Matemática e suas Tecnologias - Ensino Médio

Matemática e suas Tecnologias - Ensino Médio

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Matemática e suas Tecnologias

Livro do Estudante Ensino Médio

Brasília MEC/INEP 2006

Matemática e suas Tecnologias

Livro do Estudante Ensino Médio

Coordenação Geral do Projeto Maria Inês Fini

Coordenação de Articulação de Textos do Ensino Médio Zuleika de Felice Murrie

Coordenação de Texto de Área Ensino Médio

Matemática e suas Tecnologias Maria Silvia Brumatti Sentelhas

Leitores Críticos

Área de Psicologia do Desenvolvimento Márcia Zampieri Torres Maria da Graça Bompastor Borges Dias Leny Rodrigues Martins Teixeira Lino de Macedo

Área de Matemática Área de Matemática e suas Tecnologias Eduardo Sebastiani Ferreira Maria Eliza Fini Maria Cristina Souza de Albuquerque Maranhão

Diretoria de Avaliação para Certificação de Competências (DACC) Equipe Técnica Ataíde Alves – Diretor Alessandra Regina Ferreira Abadio Célia Maria Rey de Carvalho Ciro Haydn de Barros Clediston Rodrigo Freire

Daniel Verçosa Amorim David de Lima Simões Dorivan Ferreira Gomes Érika Márcia Baptista Caramori Fátima Deyse Sacramento Porcidonio Gilberto Edinaldo Moura Gislene Silva Lima Helvécio Dourado Pacheco Hugo Leonardo de Siqueira Cardoso Jane Hudson Abranches Kelly Cristina Naves Paixão Lúcia Helena P. Medeiros Maria Cândida Muniz Trigo Maria Vilma Valente de Aguiar Pedro Henrique de Moura Araújo Sheyla Carvalho Lira Suely Alves Wanderley Taíse Pereira Liocádio Teresa Maria Abath Pereira Weldson dos Santos Batista

Capa Marcos Hartwich

Ilustrações Raphael Caron Freitas

Coordenação Editorial Zuleika de Felice Murrie

© O MEC/INEP cede os direitos de reprodução deste material às Secretarias de Educação, que poderão reproduzi-lo respeitando a integridade da obra.

M425Matemática e suas tecnologias : livro do estudante : ensino médio /

Coordenação : Zuleika de Felice Murrie. — 2. ed. — Brasília : MEC : INEP, 2006. 244p. ; 28cm.

1. Matemática (Ensino Médio). I. Murrie, Zuleika de Felice. CDD 510

Introdução

Sumário

A Matemática: uma construção da humanidade

Capítulo I Suzana Laino Cândido

Lógica e argumentação: da prática à Matemática

Capítulo I Fabio Orfali

Convivendo com os núm eros

Capítulo I Elynir Garrafa

Nossa realidade e as formas que nos rodeiam

Capítulo IV Marília Toledo

Medidas e seus usos

Capítulo V José Luiz Pastore Mello

As grandezas no dia-a-dia

Capítulo VI Lúci M. Loreto Rodrigues

A Matemática por trás dos fatos

Capítulo VII Wilson Roberto Rodrigues

Gráficos e tabelas do dia-a-dia

Capítulo VIII Jayme Leme

Uma conversa sobre fatos do nosso dia-a-dia

Capítulo IX Helenalda Nazareth

Este material foi desenvolvido pelo Ministério da Educação com a finalidade de ajudá-lo a preparar-se para a avaliação necessária à obtenção do certificado de conclusão do Ensino Médio denominada ENCCEJA – Exame Nacional de Certificação de Competências de Jovens e Adultos.

A avaliação proposta pelo Ministério da Educação para certificação do Ensino Médio é composta de 4 provas:

Este exemplar contém as orientações necessárias para apoiar sua preparação para a prova de Matemática e suas Tecnologias.

A prova é composta de 45 questões objetivas de múltipla escolha, valendo 100 pontos.

