APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA DETERMINAÇÃO DA DEFLEXÃO EM VIGAS

APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA DETERMINAÇÃO DA DEFLEXÃO EM VIGAS

(Parte 1 de 3)

MOSSORÓ – RN 2016

Monografia apresentada a Universidade Federal Rural do Semi-Árido como requisito para obtenção do título de Bacharel em Ciência e Tecnologia.

Orientador: Prof. Me. Kleber Soares Câmara

MOSSORÓ – RN 2016

Monografia apresentada a Universidade Federal Rural do Semi-Árido como requisito para obtenção do título de Bacharel em Ciência e Tecnologia.

Orientador: Prof. Me. Kleber Soares Câmara

A minha bisavó, Maria Júlia (Mariquinha), que sempre teve muita fé em mim mesmo quando muitos desacreditavam no meu potencial e me criou como um ser pensante a sempre questionar, procurar e aprender cada vez mais.

Aos meus pais, Gomes e Maria Josivânia, que fizeram de tudo para eu ter a melhor educação possível e valorizasse sempre o caminho do ensino.

Aos meus irmãos, Denis Lucas e Carlos Daniel, que estiveram presentes em momentos importantes na minha vida.

A Deus, em primeiro lugar, que por sua grande misericórdia e graça me concedeu saúde e força para continuar lutando sempre para buscar meus objetivos, por ter me dado a graça de uma família maravilhosa que esteve presente em todos os momentos que precisei, seja me consolando ou me parabenizando.

A esta universidade, os meus professores e todo o corpo docente da instituição que certamente contribuíram grandemente para minha formação tanto profissional quanto cidadã, me ensinando que se deve merecer o mérito, valorizar a oportunidade, esse regozijar dos frutos do sucesso, além de mostrar todo o significado de ética profissional.

Ao meu orientador, Professor Kleber Soares, por ter me aceitado como orientando, por todo o suporte, por todo o tempo que esteve disposto a ceder pelas minhas várias idas em sua sala em virtude das dúvidas surgidas, pelos seus valorosos conselhos e sua imensa paciência de me ter tomado várias vezes com pressa e cheio de dúvidas.

Aos meus pais, Gomes e Maria Josivânia, que com todo seu amor por mim, me apoiaram, me aconselharam, me advertiram, me ensinaram, me protegeram durante todos esses anos, pois mesmo eu não sendo o melhor filho do mundo, tento ser sempre o melhor que eles esperam que eu seja.

A minha namorada, Vitória Dantas por estar sempre ao meu lado nas minhas decisões não deixando de ser amiga quando precisei, pelos conselhos na monografia e na vida, e todo o amor dado a mim em todos os momentos.

Aos meus amigos no grupo dos Nerds em Linda Flor/Assú pela força e apoio que me deram em todos esses anos de curso, como também, o ensinamento do que é ter pessoas que estejam te apoiando em todos os momentos de sua vida acadêmica e pessoal.

Em especial aos meus colegas de apartamento Fillypi Jarbem e Rodolfo Lacerda pelo apoio e por me aturar nesses anos de curso e me ensinarem que dá para conviver bem com pessoas que não são do mesmo sangue, assim como, guardar laços muito importantes para toda a vida.

Aos meus queridos amigos da UFERSA que direto ou indiretamente contribuíram para meu crescimento aqui dentro da universidade me auxiliando na tomada de decisões e nos estudos que não foram poucos nesses pouco mais de três anos de curso.

A todos as outras pessoas importantes em minha vida e que de alguma maneira contribuíram significativamente na minha formação profissional ou pessoal e na elaboração desse trabalho, meus mais sinceros agradecimentos.

“Saber muito não lhe torna inteligente. A inteligência se traduz na forma que você recolhe, julga, maneja e, sobretudo, onde e como aplica esta informação.”

