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autores do original ANA LUCIA DE SOUSA ANTÔNIO CARLOS CASTAÑON VIEIRA GLÓRIA DIAS JÚLIO CÉSAR JOSÉ RODRIGUES JUNIOR LUIZ GIL SOLON GUIMARÃES MARCELO COUTO BRAGA MARCOS JOSÉ MACHADO DA COSTA MÁRIO LUIZ ALVES DE LIMA UBIRATAN OLIVEIRA

1ª edição SESES rio de janeiro 2015

Conselho editorial regiane burger, roberto paes e gladis linhares Organizador luiz gil solon guimarães

Autores do original ana lucia de sousa, antônio carlos castañon vieira, glória dias, júlio césar josé rodrigues junior, luiz gil solon guimarães, marcelo couto braga, marcos josé machado da costa, mário luiz alves de lima, ubiratan oliveira

Projeto editorial roberto paes Coordenação de produção gladis linhares Projeto gráfico paulo vitor bastos Diagramação paulo vitor bastos Revisão linguística aderbal torres bezerra

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (cip) b299 Bases matemáticas para Engenharia

Regiane Burger [organizadora] — Rio de Janeiro: Editora Universidade Estácio de Sá, 2015. 366 p isbn: 978-85-5548-141-3 1. Cálculo. 2. Função. 3. Logaritmo. 4. Trigonometria. 5. Limite. I. Título. cdd 510

Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063

Sumário

7. Função quadrática ou polinomial do segundo grau 179

A importância da

Matemática para a Engenharia

É fundamental que desde o início do curso o aluno de Engenharia vá se conscientizando das responsabilidades e atribuições da profissão. Como pode-se dizer que o engenheiro é um agente transformador da natureza, que cria novos materiais, dispositivos e equipamentos ou implanta empreendimentos que impactam o meio ambiente, cada vez mais suas ações devem ser coerentes, seguras e responsáveis tanto no âmbito social como no ambiental.

É por meio da união do conhecimento científico e da lógica de raciocínio que um indivíduo se torna um agente transformador da natureza com responsabilidade socioambiental, ou seja, um engenheiro. Não é possível o desenvolvimento tecnológico sem o conhecimento das leis do universo. Através dos séculos, cientistas investigam e idealizam as leis que regem a natureza, aperfeiçoando e modelando matematicamente essas ideias, construindo o conhecimento científico da humanidade.

Vamos refletir um pouco sobre a Matemática antes de abordar sua importância para a Engenharia. Para nos ajudar, são apresentadas algumas citações referentes à Matemática de alguns pensadores que influenciaram fortemente a Ciência:

1Pitágoras: “O número domina o Universo”.

2 Sócrates: "O estudo da Matemática é o mais indicado para desenvolver as faculdades, fortalecer o raciocínio e iluminar o espírito".

3 Galileu Galilei: “O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e símbolos matemáticos”.

4 Leonardo da Vinci: “Nenhuma investigação humana pode ser chamada real- mente Ciência, se não puder ser demonstrada matematicamente”.

5Albert Einstein: “A Matemática pura é, à sua maneira, a poesia das ideias lógicas”.

Agora, em sequência, para nos ajudar a pensar em uma definição para a

Engenharia apresenta-se o pensamento de uma série de pessoas influentes e até um conceito da Wikipedia, que hoje pode ser considerada como uma fonte “popular”:

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S. E. Lindsay (1920): Engenharia é a prática da aplicação segura e econômica das leis científicas que governam as forças e materiais da Natureza, através da organização, design e construção, para o benefício da humanidade.

2 Vanevar Bush (1939): Engenharia, em um sentido amplo, é a aplicação da ciência de maneira econômica para as necessidades da humanidade.

T. J. Hoover e J. C. L. Fish (1941): Engenharia é a aplicação profissional e sistemática da ciência para a utilização eficiente dos recursos naturais a fim de produzir riqueza.

John C. Calhoun, Jr. (1963): É responsabilidade do engenheiro estar atento às necessidades sociais e decidir como as leis da ciência podem ser mais bem adaptadas através da Engenharia a fim de cumprir essas necessidades.

Wikipedia (http://pt.wikipedia.org/wiki/Engenharia em 09/03/2015): a Engenharia é definida como a ciência, a arte e a profissão de adquirir e de aplicar os conhecimentos matemáticos, técnicos e científicos na criação, aperfeiçoamento e implementação de utilidades, tais como materiais, estruturas, máquinas, aparelhos, sistemas ou processos, que realizem uma determinada função ou objetivo.

Comitê de Certificação de Engenharia e Tecnologia dos Estados Unidos (1982): Engenharia é a profissão na qual o conhecimento das ciências matemáticas e naturais, obtido através do estudo, experiência e prática, é aplicado com julgamento no desenvolvimento de novos meios de utilizar, economicamente, os materiais e as forças da natureza para o benefício da humanidade.