Este exame é diferente dos exames tradicionais, pois buscará verificar se você é capaz de usar os conhecimentos em situações reais da sua vida em sociedade.

As competências e habilidades fundamentais desta área de conhecimento estão contidas em:

I.Compreender a Matemática como construção humana, relacionando o seu desenvolvimento com a transformação da sociedade.

I.Ampliar formas de raciocínio e processos mentais por meio de indução, dedução, analogia e estimativa, utilizando conceitos e procedimentos matemáticos.

I.Construir significados e ampliar os já existentes para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

IV.Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade- e agir sobre ela.

V.Construir e ampliar noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

VI.Construir e ampliar noções de variação de grandeza para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

VII.Aplicar expressões analíticas para modelar e resolver problemas, envolvendo variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas.

Introdução

VIII.Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.

IX.Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas e cálculos de probabilidade, para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.

Os textos que se seguem pretendem ajudá-lo a compreender melhor cada uma dessas nove competências. Cada capítulo é composto por um texto básico que discute os conhecimentos referentes à competência tema do capítulo. Esse texto básico está organizado em duas colunas. Durante a leitura do texto básico, você encontrará dois tipos de boxes: um boxe denominado de desenvolvendo competências e outro, de texto explicativo.

O boxe desenvolvendo competências apresenta atividades para que você possa ampliar seu conhecimento. As respostas podem ser encontradas no fim do capítulo. O boxe de texto explicativo indica possibilidades de leitura e reflexão sobre o tema do capítulo.

O texto básico está construído de forma que você possa refletir sobre várias situaçõesproblema de seu cotidiano, aplicando o conhecimento técnico-científico construído historicamente, organizado e transmitido pelos livros e pela escola.

Você poderá, ainda, complementar seus estudos com outros materiais didáticos, freqüentando cursos ou estudando sozinho. Para obter êxito na prova de Matemática e suas Tecnologias do ENCCEJA, esse material será fundamental em seus estudos.

Suzana Laino Cândido

Capítulo I

Matemática e suas TecnologiasEnsino Médio

Capítulo I

A Matemática: uma construção da humanidade

A Matemática e o dia-a-dia

As condições de vida da humanidade se modificaram ao longo do tempo, com o desenvolvimento da agricultura, do comércio, da indústria, do conhecimento e da tecnologia . E através das conseqüências do avanço em todas essas áreas.

Apesar de o homem não ter registrado o que fazia e pensava no início de sua história, ele precisava resolver problemas de seu dia-a-dia, ligados à sua subsistência.

Ao buscar soluções para eles, o conhecimento matemático começou a ser construído.

Figura 1 - Na comparação entre o número de aves do caçador e o número de peixes do pescador está a raiz de uma das mais belas idéias matemáticas: a proporcionalidade.

1 Desenvolvendo competências Reflita sobre a seguinte situação:

Se os pescadores e caçadores daquela época trocassem sempre 2 aves por 3 peixes, quantos peixes deveria ter um pescador para trocar por 2 aves?

Como você resolveria esse problema?

Os homens das cavernas não dispunham ainda dos registros e técnicas operatórias atuais para resolver a questão.

O pescador poderia pensar assim: quero aves, mas só tenho peixes. Vou agrupar meus peixes de 3 em 3 e para cada grupo ponho 2 pedrinhas ao lado para representar as aves, até completar 2 pedrinhas. Então, conto quantos peixes preciso. São 3 peixes!

Figura 2

Capítulo I — A Matemática: uma construção da humanidade

O caçador poderia pensar de um modo semelhante, para resolver o problema, agrupando suas 2 aves em grupos de 2; agora, as pedrinhas seriam peixes: 3 para cada grupo de aves. Contanto as pedrinhas, ele descobre que são 3 peixes!

Assim como esse, outros problemas que o homem tem resolvido em seu cotidiano deram grande impulso ao conhecimento da humanidade e, em particular, ao conhecimento matemático.