Carl Sagan

A engenharia civil é embasada por vários conceitos matemáticos que podem dar respostas aos mais variados problemas, esses conceitos vão desde geometria até o cálculo diferencial. Nas bibliografias usualmente utilizadas as equações diferenciais são empregadas para resolução de problemas na parte estrutural (vigas) de edificações ou componentes isolados das construções (eixos). O objetivo desse trabalho é mostrar a relação entre as equações diferenciais e o comportamento de vigas na construção civil, relacionando a ferramenta matemática a uma das suas aplicações. As vigas foram analisadas para que se fossem encontradas as equações diferenciais. Essas equações deverão indicar a inclinação angular e afastamento vertical linear comumente chamado de deflexão em vigas. Os resultados mostrarão as equações, memórias de cálculos detalhados e desenhos. Vale ressaltar que este trabalho procura apontar as equações diferenciais como um instrumento prático para se conhecer os parâmetros elásticos e de vigas que são regidas pela Lei de Hooke, assim como, valores usualmente utilizados para se chegar as deflexões nas estruturas da engenharia civil.

Palavras-Chave: equações diferenciais; engenharia civil; aplicações; vigas.

Civil engineering is grounded by various mathematical concepts that could provide answers to various problems, these concepts ranging from geometry to the differential calculus. In bibliographies the differential equations usually used are employed to solve problems in the structural part (beams) of buildings or isolated constructions components (axes). The aim of this work is to show the relationship between differential equations and beam behavior in construction, relating the mathematical tool and one of theirs applications. The beams were analyzed were found to be differential equations. These equations should indicate the angular tilt and linear vertical clearance commonly called deflection beams. The results will show the equations, detailed calculations memories and drawings. It is noteworthy that this work tries to point out the differential equations as a practical tool to know the elastic parameters and beams that are governed by Hooke's Law, as well as values usually used to get deflections in civil engineering structures.

Keywords: differential equations; civil Engineering; applications; beams.

Figura 1: Sentido de uma força indicada por um vetor2
Figura 2: Regra do Paralelogramo23
Figura 3: Regra do Triângulo23
Figura 4: Composição de forças24
Figura 5: Decomposição de forças24
Figura 6: Momento de uma força25
Figura 7: Momento de um sistema de forças coplanares26
Figura 8: Sistema tridimensional de coordenadas27
Figura 9: Sistema bidimensional de coordenadas27
Figura 10: Barra Prismática28
Figura 1: Momento Estático de um ponto29
Figura 12: Momento Estático de uma superfície plana30
Figura 13: Centro de Gravidade de uma superfície plana31
Figura 14: Momento de inércia de uma superfície plana32
Figura 15: Barra prismática sofrendo esforços de tração35
Figura 16: Diagrama tensão-deformação do aço37
Figura 18: Carga uniformemente distribuída40
Figura 19: Carga Variável Triangular41
Figura 20: Carga Variável Trapezoidal42
Figura 21: Apoio Móvel42
Figura 2: Apoio Fixo43
Figura 23: Engastamento43
Figura 24: Curva de deflexão de uma viga engastada4
Figura 25: Curva de deflexão de uma viga45
Figura 26: Convenção de sinal para a curvatura46
Figura 27: Condições de contorno e continuidade50
Figura 28: Viga bi apoiada com força concentrada no seu centro e rolete no ponto B53
Figura 29: Seção U no centro da viga54
Figura 30: Viga bi apoiada com força concentrada na extremidade livre do elemento56
Figura 31: Seção 01 no ponto B partindo do ponto A57

LISTA DE FIGURAS Figura 17: Viga simplesmente apoiada submetida a uma carga concentrada no meio do vão. 40 Figura 32: Seção 02 partindo da extremidade livre para o ponto B. ........................................ 58

Figura 34: Seção 01 no ponto B partindo do ponto A61
Figura 35: Viga engastada com um carregamento distribuído triangular63

Figura 3: Viga Bi apoiada com força-momento no ponto A. ................................................. 60 Figura 36: Seção U no ponto B partindo do ponto A. .............................................................. 64