A análise dos pensamentos apresentados nos mostra que, quando a Matemática não aparece explicitamente na definição do que seria a Engenharia, são mencionados termos como ciência, leis científicas ou leis da ciência, que podem ser interpretados como as leis da Física modeladas matematicamente, além de nos remeterem aos pensamentos acerca da Matemática apresentados no início. Fica claro que existe uma relação muito forte entre a Matemática e a Engenharia.

Se avançarmos para a Mecânica, a Hidráulica, a Termodinâmica, a Eletricidade, a Química etc. são todas áreas do saber regidas por leis demonstradas matematicamente. Cabe ao engenheiro estudá-las, entendê-las e aplicá-las de maneira correta e responsável, transformando a natureza e a sociedade.

Portanto, espera-se que o engenheiro seja um profissional dotado de raciocínio lógico, capaz de aliar conhecimentos matemáticos e científicos para produzir avanços tecnológicos em prol da sociedade. Como a Matemática é reconhecidamente a melhor forma de se desenvolver o raciocínio lógico e também é imprescindível para que os conceitos científicos sejam comprovados, pode-se concluir que a Matemática é essencial para que o engenheiro possa contribuir com a inovação tecnológica.

Uma vez reconhecida a importância direta e indireta da Matemática, na formação do engenheiro, vamos fazer uma viagem motivadora até a sua aplicação na pesquisa e no exercício da profissão de engenheiro. O desenvolvimento da Informática em geral e da Computação Gráfica em especial, faz com que seja cada vez mais comum a utilização da modelagem matemática em sistemas de simulação de fenômenos físicos baseados em computação gráfica em todas as áreas da Engenharia.

na linguagem do mundo realo modelo matemático “é um conjunto de símbolos e rela-

Segundo Bassanezi, a Modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções ções matemáticas que representa de alguma forma o objeto estudado”.

Dessa forma, a simulação computacional de problemas de Engenharia tornou-se uma grande área de pesquisa, impulsionando o desenvolvimento de sistemas muito sofisticados que já são largamente utilizados, tanto em situações de pesquisa quanto em projetos de Engenharia.

A seguir são apresentadas algumas situações práticas da Engenharia, altamente motivadoras para quem gosta do tema, e que somente são possíveis pelo uso pesado da Matemática. São exemplos divididos por especialidades, todos envolvendo modelagem matemática e simulação de problemas de engenharia.

Na Engenharia Ambiental a modelagem matemática vem sendo cada vez mais empregada em simulações diversas como escoamento e dispersão de poluentes, fluxo de águas subterrâneas em aquíferos, transporte de sedimentos, hidrodinâmica e qualidade da água.

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A figura 1 é parte de um estudo sobre os emissários submarinos, na costa dos municípios do Rio de Janeiro e Niterói, realizada com o sistema SisBaHia mostrando as plumas dos emissários submarinos da Barra, Ipanema e Icaraí em uma determinada condição do dia e das correntes.

O SisBaHia (Sistema Base de Hidrodinâmica Ambiental) é um sistema de modelagem computacional registrado pela Fundação Coppetec, órgão gestor de convênios e contratos de pesquisa do COPPE/UFRJ - Instituto Aberto Luiz Coimbra de Pós Graduação e Pesquisa de Engenharia (COPPE) da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) http://www.sisbahia.coppe.ufrj.br/ em 16/03/2015).

Na Engenharia Civil, é comum o emprego de métodos matemáticos aplicados à Mecânica Computacional no desenvolvimento de sistemas computacionais aplicados à Teoria das Estruturas, à Mecânica dos Sólidos, à Mecânica dos Solos e à Mecânica das Rochas. Tais sistemas são importantes ferramentas para a simulação do comportamento de estruturas ou de solo/maciço rochoso submetidos a condições específicas de tensão.

Recentemente temos visto o desenvolvimento da implantação do BIM (Building Information Modeling) ou Modelagem da Informação da Construção, em todo o mundo, inclusive no Brasil. A ideia é que equipes multidisciplinares compartilhem um único modelo 3D que é capaz de armazenar e processar o edifício, todos os seus sistemas, planejamento, orçamento e tudo o mais que se deseje. A implantação do BIM impacta na forma de trabalhar de todos os elos da cadeia da indústria da construção civil.

A figura 2 mostra modelos capazes de realizar a simulação do comportamento estrutural em situações específicas para o Estádio Ninho de Pássaro, das Olimpíadas de Pequim e de uma laje de ponte. Também é apresentada uma análise de vento, na cobertura de um estádio, bem como um modelo BIM exibindo estrutura e instalações.

A modelagem matemática aplicada à Engenharia de Petróleo também é bastante desenvolvida e contempla temas como a modelagem de reservatórios, de fluxo em meios porosos, de elevação e escoamento de petróleo, modelagem geológica e geofísica, por exemplo.

O CENPES — Centro de Pesquisa da Petrobras — desenvolve, em parceria com a COPPE e com o TecGraf-PUC-Rio, sistemas baseados em modelagem matemática para a área de petróleo como os contemplados na figura 3, de modelagem geofísica e geológica e, na figura 4, de modelagem de reservatórios e de risers.