A Matemática e a linguagem

Tanto o pescador como o caçador pensaram de um modo até bastante sofisticado. Entretanto, talvez a estratégia que utilizaram para resolver a questão da troca já não fosse tão eficiente se tivessem que decidir quantos peixes trocar por 560 aves!

Com o correr do tempo, o homem passou a produzir mais e a ter um estoque do que produzia (superávit), além da necessidade do consumo próprio e de seu grupo. Com isso, as idéias e técnicas matemáticas foram se aperfeiçoando, para poder resolver os problemas que envolviam grandes quantidades, por exemplo.

É bem possível que você tenha resolvido o problema dos peixes de um modo mais rápido, como por exemplo:

Esses símbolos que atualmente combinamos e usamos de um modo conveniente para registrar a resolução do problema dos peixes fazem parte de uma linguagem escrita que foi sendo construída, à medida que as idéias e conceitos matemáticos foram sendo descobertos, elaborados e aplicados pelo homem em outras situações: é a linguagem matemática.

Essa linguagem, quando é escrita, utiliza símbolos próprios e universais, o que permite uma comunicação que ultrapassa fronteiras das diversas línguas. Entretanto, quando nos comunicamos oralmente, utilizando essa linguagem, lançamos mão da língua materna. Veja um exemplo:

Um freguês de uma padaria compra, todos os dias, leite a R$1,10 o litro e alguns pãezinhos a R$ 0,20 cada. Como se pode representar a despesa dessa pessoa num dia?

A situação acima, descrita em nossa língua materna, pode ser registrada por meio da linguagem matemática, que favorece a representação da despesa desse freguês para qualquer quantidade de pães que ele compre.

Podemos representar por n o número de pães e por f(n) (lê-se “f de n”) a despesa. Assim, a despesa pode ser representada pela igualdade:

f (n) =1,10 + 0,20 . n

DespesatotalDespesacom o leiteDespesa com os pães

Figura 3

1 . 3 = 33ou

então x == 3 . 2

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3 Desenvolvendo competências Você e as placas de trânsito

Algumas placas de trânsito que você encontra nas ruas e estradas utilizam uma “linguagem” simbólica, muitas vezes impregnada de idéias matemáticas. Observe as placas ao lado.

a) O que elas significam?

b) Que idéia matemática cada uma delas utiliza?

Desenvolvendo competências

Represente o que é solicitado em cada situação por uma sentença matemática, de acordo com as informações dadas:

1. Um táxi cobra R$3,50 a bandeirada e R$1,20 por quilômetro rodado. Como você pode representar a despesa de um passageiro que faz um percurso de alguns quilômetros nesse táxi? Represente por n o número de quilômetros rodados e por f(n) a despesa do passageiro.

2. Todos os terrenos de um condomínio têm 10m de frente, porém têm largura que varia de um terreno para outro. Como você pode representar a área de um terreno qualquer desse condomínio, que tem alguns metros de largura? Represente por A a área do terreno e por l sua largura.

É claro que até chegarmos a esse tipo de linguagem, milhares de anos se passaram.

Além de todos esses símbolos que utilizamos para nos comunicar e para resolver problemas, muitas vezes nos valemos de uma “linguagem” , constituída de ícones, gráficos e diagramas, impregnada de idéias matemáticas e cujo objetivo é comunicar informações do modo mais claro e preciso possível. Agora é sua vez de simbolizar:

A linguagem matemática está sempre em evolução, já que novas idéias e conceitos são criados a todo momento.

Figura 4

Capítulo I — A Matemática: uma construção da humanidade

A todo momento, podemos constatar nos meios de comunicação (televisão, jornais, revistas, internet, folhetos, livros etc.), a presença dessa “linguagem”. Uma pessoa que não a domina, não é

Pense um pouco sobre os gráficos acima: Os gráficos publicados pelo jornal fizeram parte de matéria sobre o “caso cracolândia”, ocorrido na capaz de compreender as informações apresentadas, o que poderá torná-la incapaz de participar de maneira integral de uma vida em sociedade.

cidade de São Paulo, no final de 2001, e dizem respeito às ações promovidas pela Corregedoria da polícia civil e à situação de seus funcionários.