LISTA DE TABELAS Tabela 1: Principais figuras geométricas e seus centros de gravidade. .................................... 31

CCEN Centro de Ciências Exatas e Naturais CE Centro das Engenharias CG Centro de Gravidade EDO Equação Diferencial Ordinária EDP Equação Diferencial Parcial Kgf Kilo grama força KN Kilo Newton PVI Problema de Valor Inicial SI Sistema Internacional Tf Tonelada força

Δ deflexão δ alongamento ou encurtamento ε deformação específica θ ângulo de rotação, inclinação angular ν deflexão ρ raio de curvatura ζ tensão normal η tensão de cisalhamento υ coeficiente de Poisson

1. INTRODUÇÃO17
2. REFERENCIAL TEÓRICO18
2.1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS18
2.2 CLASSIFICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS18
2.3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE PRIMEIRA ORDEM19
2.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE SEGUNDA ORDEM19
2.4.1 Equações Homogêneas com Coeficientes Constantes20
2.5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE ORDEM MAIS ALTA20
2.5.1 Teoria geral para equações lineares de ordem n20
2.6 CONCEITOS DE ESTÁTICA BÁSICA2
2.6.1 Forças no plano2
2.6.2 Equilíbrio de um ponto material2
2.6.3 Resultante de uma força23
2.6.4 Momento de uma força24
2.6.5 Momento de um sistema de forças coplanares25
2.6.6 Teorema de Varignon26
2.6.7 Equilíbrio de corpos rígidos26
2.6.7.1 Equilíbrio em duas dimensões28
2.7 CARACTERIZAÇÕES GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS28
2.7.1 Área29
2.7.2 Momento Estático29
2.7.3 Centro de Gravidade30
2.7.4 Momento de Inércia32
2.8 ESFORÇOS SOLICITANTES32

SUMÁRIO 2.8.1 Classificação dos esforços solicitantes ................................................................. 3

2.8.1.2 Força cortante (V)3
2.8.1.3 Momento fletor (M)34
2.8.1.4 Momento de Torção (T)34
2.8.1.5 Conversão de sinais34
2.9 TENSÕES E DEFORMAÇÕES34
2.9.1 Diagrama tensão-deformação36
2.9.2 Elasticidade linear, Lei de Hooke e Coeficiente de Poisson38
2.10 VIGAS39
2.10.1 Cargas Distribuídas40
2.10.1.1 Carga uniformemente distribuída42
2.10.1.1 Carga distribuída variável43
2.10.2 Apoios ou Vínculos42
DEFLEXÃO43
2.1.1 Vigas com Pequenos Ângulos de Rotação47
2.1.2 Vigas Não-Prismáticas48
2.1.3 Vigas Prismáticas49
3. METODOLOGIA51
3.1 DELIMITAÇÃO DA PESQUISA51
3.2 ETAPAS DA PESQUISA51

2.1 LINHA ELÁSTICA EM VIGAS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DA CURVA DE

DEFLEXÃO EM UMA VIGA BI APOIADA52
3.4 TAMANHO DA AMOSTRA DE PESQUISA52
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO53

3.3 DETERMINAÇÕES DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA E DO VALOR DA

VIGAS E SUAS DEFLEXÕES MÁXIMAS53
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS6

4.1 DETERMINAÇÃO PRÁTICA DAS EQUAÇÕES DA LINHA ELÁSTICA EM REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 67

1. INTRODUÇÃO

As equações diferenciais sempre estiveram sendo utilizadas nas diversas áreas de conhecimento matemático, mas em especial nas engenharias tornou-se uma ferramenta essencial para a resolução de problemas. Ainda hoje, buscam-se soluções para suas diversas equações ainda em segredo o que induz diversos matemáticos de todo o mundo a se aventurarem pelo mundo das equações diferenciais. Contudo, o que torna as mesmas tão especiais é sua aplicabilidade, que, por sua vez nos remete a engenharia civil e seus mais diversos problemas relacionados a estruturas.