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Na Engenharia de Produção, a modelagem matemática permite a simulação e a otimização de processos como, por exemplo, testar diversos procedimentos, com alterações de rotinas, equipamentos e layouts em uma indústria sem a necessidade de interrupção do sistema real que prossegue em funcionamento. A figura 5 mostra estudos de caso da 2014 Winter Simulation Conference (WSC).

Na Engenharia Elétrica, a modelagem matemática também é utilizada para realização de simulações de sistemas elétricos de potência, de fontes alternativas de energia e tecnologias emergentes de controle e operação de sistemas elétricos, por exemplo. As técnicas de modelagem e simulação também são largamente utilizadas para automação e controle.

A figura 6 ilustra uma simulação de automação, um painel em 3D e a distribuição do campo magnético em uma subestação.

Por fim, a Engenharia Mecânica, que também utiliza largamente a modelagem e a simulação para situações de projeto. Na figura 7, estão apresentados modelos de componentes de motores para análise estrutural e térmica, ensaio virtual de uma cadeira plástica e o modelo de uma mola helicoidal para simulação dinâmica.

Para dar esse salto realmente motivador, precisa-se começar lançando as bases matemáticas para Engenharia, que prepararão o ingressante do curso de Engenharia para a sua formação.

Classicamente, nos cursos de Engenharia, o ensino da Matemática, normalmente, se dá de forma abstrata, baseado em símbolos e fórmulas, e, na maioria das vezes, desconectado das práticas de Engenharia. Enquanto isso, o ensino da Física é mais concreto, com a realização de práticas complementares em laboratórios, que formalizam o comportamento dos fenômenos naturais muitas vezes já observados pelos alunos. No entanto, como a Física quase sempre depende de recursos matemáticos, é mais comum a ocorrência de altas taxas de insucesso, tanto nas disciplinas de Matemática quanto nas de Física, desmotivando muitos alunos.

A falta de motivação é uma das grandes causas de insucesso e evasão nos cursos de Engenharia, estruturados de forma que os dois primeiros anos sejam compostos por disciplinas básicas, tornando o ciclo extremamente árido tanto pelas dificuldades enfrentadas quanto pela falta de contato com as especificidades da profissão escolhida. Uma pergunta recorrente dos alunos do ciclo básico dos cursos de Engenharia é “Por que eu tenho que estudar isto?”. São tantas as ferramentas básicas estudadas até entrar em contato com as disciplinas profissionalizantes que muitas vezes é difícil acreditar que elas sejam realmente necessárias. Além disso, não é comum a contextualização da disciplina a ponto de tornar clara a sua importância no curso, motivando minimamente os alunos.

Por que falar sobre isso? Por acreditar que uma abordagem mais concreta da Matemática, conectada a problemas reais, por mais simples que sejam, ameniza, em muito, a angústia do aluno ingressante de Engenharia, podendo capítulo 1 • 15 até chegar ao ponto de se tornar elemento motivador. Arriscamos a dizer que, no contexto da Engenharia, é um equívoco tratar a Matemática de forma desconectada de situações da vida real, apenas manipulando fórmulas e observando regras, com o único interesse de achar a resposta correta, pouco importando o seu significado. Isso não potencializa plenamente o raciocínio lógico do futuro engenheiro em situações aplicadas, além de não elevar a Matemática ao patamar onde ela deve estar na Engenharia.

Basta observar sua história para perceber que a Matemática possui um processo de construção conectado a certas demandas da sociedade e à necessidade de recursos específicos para modelagem de fenômenos do mundo real. A descrição de um fenômeno físico por um modelo matemático tem um significado muito grande, pois permite a simulação da sua ocorrência, possibilitando o seu pleno entendimento e a previsão de comportamentos futuros em situações hipotéticas. O uso do computador para a realização das simulações matemáticas viabiliza o estudo de uma infindável quantidade de modelos associados aos mais diversos fenômenos. Apesar do computador não pensar, ele pode ajudar a pensar. O uso sistemático de simulações aumenta bastante a percepção do comportamento do fenômeno estudado, justificando plenamente a necessidade de se aprender a manipular esse artefato matemático que pode ajudar a explicar, a organizar e, finalmente, a pensar. O estudo de programação de computadores, no curso, permite ao engenheiro produzir modelos matemáticos computacionais que representem sistemas de engenharia. Daí a sua obrigatoriedade na formação plena do engenheiro.

Nesse contexto, percebe-se que o uso adequado da Matemática pode contribuir de forma substancial, na formação do engenheiro, para abordar os problemas da profissão. Um método capaz de fazê-lo conhecer, explicar e analisar os processos envolvidos nos sistemas de engenharia. Para que isto ocorra é preciso que a Matemática esteja naturalmente presente em todos os momentos, tornando o engenheiro um profissional diferenciado e capaz de tomar decisões adequadas.

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