou das deformações, as incógnitas primárias são deslocamentos e rotações em pontos adequadamente escolhidos na estrutura. Esse método é apresentado no terceiro capítulo em formulação clássica. Ambos os métodos são desenvolvidos a partir de teoremas de trabalho que, para estruturas em barras de comportamento linear, são apresentados nos itens 1.4 e 1.5 deste capítulo. 1.3 - Trabalho das forças externas e energia de deformação Considere-se uma barra de seção transversal constante sob força axial como ilustra a Figura 1.7aemque £ e ô são, respectivamente, o comprimento inicial e o alongamento da barra devido à força P suposta aplicada a partir de zero até o seu valor final, sem despertar forças de inércia e de amortecimento. Com material elástico linear, desconsiderando o efeito do tempo, obtém-se o diagrama força-alongamento representado na Figura 1.7b, onde P' e 6! são valores intermediários. Supõe-se que, em compressão, o diagrama força-encurtamento tenha a mesma inclinação que em tração. Devido ao esforço normal P, ocorre o afastamento de duas seções transversais adjacentes e a tensão normal G=P/A representada na Figura 1,7€, sendo A a área da seção transversal, O trabalho mecânico da força P se escreve: raso À W= [ pas=—Pô (1.2) resultado este que é igual à área sob o segmento linear força-alongamento representado na Figura 1.7b. O termo elástico qualifica o material da barra como tendo a propriedade de retornar à sua configuração inicial com a retirada da força, recuperando-se o trabalho realizado. Isso é uma forma particular do princípio da conservação de energia, por expressar que o trabalho da força externa P fica armazenado como trabalho das forças internas da barra no 10 Capítulo 1 — Fundamentos que se denomina trabalho de deformação ou energia de deformação. As forças internas são componentes de tensão multiplicadas por elementos infinitesimais de área, cujas resultantes em cada seção transversal de barra são os descritos esforços seccionais, que, no caso da barra da Figura 1.7, se reduzem ao esforço normal. é 81 do (a) Tração axial (b) Diagrama força-alongamento P | g=— e - de' (c) Tensão normal (d) Diagrama tensão-deformação Figura 1.7 — Tração em barra de material elástico linear. Logo, a energia de deformação da referida barra se escreve: u=1pg=1[ Poav=lfocav (1.3) 2 CCohas 2% onde V é o volume da barra e e=8/? é a deformação específica (longitudinal). A equação anterior fornece: U= futav (1.4) 1 Análise de Estruturas onde +. U =-ce 1.5 Z (1.5) é denominado energia de deformação por unidade de volume ou, simplesmente, densidade de energia de deformação. De acordo com a equação 1.4, a energia de deformação é a área sob o diagrama tensão-deformação integrado no volume da barra. No diagrama força-alongamento da Figura 1.7b, dividindo as ordenadas por À e as abscissas por (, obtém-se o diagrama tensão-deformação representado na Figura 1.7d. Dessa figura, tem-se: c=tgac=Eg (1.6) onde E é o módulo de elasticidade (longitudinal) ou módulo de Young, em homenagem a Thomas Young. A equação anterior expressa uma das formas da lei de Hooke, que também se escreve, para estado uniaxial de tensão, sob a forma: — Pt EA Identifica-se que a área sob o diagrama tensão- deformação da Figura 1.7d é igual à densidade de energia, que se escreve: (1.7) B U'= [ode (1.8) Semelhantemente à tração axial descrita anteriormente, considere-se uma barra de seção transversal circular constante em que se aplica o momento de torção T, como ilustra a Figura 1.8a. Com material elástico linear e aplicação gradual desse momento, obtém-se o diagrama momento de torção-ângulo de torção representado na Figura 1.8b e a realização do trabalho mecânico: W="T6 (1.9) onde O é o ângulo de torção entre as extremidades da barra. Devido à rotação de cada seção transversal em relação à que lhe é adjacente, ocorre tensão cisalhante 7 indicada na Figura 1.8b, com distribuição linear na direção do centróide da seção conforme mostrado na Figura 1.8c. Multiplicando as ordenadas do diagrama da Figura 1.8b por r/J, sendo J o momento de inércia polar da seção transversal, e r o raio dessa seção, e multiplicando as correspondentes abscissas por r/Z, obtém-se o diagrama mostrado na Figura 1.8d, onde: Tr t=— (110 T ) é a máxima tensão cisalhante e Or =— 1.11 Y=5, (1.11) é a máxima deformação específica de cisalhamento ou distorção. Dessa figura obtém-se: T=tga' y=G7Y (1.12) 12 Capítulo 1 — Fundamentos Logo, a energia de deformação da treliça se escreve: 2 sê. U=2 PJ2 LP (c) 2 2EA 2EA que fornece: (d) (a) Configuração inicial (b) Configuração deformada Figura El.1. Para comprovar que o resultado anterior é o deslocamento do ponto e direção da força P, determina-se a seguir esse deslocamento por projeção do alongamento de cada barra na direção vertical. Assim, com as notações da Figura El.lb e a lei de Hooke expressa pela equação 1.7, tem-se: Ne 2 to * EA 2 EA Logo, considerando pequenos deslocamentos, o deslocamento vertical procurado se escreve: (e) d, Pe “cos45º EA (8) verificando o segundo teorema de Castigliano. Sugere-se ao leitor escrever a energia de deformação da treliça anterior em termos do referido deslocamento e comprovar que a derivada dessa energia em relação a esse deslocamento fornece a força aplicada, o que é o primeiro teorema de Castigliano. 1.4- Teorema dos deslocamentos virtuais O teorema dos deslocamentos virtuais se aplica à análise de estruturas em forma geral e é também conhecido como princípio dos deslocamentos virtuais, embora diversas demonstrações sejam encontradas na literatura. No que se segue, ele é demonstrado para o caso particular de estruturas em barras de comportamento linear, a partir do princípio da conservação de energia. 15 Análise de Estruturas Formas rudimentares de conservação de energia foram identificadas na antiguidade entre os helênicos, e foi Jordanus de Nemora na Alemanha, no século XIII, quem iniciou a utilização do princípio dos deslocamentos virtuais. Posteriormente, esse princípio foi reconhecido por Leonardo da Vinci (1452-1519) e por Galileo Galilei (1564-1642), e generalizado por John Bernoulli (1667-1748) para quase todos os sistemas mecânicos. Para demonstração, considere-se uma estrutura em barras de comportamento linear sob forças externas, como a viga representada na Figura 1.9a, por exemplo, em que as forças P,, P,... P; provocam em teotia de viga apenas as componentes de tensão 6, e To A componente 6, é desconsiderada nessa teoria por ser muito menor do que a componente &,. Na Figura 1.9b têm-se representações unidimensionais dessa viga. Em tracejado está representada a configuração anterior à aplicação das forças externas, e em traço-contínuo, a configuração deformada de equilíbrio com essas forças. A partir dessa última configuração, supõem-se incrementos infinitesimais de forças dP, que conduzem a uma nova deformada de equilíbrio representada em traço-ponto, com incrementos infinitesimais de deslocamentos (transversais) dô, associados a incrementos infinitesimais de deformação dee dy, € à incrementos infinitesimais de tensão do, e dr,,. Genericamente, esses incrementos de deformação e de tensão são denotados, respectivamente, por de e por do. x Ty EI -. H (a) Representação bidimensional E [Pr | Pa jar; (b) Representação unidimensional Figura 1.9 — Viga sob forças concentradas. 