As vigas são elementos estruturais que podem resistir a diversos tipos de carregamentos e requerem estudos quanto a suas propriedades, e, este trabalho tem por objetivo utilizar as equações diferenciais para identificar as linhas elásticas em vigas bi apoiadas. Essas linhas elásticas indicam o comportamento linear elástico dessas estruturas mantendo uma estreita relação com a Lei de Hooke.

No início serão abordados conceitos de equações diferenciais, estática básica, corpos sólidos e figuras geométricas planas, esforços que são submetidas às estruturas, forças aplicadas e reações do material que é constituído a viga, contextualização de vigas e a aplicação teórica das equações nestas vigas. Todo este aparato teórico dará suporte para os estudos de casos e exemplos que serão mostrados nos resultados deste trabalho. Com isso este trabalho buscará mostrar conceitos matemáticos aplicados engenharia civil e a teoria elástica.

2. REFERENCIAL TEÓRICO 2.1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Segundo Boyce & DiPrima (2006), muitos dos princípios, ou leis, que regem o comportamento do mundo físico são proposições, ou relações, envolvendo a taxa segundo a qual as coisas acontecem. Expressas em linguagem matemática, as relações são equações e as taxas são derivadas. Sendo assim, equações contendo derivadas são equações diferenciais. Ainda de acordo com Boyce & DiPrima (2006), uma equação diferencial que descreve algum processo físico é chamada, muitas vezes, de modelo matemático do processo.

Ordinária (EDO) é uma equação da forma

Vale a pena lembrar que mesmo as equações diferenciais mais simples fornecem modelos úteis de processos físicos importantes. Sendo assim, as aplicações dessas equações diferenciais ordinárias ou parciais necessitam de uma análise qualitativa que as modelam como forma de se verificar se as soluções estão de acordo com o problema que motivou o modelo. Uma das classificações mais óbvias é baseada em se descobrir se a função desconhecida depende de uma única variável independente ou de diversas variáveis independentes. “No primeiro caso, aparecem na equação diferencial apenas derivadas simples e ela é dita equação diferencial ordinária (EDO) e no segundo caso, as derivadas são parciais e a equação é chamada de equação diferencial parcial (EDP)” (BOYCE & DIPRIMA, 2006). Nesse referencial iremos apenas definir a equação diferencial ordinária para a utilização no trabalho acadêmico. Pelas palavras de Boyce & DiPrima (2006),uma Equação Diferencial A equação abaixo é um exemplo de uma EDO, que também pode ser escrita da seguinte forma

2.2 CLASSIFICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Segundo as ideias de Boyce & DiPrima (2006), as equações diferenciais ordinárias podem ser classificadas por ordem e linearidade. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação.

é um exemplo de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.

é um exemplo de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.

Ainda segundo os dois autores, uma classificação crucial de equações diferenciais é se elas são lineares ou não. A equação diferencial

()
é dita linear se F é uma função linear das variáveis; uma definição análoga se

aplica às equações diferenciais parciais. Contudo, temos uma equação dita não-linear exemplificada por,

É também uma equação diferencial de terceira ordem para y= u(x). 2.3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE PRIMEIRA ORDEM

São ditas EDOs de primeira ordem às equações que dependem apenas de uma variável e de ordem igual a um,

onde é uma função de duas variáveis dada. Qualquer função diferenciávelque

satisfaça essa equação para todo em algum intervalo é dita uma solução dessa equação.

De acordo com Costa (2010), considerando uma subclasse de equações de primeira ordem que podem ser resolvidas por um processo de integração direta, sendo assim, temos essa subclasse de equação escrita na sua forma diferencial então, caso queira, as parcelas envolvendo cada variável podem ser separadas pelo sinal de igualdade. Uma equação separável pode ser resolvida integrando-se as funções M e N.