Adaptado da Folha de S. Paulo, São Paulo, 17 dez. 2001. Cotidiano, p. C4.

Matemática e suas TecnologiasEnsino Médio

O gráfico denominado de Os motivos das demissões é chamado gráfico de barras, pois é constituído de barras retangulares horizontais, cujo comprimento representa o percentual dos motivos de corrupção no período de 1996 a 2001.

Ao justificar suas respostas sobre o “gráfico dos demitidos” , você deve ter argumentado, baseandose nos conhecimentos que construiu até hoje.

Por exemplo, quando dizemos que em 2001 o número de demitidos foi de aproximadamente 2% do total, entre 1996 e 2001, estamos comparando 172 com 797 e registrando o número na forma percentual.

Confira:

• dividimos 172 por 797, obtendo aproximadamente 0,215808 (confira com uma calculadora);

• multiplicamos 0,215808 por 100 para escrever esse número na forma percentual: 21,5808% (agora você já não precisa de calculadora!);

O gráfico denominado de O número de demitidos é chamado gráfico de linha, já que uma linha (a laranja) liga os pontos que representam os números de demitidos, mostrando a evolução desse número no período de 1996 a 2001.

Desenvolvendo competências a) Você pode concluir que no período de 1996 a 2001 o número de demitidos da polícia civil, em São Paulo, sempre cresceu? Por quê? b) “Na primeira metade desse período (1996-1998) foram demitidos aproximadamente 50% dos policiais demitidos no período todo (1996-2001). Você considera essa afirmação verdadeira? Justifique sua resposta.

• também aproximamos esse número para 21,6%, desprezando as demais casas decimais que não representariam sequer 1 pessoa.

A forma percentual indica que comparamos uma parte dos demitidos com um total de 100. Assim, o número 21,6 % representa a seguinte situação ideal: se pudéssemos agrupar os 797 demitidos em grupos de 100 e espalhar igualmente por esses grupos os 172 demitidos, aproximadamente 21,6 pessoas em cada grupo teriam sido demitidas em 2001, o que na realidade não acontece, já que não existe 0,6 de pessoa. Então, esse número (21,6%), por estar mais próximo de 2% do que de 21%, deve ser aproximado para 2%, significando que, em cada grupo de 100 demitidos entre 1996 e 2001, há aproximadamente 2 demitidos em 2001.

Desenvolvendo competências

Agora é com você.

Observe o gráfico de barras e verifique quantos policiais foram demitidos no período de 1996 a 2001 por corrupção.

A partir das situações apresentadas, você deve ter percebido a importância da linguagem matemática para controlar e prever resultados (como no caso da despesa dos pães e leite), bem como para comunicar dados e idéias (como no caso das placas de trânsito e dos gráficos do jornal). Essa linguagem foi pseudo-construída ao longo do tempo, à medida que as idéias matemáticas que ela descreve foram ficando cada vez mais claras e precisas para a humanidade.

Capítulo I — A Matemática: uma construção da humanidade

O desenvolvimento da Matemática e os outros campos do conhecimento

Você já viu que o desenvolvimento da Matemática se deve em grande parte à busca de soluções para problemas que a humanidade tem enfrentado em seu dia-a-dia. Apenas para dar alguns exemplos:

• Que chance tenho em ter meu bilhete sorteado numa loteria de números?

• Como fixar as ripas de meu portão?

• Quantas estampas diferentes posso obter nos tecidos da tecelagem onde trabalho, se o fundo pode ser ou azul ou amarelo e o desenho pode ser de bolinhas brancas ou de listras pretas ou, ainda, xadrez vermelho?

Questões semelhantes a essa fizeram o homem pensar nos fenômenos probabilísticos, em questões geométricas, e nos problemas de contagem, respectivamente. Além desses campos específicos da Matemática aos quais eles se referem, outros mais foram desenvolvidos a partir de problemas que envolviam números, medidas, álgebra, ligados à realidade da humanidade.

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