16 Capítulo 1 — Fundamentos No caso do estado uniaxial de tensão, a Figura 1.10 ilustra que o incremento de de deformação está associado aco incremento (cde+dods/2) de densidade de energia de deformação. No estado múltiplo de tensões, tem-se o incremento de energia de deformação: : 1 aU = k AU'dV = Í Ê (o de+do a) dv (1.16) onde a integração é no volume de todas as barras da estrutura. E “de Figura 1.10 — Diagrama tensão-deformação. De forma semelhante ao incremento anterior de energia, o trabalho dos incrementos infinitesimais dP, das forças externas se escreve: w=5(n db pardo) (17) Pelo princípio da conservação da energia, esse trabalho é igual ao correspondente incremento de energia de deformação. Logo, em teoria de primeira ordem, quando então os produtos de infinitésimos são desprezados frente a infinitésimos, escreve-se a partir das duas últimas equações que: »pas=), 3 a dv (1.18) Pode-se multiplicar a equação anterior por um escalar tão grande quanto se queira e considerar os produtos deste escalar por dô, e por dg como grandezas finitas, desde que pequenas para se manter em comportamento linear geométrico. Logo, os deslocamentos virtuais podem ser pequenos. Além disso, como na equação anterior, não ocorrem os incrementos das forças que provocaram, no início do desenvolvimento, os incrementos de deslocamentos, podem-se considerar esses incrementos como deslocamentos quaisquer e fictícios, ditos virtuais, definindo deformações virtuais. Nesse contexto, a equação anterior expressa o teorema dos deslocamentos virtuais que se enuncia: supondo em uma estrutura em equilíbrio estático um campo de deslocamentos virtuais, o trabalho virtual das forças 17 Análise de Estruturas Assim, o teorema dos deslocamentos virtuais substitui as equações de equilíbrio da estática. Uma desvantagem, quando do cálculo de reações de apoio, é ter que relacionar o deslocamento virtual no ponto e na direção da reação que se deseja calcular com os deslocamentos segundo as demais forças aplicadas. Além disso, quando a estrutura é hiperestática, a configuração virtual é uma configuração deformada, de trabalho virtual interno diferente de zero, dificultando a aplicação do teorema. Contudo, como desenvolvido no quarto capítulo, uma simples interpretação da equação do teorema dos deslocamentos virtuais, incluindo apenas uma reação de apoio, conduz a prático procedimento de determinação de linha de influência desta reação. Como apresentado na introdução deste capítulo, os esforços seccionais, em uma seção transversal de barra, são os esforços que a parte à esquerda desta seção exerce sobre a parte à direita e vice-versa. Na seção, pode-se supor a retirada do vínculo que transmite qualquer desses esforços, desde que o respectivo esforço seja aplicado como par de forças externas de maneira a impedir o deslocamento relativo entre as seções adjacentes onde se retira o vínculo, deslocamento este na direção do esforço em questão. A Figura 1.12 ilustra o caso de momento fletor, em que na seção S se supõe a introdução de uma rótula (articulação que libera a rotação entre duas seções adjacentes, não transmitindo o momento fletor) e ao mesmo tempo se considera a aplicação de um par de momentos M para restituir o comportamento original da barra. M M NE s D-n v . vV rótula. O My MM VM Nf “e [Sem NI IN. Rd v Figura 1.12 — Introdução de rótula e par de momentos. Com esse artifício, à semelhança das reações de apoio, o teorema dos deslocamentos virtuais pode ser utilizado para determinar qualquer um dos esforços seccionais. 20 Capítulo 1 — Fundamentos Exemplo 1.3 — Determina-se o momento fletor e o esforço cortante na seção A indicada na P A a2 ad 2 b viga da Figura El 3a. Figura El.3a. Para determinar o momento fletor na referida seção, considera-se uma rótula nessa seção simultaneamente com a aplicação de um par de momentos (no sentido positivo desse esforço) de maneira a anular a rotação relativa das seções adjacentes à rótula, como ilustra a parte esquerda da Figura El.3b. Na parte direita da mesma figura, está representado um campo de deslocamentos- virtuais com rotações da referida seção no sentido positivo dos momentos aplicados. Figura E1.3b. Logo, o teorema dos deslocamentos virtuais fomece: M6+P5, =0 (a) Da configuração virtual, tem-se: 5 5 b=ô, (b) Substituindo a equação (b) em (a), obtém-se: Pb M=-—— c 5 tc) que é o momento fletor procurado. Para determinar o esforço cortante na seção A, adota-se o modelo representado na parte esquerda da figura El.3c onde a restrição oferecida por esse esforço é substituída por um par de forças externas V no sentido positivo do esforço cortante. Na parte direita dessa mesma figura está representado um campo de deslocamentos virtuais com deslocamentos transversais das seções adjacentes à liberação de vínculo no sentido positivo das forças aplicadas. Como se trata de deslocamento relativo apenas de esforço cortante, não deve haver rotação relativa entre as seções adjacentes à liberação, implicando que os dois trechos hipostáticos da viga sejam paralelos, Logo, o teorema dos deslocamentos virtuais fornece: V8+P8,=0 (d) 21 Análise de Estruturas 5/2 8/2 | Figura El3c. Da configuração virtual representada na figura anterior, tem-se: E, Sb (e) a Substituindo a equação (e) em (d), obtém-se: V=-+O D a que é o esforço cortante procurado. Sugere-se ao leitor determinar, com o teorema dos deslocamentos virtuais, o momento fletor e o esforço cortante a um terço do vão da viga da Figura El.3a. Assim como na determinação de reações de apoio, o procedimento anterior não é prático de ser levado a efeito no caso de estrutura hiperestática, sendo contudo, muito prático em sua adaptação à determinação de linhas de influência como mostrado no quarto capítulo. No caso de barra rígida, o segundo membro da equação 1.19 é nulo, recaindo-se no princípio dos deslocamentos virtuais de corpo rígido, quando, então, esse princípio expressa as equações de equilíbrio da estática. Reduzindo esse corpo a uma partícula, recai-se no princípio dos deslocamentos virtnais de partícula, que expressa que o somatório das forças atuantes em uma partícula em equilíbrio é nulo. O teorema dos deslocamentos virtuais é condição necessária e suficiente de equilíbrio, como verificado no próximo exemplo. A partir desse teorema podem ser obtidos outros importantes teoremas de energia em análise de estruturas. Exemplo 1.4 — Aplica-se o teorema dos deslocamentos virtuais à viga em balanço de seção transversal constante, representada na Figura El4, com o objetivo de se obter a correspondente equação diferencial de equilíbrio e as condições de contorno. Trabalhando com grandezas virtuais infinitesimais, tendo-se em conta a lei de Hooke e desconsiderando efeito do esforço cortante, a equação 1.18 do teorema dos deslocamentos virtuais torna a forma: [pasax=[[ [, de dA dx= [ (Be, de dA dx (a) 22 Capítulo 1 — Fundamentos No caso do esforço normal representado na Figura 1.13a, a lei de Hooke expressa pela equação 1.7 fomece o deslocamento relativo: dj=* (1.21) Quanto ao momento fletor, a correspondente distribuição da tensão o, é linear ao longo da altura da seção, como ilustra a Figura 1.13b. Logo, pode-se escrever dM=(bdy)g, y, onde b é a largura dá seção na altura da coordenada y e (bdy) é elemento infinitesimal de área. Assim, tem-se a resultante: M=[5,yda (1.22) Daquela mesma figura e da lei de Hooke sob a forma da equação 1.6, tem-se dp= Bi nix , quefomece O, = ME ; y Ey dx Substituindo essa última equação na equação 1.22, obtém-se: — dGE fyida- do EI dx “A dx onde I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo z. Logo, essa equação fornece o deslocamento relativo: — Máx do=— 1.23 = (1.23) Ed Supondo constante a tensão cisalhante de esforço cortante em seção transversal de área fictícia dee (124) f escreve-se: mana (1.25) Av Ay é denominado área efetiva de cisalhamento e f é um escalar denominado fator de cisalhamento. Esse fator é função da forma geométrica da seção transversal real e determinado com a condição da tensão cisalhante constante na seção de área fictícia realizar o mesmo trabalho que a tensão cisalhante tida como exata na seção real. Da Figura 1.13c e da lei de Hooke expressa pela equação 1.12, obtém-se: juta dx G Logo, a partir dessa equação e da equação 1.25, escreve-se o deslocamento relativo: Vaz GAy dÃ= (1.26) 25 Análise de Estruturas No caso do momento de torção, a partir das equações 1.10, 1.11 e 1.12, obtém-se o deslocamento relativo: dô= Tdx GJ (1.27) A Tabela 1.1 apresenta as propriedades de seção A, 1, L, f,, fe J para as seções transversais mais usuais. o bh? 1 bt ER L=— J=hb 7021 ano com h2b h ã > | z h a 6 ' [né A=bh f,=[,=> % 12 5 nr nd! nr' nd L,=1,= Es Je = 4 64 2/32 A=mr' het L=L=m't J=2mrt A=2mt f,=[,=2 2 do = the, +3bt,) 152%? — teto 6 br, t+ht, b? I, sbt, +3ht,) As2(bt, +ht,) = A é A b "2h, “2, 2 E L ==, +6bt,) J = (nt +2btê) th h bi z sas = Lo, l= a Azht, +2bt, Tri ++ A A A Ni TI “om h b Tabela 1.1 — Propriedades de seção transversal de barra. 