2.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE SEGUNDA ORDEM

Para Boyce & DiPrima (2006), as equações lineares de segunda ordem têm uma importância crucial no estudo de equações diferenciais por duas razões principais. A primeira é que equações lineares têm uma estrutura teórica rica, subjacente a diversos métodos sistemáticos de resolução. Além disso, uma parte substancial dessa estrutura e desses métodos é compreensível a um nível matemático relativamente elementar. Logo, uma equação diferencial de segunda ordem tem a forma

, onde é alguma função dada. Ela é dita linear se a função tem a forma

(
)
Assim sendo, se é linear em ePortanto, podemos reescrever uma equação
onde a linha denota diferenciação em relação aPartindo dessas ideias temos as equações
homogêneas se a funçãona equação (*) for igual à zero. Caso contrário é dita não-

diferencial ordinária linear de segunda ordem como: * homogênea.

2.4.1 Equações homogêneas com coeficientes constantes

Entendendo-se assim as noções de linearidade e homogeneidade de equações de segunda ordem poderão ser abordados agora os problemas de valor inicial. Para Boyce & DiPrima (2006), um problema de valor inicial (PVI) consiste em uma equação diferencial , como a equação (*), junto com um par de condições iniciais

onde esão números dados. Note que as condições iniciais para uma equação de segunda
ordem não indicam, apenas, um ponto particularque tem que pertencer ao gráfico da
solução, mas, também, o coeficiente angularda reta tangente ao gráfico naquele ponto.

Assim, é razoável esperar que sejam necessárias duas condições iniciais para uma equação de segunda ordem, já que, grosso modo, precisa-se de duas integrações para se encontrar a solução e cada integração introduz uma constante arbitrária. Dada a equação homogênea escrita na forma

Podemos reescrevê-la da seguinte forma considerando as funções , e constantes. Nesse caso, a mesma torna-se onde , e são constantes dadas. 2.5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE ORDEM MAIS ALTA

A estrutura teórica e os métodos de resolução desenvolvidos para as equações lineares de segunda ordem podem ser estendidos, diretamente, para equações lineares de terceira ordem ou ordem mais alta (Boyce & DiPrima 2006, apud Costa 2010).

2.5.1 Teoria geral para equações lineares de ordem Uma equação diferencial linear de ordem n é uma equação na forma

Sendo quee são funções reais e contínuas definidas em algum intervalo

Como a equação dada envolve a n-ésima derivada de em relação a , serão necessárias, grosso modo, integrações para se resolver essa equação. Cada uma dessas integrações vai gerar uma constante arbitrária. Podemos esperar, portanto, que, para obter uma punica solução, será preciso especificar condições iniciais,

ondepode ser qualquer ponto no intervalo e

é qualquer conjunto dado de constantes reais.

Por Boyce & DiPrima (2006), como no problema correspondente de segunda ordem vamos discutir primeiro a equação homogênea

Se as funçõessão soluções da equação acima, segue, por cálculo direto, que a

combinação linear

ondesão constantes arbitrárias.

Pelos mesmos autores, consideraremos agora a equação não-homogênea

se esão duas soluções quaisquer da equação acima, segue imediatamente da linearidade

do operador que portanto, a diferença entre as duas soluções quaisquer da equação não-homogênea é uma solução da equação homogênea. Como qualquer solução da equação homogênea pode ser

escrita como uma combinação linear de um conjunto fundamental de soluções

2 segue que qualquer solução da equação homogênea pode ser escrita na forma

(**) onde é alguma solução particular da equação não-homogênea. A combinação linear (**) é chamada de solução geral da equação não-homogênea.

2.6 CONCEITOS DE ESTÁTICA BÁSICA 2.6.1 Forças no plano

Segundo Gaspar (2005), a força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido, assim como, intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI).

A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo, como indicado na Figura 1. Figura 1: Sentido de uma força indicada por um vetor.

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