26 Capítulo 1 — Fundamentos Substituindo as equações 1.21, 1,23, 1.26 e 1.27 na equação 1.20 e considerando os momentos fletores e esforços cortantes de vetores representativos nas direções dos eixos y € z, obtém-se o teorema dos deslocamentos virtuais sob a forma: N MM, MM VV Erê +E Rd, El NN MM, MM Wh NV TT (28 EA El, El GAy GAy G] Nessa equação, Av, =A/f, e Ay=A/f, são as áreas de cisalhamento em y e z, respectivamente, sendo f, e f, os correspondentes fatores de cisalhamento relativos aos esforços cortantes V, e V;. 1.5 — Teorema das forças virtuais Em estrutura de material elástico linear, o teorema das forças virtuais é apenas uma forma alternativa de se escrever o teorema dos deslocamentos virtuais. O objetivo é agilizar a aplicação desse teorema em casos específicos, como mostrado no próximo item. Pode-se demonstrar que, com material não linear, esses teoremas têm marcantes diferenças entre si. Considere-se uma estrutura em barras de comportamento linear sob ação de forças externas e de deslocamentos prescritos, como a viga contínua representada na Figura 1.14a, por exemplo. Independentemente dessas ações e das condições de apoio dessa viga, considerem-se sistemas de forças externas em equilíbrio, como ilustrado pelas vigas auto- equilibradas da Figura 1.14b. (a) Deformada devido a ações reais (b) Sistemas de forças em equilíbrio Figura 1.14 — Viga. 27 Análise de Estruturas da Figura 1.15b pode ser utilizado para o cálculo do deslocamento ô do pórtico hiperestático mostrado no Figura 1.15c. Com essa concepção, o presente método costuma ser denominado teorema de Pasternak. Exemplo 1.5 — Calcula-se o deslocamento transversal ô e a rotação B da extremidade livre da viga em balanço representada na Figura El.Sa, e avalia-se a influência do esforço cortante frente à influência do momento fletor no cálculo do referido deslocamento. A viga tem vão de 6m, seção transversal retangular de base igual a 20cm e altura igual a 60cm, e material G=E/2,4, Faz-se idêntica avaliação, modificando a altura da seção para 40cm. Figura El.5a. Para determinar do deslocamento 5, considera-se a viga com o carregamento original e com o carregamento representado na parte esquerda da Figura El.5b. Com esses casos de carregamento, têm-se os esforços seccionais: 2 M=- Es ,V=-px, M,=x, V,=-1 - x Fal (— >> Figura E1.5b. Logo, a equação 1.32 do método da força unitária fornece: é 2 ô= a I PÊ , da+ EI” 2 4 2 get, PÉ 8EI 2GA, Para o cálculo da rotação O, considera-se a viga sob o momento unitário como representado na parte direita da Figura E1.5b. Têm-se, então, os esforços seccionais M,=-1 é Vu=0. Logo, o método da força unitária fornece: [px dx v (a) Lp DÊ =— = b EI? 2 6EI no Jo Capítulo 1 = Fundamentos No resultado do deslocamento transversal expresso pela equação (a), apenas 0,96% se deve à influência do esforço cortante. Reduzindo a altura da seção transversal para 40cm esse percentual se reduz para 0,427%. Isso evidencia que a influência do momento fletor nos deslocamentos é muito maior do que a influência do esforço cortante e que a primeira aumenta com a diminuição da altura da seção. E por ser pequena a influência do esforço cortante, é usual desconsiderá-la em análise de estruturas por procedimentos manuais. Sugere-se ao leitor refazer este exemplo considerando uma força concentrada aplicada na extremidade livre da viga. Exemplo 1.6 — Determina-se o deslocamento horizontal do ponto À da barra de pequena curvatura representada na parte esquerda da Figura El 6 em que E=2,0510"kN/m” e 1=1,256- 10 m” , considerando apenas o efeito do momento fletor. Figura El.6. A equação de momento fletor da barra com o carregamento original se escreve: M=Prsin6=10-2 sin8=20 sin6 (a) A equação de momento fletor da barra com a força unitária, como representado na sarte direita da Figura E1.6, se escreve: M,=rsin9=2 sing (b) Em barra de pequena curvatura, pode-se adotar a distribuição de tensões de flexão le barra reta para estender a equação 1.32 ao caso de barra curva, com integração ao longo le seu eixo geométrico. Assim, designando o comprimento infinitesimal de arco como ds, 2m-se: 1 qm 8==>["“M,M ds= = [M, Mra EI d = [" (20 sing)(2 sino) 2 do-E [si in?0 do = 202 EI EI j=—— Za 2,4403104m (o) 2,05-10":1,256-107 Sugere-se ao leitor calcular a rotação no ponto A da barra curva da Figura El.6. templo 1.7 — Determina-se, com o método da força unitária, o deslocamento do ponto e 1 direção da força P da treliça do Exemplo 1.1. 31 Análise de Estruturas A equação 1.32 fornece: | 5-2 [in dem 2 RR ag A EA *º “EAb 2 2 “EA que é o mesmo deslocamento encontrado no Exemplo 1.1. Quando se trabalha com barra de seção transversal constante e de propriedades elásticas constantes, pode-se evitgr o desenvolvimento analítico da integral que ocorre na equação 1.32 do método da força unitária, adotando-se o procedimento de À. N. Vereshchagin desenvolvido a seguir. Para isso, considere-se a integral: ! I= í MM dx (1.33) em que M, é uma função linear em x (resultado da aplicação da força unitária) e M é uma função qualquer dessa coordenada (resultado da aplicação das forças externas reais), como ilustra a Figura 1.16. A função linear se escreve: M,=a+bx (1.34) onde a e b são escalares. Substituindo essa equação na que lhe antecede, obtém-se: t I I=a [ M dx+b[ xM dx (1.35) º o É AT Área Am ; x Xe a Mt : Mu x e Figura 1,16 — Figuras planas, A primeira integral da equação anterior é a área Ay sob a representação gráfica da função M, e a segunda integral é o momento estático dessa área em relação ao eixo vertical, momento este que é igual ao produto dessa área pela coordenada x. do correspondente centróide. Logo, a equação anterior se escreve: I=Ay(a+bx,) (1.36) Por outro lado, pela equação 1.34 tem-se que a parcela entre parênteses dessa equação é igual à ordenada da função M, na abscissa correspondente ao centróide de Am, fomecendo: I=AuMy (137) 32 Capítulo 1 — Fundamentos Reações (kN) DN(kN) + 40 . = “0 40 DM(GkN.m) DV(kN) 240 40 40 + 80 Figura E1.8b. Modelo com força unitária DN, —> F=1 + 0,66667 1 I 0,66667 0,66667 | 0,66667 DM, DVy 4 [Loo IT 4 Ja 0,66567 % E 1 Figura El.8c. 35 Análise de Estruturas E Barra | a(m) Nu NGN) E ã AB +0 0,56567 + log 0,66667-40-4 =106,67 cD 3,0 [= o0,66657. - 1409 0,56667 -40-3 =80,0 z f NAN dx 186,67 Tabela ETI.8a. Logo, a parcela de deslocamento devido ao esforço normal se escreve: Los 186,67 a=L>[ nnd-BL 6,7954105 ' RE : 2,747-105 m O cálculo da integral í : M,M dx está esquematizado na Tabela ET1.8b. Barra | a(m) Ma MGNm) E M,M dx 1 = 1424044 AB 40 Ss ae 3 , 5420413867 BC 60 [E 240 [ET 5:42406=1920,0 z f MM & 33067 Tabela ET1.8b. Lopo, a parcela de deslocamento devido ao momento fletor se escreve: 4 [mM áx= 33067 EIS 5,9887-10 O cálculo da integral K V,V dx está esquematizado na Tabela ET1.8c. du =5,5216-10?m º 36 Capítulo 1 — Fundamentos Barra | am) Va VEN | vav ax DE so [349 1i(g0.,40)4=240 AB 40 5 BC 6.0 EE [- Jo 0,66667-40-6= 160 DJ; vv dx 400 Tabela ET1.8c. Logo, a parcela de deslocamento devido ao esforço cortante se escreve: 1 & RT E fo VN dx “ 3,0615-10º 400,0 Assim, tem-se o deslocamento horizontal do ponto B: 8=3, +34 +5,=0,0056589mm, =1,3065-10?m com o momento fletor, esforço cortante e esforço normal responsáveis, respectivamente, por 97,6%, 2,3% e 0,1% desse deslocamento. Sugere-se ao leitor determinar as rotações nos pontos B e D do pórtico plano da Figura El.8a. Exemplo 1,9 — Determina-se o deslocamento vertical da extremidade livre da grelha representada na Figura E1.9a em que todas as barras têm a seção circular vazada indicada, com o material aço de E=205GPa e G=79GPa. Figura 1.9a. Utilizando a Tabela 1.1, obtêm-se as propriedades: Izar't=1:0,047".0,012=3,914.10%m' 37 Seção 0,106m Análise de Estruturas 18kNim | p com 4 o . Figura El,10a. a) A Figura El.10b apresenta cs diagramas de momento fletor do pórtico com a força de 18kN/m e do pórtico sob uma força unitária no ponto e direção da força P. DM(GN.m) DM, Figura E1.10b. b) A equação 1,32 e a Tabela 1.2 fornecem o deslocamento do ponto A devido à força distribuída de 18kN/m: E 1.6=-0,09818m (a) 310'.2,210* 3 c) Cálculo do deslocamento vertical do ponto A devido à força unitária: pre do Lagsrlaga =8,0808.10“m (b) 3-10'.2,210“ 13 5 d) Condição de nulidade do deslocamento vertical do ponto A: 8+P.8"=0 —s —0,09818+8,080810“P=0 — P=12,15kN (d) Essa força P é a reação que ocorreria no ponto À, caso se introduzisse apoio que restringisse o deslocamento vertical desse ponto. Logo, a equação (c) pode ser entendida como uma equação de compatibilidade de deslocamento, base do método das forças apresentado no segundo capítulo. Exemplo 1.11 — Determina-se a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula € do pórtico plano representado na parte esquerda da Figura El.lla, considerando apenas deformação de momento fletor, com 1=2,685-10º cm" e E=2,05-10*kN/mº, 40 Capítulo 1 — Fundamentos Na parte direita da Figura El.lla está mostrado o diagrama de momento fletor devido ao carregamento original e na Figura E1.11b está representado o pórtico sob força unitária segundo o deslocamento que sc deseja calcular, juntamente com o correspondente diagrama de momento fletor. Ra B € do PTE 30m 15m tm: DM(GN.m) 40m Figura El.lla. DM, 2 Figura El.11b. O cálculo da integral f; M,M dx está esquematizado na Tabela ET1.11. Bara | “m) M, M(kN.m) [ MM dx EB 50 na 20 na 25 150 BCD 30 20 [Ea + 1125 DJ; MM ax 975 Tabela ETL.I1. 41 Análise de Estruturas Logo, tem-se: EI=2,05-10".2,685-10º 10? =5,5042510"kN.m? e =" ym3s40“rad 5,5042510 Exemplo 1.12 — A viga Gerber representada na Figura El.12a é a idealização de sistema estrutural em concreto em que o apoio D é do tipo neoprene fretado. Para calculá-lo é necessário conhecer a reação, o deslocamento horizontal é a rotação do apoio. À seguir, determina-se essa rotação com o método da força unitária, considerando concreto de médulo de elasticidade igual a 2,1-10' kN/mº e apenas deformação de momento fletor. SOkN Seção 30kN/m 20kN/m 20kN, ne HI, dar E AR Ê 5,0m Í 20m ! 3,0m Í Figura El.i2a. A Figura El.12b apresenta a referida viga com suas reações de apoio e o correspondente disgrama de momento fletor. Figura E1.12b. 42 Capítulo 1 — Fundamentos Considere-se a barra reta de altura h representada na Figura 1.17 em que se impõe a variação de temperatura T* na “face” superior da barra e a variação de temperatura T' na “face” inferior, com lei linear ao longo da altura h da seção transversal e T'> Tº. A partir dessas variações, tem-se a variação de temperatura T no eixo x, lugar geométrico dos centróides das seções transversais. Considerando barra livre sem vínculos externos e acréscimos de temperatura, a barra se expande longitudinalmente e flete com curvatura voltada para cima, como mostra a Figura 1.17. Logo, sendo a o coeficiente de dilatação térmica, a deformação de um trecho de comprimento infinitesimal dx dessa barra se deve aos seguintes deslocamentos em duas seções transversais adjacentes: a) Deslocamento relativo dessas seções na direção longitudinal da barra de: di=aT dx (1.38) b) Rotação relativa entre essas seções de: do = (Tdx cora) da (1.39) h onde g, =(T'-T*)/h é o gradiente de temperatura. EE dx Pty T' Figura 1.17 — Variação de temperatura. Considere-se, agora, que o pórtico plano isostático representado na Figura 1.15a (vide página 29) tenha suas barras submetidas a variações de temperatura e que se deseje determinar o consequente deslocamento ô devido a essas variações. Considerando a força unitária da Figura 1.15b como virtual e substituindo as equações 1.38 e 1.39 na equação 1.29 do teorema das forças virtuais, obtém-se o deslocamento procurado: 5=[N.oT dx+[M,og, dx (1.40) onde N, e My são, respectivamente, o esforço normal e o momento fletor no modelo com a força unitária. 45 Análise de Estruturas No caso particular de seção transversal e coeficiente de dilatação térmica constantes em cada barra da estrutura, a equação anterior particulariza-se em: 5=DoT[Ndx+5 ag; [Md (141) b b Nessa equação, o somatório sc refere à acumulação des efeitos das diversas barras da estrutura, a primeira integral em valor absoluto é igual à área do diagrama de esforço normal, e a segunda integral em valor absoluto é igual à área do diagrama de momento fletor, devidos à força unitária. Essas integrais podem ser obtidas com a Tabela 1.2, considerando o produto de Ny e My por N=1 e M=1, respectivamente. Exemplo 1.14 — Determina-se a rotação da seção do apoio A do pórtico representado na Figura El.14a devido aos acréscimos de temperatura indicados, sendo a=10PC é seções transversais retangulares de altura igual a 35cm. T'=+0ºC Figura El.lda. Na Figura El.I4b estão mostrados o modelo com a força unitária e os correspondentes diagramas de momento fletor e de esforço normal. 1 - - DM, F=i loucos? | 0,16667 + = DN, 0,16667 0,16667 Figura El1.14b. 46 Capítulo 1 = Fundamentos No caso, tem-se o gradiente de temperatura: 15-10 = =14,286ºCim Er 0,35 Logo, a partir da equação 1.41 escreve-se a rotação procurada: 3 9,=5 (ar fên, ax tag [/M, x) Fi 10% (10+15) 0, —0,166 67-4+0,166 67-3)+107 14,286 [-14-116) 6, =-1,0208-107 rad Sugere-se ao leitor determinar o deslocamento horizontal do ponto C do pórtico da Figura El.13a. Exemplo 1.15 — Determina-se o deslocamento horizontal do ponto A da barra curva da Figura EL.6 (vide página 31) devido a um acréscimo uniforme de temperatura de 15ºC, com a=10"PC, A equação de esforço normal devido à força unitária mostrada na Figura E1.6 escreve-se: N, =sin6 (a) Logo, a equação 1.41 fornece o deslocamento procurado: 8=aT po N,r dB=105.15-2 [a sin 8 dO =3,0-10*m (b) Como se trabalha com material isótropo, esse deslocamento deve ser igual à expansão térmica em uma barra de mesmo material e de comprimento igual ao raio, expansão esta que se calcula: 8=weT=102.2:15=3,0-10%m (o) o que confirma o resultado anterior. 1.6.3 — Efeito de deslocamento prescrito Para estender o método da força unitária ao caso de estruturas com descolamentos prescritos, considere-se o pórtico da Figura 1.15d (vide página 29) em que se deseja determinar o deslocamento ô indicado, sendo 6, deslocamento prescrito. Como as forças virtuais são independentes das condições de apoio, desde que equilibradas, a estrutura original pode ser hiperestática com deslocamento prescrito e o madelo sob força unitária, isostático (obtido por retirada de vínculos superabundantes da estrutura hiperestática). Assim, para o referido pórtico considera-se o modelo isostático com a força unitária virtual representado na Figura 1.15b. Logo, a equação 1.30 do teorema das forças virtuais fomece, 47 Análise de Estruturas E at Pp E k F (a) Estrutura original (b) Modelo isostático com força unitária P Fa I das k, e p Lê A L Fu nã (c) Modelo auxiliar com força (d) Estrutura original com apoio unitária elástico e recalque de apoio Figura 1,19 — Pórtico plano com apoios elásticos, A partir da equação 1.43 escreve-se 5, =F,/k,, onde F, é a força desenvolvida no j-ésimo apoio elástico da estrutura original. Essa força é igual a menos a reação F, nesse apoio, por ser em sentido contrário ao deslocamento à, como indicado na Figura 1.19. Logo, a equação anterior fornece: TE, E BN MM VN ET (1.48) x ks EI GA, GJ Caso a estrutura original seja isostática, é imediato identificar que a reação F, é igual à reação no apoio correspondente do modelo auxiliar quando submetido ao carregamento original. 50 Capítulo 1 — Fundamentos Quando a estrutura tem forças externas, deslocamentos prescritos e apoius elásticos, como ilustra a Figura 1.19d, essas ações podem ser consideradas simultaneamente, escrevendo-se a partir das equações 1,42 e 1.45: NN,MM, VV LT d=DRdati + (SE “EL GA, RE) é (1.46) Nessa equação, o primeiro somatório diz respeito à influência dos deslocamentos prescritos e o segundo, à influência dos apoios elásticos. Exemplo 1.17 - Determina-se o deslgcamento vertical da seção A da estrutura esquematizada na parte esquerda da Figura E1.17a, com E=3,010" kN/m, 1=2,08:10 m* k,=3,12-10ºkN/m e k,=2,60-10?kN/m, considerando apenas deformação de momento fletor. SO0kN mp” SOkN ———— k k k Figura El.17a. Para obter o referido deslocamento pode-se trabalhar com o modelo reduzido mostrado na parte direita da Figura E1.17a, em que o efeito estático da força externa foi transferido do ponto D para o ponto C, Para aplicar o método da força unitária, é necessário determinar os esforços seccionais na estrutura original, que por ser isostática tem esforços iguais aos do modelo auxiliar obtido por substituição dos apoios elásticos por indeformáveis, como mostrado na Figura E1.17b juntamente com o correspondente diagrama de momento fletor. DM(kN.m) 5SOkN.m TT 50 Figura E1.17b. A Figura El.17c apresenta o modelo auxiliar com força unitária no ponto e direção em que se deseja determinar deslocamento, juntamente com o correspondente diagrama de momento fletor. 51 Análise de Estruturas DM, 0,9375 5,0m Figura E1.17e. Logo, a equação 1.45 do método da força unitária fomece o deslocamento procurado: F 6=F, a +F, + += M,M dx 'k uz k, q E utilizando a Tabela 1.2, escreve-se: D25(- 10) , 0,75-10 0 1 - 1 so-ogan5(14 218) ã 312:10º "26-10? 3-107.2,08-:10? 6 5 5=1,9738-10?m Sugere-se ao leitor determinar a rotação no ponto A da estrutura da Figura El.17a, 1.7 — Teoremas de reciprocidade Em estruturas de comportamento linear, têm-se importantes teoremas de reciprocidade de trabalho apresentados a seguir no caso de estruturas em barras. Para isso, considere-se uma mesma estrutura sob o sistema de forças P,, P,...P,, e, separadamente, sob o sistema de forças Q,,Q, ...Q,, como ilustra a Figura 1.20. Devido à ação do primeiro sistema, o representa os deslocamentos nos pontos e direções das j forças do segundo sistema, e devido à ação do segundo sistema, 5; representa os deslocamentos nos pontos é direções das i forças do primeiro sistema. Considerando os deslocamentos da estrutura sob o primeiro sistema de forças como deslocamentos virtuais na estrutura com o segundo sistema, o teorema dos deslocamentos virtuais expresso pela equação 1.28 fomece: a] (Herr No + MaMtr rj (1.47) onde No, Mg ... representam os esforços seccionais na estrutura devidos ao segundo sistema, e Np, Mp .... são os esforços seccionais devidos ao primeiro sistema. 52 Capítulo 1 — Fundamentos A partir da equação 1.32, obtém-se: +,à "2 A ema (Cu) [x Sox e P - PME (b) EI *0 2 8EI 8EI As equações (b) e (d) comprovam que Pô=M'6. Exemplo 1.19 — Verifica-se o teorema de Maxwell na viga em balanço de seção transversal constante com os carregamentos representados na Figura E1.19a, considerando apenas deformação de momento fletor. Pp LUSA. a Figura El.19a. a) Para obter o deslocamento à indicado na parte esquerda da figura anterior, utilizam-se os modelos mostrados na Figura El.19b com as correspondentes equações de momento fletor. pi L IF-l E qu Ga 2 x x e 1 | M=pes-PE M,=x- Figura E1.19b. À equação 1.32 do método da força unitária fornece: 2 À fé (pe-PE) (x-€) dx= dá “EIS SEI 4 (a) , e Pê ei (b) b) Para determinar o deslocamento u indicado na parte direita da Figura El.19a, adotam- se os modelos mostrados na Figura El.19c com as correspondentes equações de momento fletor. 55 Análise de Estruturas . Pp « E=1 Pp = x ( E 11 x P M=Px Pe M,=x-x' para Osx<x Figura E1.19. A equação 1.32 fornece: Lp P fexº xº u=— Px-Pe)tu—x') dx= — nstie c al (Px-Po) (=x) (E c] (9) Logo, tem-se: e P fex? x? co pPé po [+ | de= BO (d) º EI 2 6 8EI As equações (b) e (d) comprovam o teorema de Maxwell no presente caso de força distribuída. Exemplo 1.20 — Faz-se a verificação do teorema de Clapeyron expresso pela equação 1.14, no caso da viga representada na Figura E1.20. Figura E1.20. Considerando que a força P> seja aplicada depois da imposição da força P, na superposição dos estados de carregamentos representada na figura anterior, tem-se o trabalho realizado por essas forças: 1 W=Pôu+Pôn + tada (a) No segundo termo do segundo membro dessa equação não se tem o divisor 2 como nos demais termos, porque, ao ser aplicada a força P,, o ponto de imposição da força P, se desloca de 6, com essa força mantendo valor constante. Essa equação se escreve: l 1 l 1 W=5E, di tah do ah da obs 5» (b) Tendo-se em conta o teorema de reciprocidade de Maxwell, essa equação fornece: 56 Capítulo 1 — Fundamentos 1 w P, (à, +ô» HP: (3, +5,) (c) sda 2 1 1 WRP, (d) Esse resultado verifica o teorema de Clapeyron. Com raciocínio semelhante, pode- se considerar um maior número de forças na verificação desse teorema. 1.8 — Estruturas simétricas Quando a estrutura tem simetria elástica e geométrica, pode-se tirar partido dessa simetria para criar modelo com menor número de barras que a estrutura original e, a partir dos resultados desse modelo, obter imediatamente os resultados da estrutura. Para isso, é necessário que se trabalhe com carregamentos simétrico e/ou anti-simétrico, quando, então, tendo-se um ou mais deslocamento(s) nulo(s) na(s) seção(ões) das barra(s) interceptada(s) pelo eixo de simetria, pode-se analisar apenas metade da estrutura original, adotando condições de contomo nessas seções que imponham a nulidade desses deslocamentos. Esse procedimento é prático em análise de estruturas de grande número de barras, por reduzir o número de operações aritméticas, agilizando o procedimento de cálculo. Mesmo em análise utilizando computadores, é vantajoso, por diminuir os dados de entrada a preparar e a quantidade de resultados a interpretar. Caso a estrutura seja simétrica e o carregamento não o seja, pode-se decompô-lo em uma parcela simétrica e outra anti-simétrica, como mostra a Figura 1.22 para os tipos mais usuais de forças, nes quais a dupla bandeira indica simetria ou anti-simetria. P2 | X p? Po | X dE ; a a pro Vo : pol 7) Pr [| Ph |Pj2 Carregamento original | = Parcela simétrica + | Parcela anti-simétrica Figura 1.22 — Parcelas simétrica e anti-simétrica de carregamento. 57 Análise de Estruturas X P;2 P;/2 P| P; Pp: P; P; Md NM M k Ps A Ps Ps Ap Ps L Figura 1.25 — Pórtico plano simétrico com carregamento simétrico e barra no eixo de simetria. x Considere-se, agora, grelha simétrica com carregamento simétrico, como ilustra a parte esquerda da Figura 1.26, em que P é força externa paralela ao eixo Z, e os momentos M, e M; são momentos externos no plano XY. No caso, têm-se diagrama de momento fietor simétrico, diagrama de momento de torção anti-simétrico e diagrama de esforço cortante anti-simétrico (com o observador girando em torno de um mesmo ponto do eixo de simetria), além da seção de simetria ter rotação nula em torno do eixo de simetria. Logo, para efeito de análise, pode-se considerar modelo reduzido constituído por metade da grelha original, desde que se imponha condição de contomo que impeça essa rotação, coino mostrado na parte direita dessa figura. Figura 1.26 — Grelha simétrica com carregamento simétrico. No caso de grelha simétrica com carregamento simétrico e barra em seu eixo de simetria, como ilustra à parte esquerda da Figura 1.27, essa barra tem apenas flexão, com a metade de seu momento fletor e a metade de seu esforço cortante provenientes da parte da grelha à esquerda do eixo de simetria e a outra metade proveniente da parte à direita desse eixo. Logo, no modelo reduzido, deve-se considerar essa barra com metade do momento de inércia I e metade da área efetiva de cortante Av, da seção transversal da barra original. O momento fletor é o esforço cortante nessa barra são o dobro dos correspondentes esforços da barra substituta no modelo reduzido. 60 Capítulo 1 — Fundamentos Figura 1.27 — Grelha simétrica com carregamento simétrico e barra no eixo de simetria. Em pórtico espacial, o raciocínio para levar em conta eixo de simetria na construção de modelos reduzidos é semelhante aos casos descritos anteriormente. Em treliça, tem-se particularidade quando o eixo de simetria intercepta barra, como ilustra a Figura 1.28a em que a barra 1 é interceptada. Para evitar que essa barra fique hipostática no modelo reduzido, restringe-se o deslocamento transversal de sua seção de corte. A Figura 1.28b ilustra o caso de treliça simétrica com barta em seu eixo de simetria, quando, então, no modelo reduzido, essa barra deve ter metade da área que a da barra correspondente na estrutura original. (a) Sem barra no eixo de simetria P AZ (b) Com barra no eixo de simetria Figura 1.28 — Treliça simétrica. As Figuras 1.29 ilustram a consideração de mais de um eixo de simetria. Na Figura 1.29a está representado um pórtico plano autoequilibrado com dois eixos de simetria, que permitem a construção de modelo reduzido formado por um quarto da estrutura orngmal, como indicado. O mesmo se aplica à grelha da Figura 1.29b, quando então se podem 61 Análise de Estruturas utilizar valores de força e de propriedades de seção, divididos por 2 ou não, com os esforços no primeiro caso obtidos também divididos por 2. A Figura 1.29c representa uma estrutura em anel auto-equilibrado, com indicação de quatro eixos de simetria, que, uma vez utilizados, fornecem modelo reduzido constituído por um octante da estrutura original. Xo. : E P "P m [DR xs Lo Pos Pp E tttttf p Figura 1.29c — Anel com quatro eixos de simetria. 62 Capítulo 1 — Fundamentos Exemplo 1.22 — Considera-se o pórtico elástico e geometricamente simétrico representado na Figura E1.22a, com um vínculo superabundante ao equilíbrio estático. Procuram-se: — As parcelas simétrica e anti-simétrica do carregamento. — O diagrama de momento fletor, sendo que o diagrama de momento fletor da parcela simétrica do carregamento é o representado na parte direita da referida figura. 3,0m Figura El.22a. a) As parcelas simétrica é anti-simétrica do carregamento estão mostradas na Figura E1.22b. 20kN 12,5kN/m 12,5kNim 12,5kN/m 12,5kN/m simétrica anti-simétrica Figura E1.22b. b) A resolução para a parcela anti-simétrica do carregamento recai na análise do modelo reduzido isostático representado na Figura E1.22c, onde está esquematizada a obtenção das reações de apoio e o correspondente diagrama de momento fletor. DMGN.m) 12,5kN/m E Ds SF =0 5H, =37,5kN AS Ro. ds , XM,=0>R,=20,45kN Ha DF,=0 >R, =17,05kN Ia Figura E1.22c. 65 Análise de Estruturas Logo, a partir dos diagramas de momentos fletores mostrados nas Figuras E1.22a e E1.22c, obtém-se o diagrama de momento fletor do pórtico original, como representado na Figura El.22d. 56,25 Figura El.22d. 1.9 — Exercícios propostos 1.9.1 Classifique as estruturas representadas nas Figuras 1,34a até 1.34g quanto ao equilíbrio estático, identificando, quando for o caso, o grau de indeterminação estática. Na Figura 1.34f, considere o símbolo de rótula na extremidade de cada barra permitindo as suas três rotações, com a condição de que barra rotulada em ambas as extremidades tenha restrição à torção, 5 8 fg (1) (3 5 E & STA 3) (4) » > 6 (6) sequer dúgiio do Bd NM (8) Figura 1.34a — Vigas. 66 Capítulo 1 — Fundamentos SA EN (9) (10) a) . a» : (13) (14) | (15) , (16) ] Figura 1.34b — Treliças planas. Z777 (7) (18) (19) (20) (21) (22) zdm (23) id HM jo! (24) (25) (26) en Figura 1.34c — Pórticos planos 1. 67 Análise de Estruturas A JOkNm 2,0m 3,m 3,0m Figura 1.37. 1,9,5 As barras da grelha representada na Figura 1.38 têm seção transversal circular vazada, E=205GPa e G=78,85GPa. Pede-se determinar o deslocamento do ponto A na direção Z e a rotação no ponto B em torno do eixo X, desconsiderando deformação do esforço cortante. E 25kN Figura 1.38. 1.9.6 Determine, considerando apenas deformação de momento fletor, o deslocamento horizontal do apoio A da barra curva representada na Figura 1.39, em que a seção transversal é retangular de largura de 15cm e altura de 60cm, e E=3,0-10º kN”, Determine também o deslocamento desse apoio devido à variação uniforme de 15ºC, sendo a=10ºPC. Figura 1.39, 70 Capítulo 1 — Fundamentos 1.9.7 Determine, considerando apenas deformação de momento fletor, o máximo deslocamento vertical do pórtico esquematizado na Figura 1.40, sendo a seção transversal de largura igual a 1,0m e aitura igual a 0,15m, com E=25GPa. “q 1,5m C1Om 20m | tom] Figura 1.40. 1.9.8 Determine os deslocamentos verticais das rótulas A e B da viga representada na Figura 1.41, sendo 1=3,2-10º m'e E=3,010" kN/m?. 30kN/m 10kN.m E Hj A B i 30m : 3,0m '20mi 5,0m Figura 1.41. 1.9.9 Determine a alteração da distância horizontal entre os pontos A e B do pórtico representado na Figura 1.42, em que as barras têm 1=0,00275m! e E=2056Pa, 15kN/m Figura 1.42. 71 q (oo) = = E 2 < o 2.1 — Introdução O objetivo do método das forças é determinar um conjunto de reações e/ou esforços seccionais superabundantes ao equilíbrio estático de estruturas hiperestáticas, permitindo que as demais reações e/ou esforços seccionais sejam calculados com as equações da estática. A identificação desse tipo de estrutura foi apresentada no capítulo anterior. Para consolidá-la, considere-se o pórtico plano da Figura 2.1a onde a rótula em D expressa que não se tem transmissão de momento fletor da barra CD para a extremidade D das barras BD e DF. Isso é, na extremidade D da barra CD pode-se ter apenas esforço cortante e esforço normal, Na Figura 2.1b estão representados esses esforços, quando se “abre” a parte fechada CDEF na referida rótula, além das quatro reações de apoio, totalizando seis incógnitas. Como no presente caso plano têm-se apenas três equações de equilíbrio da estática (a saber: XF,=0, LF, =0, LM,=0), têm-se 6-3=3 reações e/ou esforços seccionais superabundantes ao equilíbrio estático ou redundantes estáticas. Logo o grau de indeterminação estática é 3, 1 extemo e 2 internos. Abrindo a estrutura em outra seção qualquer, como, por exemplo, na seção extrema esquerda da barra CD, tem-se, nessa seção, momento fletor, esforço cortante e esforço normal, como mostrado na Figura 2.1c. Isso é um esforço seccional a mais que o caso precedente, mas tem-Se também a equação de equilíbrio adicional EMP =0, expressando somatório nulo dos momentos dos esforços (intemos e externos) atuantes na barra CD em relação à rótula em D. Verifica-se, assim, que o grau de indeterminação estática independe de como se abre a estrutura. No presente método trabalha-se com equações de compatibilidade de deslocamentos ou de compatibilidade cinemática, enquanto no método dos deslocamentos, apresentado no próximo capítulo, trabalha-se com equações de compatibilidade estática ou de equilíbrio. Apesar desse último ser o método amplamente utilizado em implementações computacionais, o método das forças é essencial para desenvolvimento do método dos deslocamentos, além de propiciar ao leitor desenvolvimento de sentimento de Análise de Estruturas com j diferente de zero, é igual ao deslocamento do ponto da redundante X; e em sua direção, quando se aplica ao sistema principal uma força unitária no ponto e na direção da redundante X;, no que se denomina estado E. Em notação análoga, E representa o estado da estrutura original. p p 4 Xo Bio do Estado E = Estado Eq O] Pg 4 +Xix Estado E, +Xox Estado Ez Figura 2.3 - Combinação linear de estados no método das forças. A equação anterior se escreve em forma matricial: ôn | E] e) =— (2.2) [ dm x, do AK=5, (23) onde o til sob a notação denota matriz e matriz coluna também denominada “vetor”. Essa equação representa um sistema de equações algébricas lineares, onde A é a matriz de Hexibilidade e 8. coeficientes de flexibilidade, X é o vetor das redundantes estáticas a ser determinado e 8, É o vetor dos coeficientes de carga. Para a homogeneidade de unidades desse sistema, os coeficientes de flexibilidade têm dimensão de unidade de deslocamento (no sentido generalizado) dividida por unidade de força (no sentido generalizado). Contudo, por concisão, os coeficientes de flexibilidade serão escritos neste livro sem a indicação de suas unidades. Pelo teorema do deslocamento recíproco expresso pela equação 1.51, tem-se 3,=ô;, significando que a matriz de flexibilidade é simétrica. Como as redundantes estáticas são independentes entre si e à sistema principal é adequadamente vinculado, a matriz de flexibilidade é não singular, tendo-se garantia de solução única: X=-2"8, (2.4) 78 Capítulo 2 — Método das forças É imediato identificar que o sistema de equações 2.3 obtido no caso de duas redundantes estáticas se generaliza para um número qualquer de redundantes. Uma vez que tenham sido determinadas as referidas redundantes, os esforços e deslocamentos na estrutura original podem ser obtidos pela combinação linear: E=E,+5 XE, (2.5) onde i varia de 1 até o número total de redundantes. Altemativamente, conhecendo-se os valores das redundantes estáticas, a estrutura originalmente hiperestática passa a ser isostática, permitindo a determinação direta das demais reações de apoio e de quaisquer esforços seccionais, com as equações da estática. Os coeficiente 8 e ô; podem ser obtidos com o método da força unitária apresentado no item 1.6. Assim, considerando inicialmente estrutura sem efeito de temperatura, sem apoio elástico e sem deslocamento prescrito, a partir da equação 1.32 escreve-se: NN, MM; VV; TT 8,=D Else pi io IPI dx (2.6) EL GA, GJ Nessa equação, i varia de 1 até o número total de redundantes é j varia de O até o número total de redundantes; Ni, M;, Vi e Ti representam os esforços seccionais no estado E;, e Nj, M;V; e T; representam os esforços seccionais no estado E;. Resumindo, o método das forças tem a seguinte sistemática: I Escolha de um sistema estrutural isostático, denominado sistema principal do método das forças, por retirada das restrições de um conjunto de redundantes estáticas da estrutura hiperestática. Essas redundantes são as incógnitas primárias a determinar. KH. Cálculo dos coeficientes de flexibilidade e de carga. TI. Montagem e resolução do sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos para obtenção das referidas redundantes. IV. Obtenção dos esforços finais. É natural que podem ser definidos e utilizados sistemas principais hiperestáticos para a escrita das equações de compatibilidade de deslocamentos do método das forças, o que, contudo, não é prático. Também, o estado E; com j 0, pode ser obtido com um valor de X; diferente da unidade, quando então a grandeza X; obtida com a resolução do sistema de equações de compatibilidade é um fator de proporcionalidade de uma redundante e não essa redundante, o que não oferece vantagem na grande maioria dos casos. Assim, é usual adotar apenas sistemas principais isostáticos e estados E; provocados por Xj=1. Além disso, procura-se escolher o sistema isostático que conduza a cálculos simples, adotando preferencialmente reações de apoio e/ou momentos fletores, como redundantes. Como se impôs que os deslocamentos dos pontos das redundantes estáticas e em suas direções fossem nulos, uma forma de checar os resultados é verificar que: NN, | MM,, VV, (TE, od, DO, SS 455] qr=0 (2.7) EA EI GA, GI 79 Análise de Estruturas Nessa equação, j igual 1 até o número total de redundantes, e N, M, V e T representam os esforços seccionais da estrutura em análise. Exemplo 2.1 - Levanta-se a indeterminação estática do pórtico plano representado na Figura E2.la cujas barras têm seção transversal quadrada de (20x20)em?, E=2,1:10' kN/mê e G=E/2,4, com o sistema principal indicado. 10kN No. > &” ja ms |” Ka [5] | ' 4,0m sp Figura E2.la. a) Têm-se as propriedades: A=0,202=0,04mº A = 0043333310? mÊ el 3 ” P 1. O2OE 1333340 tm' | Go 20 e 7510%kNm? El=2,799910"kN.mº 5 GA, =2,9166-10kN , EA=8,410ºkN, b) A Figura E2.1b apresenta os estados Es, E; e Es, com os correspondentes diagramas dos esforços seccionais. e) Os coeficientes 8, são obtidos com a equação 2.6, utilizando a Tabela 1.2: Bo=— el 40.4.4=011429m 2,7199910" 2 n=-— 1 Lugas 1 a914=-0,076330m 2,7199910? 3 2,9166-10 l 1 14.3.4-0,030496 É [a444 56:44 ça +—. 2,9166-10 8410 2 8=——— " 2,7999.10) 3 ôn= ! 7 Ligas l 11:44 É 2,7199910" 3 2916610 8410 do=ôn= | 1 44.4-0,011429 “2799910 2 *1-1:4=0,0076378 80 Capítulo 2 — Método das forças E, 20kNim DMoGN.m) | = - ] so Es > See 62,5 50 favs tizs E, DM, toa 0,2 E; DM; E = or Vu A o hos joas jozs Figura E2,2b. e) d) Logo, tem-se o sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos: 16667 q , 083333, 10417 EL EI EL 083333, 30, 70833 EI EL EI de soluções X,=58,871kNm é X,=7,2583kNm. Identifica-se que em análise de pórticos planos de barras de mesma rigidez EI, considerando apenas deformação de momento fletor, as reações de apoio €« os esforços seccionais independem dessa rigidez. De acordo com a equação 2.5, a combinação linear (E ,+X,E,+X,-E,) fornece quaisquer esforços no estado E. Assim, as reações de apoio e o diagrama de momento fletor nesse estado podem ser obtidos, respectivamente, a partir das reações de apoio e dos diagramas representados na Figura E2.2b, e com o conhecimento das reações nesse estado pode ser traçado o diagrama de esforço cortante final. Esses resultados são mostrados na Figura E2.2c. 83 Análise de Esiruturas Cargas e reações (kN,m) 20 % sasnÇÃo a asa 28,992 me 60,323 DVGN) 39,677 Figura E2.2c. Sugere-se ao leitor refazer esse exemplo utilizando outro sistema principal. 2.3 — Exemplos de sistemas principais Como usualmente existem infinitos sistemas principais (isostáticos) de uma dada estrutura hiperestática, faz-se a escolha que facilite os cálculos e que forneça de forma mais simples os esforços desejados. Nas Figuras 2,5, 2.6 e 2.7 estão representadas diversas estruturas hiperestáticas com indicação do grau de indeterminação estática h e exemplificação de sistemas principais (dois para cada estrutura). Nos casos em que se tem que escolher necessariamente h; esforços seccionais como redundantes estáticas, caracteriza-se o grau de indeterminação estática interno, hi, e o grau de indeterminação estática externo, he=h-h;. Assim, em treliça com apenas indeterminação interna, tem-se necessariamente que escolher h; esforços normais como redundantes, como na primeira treliça da Figura 2.5. Em pórticos com grau de indeterminação interna, é prático escolher momentos fletores em h; seções, como exemplificado com os dois últimos pórticos da Figura 2,7, embora se possam escolher esforço normal e esforço cortante como redundantes. Em grelha, podem ser escolhidos: momento 'fletor, momento de torção e esforço cortante, como redundantes. Em estruturas com indeterminação estática externa, reações e esforços seccionais podem ser escolhidos como redundantes, como exemplificam as duas últimas treliças da Figura 2.5. Em vigas contínuas, optando-se por escolher momentos fletores nas seções dos apoios centrais, tem-se determinação única de sistema principal, como exemplifica a primeira estrutura da Figura 2,7, simplificando o uso do método das forças. No item 2.7 retorna-se ao tema de escolha de sistema principal, quando então são consideradas redundantes estáticas simétricas e anti-simétricas, 84 Capítulo 2 — Método das forças ha=l, he=1, h=2 h=3, he=1, h=4 Figura 2.6 — Sistemas principais em grelhas. 85 Análise de Estruturas Logo, tem-se a redundante estática: Xi=-DE=-78384kN Wu SP Xi Figura E2.4b. e) De acordo com a equação 2.5, os esforços na treliça original são obtidos por X,-E,. Logo, têm-se as reações e os esforços nas barras, como indicado na Figura E2.4c. 20930 043 784 Figura E2.4c. Exemplo 2.5 — Determina-se o esforço normal na barra CD da estrutura representada na parte esquerda da Figura E2.5a, devido a um acréscimo uniforme de temperatura de 15ºC na barra AB. As barras AC, CB é CD têm A=66cm? é E=205GPa, e a barra AB tem 1=2,16-10º cm”, E=21GPa e a =10"/ºC. Desconsideram-se as deformações dos esforços normal e cortante na barra AB. 4,0m Figura E2.5a. as Capitulo 2 — Método das forças a) Na parte direita da figura anterior está representado o sistema principal escolhido, e na Figura E2.5b está mostrado o estado Ey juntamente com os correspondentes diagramas dos esforços seccionais. E, DM; 2,5 DN: Lo DV; + 0,6250 E E 0.5 pd + “9 + Loc 0,8004 0,8004 0,5 Figura E2.5b. b) A equação 2.9 fornece os coeficientes de carga: S0=CTN,stap =10"15-0,625-10=9,375-10* m Tem-se: Ejl=2110º.2,16:10*=4,536-10ºkNam?, E,A=205-10º.6610* =1,35310ºkN, Assim, a partir da equação 2.6 escreve-se o coeficiente de flexibilidade; Ba= 2. £ 08004. 6,40314-1.1.4=4,68308-10! A EA e) Logo, obtém-se o esforço na barra CD: = do PIO o o g9kN X=- CS 468308107 que é de compressão. Exemplo 2.6 — À Figura 2.6a apresenta esquema simplificado de ponte em concreto de dois vãos, apoiada em encontros nas extremidades da viga. Determinam-se os diagramas dos esforços seccionais devido a um acréscimo de temperatura de 17ºC na face superior da viga e a um acréscimo de 5ºC em sua face inferior, tendo-se E=3,010'kNm?, a=10“PC, momento de inércia do pilar igual a 0,4202m? e momento de inércia da viga igual a 2,354mº, Bo Análise de Estruturas 20,0m À 25,0m 6,0m 1,8m é AY E Lo.6m centróide Figura E2.6a. a) Considerando o pilar central engastado no bloco de fundação e na superestrutura, e cs apoios nos encontros da ponte como de primeiro gênero, recai-se no sistema estrutural de pórtico plano mostrado na Figura E2.6b, juntamente com o sistema principal escolhido e os correspondentes estados E; e E». sP f 1 1 EX Xo! DM; DN; f lo E | Ixi=i E + zo 20 1 DM; DN, | 25 [JE E, Xo=1 + rr 25 1 Figura E2.6b. b) Os coeficientes de flexibilidade são obtidos com a equação 2.6 e a Tabela 1.2: d= É A Logrogs 207.6 |=2,2815-10* 310" 12354 3 0,4202 ada Do loss, as.6 =3,7123-107 3:10 (2354 3 0,4202 8,=8,=—1L.. 1 (o0)25.6=-23798108 3-10” 0,4202 90 Análise de Estruturas ViVo Sa =-DRid, "o (EE nie TM E) (an) Nessa equação, i varia de 1 até o número total de redundantes estáticas e n variar de 1 até o número total de deslocamentos prescritos. Ainda nessa equação, ô, é o n-ésimo deslocamento prescrito e R,; representa a reação na correspondente direção de-apoio do estado E; em que se tem força unitária na i-ésima direção de redundante. Os coeficientes ô; » com i e j variando de 1 até o número total de redundantes, continuam sendo calculados pela equação 2.6. Em ambos os procedimentos anteriores, a matriz de flexibilidade não se altera e é imediato identificar que, em estruturas com mais de um deslocamento prescrito, podem ser usados simultancamente esses dois procedimentos. No caso da estrutura hiperestática ter como ação externa apenas deslocamentos prescritos, o vetor ô, que ocorre na equação 2.10 é nulo, assim como é nula a integral que ocorre na equação 2.11. Deformações introduzidas quando da montagem da estrutura, denominadas deformações prévias, podem ser levadas em conta de maneira semelhante ao de deslocamentos prescritos. Basta determinar os deslocamentos (no sistema principal) associados a essas deformações e somar esses deslocamentos ao segundo membro da equação 2.10. Alternativamente, deformações prévias e deslocamentos prescritos podem ser considerados através do procedimento de forças nodais equivalentes que será apresentado no item 2.8. Exemplo 2.7 — Obtêm-se, desconsiderando deformação do esforço cortante, os diagramas dos esforços seccionais da grelha representada na Figura E2.7a, devido a um recalque de 2,0cm no apoio A, com El=8,0237-10kN.mº e G]=6,1841-10*kN.m? Figura E2.7a. a) Com o sistema principal mostrado na Figura E2.7b, utiliza-se a equação 2.10, uma vez que a direção do hiperestático X, coincide com a do deslocamento prescrito. O estado E; é os correspondentes diagramas de momento fletor e de momento de torção estão mostrados na citada figura. À equação 2.6 e a Tabela 1.2 fornecem o coeficiente de flexibilidade: às mea tsis st La2 o las -15-2)=1,2002-107 8,0237-10º 13 3 6,1841.10 92 Capítulo 2 — Método das forças sP E; A 2 DM, DT, Figura E2.7b. Logo, a equação 2.10 de compatibilidade de deslocamento toma a forma; 12002-102 X,=-0,02, de solução X,=-1,6664kN. Com esse resultado, obtêm-se os diagramas dos esforços mostrados na Figura E2.7c. DM(KN.m) DT(GN.m) DV(&N) doa 2,4996 L 6664 2,4996 Figura E2.7c. b) Utilizando a equação 2.11, optou-se por escolher o sistema principal representado na Figura E2.7d onde sé supõe a retirada da restrição ao momento fletor no engaste. Nessa mesma figura estão também mostrados o estado E; e os correspondentes diagramas de momento fletor e de momento de torção. A equação 2.6 e a Tabela 1.2 fornecem o coeficiente de flexibilidade: 5, = oo (ati2+S 09507515) 8,0237 10º [3 3 +— 1 (0,15.0,15:2)=3, 0006102 6,1841-:10 A equação 2.10 fornece o coeficiente de carga: d, =—0,5 (-0,02)=0,01 rad 93 Análise de Esiruturas sP *% ” 1 j DM, DT; Figura E2.7d. Logo, tem-se a equação de compatibilidade de deslocamento: 3,0006110? X, =-0,01, de solução X,=-3,3327kN.m. Esse resultado conduz aos mesmos diagramas mostrados na Figura E2.7c. Exemplo 2.8 — Seja obter os diagramas dos esforços seccionais da viga do Exemplo 2.2 com El=81-10'kN.m”, agora devido a um recalque no engaste de 1,5cm. a) Utilizando o procedimento que conduziu à equação 2.10, adota-se o sistema principal representado na Figura E2.8a juntamente com os estados E, e E;, e com os correspondentes diagramas de momento fletor. SP * PO ts 1X E DM; E; DM, Xl oco THr== Figura E2.8a, 94